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2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题


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2011 年高考试题数学(理科)
选修系列:坐标系与参数方程
一、选择题: 1. (2011 年高考安徽卷理科 5)在极坐标系中,点 ( ? , 为
?
? ) 到圆 ? ? 2 co s ?

的圆心的距离

(A)2

(B)

4?

?
9

2

(C)

1?

?

2

(D)

3

9

【命题意图】 本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化, 属于容易题. 【答案】D 【解析】 极坐标系中的点 (2, ) 化为直角坐标系中的点为 (1, 3 ) 极坐标方程 ? ? 2 co s ? ;
3

?

化为直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ,即 ( x ? 1) ? y ? 1 ,其圆心为(1,0) ,
2 2 2 2

∴所求两点间距离为 (1 ? 1) ? ( 3 ? 0 ) = 3 ,故选 D.
2 2

2. (2011 年高考安徽卷理科 3)在极坐标系中,圆 ? ? ? 2 sin ? 的圆心的极坐标是 A. (1,
? 2 )

B. (1, ?

? 2

)

C. (1, 0 )

D. (1, ? )

【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化,是简单题. 【解析】 ? ? ? 2 sin ? ? x ? ( y ? 1) ? 1 ,圆心直角坐标为(0,-1) : ,极坐标为 (1, ?
2 2

?
2

),

选 B。 二、填空题:
? x ? 8t , 1.(2011 年高考天津卷理科 11)已知抛物线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若斜率 ? y ? 8t.
2

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坐标方程为 答案: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 。
2 2

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解析:做坐标系与参数方程的题,大家只需记住两点:1、 x ? ? ? cos ? , y ? ? ? sin ? ,2、
? ? x ? y 即可。根据已知
2 2 2

? ? 2 sin ? ? 4 cos ? = 2 ?

y

?

?4

x

?

, 化简可得:? ? 2 y ? 4 x ? x ? y ,
2 2 2

所以解析式为:

x ? y ? 4x ? 2 y ? 0
2 2

3. (2011 年高考湖南卷理科 9)在直角坐标系 x o y 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ,

? y ? 1 ? s in ?

(?

为参数)在极坐标系(与直角坐标系 x o y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴) 曲线 C 2 的方程为 ? ? co s ? ? sin ? ? ? 1 ? 0 , C 1 与 C 2 的交点个数为 中, 则 答案:2 解析:曲线 C 1 : x ? ( y ? 1) ? 1 , C 2 : x ? y ? 1 ? 0 ,由圆心到直线的距离
2 2



d ?

|0 ?1?1| 2

? 0 ? 1 ,故 C 1 与 C 2 的交点个数为 2.

4. (2011 年高考广东卷理科 14)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
5 2 ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t ? ( 0≤ ? < ? ) 和 ? 4 ( t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ? y ? s in ? ? ?y ? t ?
2 5

.

【解析】 (1,

? x ? 5 cos ? 5) ? (0≤? ? ? ) 消去参数后的普通方程为 ? y ? sin ?
5 ? ?x ? t2 4 2 消去参数后的普通方程为 y ? x 联 5 , 0 ? y ? 1) , ? 4 5 ?y ? t ?

x

2

? y

2

? 1( ? 5 ? x ?

5

立两个曲线的普通方程得 x ? ? 5 ( 舍)或 x ? 1, 所以 y ?
(1, 2 5 5 ).

2 5

5 ,所以它们的交点坐标为

5. (2011 年高考湖北卷理科 14)如图, 直角坐标系 x Oy 所在的平面为 ? , 直角坐标系 x ' o y ' Oy (其中 y ' 轴与 y 轴重合)所在平面为 ? , ? x o x ' ? 4 5 ?
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(Ⅰ)已知平面内有一点 P ( 2

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在平面 ? 内的射影 P 的坐标为
2) ? 2 y ' ? 2 ? 0
2 2

2 , 2 ) ,则点 P '



(Ⅱ)已知平面 ? 内的曲线 C ' 的方程是 ( x '?
C '

,则曲线

在平面 ? 内的射影 C 的方程是
( x ? 1) ? y ? 1
2 2

.

答案: (2,2)

解析: P 为 设 (a, b) ,因为 y 轴与 y' 轴重合, P' y 轴距离为 2 故 到 到 x 轴距离为 2,又因为∠xox'=45°,则 b=2,a= 2
?

2

, P(2,2).设面
?

2 ? sin 4 5 ? 2, 故

β 内任意一点 P(x,y)其在 ? 内射影为 P ? ( x ?, y ? ) ,由平面图形可知,
y ? y ? ,即 x ? ?
2x

x ? x ? ? sin 4 5

, .

, y? ?

y

,故方程为 (

2 x ? 1) ? 2 y ? 2 ? 0, 即 ( x ? 1) ? y ? 1 ? 0
2 2

2

2

6.(2011 年高考陕西卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 x o y 中,以原点为 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C 1 : ? 参数)和曲线 C 2 : ? ? 1 上,则 A B 的最小值为 【答案】3 【解析】 :由 ?
? x ? 3 ? cos ? ? y ? 4 ? sin ?
? x ? 3 ? cos ? ? y ? 4 ? s in ?
(? 为

得圆心为 C 1 (3, 4 ), r1 ? 1 ,由 ? ? 1 得圆心为 C 2 (0 , 0 ), r1 ? 1 ,由

平几知识知当 A、 B 为 C 1 C 2 连线与两圆的交点时 A B 的最小值,则 A B 的最小值为
| C 1C 2 | ? 2 ?
(3 ? 0 ) ? ( 4 ? 0 )
2 2

?2 ? 5 ? 2 ? 3 .

7. (2011 年高考上海卷理科 5)在极坐标系中, 直线 ? ( 2 co s ? ? sin ? ) ? 2 与直线 ? co s ? ? 1 的夹角大小为 【答案】 a rc c o s 三、解答题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
? x ? cos ? , ? y ? s in ? ,
2 5 5



( ? 为参数)曲线 C2 的参数

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方程为 ?
? x ? a cos ? , ? y ? b s in ? ,

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( a ? b ? 0 , ? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐
π 2

标系中, 射线 l: = ? 与 C1, 2 各有一个交点.当 ? =0 时, θ C 这两个交点间的距离为 2, ? = 当 时,这两个交点重合. (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =
π 4

时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =-

π 4

时,l 与 C1,

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 解: (I)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0) , ,因为这两点间 的距离为 2,所以 a=3. 当? ?
?
2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1)(0,b) , ,因为这两点重

合,所以 b=1. (II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和
2 2

x

2

? y

2

? 1.

9
2 2

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ?

,与 C2 交点 B1 的横坐标为

x? ?

3

1 0 . 10

当? ? ?

?
4

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因

此, 四边形 A1A2B2B1 为梯形. 故四边形 A1A2B2B1 的面积为
( 2 x ? ? 2 x )( x ? ? x ) 2 ? 2 5 .

…………10 分

2. (2011 年高考全国新课标卷理科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程在 直角坐标系中,曲线 C 1 的参数方程为
? x ? 2 cos ? ,( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

M 是曲线 C 1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2 OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ; (2)在以 D 为 极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,B 求 AB
?
3

与曲线 C 1 ,C 2 交于不同于原点的点

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x , y

解析; (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
?x ? 2 cos ? , ?2 ? ? ? y ? 2 ? 2 s in ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ?

).由于 M 点在 C1 上,所以

2 2



? x ? 4 cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 s in ? ?

从而 C 2 的参数方程为
? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4 s in ?

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8 sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?
?
3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4 sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8 sin

?
3

, 。

?
3

?
3

所以 | A B |? | ? 2 ? ? 1 |? 2 3 .

3.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xO y 中,求过椭圆 ?
? x ? 5 cos ? ? y ? 3 s in ?

( ? 为参数)的右焦点且与直线

? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程。 ? ?y ? 3?t

解析: 考察参数方程与普通方程的互化、 椭圆的基本性质、 直线方程、 两条直线的位置关系, 中档题。椭圆的普通方程为
x
2

?

y

25

? x ? 4 ? 2t ? 1, 右焦点为(4,0) ,直线 ? ( t 为参数) 9 ?y ? 3?t
2

的普通方程为 2 y ? x ? 2 ,斜率为:

1 2

;所求直线方程为: y ?

1 2

( x ? 4 ), 即 x ? 2 y ? 4 ? 0 .

4.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为
? x ? 3c o s ? ? ( ? 为 参 数 ). ? ? y ? s in ? ?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x
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π 2

轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解析:本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运 算求解能力,考查化归与转化思想。满分 7 分。 解: (I)把极坐标系下的点 P ( 4 ,
?
2 ) 化为直角坐标,得 P(0,4) 。

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 co s ? , sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为
2 c o s (? ? ? 2
) ? ? 1 时,d 取得最小值,且最小值为

?
6

d ?

|

3 c o s ? ? s in ? ? 4 | 2

)?4 ? 2 c o s (? ?

?
6

)?2

2 ,

由此得,当 c o s (? ?

?
6

2.

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