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1.1函数解析式的几种基本方法及例题


求函数解析式的几种基本方法及例题:
1、凑配法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [ g ( x)] 的表达式容易配成
g ( x) 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义

域,而是 g ( x) 的值域。 此法较适合简单题目。 例 1、 (1)已知 f(x+1)=x2+2x,求 f(x)及 f(x-2). (2) 已知 f ( x ? ) ? x 2 ?
1 x 1 x2

( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式

解: (1)f(x+1)=(x+1)2-1,∴f(x)=x2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x2-4x+3. (2 ) ? f ( x ? ) ? ( x ? ) 2 ? 2 , x ? ? 2
? f ( x) ? x 2 ? 2
( x ? 2)
1 x 1 x 1 x

2、换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑 法一样,要注意所换元的定义域的变化。
例 2 (1) 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1)

1 x (2)如果 f ( ) ? , 则当x ? 0,1时,求f ( x). x 1? x
解: (1)令 t ?

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2

? f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,
? f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ( x ? 0)

1 1 1 1 1 (2)设 ? t , 则x ? , 代入已知得 f(t) ? t ? ,? f ( x ) ? . 1 t ?1 x t x ? 1 1? t

3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒 等式。 例 3、已知 f(x)是二次函数,且满足 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,

?2a ? 2 ?a ? 1 ? ? 则应有 ?2b ? ?4 ? ?b ? ?2 ? f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1. ?2a ? 2c ? 0 ?c ? ?1 ? ?
四、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构 造方程组,通过解方程组求得函数解析式。
例 4 设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) 解 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x 显然 x ? 0, 将 x 换成

1 x

1 x



1 ,得: x


1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? x x f ( x) ? ? x 2 ? 3 3x

解① ②联立的方程组,得:

五、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意 性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 5 已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x)
解? 对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f (? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) ? 1 ? y( y ? 1) ? y ? y ? 1
2 2 再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x) ? x ? x ? 1

? x ? 1 ? 2, x ? 1 ? 例 6、 (分段函数)设 f(x)= ? 1 g(x) ? 2x ? 1, 求 f[g(x)]的表达式. , x ? 1 ? ?1 ? x 2
解: (对于分段函数的问题,应遵循“分段处理”的原则) 当|2x+1|≤1 即-1≤x≤0 时,f[g(x)]=2|x|-2, 当|2x+1|>1 即 x>0 或 x<-1 时,f[g(x)]=
?2 | x | -2, ? ∴f[g(x)]= ? 1 ? ? 4 x2 ? 4 x ? 2 -1? x ? 0 x ? 0或x ? -1
1 。 4x ? 4x ? 2
2

(三)、课堂练习: 1、已知 f(x+1)=x2-2x,求 f(x)及 f(x-2). (答案:f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15) 2、已知 f( x +1)=x+2 x +1,求 f(x)的解析式。 (答案:f(x)=x2(x≥1) ) 3、已知 f(x)为多项式,f(x+1)+f(x-1)=2x2-2x+4.求 f(x)的解析式。 (答案:f(x)=x2-x+1)
1 4、已知 f(x)=2x+a, ? (x)= (x2+3),且 ? [f(x)]=x2+x+1,则 a= 4
x

.

5、如果函数 f(x)满足方程 af ( x) ? f ( 1 ) ? ax , x ? R且x ? 0, a 为常数,且 a≠ ? 1,求 f(x)的解析 式。
1 1 1 解:∵af(x)+f( )=ax ① 将 x 换成 , 换成 x 得, x x x

a ax 2 ? 1 a a (ax 2 ? 1) x af( )+f(x)= ② 由①、②得 f(x)= 2 ? 2 ( x ? R且x ? 0). x x a ?1 (a ? 1) x

2 ? ?( x ? 1) 6、设函数f ( x) ? ? ? ?4 - x - 1

x? 1 x? 1

求使得f ( x) ? 1的自变量x的取值范围 .

(答案:0≤x≤10 或 x≤-2 )
7、已知函数 f(x)对任意正数 m,n 均有 f(mn)=f(m)+f(n)成立,且 f(8)=3,试求 f( 2 )的 值。
1 (答案:f( 2 )= ) 2



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