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广东省实验中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试卷_图文

2012—2013 学年(下)高二级第二学段模块考试
理科数学

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。

注意事项:

1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相

关信息填写在答题卡指定区域内。

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,

用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内

的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和

涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

X

参考公式:
一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

P

x1

x2

… xi

… xn

p1

p2 …

pi …

pn

则 E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ... ? xi pi ? ... ? xn pn .

第一部分 选择题(共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

1.若复数 2 ? ai (a ? R) 是纯虚数( i 是虚数单位),则 a 的值为(*) 1?i

A. ?2

B. ?1

C.1

D. 2

2.随机变量? 服从正态分布 N (40,? 2 ) ,若 P(? ? 30) ? 0.2 ,则 P(30 ? ? ? 50) ? (*)

A. 0.2

B. 0.4

C. 0.6

D. 0.8

3.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻,

不同的排法共有(*) A.1440 种 C.720 种

B.960 种 D.480 种

4.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体的

顶点,则在原来的正方体中(*)
A. AB / /CD

B. AB 与 CD 相交

C. AB ? CD

D. AB 与 CD 所成的角为 60?

5.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四

面都为正三角形的什么位置?(*) A.正三角形的顶点 C.正三角形各边的中点

B.正三角形的中心 D.无法确定

6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两

局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(*)

A. 1 2

B. 3 5

C. 2 3

D. 3 4

7.已知双曲线

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) ,两渐近线的夹角为 60? ,则双曲线的离心率为(*)

A. 2 3 3

B. 3

C. 2

D. 2 3 或 2 3

8.设函数 f (x) ? (x ? a)(x ? b)(x ? c) ,( a,b, c 是互不相等的常数),则

a ? b ? c 等于(*) f ?(a) f ?(b) f ?(c)

A. 0

B.1

C. 3

D. a ? b ? c

第二部分 非选择题(110 分)

二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 (一)必做题(9~13 题)

9.曲线 y ? ln x ?1在点 (e, 2) 的切线方程是 * .

10.随机变量 ξ 的分布列如右图,其中 a,b, 1 成等差数列, 2
则 E(? ) ? * .

ξ -1 0 1
1
Pab
2

11.

? ?

2x3

?

?

1 x

?7 ? ?

的展开式中常数项的值是

*

.(用数字作答)

12.[ n ] 表示不超过 n 的最大整数.

S1 ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? 3 S2 ? [ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] ? 10 S3 ? [ 9] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ?[ 15] ? 21

那么 S5 ? * . 13.已知抛物线 y2 ? 2 px 的焦点 F 与双曲线 x2 ? y2 ? 1的右焦点重合,抛物线的准线与 x
79
轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且| AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为 * .
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题. 请先用 2B 铅笔把答题卡上对应题号的 标号涂黑,然后把答案填在横线上.) 14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,已知点

A(1, 3? ) 和 B(2, ? ) ,则 A 、 B 两点间的距离是 * .

4

4

15.(几何证明选讲选做题) 如图,A,B 是两圆的交点,AC 是小圆的直径,D 和 E 分别是

CA 和 CB 的延长线与大圆的交点,已知 AC=4,BE=10,且 BC=AD,则 DE= * .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 先后掷两颗均匀的骰子,问 (1)至少有一颗是 6 点的概率是多少? (2)当第一颗骰子的点数为 3 或 6 时,求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率.

17.(本小题满分 14 分)
甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮,甲投篮一次命中的概率为 1 ,乙投篮一次命中的概 2
率为 2 .每人各投 4 个球,两人投篮命中的概率互不影响. 3
(1)求甲至多命中 1 个球且乙至少命中 1 个球的概率;
(2)若规定每投篮一次命中得 3 分,未命中得 ? 1分,求乙所得分数? 的概率分布和数学期
望.

18.(本小题满分 14 分)
如图,在圆锥 PO 中,已知 PO ? 2 ,⊙O 的直径 AB ? 2 ,
C 是 AB 的中点, D 为 AC 的中点. (1)证明:平面 POD ? 平面 PAC ; (2)求二面角 B ? PA ? C 的余弦值.

19.(本小题满分 12 分)

数列{an}满足 Sn ? 2n ? an (n ? N*) .

(1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,由此猜想通项公式 an ,并用数学归纳法证明此猜想;

(2)若数列{bn}满足 bn

?

2n?1 an

,求证:

1 b1

?

1 b2

?

? 1 ?5. bn 3

20.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 C1 :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 与直线 x ?

y ?1?

0 相交于

A、B 两点.

(1)若椭圆的半焦距 c ? 3 ,直线 x ? ?a 与 y ? ?b 围成的矩形 ABCD 的面积为 8,

求椭圆的方程;

(2)若 OA?OB

?

0 ( O 为坐标原点),求证:

1 a2

?

1 b2

?

2;

(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率 e 满足 3 ? e ? 2 ,求椭圆长轴长的取值范围.

3

2

21.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? 1? ln(x ?1) (x ? 0) . x
(1)函数 f (x) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(2)当 x ? 0 时, f (x) ? k 恒成立,求整数 k 的最大值; x ?1
(3)试证明: (1?1? 2) ? (1? 2 ?3) ? (1? 3? 4) ? ?[1? n(n ?1)] ? e2n?3 ( n ? N* ).

2012—2013 学年(下)高二级第二学段模块考试·理科数学

答案及说明

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 D

C

A

DB

D

D

A

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

9. y ? 1 x ?1 e

10. 1 3

11.14

12. 55

13. 32

14. 5

15. 6 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.

16.(本小题满分 12 分)

解:(1)设 x 为掷第一颗骰子得的点数, y 为掷第二颗骰子得

的点数,则所有可能的事件与点 (x, y) 建立对应如图,共

有 6 ? 6 ? 36 种 不 同 情 况 , 它 们 是 等 可 能

的.

…………2 分

设事件 A 为“至少有一颗是 6 点”,则事件 A 共包含 11

种不同情况,

…………3 分

∴P(A)=3116.

…………5 分

(2)设事件 B 为“第一颗骰子的点数为 3 或 6”,事件 C 为

“两颗骰子的点数之和大于 8”,由图可知

则 P(B) ? 12 ? 1 , P(BC) ? 5

36 3

36

…………9 分

5

? P(C

|

B)

?

P(BC) P(B)

?

36 1

?

5 12

…………12 分

3
17.(本小题满分 14 分) 解:(1)设“甲至多命中 1 个球””为事件 A,“乙至少命中 1 个球”为事件 B,……1 分

由题意得,

P( A)

?

(1)4 2

?

C41

(

1 2

)1

(

1 2

)3

?

1 16

?

4 16

?

5 16

P(B) ? 1? (1? 2)4 ? 1? 1 ? 80

3

81 81

∴甲至多命中 2 个球且乙至少命中 2 个球的概率为

…………5 分

P( AB) ? P( A)P(B) ? 5 ? 80 ? 25 16 81 81
(2)乙所得分数? 的可能取值为 ?4, 0, 4,8,12 ,

…………6 分 …………7 分



P(?

?

?4)

?

(1)4 3

?

1, 81

P(?

?

0)

?

C41

(

2 3

)(

1 3

)3

?

8 81



P(?

?

4)

?

C42

(

2 3

)2

(

1)2 3

?

24 81



P(?

?

8)

?

C43

(

2 3

)3

(

1) 3

?

32 81



P(?

? 12)

?

( 2 )4 3

?

16 81

…………11 分

? 分布列如下:

? ?4 0

4

8

12

1 8 24 32 16
P
81 81 81 81 81

…………13



E? ? ?4 ? 1 ? 0 ? 8 ? 4 ? 24 ? 8 ? 32 ? 12 ? 16 ? 20

81 81 81 81

81 3

18.(本小题满分 14 分)

解法 1:(1)连结 OC ,因为 OA ? OC , D 是 AC 中点,所以 AC ? OD

又 PO ? 底面⊙O, AC ? 底面⊙O,所以 AC ? PO ,

因为 OD, PO 是平面 POD 内的两条相交直线,所以 AC ? 平面 POD

…………14 分
…………2 分 …………4 分

而 AC ? 平面 PAC ,所以平面 POD ? 平面 PAC . (2)在平面 POD 中,过 O 作 OH ? PD 于 H , 由(1)知,平面 POD ? 平面PAC, 平面 POD 平面 PAC = PD
所以 OH ? 平面 PAC ,又 PA ? 面 PAC ,所以 PA ? OH. 在平面 PAO 中,过 O 作 OG ? PA 于 G ,连接 HG , OG OH ? O ? PA ? 平面 OGH , 从而 PA ? HG ,故 ?OGH 为二面角 B ? PA ? C 的平面角

…………6 分 …………9 分

在 Rt?ODA中,OD ? OA?sin 45? ? 2 . 2

在 Rt?POD中,OH ?

PO ?OD

?

2? 2 2?

10 .

PO2 ? OD2

2? 1

5

2

在 Rt?POA中,OG ? PO ?OA ? 2 ?1 ? 6 . PO2 ? OA2 2 ?1 3

10 在 Rt?OHG中,sin ?OGH ? OH ? 5 ? 15 .
OG 6 5

3

所以 cos ?OGH ? 1? sin2 ?OGH ? 1? 15 ? 10 . 25 5

…………13 分

故二面角 B ? PA ? C 的余弦值为 10 . 5

…………14 分

解法 2:如图所示,以 O 为坐标原点, OB, OC, OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴, z 轴建立

空间直角坐标系,则

O(0, 0, 0), A(?1, 0, 0), B(1, 0, 0),C(0,1, 0), P(0, 0, 2) ,

D(? 1 , 1 , 0) 22

…………2 分

(1)设 n1 ? (x1, y1, z1) 是平面 POD 的一个法向量,

则由

n1

? OD

?

0,

n1

? OP

?

0

,得

??? ?

1 2

x1

?

1 2

y1

?

0,

?? 2z1 ? 0.

所以 z1 ? 0, x1 ? y1 ,取 y1 ? 1 得 n1 ? (1,1, 0)

设 n2 ? (x2 , y2 , z2 ) 是平面 PAC 的一个法向量,

则由 n2

? PA

?

0, n1

?

PC

?

0

,得

??? ?

x2

?

?? y2 ?

2z2 ? 0, 2z2 ? 0.

所以 x2 ? ? 2z2 , y2 ? 2z2 ,取 z2 ? 1 ,得 n2 ? (? 2, 2,1)

因为 n1 ? n2 ? (1,1, 0) ? (? 2, 2,1) ? 0 ,所以 n1 ? n2 从而平面 POD ? 平面 PAC

(2)因为 y 轴 ? 平面 PAB ,所以平面 PAB 的一个法向量为 n3 ? (0,1, 0)

………4 分
…………6 分 …………8 分

由(1)知,平面 PAC 的一个法向量为 n2 ? (? 2, 2,1)

设向量 n2 和 n3 的夹角为? ,则 cos? ?

n2 ? n3 n2 ? n3

?

2? 5

10 5

…………13 分

所以二面角 B ? PA ? C 的余弦值为 10 . 5

…………14 分

19.(本小题满分 12 分)

解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1. 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=32.

…………1 分

当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=74.

当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=185.

…………2 分

由此猜想 an=22nn--11(n∈N*).

…………4 分

现用数学归纳法证明如下:

①当 n=1 时, a1=212-0 1=1,结论成立.

②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,结论成立,即 ak=22k-k-11,那么当 n=k+1 时,

ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1, ∴2ak+1=2+ak,∴ak+1=2+2 ak=2+222k-k-11=2k+21-k 1,故当 n=k+1 时,结论成立,

由①②知猜想 an=22nn--11(n∈N*)成立.

…………8 分

(2)由(1)知,bn

? 2n?1 an

?

2n?1

?

2n ?1 2n?1

?

2n

?1, 1 bn

?

1. 2n ?1

…………9 分

解法 1:当 n ? 3 时,? 1 bn

?

1? 2n ?1

(2n

2n?1 ?1 ?1)(2n?1 ?1)

2n?1

1

1

? (2n ?1)(2n?1 ?1) ? 2n?1 ?1 ? 2n ?1

………10



?1? 1 ? b1 b2

? 1 ?1? 1 ? (1 ? 1) ? (1 ? 1 ) ?

bn

3 3 7 7 15

?5? 1 ?5. 3 2n ?1 3

?

(

1 2n?1

?1

?

1 2n ?

) 1

………12 分

解法 2:当 n ? 2 时, (1 )n ? (1)2 , 22

?1 bn

?

1 2n[1? (1)n ]

?

1 2n[1? ( 1)2 ]

?

1 3

?

1 2n?2

2

2



………10

?1? 1 ? b1 b2

?

1 bn

?1?

11 3 (20

?

1 21

?

1 22

?

?

1 2n?2

)

?

1

?

1

?

1?

1 2n?1

3 1? 1

?

1

?

2 3

(1

?

1 2n?1

)

?

5. 3

2

………12



解法 3:

当 n ? 3 时, 1 bn

?

1? 2n ?1

2n

1 ? 2n?2

?

1 2n?2 (22

? 1)

…………10 分

?1? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1

b1 b2

bn 2 ?1 22 ?1

2n ?1

?

1 2 ?1

?

1 22 ?1

?

1 23 ?1

?

1 24 ?1

?

?

1 2n ?1

11

1

1

1

?

? 2 ?1

22

? ?1

23

?

2

?

24

? 22

?

? 2n ? 2n?2

?

1 2 ?1

?

1 22 ?

1

(1

?

1 2

?

1 22

?

?

1 2n?2

)

?

1?

1

1? ?

1 2n?1

2 ?1 22 ?1 1? 1

1 11

?

2

?1

?

22

? ?1 1?

1

? 5 .………12 分 3

2

2

20.(本小题满分 14 分)

解:(1)由已知得:

?a2 ?

?

b2

?

3

? 4ab ? 8

所以椭圆方程为: x2 ? y2 ? 1 4

解得

?a

? ?

b

? ?

2 1

( 2 ) 设 A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) , 由

(a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x? a2(1? b2 ) ? 0

…………3 分

…………4 分

?b2 x 2 ? a 2y 2 ? a 2b 2 ?





?x ? y ?1? 0

由 ? 2a2b2 (a2 ? b2 ?1) ? 0 ,得 a2 ? b2 ? 1

? x1

?

x2

?

2a2 a2 ? b2

, x1x2

?

a2 (1? b2 ) a2 ? b2

…………7 分

由 OA ? OB ? 0 ,得 x1x2 ? y1 y2 ? 0

…………8 分

∴ 2x1x2 ? (x1 ? x2 ) ?1 ? 0

即 a2 ? b2 ? 2a2b2 ? 0 ,故 1 ? 1 ? 2 a2 b2

…………9 分

(3)由(2)得 b2

?

a2 2a2 ?1

由 e2

?

c2 a2

?

a2 ? b2 a2

,得 b2

? a2

? a2e2 ,

∴ 2a2 ? 1? 1 1? e2

…………12 分

由 3 ? e ? 2 得 5 ? a2 ? 3 ,∴ 5 ? 2a ? 6

3

24

2

所以椭圆长轴长的取值范围为[ 5, 6]

…………14 分

21.(本小题满分 14 分)

[ 1 ? ln(x ?1)]

解:(1)由题 x ? 0, f ?(x) ? ? x ?1 x2

?0

故 f (x) 在区间 (0, ??) 上是减函数

…………2 分 …………3 分

(2)当 x ? 0 时, f (x) ? k 恒成立,即 k ? x ?1[1? ln(x ?1)] 在 (0, ??) 上恒成立, …4 分

x ?1

x

取 h(x) ? x ?1[1? ln(x ?1)] ,则 h' (x) ? x ?1? ln(x ?1) ,

x

x2

…………5 分

再取 g(x) ? x ?1? ln(x ?1), 则 g?(x) ? 1? 1 ? x ? 0, x ?1 x ?1

…………6 分

故 g(x) 在 (0, ??) 上单调递增

而 g(1) ? ? ln 2 ? 0, g(2) ? 1? ln 3 ? 0, g(3) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0

故 g(x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 a ? (2,3) ,?a ?1? ln(a ?1) ? 0 …………8 分

故当 x ? (0, a) 时, g(x) ? 0 , h?(x) ? 0 ,当 x ? (a, ??) 时 g(x) ? 0 , h?(x) ? 0

故 h(x)min

?

h(a)

?

a ?1?1? ln(a ?1)? ?
a

a ?1? (3, 4),

?k

?

3

故 kmax ? 3

……10 分

(3)由(2)知 1? ln(x ?1) ? 3 (x ? 0) ? ln(x ?1) ? 3x ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3

x

x ?1

x ?1

x ?1 x

令 x ? n(n ?1), ln[1? n(n ?1)] ? 2 ? 3 ? 2 ? 3( 1 ? 1 ) ,

n(n ?1)

n n?1

…………12 分

又 ln[(1?1? 2) ? (1? 2 ?3) ? (1? 3? 4) ? ? (1? n(n ?1))]

? ln(1?1? 2) ? ln(1? 2? 3) ? ? ln(1? n? (n ?1))

? 2n ? 3[(1? 1) ? (1 ? 1) ? ? (1 ? 1 )]

2 23

n n ?1

? 2n ? 3(1? 1 ) ? 2n ? 3 ? 3 ? 2n ? 3

n ?1

n ?1

即 (1?1? 2) ? (1? 2 ?3) ? (1? 3? 4) ? ? (1? n(n ?1)) ? e2n?3

…………14 分



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