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2014-2015(1)A练习答案


一、单项选择题(本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分,将答案填在下面对应的空格中)
1. D ;2. C ;3. D ;4. D ;5. A ; 6. B ;7. A .

1.设某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为 0.6,他连续射击直到命中为止,则 射击次数为 3 的概率是( (A) 0.63 (B) 0.62 ? 0.4
) .
2 (C) C3 0.42 ? 0.6

(D) 0.42 ? 0.6
) .

2.设 ( X , Y ) 的联合概率密度为

?kxy,0 ? x ? 2,0 ? y ? 1 f (x, y) ? ? , 则 k=( 0, 其他 ?
(C) 1 (D) 3

(A)

1 3

(B)

1 2

3. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X , Y 分别服从参数为 1,4 的泊松分布,则 D(2 X ? Y ) ? ( ) .

(A) -2

(B) 0

(C)

5

(D) 8 ) .

4.设 A 与 B 相互独立, P( A) ? 0.2, P( B) ? 0.4 ,则 P( A | B) ? ( (A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.6

(D) 0.8 )

5. 已知随机变量 X 的概率密度为 f X ( x), 令 Y ? 2 X ,则 Y 的分布函数 FY ( y) 是( (A)

?

y 2 ??

f X ( x )dx

(B)

1 y fX ( ) 2 2

(C)

?

y

??

f X ( x)dx

(D)

1 f X ( y) 2

6. 设 X1,X2,X3,为总体 X 的样本, T ? k=( (A)
1 6
).

1 1 X 1 ? X 2 ? kX 3 ,已知 T 是 E ( X ) 的无偏估计,则 2 6

(B)

1 3

(C)

4 9

(D)

1 2

7 .设随机变量 X 与 Y 相互独立且同服从正态分布 N (0, 4) , 从中分别抽取样本 X1 , X 2 和

Y1 , Y2 ,则统计量 U ?
(A)
t (2)

X1 ? X 2 Y12 ? Y22
(B)

?(

). (C)
t (4)

? 2 (2)

(D)

?2( 4 )

概率论与数理统计 (A 卷) 第 1 页

共 7页

二、填空题(本题共 7 小题,每空格 3 分,共 24 分,将答案填在下面对应的空格中) 1. 65/81
; 2.

8

; 3.

0.4



0.2
; 7.



4.13/25(或 0.52) ; 5. 1/4(或 0.25) ; 6.

? ? 1

X ?3

.

1 1.某地一年内发生旱灾的概率为 ,则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率____. 3

2.设随机变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布,则 E ( X 2 ) = 3.设随机变量 X 的分布律为

. ,b =__ . . .

, a , b 为常数,且 E ( X ) ? 0 ,则 a ?

4.设随机变量 X ? B(3, 0.2), 且随机变量 Y ?

X (3 ? X ) , 则 P{Y ? 0} ? 2

5.设随机变量 X ? N (1,1) ,应用切比雪夫不等式估计概率 P ? X ? E (X ) ≥ 2?≤

1 ? 1 1) , X1,X 2 为来自总体 X 的一个样本, ? 的估计量 ?1 ? X 1 ? X 2 , 6 .设总体 X ~N (?, 2 2 2 ? 1 ?2 ? X 1 ? X 2 ,则方差较小的估计量是______. 3 3

7.设总体 X 服从区间 [a, a ? 6] 上的均匀分布, X1 , X 2 ,?, X n 是从总体 X 中抽取的一个简单 随机样本,则参数 a 的矩估计是 .

三、 (8 分)设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为 1:4,假设高速客 车因发生故障需要停驶检修的概率为 0.002,一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为 0.01. (1)求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率; (2)已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修,问这辆客车是高速客车的可能 性有多大? 解:设某条国道上行驶高速客车为 B1 ,一般客车为 B2 ,该国道上有客车发生故障为 A ,则

B1, B2 是样本空间的一个完备组.
(1) P( A) ? P( B1 ) P( A | B1 ) ? P( B2 ) P( A | B2 )
? 0.2 ? 0.002 ? 0.8 ? 0.01 ? 0.0084

概率论与数理统计 (A 卷) 第 2 页

共 7页

(2) P( B1 | A) ?

P( B1 A) P( B1 ) P( A | B1 ) 0.2 ? 0.002 1 ? ? ? P( A) P( A) 0.0084 21

四、 (8 分)某煤矿一天的产煤量 X (以吨计)的均值为 1.5 吨,标准差为 0.2 吨,设各天产 煤量相互独立且同分布, Y 表示一个月 ( 按 30 天计 ) 的产煤量 . 试用中心极限定理计算
P{Y ? 46} 的近似值.

解:由题意可得 E(Y ) ? 30 ?1.5 ? 45, D(Y ) ? 30 ? 0.22 ? 1.2 由中心极限定理,
Y ? 45 近似 ? N (0,1) 1.2 ( 0 . 9?1 2 9 ) 0.8194

Y ?4 5 4? 6 45 P{ Y ? 4 6 ? } P { ? ?} ? 1.2 1.2

五、 (10 分)设二元随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度函数

?6 y, 0 ? y ? x ? 1 f (x, y) ? ? , 其它 ? 0,
(1) 求关于 X 、 Y 的边缘概率密度 f X ( x) 、 fY ( y) ,并由此判断 X 与 Y 是否相互独立? (2) 求 E ( X ) , E (Y ) , E ( XY ) ,并由此判断 X 与 Y 是否互不相关? 解:(1) X 的边缘概率密度 f X ( x) 当 x ? 0 或 x ? 1 时, f X ( x) ? 0 , 当 0 ? x ? 1 时, f X ( x) ? ?
? ??

f ( x, y)dy ? ? 6 ydy ? 3x 2
0

x

?3x 2 , 0 ? x ? 1 所以 f X ( x) ? ? ? 0, 其它
Y 的边缘概率密度 fY ( y)

当 y ? 0 或 y ? 1 时, fY ( y) ? 0 , 当 0 ? y ? 1 时, fY ( y) ? ?
? ??

f ( x, y)dx ? ? 6 ydx ? 6 y(1 ? y)
y

1

?6 y(1 ? y),0 ? y ? 1 所以 fY ( y) ? ? 0, 其它 ?
X 与 Y 不相互独立. 因为不恒成立 f ( x, y) ? f X ( x) f( Y y) ,所以
概率论与数理统计 (A 卷) 第 3 页 共 7页

(2) E ( X ) ? ?

3 4 ? ? 1 x 1 1 E (Y ) ? ? ? yf ( x, y )dxdy ? ? dx ? y ? 6 ydy ? ? 2 y 3dx ? ?? ?? 0 0 0 2
? ?? ??

?

?

xf ( x, y )dxdy ? ? dx ? x ? 6 ydy ? ? 3x 3dx ?
0 0 0

1

x

1

E ( XY ) ? ?

?

?? ??

?

?

xyf ( x, y )dxdy ? ? dx ? xy ? 6 ydy ? ? 2 x 4 dx ?
0 0 0

1

x

1

2 5

因为 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ,所以 X 与 Y 不是不相关. 六、 (9 分)设总体 X 的分布律为:
X p 1 2 3

?

2

2? (1 ? ? )

(1 ? ? )2

? 其中 0 ? ? ? 1 . 现观测结果为{1,2,2,1,2,3},求 ? 的极大似然估计 ?
解: L ?? ? ? [? 2 ]2 ?[2? (1 ?? )]3 ? (1 ?? )2 ? 8? 7 (1 ?? )5 ,
ln L(? ) ? ln8 ? 7ln ? ? 5ln(1 ? ? )
5 ? 7 ? ?ln L ?? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 0, 得 ?? 7. 故 ? 12



??

7 , 12

七、 (10 分) .为测量一山脉离开海平面的高度,共测了 9 次,得 9 次的平均高度 x ? 3863 米, 标准差 s ? 25.8 米. 假设样本来自总体 N (?, ? 2 ), ?, ? 2 均未知, 求置信度为 95%的 ? 和 ? 2 的置信区间. (小数点后面保留四位有效数字) 解: ? 2 未知 ? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为 ( X ?
S t? (n ? 1)) n 2

x ? 3863, s ? 25.8, t? (9 ?1) ? t0.025 (8) ? 2.3060
2

(X ?

S 25.8 t? (n ? 1)) ? (3863 ? ? 2.3060) ? (3843.1684,3882.8316) n 2 9

所以 ? 的置信度为 95%的置信区间为 (3843.1684,3882.8316) .

? 未知 ? 2 的 1 ? ? 的置信区间为 (

(n ? 1) S 2 (n ? 1) S 2 , ) 2 ?? (n ? 1) ? 2 ? (n ? 1)
2 1? 2

s 2 ? 665.64, ? 2? /2(9 ? 1) ? ? 20.025(8) ? 17.535

? 21?? /2(9 ? 1) ? ? 20.975(8) ? 2.180
概率论与数理统计 (A 卷) 第 4 页 共 7页

(

(n ? 1) S 2 (n ? 1) S 2 8 ? 665.64 8 ? 665.64 , 2 )?( , ) ? (303.6852, 2442.7156) 2 ?? (n ? 1) ? ? (n ? 1) 17.535 2.180
2 1? 2

从而 ? 2 的置信度为 95%的置信区间为 (303.6852, 2442.7156) . 八、 (10 分)按照质量要求,某果汁中的维生素含量应该超过 50(单位:毫克),现随机抽取 9 件同型号的产品进行测量,得到结果如下: 45.1,47.6,52.2,46.9,49.4,50.3,44.6,47.5,48.4 根据长期经验和质量要求,该产品维生素含量服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,在 ? ? 0.01 下检验 该产品维生素含量是否显著低于质量要求? 解:因为 x ? 48 ? 50 ,所以设原假设 H 0 : ? ? ?0 ? 50 , H1 : ? ? ?0 ? 50 检验统计量, T ?

X ? ?0 , S n

拒绝域, T ? ?t? (n ? 1)

s ? 2.4145,

t? (n ? 1)? t0.01 (8) ? 2.8965

W ? { T ? ?2.8965}

t?

x ? ?0 48 ? 50 ? ? ?2.4850 ? ?2.8965 s / n 2.4145 / 9

因为 t ? W ,故接受 H 0 即在显著性水平 ? ? 0.01 下,认为该产品维生素含量并不显著低于质量要求.

数理统计公式表及数据 一.正态总体均值、方差置信水平为 1 ? ? 的双侧置信区间 待估参数 其他参数 置信区间
z? ) n 2 2 S S (X ? t? (n ? 1), X ? t? (n ? 1)) n 2 n 2 n (X ?

? ?

? 2 已知 ? 2 未知
? 未知

?

z? , X ?

?

?2

(

(n ? 1) S 2 (n ? 1) S 2 , ) 2 ?? (n ? 1) ? 2 ? (n ? 1)
2 1? 2

二.正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为 ? )
概率论与数理统计 (A 卷) 第 5 页 共 7页

原假设 H 0

备择假设 H1

检验统计量

拒绝域

? ? ?0 ? ? ?0 ? ? ?0 ( ? 2 未知)

? ? ?0 ? ? ?0 ? ? ?0

T ? t? (n ? 1)
X ? ?0 T? S n

T ? ?t? (n ?1)

T ? t? (n ?1)
2

2 ? 2 ? ?0

2 ? 2 ? ?0

2 ? 2 ? ?? ? n ?1? 或

? ??
2

2 2

2 ? 2 ? ?0 2 ? 2 ? ?0

2 ? 2 ? ?0 2 ? 2 ? ?0

?2 ?

(n ? 1) S
2 ?0

2

1?

?
2

? n ?1?

2 ? 2 ? ?? ? n ?1?

? 2 ? ?12?? ? n ?1?

( ? 未知) 三.数据:
?(1.645) ? 0.95 , ?(1.96) ? 0.975 , ?(0.9129) ? 0.8194 , ?(1.25) ? 0.8944,

t0.025 (9) ? 2.2622 ,

t0 . 0 ( ? 2 . 3 0 6 0t,0.05 (9) ? 1.8331 , 28 5 ) t0.01 (8) ? 2.8965

, t0 . 0(58 ) ? 1.85 95

t0.01 (9) ? 2.8214

t0.005 (9) ? 3.2498

t0.005 (8) ? 3.3554
2 ?0 ? 2.700 . 9( 79 5 )

2 2 2 (9) ? 19.023 , ?0.975 ?0.025 (8) ? 17.535 , ?0,025 (8) ? 2.180 ,

概率论与数理统计 (A 卷) 第 6 页

共 7页



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