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高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理

学习目标 1.了解余弦定理的推导过程, 掌握余弦定理及其推论. 2.能利用余弦定理解三角形, 并判断三角形的形状. 3.能利用正、余弦定理解决 有关三角形问题.

思维脉络

12

1.余弦定理
文字语言 符号语言
推论

三角形中任何一边的平方等于其他两边的

平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦

的积的两倍

在△ABC 中, a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C

在△ABC 中,

cos A=b2+c2-a2,

cos

B=

c

2

+2ab2c-b

2
,

2ac

cos

C=a

2

+b 2 2ab

-c

2

12
名师点拨
由余弦定理可得,在△ABC中, cos A=2+22-2.
若A为锐角,则cos A>0,有b2+c2-a2>0,即b2+c2>a2;若A为直角,则cos A=0,有b2+c2a2=0,即b2+c2=a2;若A为钝角,则cos A<0,有b2+c2-a2<0,即b2+c2<a2.
因此可得:A为锐角?a2<b2+c2; A为直角?a2=b2+c2; A为钝角?a2>b2+c2.

12

练一练1

在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=

.

解析:由条件已知三角形的两边及其夹角,故可以直接利用余弦定理求得边AC,
1 即AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+4-2×1×2× 2 =3,所以AC= 3.
答案: 3.

12
2.利用余弦定理及其推论解三角形的类型 (1)已知三角形的三边求三角; (2)已知三角形的两边及夹角求第三边及两角.

12

练一练 2

在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,

则 B=

.

解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos

B=2+22-2

=

12+33-7=-

3
2.

∵0<B<π,

∴B=56π.

答案:56π

探究一

探究二

探究三

探究四

探究一已知三边解三角形
已知三角形的三边求三角时,一般利用余弦定理的推论先求出两角,再根据三角形 内角和定理求出第三个角.
利用余弦定理的推论求角时,应注意余弦函数在(0,π)上是单调的.当余弦值为正 时,角为锐角;当余弦值为负时,角为钝角.

探究一

探究二

探究三

探究四

典型例题1
已知△ABC中,a∶b∶c=2∶ 6∶ (+13),求△ABC的各内角度数.
思路分析:根据三边比例关系设出三边,然后用余弦定理的推论求出两个内角, 再用三角形内角和定理求出第三个内角.

探究一

探究二

探究三

探究四

解:由 a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1),
令 a=2k,b= 6k,c=( 3+1)k(k>0).

由余弦定理的推论,得

cos

2
A=

+2-2 2

=26×+(6×3+( 13)+2-14) = 22,∴A=45°.

cos

B=2+22-2

=

4+( 3+1)2-6 2×2×( 3+1)

=

12,

∴B=60°.

∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.

探究一

探究二

探究三

探究四

变式训练 1 在△ABC 中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角



.

解析:由题意知

c>b>a,则角

C

最大.∵cos

C=2

+2-2 2

=

32+52-72 2×3×5

=

-3105=-12,且

0<C<π,∴C=23π.

答案:23π

探究一

探究二

探究三

探究四

探究二已知两边及一角,解三角形
在三角形中,已知两边及一角有两种情况,一是已知两边及夹角;二是已知两边及 一边所对的角.
若已知角是两边的夹角,先直接利用余弦定理求另一边,然后根据三边的大小关 系,利用正弦定理解三角形;若已知角是两边中一边的对角,有两种解题思路:一种 思路是利用余弦定理列出方程,运用解方程的方法求出另一边长;另一种思路是直 接运用正弦定理,先求角再求边.

探究一

探究二

探究三

探究四

典型例题2
在△ABC中,根据下列条件解三角形:
(1)a=2 3,c= 6 + 2,B=45°; (2)a=1,b= 3,A=30°.
思路分析:(1)利用余弦定理求边b,然后用正弦定理或余弦定理求A和C; (2)方法一:用余弦定理得关于c的方程,求出c,再利用余弦定理求B和C; 方法二:先用正弦定理求出B,再求角C和边c.

探究一

探究二

探究三

探究四

解:(1)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=(2 3)2+( 6 +

2)2-2×2 3×( 6 + 2)×cos 45°=8,

∴b=2 2.

∵cos

A=

2+2-2 2

=

8+( 6+ 2)2-(2 2×2 2×( 6+

3)2 2)

=

12,

∴A=60°,C=180°-(A+B)=75°.

探究一

探究二

探究三

探究四

(2)方法一:由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,
∴1=3+c2-2 3 × 23c, ∴c2-3c+2=0,解得 c=1 或 2.
当 c=1 时,由 a=1,得 C=A=30°,
∴B=180°-A-C=120°; 当 c=2 时,cos C=2+22-2 = 12+33-4=0,∴
C=90°,B=180°-A-C=60°.

探究一

探究二

探究三

探究四

方法二:由正弦定理sin = sin,得 sin B=sin =

3×sin30° 1

=

23.

∵a<b,∴A<B,∴30°<B<180°,∴B=60°或 120°.

当 B=60°时,C=180°-A-B=90°,则 c= 2 + 2=2;

当 B=120°时,C=180°-A-B=30°,则 c=a=1.

温馨提示

已知两边及一边的对角解三角形有两种解法,可根据情况选择合适的解法,但无 论用哪一种解法,都要注意不能漏解.

探究一

探究二

探究三

探究四

变式训练 2 在△ABC 中,若 a=5,b=3,C=120°,则 sin A 的

值为

.

解析:由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos

C=25+9-2×5×3×

-

1 2

=49,故 c=7.由正弦定理,得 sin A=sin =



3 2

7

=

5143.

答案:5143

探究一

探究二

探究三

探究四

探究三判断三角形的形状
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正、余弦定理将已知 条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三 角形的形状,也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三 角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断三角形的形状.

探究一

探究二

探究三

探究四

典型例题3
在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形 状.
思路分析:要判断△ABC的形状,可利用正、余弦定理将角的关系化为边的关系, 也可将边的关系化为角的关系.

探究一

探究二

探究三

探究四

解法一:(角化边)

由正弦定理,得ssiinn = , 由 2cos Asin B=sin C,

得 cos A=2ssiinn = 2.

又由余弦定理的推论,得 cos A=2+22-2,


2

=

2+22-2,

探究一

探究二

探究三

探究四

即c2=b2+c2-a2,∴a=b. 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab, ∴(a+b)2-c2=3b2. ∴4b2-c2=3b2,∴b=c. ∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.

探究一

探究二

探究三

探究四

解法二:(边化角) ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B). 又∵2cos Asin B=sin C, ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin(A-B)=0. 又∵A与B均为△ABC的内角,∴A=B. 又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 得(a+b)2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab, 即a2+b2-c2=ab,
1 由余弦定理,得cos C= 2∵0°<C<180°, ∴C=60°, 又∵A=B,∴△ABC为等边三角形.

探究一

探究二

探究三

探究四

方法总结
余弦定理和正弦定理一样,都是围绕着三角形进行边角互换的,所以在有关三角 形的题目中,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能利 用两个定理的信息.一般地,如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式,要考虑用 余弦定理;反之,若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式,则大多用正弦定理;若 是以上特征不明显,则要考虑两个定理都有可能用.

探究一

探究二

探究三

探究四

变式训练3

在△ABC中,若acos A+bcos B=ccos C.试判断△ABC的形状.

解:由余弦定理,得 a·2+22-2+b·2+22-2=c·2+22-2,
等式两边同乘以2abc,得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2), 整理化简得a4+b4-2a2b2=c4, ∴(a2-b2)2=c4, ∴a2-b2=c2或b2-a2=c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2,故△ABC是以A(或B)为直角的直 角三角形.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究四易错辨析
易错点 忽略三角形的条件致错
典型例题4
在钝角三角形ABC中,a=1,b=2,c=t,且C是最大角,求t的取值范围. 错解:∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角,∴C>90°,
∴cos C<0.∴cos C=2+22-2<0,
∴a2+b2-c2<0,即1+4-t2<0,
∴t2>5.∵t>0,∴t> 5,
即 t 的取值范围为( 5,+∞).

探究一

探究二

探究三

探究四

错因分析:错解忽略了两边之和大于第三边,即a+b>c这个隐含条件,导致t的取 值范围变大.
正解:∵a,b,c是三角形的三边,∴c<a+b, ∴t<1+2=3. ∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角, ∴90°<C<180°.

∴cos

C<0,∴cos

C=

2+2-2 2

=

5-2 4

<0,

∴t2>5.∵t>0,∴t> 5.

∴t 的取值范围是( 5,3).

12345

1.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B 等于( )

A.30°

B.45°

C.60°

解析:∵cos

B=2

+2-2 2

=

4+1-3 4

=

12,∴B=60°.

答案:C

D.120°

12345

2.在△ABC 中,c2-a2-b2= 3ab,则 C 等于( )

A.30°

B.45°

C.60°

解析:∵cos

C=

2+2-2 2

=

- 23=-

23,∴C=150°.

答案:D

D.150°

12345

3.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC的形状是

.

解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,

即ac=a2+c2-ac,所以(a-c)2=0,即a=c.

又因为B=60°,所以△ABC为等边三角形.

答案:等边三角形

12345

4.已知△ABC满足B=60°,AB=3,AC= ,7则BC的长等于

.

解析:设BC=x(x>0),由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,

则( 7)2=9+x2-6xcos 60°,解得x=1或x=2.

答案:1或2

12345

5.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长.

解:由余弦定理的推论,得

cos

A=22+·2-2

=

92+82-72 2×9×8

=

23.

设AC边上的中线长为x,由余弦定理,得

x2=

2

2+AB2-2·2·AB·cos A=42+92-2×4×9×23=49,

∴x=7.

即AC边上的中线长为7.



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