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必修5好题源第一章解三角形(2)正弦定理和余弦定理的应用


中国好题源 必修 5 第一章解三角形(2)正弦定理和余弦定理的应用
1、测量距离问题 【教材原题】课本 11 例题 1 例 1 如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? .求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m).

分析: 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题, 题目 条件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知 角算出 AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边. 解:根据正弦定理,得
AC AB = , sin ?ABC sin ?ACB
55 sin 75? = 55sin 75? ≈ 65.7(m). sin(180? ? 51? ? 75?) sin54?

AB = AC sin ?ACB = 55sin ?ACB =
sin ?ABC sin ?ABC

答:A、B 两点间的距离为 65.7 米. 【高考题或模拟题】 (2011· 上海高考)在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标点 C, 若∠ CAB=75° , ∠ CBA=60° , 则 A、C 两点之间的距离为________千米. 【解析】 在△ABC 中,∠CAB=75° ,∠CBA=60° , ∴∠ACB=180° -75° -60° =45° , 又 AB=2,由正弦定理,得 故 AC= 6. 【答案】 6 AC AB = , sin 60° sin 45°

(2012· 潍坊模拟 1)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸 边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A, B 两点的距离为( )

A.50 2 m

B.50

3 m

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C.25 2 m 【解析】∠B=180° -45° -105° =30° .

25 2 D. m 2

AB 50 2 在△ABC 中,由 = ,得 AB=100× =50 2 m. sin 45° sin 30° 2 【答案】A

(2012· 潍坊模拟 2)如图,一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 处,之后 它继续沿正北方向匀速航行,上午 10∶00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它 的北偏东 75° 处,且与它相距 8 2n mile.此船的航速是________n mile/h. 【解析】 设航速为 v n mile/h 1 在△ABS 中,AB= v,BS=8 2,∠BSA=45° , 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得: = ,∴v=32. sin 30° sin 45° 答案: 32

对比分析: 1.考查知识点:书本题、2011· 上海高考、2012· 潍坊模拟 1、 2012· 潍坊模拟 2 共同考查知 识点是利用正弦定理解三角形、测量距离问题.2012· 潍坊模拟 2 同时考查根据距离求速度 问题. 2.考查的方式; 书本题是解答题;2011· 上海高考、2012· 潍坊模拟 2 是填空题; 2012· 潍 坊模拟 1 是选择题. 3.命题的思路:书本题、2011· 上海高考、2012· 潍坊模拟 1、 2012· 潍坊模拟 2 通过对利 用正余弦定理解三角形的考查, 考查学生对正余弦定理的掌握情况及应用能力, 体现了数形 结合、函数与方程思想. 4.进一步挖掘的价值:利用正弦定理、余弦定理解决与测量有关的实际问题是高考的热 点,题目选择、填空、解答都有,形式多样.主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题 的能力, 常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考查. 此部分内容能较好地考察学生的阅 读理解能力,数形结合、函数与方程思想,因此应积极备考. 2、测量高度问题 【教材原题】课本 13 页例题 4 例 4 如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40? ,在塔底 C 处测得 A

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处的俯角 ? =50 ? 1? .已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m).

解:在 ? ABC 中, ? BCA=90 ? + ? , ? ABC =90 ? - ? , ? BAC= ? - ? , ? BAD = ? .根据正 弦定理,

BC sin(90? ? ? ) BC cos ? BC AB = , 所以 AB = = . sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(90 ? ? ? )
BC cos ? sin ? ,将测量数据代入上式,得 BD = sin(? ? ? )

在 t ? ABD 中,得 BD =ABsin ? BAD=

27.3 cos 50?1? sin 54?40? 27.3 cos 50?1? sin 54?40? = ≈177 (m),CD =BD -BC≈177-27.3=150(m). sin 4?39? sin(54?40? ? 50?1?)
答:山的高度约为 150 米. 【高考题或模拟题】 (2013· 郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹 射高度:A、B、C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 2 两地相距 100 米,∠BAC=60° ,在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒.在 A 地测得该 17 仪器至最高点 H 时的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度(声音的传播速度为 340 米/秒)

【分析】 用|AC|表示|BC|, 在△ ABC 中, 根据余弦定理列方程求|AC|, 在△ ACH 中, 求|CH|. 【解析】 由题意,设|AC|=x,

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则|BC|=x-

2 × 340=x-40, 17

在△ ABC 中,由余弦定理得: |BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|· |CA|· cos∠ BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得 x=420. 在△ ACH 中,|AC|=420,∠ CAH=30° , ∠ ACH=90° , 所以|CH|=|AC|· tan∠ CAH=140 3. 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米. 对比分析: 1.考查知识点:书本题、2013 郑州质检共同考查知识点是利用正余弦定理解三角形,测量 高度问题,书本题同时考查诱导公式,考查仰角、俯角的概念;2013 郑州质检考查画出示 意图能力. 2.考查的方式:书本题、2013 郑州质检均为解答题. 3.命题的思路:书本题、2013 郑州质检通过对利用正弦定理解三角形的考查,考查学生 对正余弦定理的掌握情况及对实际问题的分析与解决能力, 体现了数形结合、 函数与方程思 想. 4. 进一步挖掘的价值: 从近两年高考试题看, 高考对正、 余弦定理的实际应用考察较少, 以利用正弦、余弦定理,解决与测量、几何计算有关的实际问题为主要考点,但此部分内容 能较好地考察学生的阅读理解能力, 分析问题和解决问题的能力及函数与方程的思想, 因此 应积极备考. 3、测量角度问题 【教材原题】课本 15 页例题 6 例 6 如图, 一艘海轮从 A 出发, 沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后 从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到 达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? ,距离精确到 0.01n mile)

分析:首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ? ABC,即可用余弦定理算出

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AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB. 解:在 ? ABC 中, ? ABC=180 ? - 75 ? + 32 ? =137 ? ,根据余弦定理, AC= AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC = 67.52 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137? ≈113.15. 根据正弦定理,
BC = sin ?CAB AC AC sin ?ABC

54.0 sin137 ? sin ? CAB = BC sin ?ABC = ≈0.3255,所以 ? CAB =19.0 ? ,75 ? - ? CAB 113.15

=56.0 ? . 答:此船应该沿北偏东 56.1 ? 的方向航行,需要航行 113.15n mile. 【高考题或模拟题】 (2012· 潍坊模拟)海事救护船 A 在基地的北偏东 60° ,与基地相距 100 3海里,渔船 B 被困 海面, 已知 B 距离基地 100 海里, 而且在救护船 A 正西方, 则渔船 B 与救护船 A 的距离是( A.100 海里 C.100 海里或 200 海里 B.200 海里 D.100 3海里 )

【解析】设基地位于 O 处,根据正弦定理可知 1 2 OB OA sin A 3 = ,∴ sin B= · OA= × 100 3= . sin A sin B OB 100 2 ∴ B=60° 或 120° . 当 B=60° 时,∠ BOA=90° ,A=30° , BA=2OB=200(海里), 当 B=120° 时,A=∠ AOB=30° , ∴ OB=AB=100(海里), 故渔船 B 与救护船 A 的距离是 100 海里或 200 海里.故选 C. 【答案】C (2012· 黄岗模拟)如图,一船在海上由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前进 4 km 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角.已知该岛周围 3.5 km 范围内有

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暗礁,现该船继续东行. (1)若 α=2β=60° ,问该船有无触礁危险?如果没有,请说明理由;如果有,那么该船 自 B 处向东航行多少距离会有触礁危险? (2)当 α 与 β 满足什么条件时,该船没有触礁危险? 【解析】(1)作 MC⊥ AB,垂足为 C,由已知 α=60° ,β=30° ,

所以∠ ABM=120° ,∠ AMB=30° , 所以 BM=AB=4,∠ MBC=60° , 所以 MC=BM· sin 60° =2 3<3.5, 所以该船有触礁的危险. 设该船自 B 处向东航行至点 D 有触礁危险, 则 MD=3.5,CD= MD2-MC2= 3.52- =0.5(km), 所以,BD=BC-DC=1.5(km),所以,该船自 B 处向东航行 1.5 km 会有触礁危险. (2)设 CM=x,在△ MAB 中,由正弦定理得, AB BM = , sin ∠ AMB sin ∠ MAB 即 4 BM 4cos α = ,BM= , α-β cos α α-β 32

4cos αcos β 而 x=BM· sin ∠ MBC=BM· cos β= , α-β 所以,当 x>3.5, 4cos αcos β 7 cos αcos β 7 即 > ,即 > 时,该船没有触礁危险. 2 α-β α-β 8

对比分析: 1.考查知识点:书本题、2012 潍坊模拟、2012 黄岗模拟共同考查知识点是利用正余弦定 理解三角形、测量角度问题.2012 黄岗模拟同时考查诱导公式、三角恒等变换. 2.考查的方式:书本题、2012 黄岗模拟是解答题; 2012 潍坊模拟是选择题. 3.命题的思路:书本题、2012 潍坊模拟、2012 黄岗模拟通过对利用正弦、余弦定理解三 角形的考查,考查学生对正余弦定理的掌握情况及应用能力,同时考查了数形结合、分类讨 论的思想. 4. 进一步挖掘的价值: 从近两年高考试题看, 高考对正、 余弦定理的实际应用考察较少,

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主要考查利用正余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题, 常与同角三角函数的关系、 诱 导公式、和差角公式相联系;题型多样,属中、低档题目.但此部分内容能较好地考察学生的 阅读理解能力,分析问题和解决问题的能力及数形结合、函数与方程的思想,因此应积极备 考.

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