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(考试必备)安徽省野寨中学、岳西中学2011届高三联考数学文

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整理日期 2011 年 2 月 24 日星期四

整理人 小セ

安徽省野寨中学、岳西中学 2011 届高三上学期联合考试

数学(文)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 1.设集合 A、B 是全集 U 的两个子集,则 A A.充分不必要条件 C.充要条件 2.已知 z 是纯虚数, A.2i

? ≠

B 是 ( CU A) ∪ B = U 的





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( C.-i
2

z+2 是实数,那么 z 等于 1-i
B.i D.-2i ) D. ?2



3.若 3sin α + cos α = 0 ,则 A.

10 3

1 的值为( cos α + sin 2α 5 2 B. C. 3 3

4.把函数 y = sin x ( x ∈ R )的图象上所有点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的 ( )

π
3

个单位长度,再把所得图象

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2 x π ), x∈R 2 6 2π D. y = sin(2 x + ) , x∈R 3
B. y = sin( + ( ) C.11 D.12 ( )

A. y = sin(2 x ? C. y = sin(2 x +

π π
3

), x∈R ), x∈R
B.10

3

5.等差数列 { n }中, a1 = 1, a 3 + a 5 = 14 ,其前 n 项和 S n = 100 ,则 n 等于 a A.9 6.已知曲线 y = A.3
x2 1 - 3 ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 2

B.2

C.1

D.

1 2

7.在坐标平面上,不等式组 ?

?y ≥ x ?1 所表示的平面区域的面积为 ? y ≤ ?3 | x | +1





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A. 2 8.已知双曲线 C: 的半径是 A. ab

B.

3 2

C.

3 2 2

D.2

x2 y2 = 1 (a > 0, b > 0 ) ,以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆 a 2 b2

( B. a 2 + b2 D. b C.a (
1 2



9.圆 x + y - 2x - 1 = 0 关于直线 2x - y + 3 = 0 对称的圆的方程是
2 2



A. (x + 3)2 + (y - 2)2 =

1 2

B. (x - 3)2 + (y + 2)2 =

C. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 2

D. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 2

10 . 已 知 | OA |= 1, | OB |=

3 , OA ? OB = 0 , 点 C 在 ∠AOB 内 , 且 ∠AOC = 300 , 设
m 等于 n

OC = mOA + nOB (m, n ∈ R ) ,则
A.
1 3

( C.
3 3



B.3

D. 3

二、填写题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.命题 “若 a > b ,则 2 a > 2 b ? 1 ”的否命题为 12.使 log 2 (? x) < x + 1 成立的 x 的取值范围是 。 。

13.已知直线 x - y - 1 = 0 与抛物线 y = ax 2 相切,则 a = 。 14.△ABC 的内角 A,B,C 的对边为 a, b, c ,若 c = 2, b = 6, B = 1200 ,则 a = 15.已知 {an } 是等比数列, a2 = 2, a 5 =
1 ,则 a1a2 4

。 。

+ a2 a3 + L + an an +1 等于

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 1 ? 2sin ( x +
2

π π π ) + 2sin( x + ) cos( x + ) .求: 8 8 8

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)函数 f ( x ) 的单调增区间。

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17. (本题满分 12 分)已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + 3bx + c(b < 0) ,且 g(x ) = f (x ) - 2 是奇函 数。 (1)求 a, c 的值; (2)求函数 f (x ) 的单调区间。

18. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 中, a1 = 1 , a n =

2n a n ?1 + n (n ≥ 2, n ∈ N * ) .且 n ?1

bn =

an + λ 为等比数列。 n

(Ⅰ) 求实数 λ 及数列 {bn

{ }、 an } 的通项公式;
A

y
P

(Ⅱ) 若 S n 为 {an } 的前 n 项和,求 S n 。

M O

F

B

x

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19. (本题满分 13 分)如图,点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 + = 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭 36 20

圆的右焦点.点 P 在椭圆上,且位于 x 轴的上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 MB ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

20. (本题满分 13 分)设实数 a < 0 , 设函数 f (x ) = a 1 - x 2 + 为 g(a ) 。 (1)设 t =
1+ x +

1+ x +

1 - x 的最大值

1 - x ,求 t 的取值范围,并把 f (x ) 表示为 t 的函数 h(t ) ;

(2)求 g(a ) 。

21. (本题满分 13 分)已知点 A (1, 0), B (0,1) 和互不相同的点 P , P2 , P3 ,L, Pn ,L ,满足 1

OPn = an OA + bn OB(n ∈ N * ) ,其中 {an }, {bn } 分别为等差数列和等比数列,O 为坐标
原点,若 P1 为线段 AB 的中点。
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(1)求 a1, b1 的值; (2)证明 {an } 的公差为 d =0,或 {bn } 的公比为 q=1,点 P , P2 , P3 ,L, Pn ,L 在同一直线 1 上; (3)若 d ≠ 0,且 q ≠ 1,点 P , P2 , P3 ,L, Pn ,L 能否在同一直线上?证明你的结论。 1

参考答案
一、选择题:1.A 10.B 2.D 3.A 4.C5.B 6.A 7 . B 8.D 9.C

二、填写题:11.若 a ≤ b ,则 2 a ≤ 2 b ? 1 . 13.1/4 14. 2 15.
32 (1 - 4- n ) 3

12. (-1,0)

三、解答题:

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18.解 (Ⅰ)当 n ≥ 2, n ∈ N * 时, a n =

2n a n ?1 + n , n ?1



an a a a = 2 n ?1 + 1 , 即 n + 1 = 2( n ?1 + 1) , 故 λ = 1 时 n n ?1 n n ?1 a1 有 bn = 2bn ?1 , 而 b1 = +1 = 2 ≠ 0 1
从而 an = n ? 2 ? n
n 2 n

∴ bn = 2 ? 2 n ?1 = 2n ,

(Ⅱ) S n = 1 ? 2 + 2 ? 2 + L + n ? 2 ? (1 + 2 + L + n) 记 则

Rn = 1 ? 2 + 2 ? 22 + L + n ? 2n 2 Rn = 1 ? 2 2 + 2 ? 23 + L + n ? 2 n +1
2 3 n n +1

相减得: ? Rn = 2 + 2 + 2 + L + 2 ? n ? 2

2(1 ? 2n ) = ? n ? 2n +1 1? 2 n2 + n ? 4 2

∴ Rn = (n ? 1)2n +1 ? 2

∴ S n = (n ? 1)2 n +1 ?

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19.解(1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P(x,y),则 AP =(x+6,y), FP =(x-4,y),
ì x2 y2 ? ? ? 36 + 20 = 1 由已知可得 í ? 2 ? ? (x + 6)(x - 4) + y = 0 ? ?

则 2x2+9x-18=0,x=

3 或 x=-6. 由于 y>0, 2

y
P

只能 x=

3 5 3 ,于是 y= . 2 2
A

∴点 P 的坐标是( (2)

3 5 3 , ) 2 2

M O

F

B

x

直 线 AP 的 方 程 是 x -

3 y+6=0. 设点 M(m,0),则 M 到直
线 AP 的距离是

m+6

2



于是

m+6

2

= m - 6 ,又-6≤m≤6,解得 m=2.

椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 d2=(x-2)2+y2=x-4x2+4+20- 由于-6≤x≤6, ∴当 x= 20.解: (1)因为 t = 所以 h(t ) =

5 2 4 9 x = (x- )2+15, 9 9 2

9 时,d 取得最小值 15 . 2
1 - x  [ 2, 2 ], 1 - x 2 =
1 2 t - 1 2

1+ x +

1 2 at + t - a, t  [ 2, 2 ] 2 1 1 线是抛物线 h(t ) = at 2 + t - a, t  [ 2, 2 ]的对称轴,又 a < 0 a 2 1  (0, 2 ],即 a ? a

(2)直 t = -

所以,当 t = 当t = 当t = -

2 ,则 g(a ) = h ( 2) = 2

2;

1 2  ( 2, 2 ],即 < a ? a 2

1 1 1 ,则 g(a ) = h (- ) = - a ; 2 a 2a

1 2 ? (2,   ),即 < a < 0 ,则 g(a ) = h (2) = a + 2 a 2

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ì ? a + 2, a > - 1 ? ? 2 ? ? ? 1 2 ? 综上,有 g(a ) = í - a ,< a ? ? 2a 2 ? ? ? 2 ? 2, a ? ? ? 2 ? ?

1 2

21.解: (1) P1 为线段 AB 的中点 ? OP1
uuu uuu r r

uuur

r uuu r r uuur uuu r 1 uuu 1 uuu OA + OB ,又 OP1 = a1OA + b1OB , 2 2
1 。 2

且 OA, OB 不共线,由平面向量的基本定理知 a1 = b1 = (2)由 OPn = an OA + bn OB (n 无N * )
uuuu r uuu r uuu r

uuuu r OPn = (an , bn ) ,

设 {an } 的公差为 d, {bn } 的公比为 q,则由于 P1, P2 , P3 , 鬃  n , L 互不相同, ,P d=0,q=1 所以不会同时成立。 若 d=0,则 an = a1 =
1 1 拮 P1, P2 , P3 , 鬃Pn , L 都在直线 x = 上; , 2 2 1 1 拮 P1, P2 , P3 , 鬃Pn , L 都在直线 y = 上; , 2 2

若 q=1,则 bn = b1 =

若 d ? 0,且 q ? 1, P1, P2 , P3 , 鬃  n , L 在同一直线上 ,P
uuuuuuu r ? Pn - 1Pn (an - an - 1, bn - bn - 1 ) 与

uuuuuuu r Pn Pn + 1 = (an + 1 - an , bn + 1 - bn ) 始终共线 ? (an

an - 1 )(bn + 1 - bn ) = (an + 1 - an )(bn - bn - 1 ) bn ) = (bn - bn - 1 ) ? q
1 ,这与 q ? 1 矛盾。

即 ? (bn + 1

所以 d ? 0,且 q ? 1, P1, P2 , P3 , 鬃  n , L 不可能在同一直线上。 ,P

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