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[推荐]高三数学(理)二轮专题复习文档:专题二数列第2讲数列求和及综合应用

黄霸字次 公,淮 阳阳夏 人也。 霸少学 律令, 喜为吏 ,武帝 末以待 诏入钱 赏官, 补侍郎 谒者, 后复入 谷沈黎 郡,补 左冯翊 二百石 卒史。 [推荐]高三数学(理)二轮专题复习文档:专题二数列第 2 讲数列求和及综合应用 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现, 通过 分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下; 2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅲ卷) 设数列 {an} 满足 a1+ 3a2 +…+ (2n -1)an = 2n. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前 n 项和. 解 (1)因为 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,① 故当 n≥2 时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),② ①-②得(2n-1)an=2,所以 an=, 又 n=1 时,a1=2 适合上式, 从而{an}的通项公式为 an=. (2)记的前 n 项和为 Sn, 由(1)知==-, ? ?2n-1-2n+1? 则 Sn=++…+? ? ? 1 1 上垂意于 治,数 下恩泽 诏书, 吏不奉 宣。太 守霸为 选择良 吏,分 部宣布 诏令, 令民咸 知上意 。霸力 行教化 而后诛 罚,务 在成就 全安长 吏。许 丞老, 病聋, 督邮白 欲逐之 ,霸曰 : “ 许丞廉 吏,虽 老,尚 能拜起 送迎, 正颇重 听,何 伤?且 善助之 ,毋失 贤者意 。 1 / 18 黄霸字次 公,淮 阳阳夏 人也。 霸少学 律令, 喜为吏 ,武帝 末以待 诏入钱 赏官, 补侍郎 谒者, 后复入 谷沈黎 郡,补 左冯翊 二百石 卒史。 =1-=. 2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2 =6,a1a2=a3. (1)求数列{an}的通项公式; (2){bn}为各项非零的等差数列, 其前 n 项和为 Sn, 已知 S2n+1=bnbn +1,求数列的前 n 项和 Tn. 解 (1)设{an}的公比为 q, 由题意知 q=a1q2,)) 又 an>0, 解得所以 an=2n. (2)由题意知:S2n+1==(2n+1)bn+1, 又 S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0, 所以 bn=2n+1. 令 cn=,则 cn=, 因此 Tn=c1+c2+…+cn =+++…++, 又 Tn=+++…++, 两式相减得 Tn=+-, 所以 Tn=5-. 考 点 整 合 1.(1)数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系,an=? (n=1), ? ?Sn-Sn-1 (n≥2). ?S1 ? (2)应用 an 与 Sn 的关系式 f(an,Sn)=0 时,应特别注意 n=1 时的 上垂意于 治,数 下恩泽 诏书, 吏不奉 宣。太 守霸为 选择良 吏,分 部宣布 诏令, 令民咸 知上意 。霸力 行教化 而后诛 罚,务 在成就 全安长 吏。许 丞老, 病聋, 督邮白 欲逐之 ,霸曰 : “ 许丞廉 吏,虽 老,尚 能拜起 送迎, 正颇重 听,何 伤?且 善助之 ,毋失 贤者意 。 2 / 18 黄霸字次 公,淮 阳阳夏 人也。 霸少学 律令, 喜为吏 ,武帝 末以待 诏入钱 赏官, 补侍郎 谒者, 后复入 谷沈黎 郡,补 左冯翊 二百石 卒史。 情况,防止产生错误. 2.数列求和 (1)分组转化求和:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若 将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分 别求和,然后再合并. (2)错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和,其中{an}, {bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然 后通过累加抵消中间若干项的方法, 裂项相消法适用于形如(其中{an} 是各项均不为零的等差数列,c 为常数)的数列. 温馨提醒 误. 3.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景, 给出数列所满足的 条件,通常利用点在曲线上给出 Sn 的表达式,还有以曲线上的切点 为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关 系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为 载体,考查最值问题、不等关系或恒成立问题. 热点一 an 与 Sn 的关系问题 【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an =5Sn+1 成立,bn=-1-log2|an|,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,cn =. 上垂意于 治,数 下恩泽 诏书, 吏不奉 宣。太 守霸为 选择良 吏,分 部宣布 诏令, 令民咸 知上意 。霸力 行教化 而后诛 罚,务 在成就 全安长 吏。许 丞老, 病聋, 督邮白 欲逐之 ,霸曰 : “ 许丞廉 吏,虽 老,尚 能拜起 送迎, 正颇重 听,何 伤?且 善助之 ,毋失 贤者意 。 裂项求和时,易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错 3 / 18 黄霸字次 公,淮 阳阳夏 人也。 霸少学 律令, 喜为吏 ,武帝 末以待 诏入钱 赏官, 补侍郎 谒者, 后复入 谷沈黎 郡,补 左冯翊 二百石 卒史。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 An,并求出 An 的最值. 解 (1)因为 an=5Sn+1,n∈N*, 所以 an+1=5Sn+1+1, 两式相减,得 an+1=-an, 又当 n=1 时,a1=5a1+1,知 a1=-, 所以数列{an}是公比、首项均为-的等比数列. 所以数列{an}的通项公式 an=. (2)bn=-1-log2|an|=2n-1, 数列{bn}的前 n 项和 Tn=n2, cn===-, 所以 An=1-. 因此{An}是单调递增数列, ∴当 n=1 时,An 有最小值 A1=1-=;An 没有最大值. 探究提高 1.给出


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