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2.1空间点、线、面之间的位置关系第2课时


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复习回顾
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那 么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还 有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共 点的一条直线. 公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一 个平面.

1.点P在直线l上,而直线l在平面 ? 内,用符号 表示为( C )
A.P ? l , l C. P ? l, l

??

??

B. D.

P ? l, l ??

P ? l, l ? ?
? ? AB

2.下列推理,错误的是( C ) A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? B. A ?? , A ? ? , B ?? , B ? ? ? ? C. l ? ? , A ? l ? A ? ?

A, B, C ?? , A, B, C ? ? , 且A, B, C不共线 ? ?与? 重合 D.

讲授新课
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面.
图形语言:
符号语言: A ? l ? 有且只有一个平面? , 使A ?? , l ? ?

推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有 一个平面.
已知:直线 l,点 A ? l

求证:过直线 l 和点 A有且只有一个平面.
证明:在直线l上任取两点B、C 点 A 不在直线 l上 ? A、B、C 不共线

?

B

?

C


唯一

? A、B、C有一个平面? B ?? , C ?? ? l ?? B、C 在l上
? 经过直线 l 和点 A 的平面一定经过点 A、B、C
经过不共线的三点 A、B、C的平面只有一个

? 经过直线 l 和点 A 的平面的平面只有一个. ? 过直线 l 和点 A有且只有一个平面

推论3:经过两条平行的直线有且只有一个 平面.
图形语言:

?

b

a

符号语言:

a // b ? 有且只有一个平面? , 使a ? ? , b ? ?

【例1】已知: A ? l , B ? l ,C ? l , D ? l 求证:直线 AD、BD、CD 共面.
证明: D ? l

思考 : 如何证明若干个点或 ? 直线 l 与点 D 可以确定一个平面 ? 线在同一个平面内 ? 又 A?l
? A ??


? D ??

A

?

D?
B

?

C

?

? AD ? ?

同理: BD ? ? , CD ? ?

? 直线 AD、BD、CD 在同一个平面? 内
即直线AD、BD、CD共面.

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个 平面.
图形语言:

a
b

符号语言:

a b ? P ? 有且只有一个平面? , 使a ? ? , b ? ?

推论3:经过两条平行的直线有且只有一个平面.
已知:直线 a,b且

a // b

求证:过 a,b 有且只有一个平面. 证明: 由平行线的定义知 a,b在同一平面内

? a, b有平面?
设点A为直线a上任一点 则点A在直线b外

?

b

a ?A

? 点A和直线b在过a,b的平面? 内
又由推论1,过点A和直线b的平面只有一个

?

过 a,b 有且只有一个平面.

问题研讨
D1

如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D, 的 1 P 为棱 BB 1 中点,画出由 A 三点所确定的平面 ?与 1 , C1 , P 长方体表面的交线
C1 B1
D P? B

D1

C1 B1

A1

A1
C
A D P?

C
B

A

作法:连结 A1 P

,它们就是 平面与长方体表面的交线
PC1
A1C1

思考:若 P为 AB 的中点呢?

1.空间四点A、B、C、D共面但不共线,则下列结论成 立的是( B ) A.四点中必有三点共线. B.四点中有三点不共线. C.AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条平行. D.直线AB与CD必相交. 2.下列命题中,①有三个公共点的两个平面重合;②梯 形的四个顶点在同一平面内;③三条互相平行的直线必 共面;④两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其 中正确命题个数是(B ) A.0 B. 1 C.2 D.3 3.空间五个点,没有三点共线,但有四点共面,这样的 五个点 可 以确定平面数最多为(D ) A.3 B.5 C.6 D.7 4.直线l1//l2,在l1上取三点,在l2上取两点,由这五个 1 个平面. 点能确_____

1.平面的基本性质的三 个推论.

2.三个推论的应用.

1.已知:直线a//b,c与a,b都相交,过a,c作平面? 求证: b ? ? .

? ? ? l , a ? ? , 且a与l不平行,在 ? 内作直线b,使 2.如图, a,b相交.

?ABC 在平面? 外,其三边所在直线分别与? 交于P、Q、 3.如图,

R三点是否共线,并说明理由.


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