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1.1.2余弦定理(一)


余弦定理( 1.1.2 余弦定理(一)
(一)教学目标 知识与技能: 1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两 类基本的解三角形问题。 2.过程与方法 过程与方法: 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两 类基本的解三角形问题, 情态与价值: 3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定 理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重、 (二)教学重、难点 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 (三)教学设想 复习旧知 运用正弦定理能解怎样的三角形? 已知三角形的任意两角及其一边, ①已知三角形的任意两角及其一边 已知三角形的任意两边与其中一边的对角, ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角, 创设情景] [创设情景] 问题 1:如果已知三角形的两边及其夹角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状 完全确定的三角形。 从量化的角度来看,如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角? 问题 2:如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边? 即:如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ∠ C,求边 c ? 探索研究] [探索研究] 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 如图 1.1-5,设 CB = a , CA = b , AB = c ,那么 c = a ? b ,则

A

b

c

c = c ?c = a ? b a ? b = a ? a + b ? b ? 2a ? b 2 2 = a + b ? 2a ? b
从而

2

(

)(

)
C

a

B

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cosC a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A

(图 1.1-5)
b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B

同理可证

余弦定理: 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 即: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A

b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cosC

思考 3:你还有其它方法证明余弦定理吗?(两点间距离公式,三角形方法) 思考 4:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求 出一角?

(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

b2 + c 2 ? a 2 a 2 + c 2 ? b2 b2 + a 2 ? c 2 cos B = cosC = 2bc 2ac 2ba 余弦定理及其推论的基本作用是什么? 思考 5:余弦定理及其推论的基本作用是什么? 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系, 思考 6:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? 平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系 (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 900 ,则 cosC = 0 ,这时 c 2 = a 2 + b 2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析] [例题分析] cos A =
例 1.在 ? ABC 中,已知 a = 2 3 , c = 6 + 2 , B = 600 ,求 b 及 A ⑴解:∵ b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B = (2 3) 2 + ( 6 + 2) 2 ? 2 ? 2 3 ?( 6 + 2) cos 450 = 12 + ( 6 + 2) 2 ? 4 3( 3 +1) = 8 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵cos A = ∴ b = 2 2.

b 2 + c 2 ? a 2 (2 2) 2 + ( 6 + 2 ) 2 ? (2 3) 2 1 = = , 2bc 2 2× 2 2 × ( 6 + 2)
又∵ 6 + 2 > 2.4 +1.4 = 3.8,

∴ A = 600.

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A = sin B = b 2 2
2 3 < 2×1.8 = 3.6,

∴ a < c ,即 00 < A < 900 ,

∴ A = 600.

评述:解法二应注意确定 A 的取值范围。 在解三角形的过程中,求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理 正弦定理也可用余弦定理, 思考 7。在解三角形的过程中,求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理,两种方法有什么利弊 呢? 例 2.在 ? ABC 中,已知 a =134.6cm , b = 87.8cm , c =161.7cm ,解三角形 解:由余弦定理的推论得: cos A = cos B =

b 2 + c 2 ? a 2 87.82 +161.7 2 ?134.62 = ≈ 0.5543, 2bc 2×87.8×161.7 c 2 + a 2 ? b 2 134.62 +161.7 2 ? 87.82 = ≈ 0.8398, 2ca 2×134.6×161.7

A ≈ 56020′ ; B ≈ 32053′ ;

C =1800 ? ( A + B) ≈1800 ? (56020′ + 32053′) = 90047′.
、 [随堂练习]第 8 页练习第 1(1)(2)题。 随堂练习] 课堂小结] [课堂小结] (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。 课后作业 ①课后阅读:课本第 5--6 页 ②课时作业:第 11 页[习题 1.1]A 组第 3 题。



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