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新教材高中数学北师大版必修五达标练习:第1章 §2-2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 Word版含解析

(新教材)北师大版精品数学资料
[A 基础达标] 1.下列命题: ①数列 6,4,2,0 是公差为 2 的等差数列; ②数列 a,a-1,a-2,a-3 是公差为-1 的等差数列; ③等差数列的通项公式一定能写成 an=kn+b 的形式(k,b 为常数); ④数列{2n+1}是等差数列. 其中正确命题的序号是( A.①② C.②③④ ) B.①③ D.③④

解析:选 C.②③④正确,①中公差为-2. 2. 已知{an}是等差数列, a1 与 a2 的等差中项为 1, a2 与 a3 的等差中项为 2, 则公差 d=( A.2 C.1 3 B. 2 1 D. 2 )

解析:选 C.因为{an}是等差数列,a1 与 a2 的等差中项为 1,a2 与 a3 的等差中项为 2,所以 a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得 a3-a1=2d=4-2,解得 d=1. 3.若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列{dan}是( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 d2 的等差数列 D.公差为 4d 的等差数列 解析:选 C.由于 dan-dan-1=d(an-an-1)=d2(n≥2,n∈N+),故选 C. 4.若一个等差数列的首项 a1=1,末项 an=41(n≥3),且公差为整数,则项数 n 的取值个数 是( A.6 C.8 ) B.7 D.9 )

40 解析:选 B.由 an=a1+(n-1)d,得 41=1+(n-1)d,解得 d= .又 d 为整数,n≥3,则 n n-1 =3,5,6,9,11,21,41,共 7 个.故选 B.

1 5.已知等差数列{an}的首项 a1= ,第 10 项是第一个比 1 大的项,则公差 d 的取值范围是 25 ( ) 8 B.d< 25 8 3 D. <d≤ 75 25 8 A.d> 25 8 3 C. <d< 75 25

1 解析:选 D.设{an}的通项公式为 an= +(n-1)d, 25

?a10>1, ?25+9d>1, 8 3 由题意得? 即? 解得 <d≤ . 75 25 1 ?a9≤1, +8d≤1,

1

?25

6. 已知数列{an}是等差数列, 若 a4+a7+a10=15, 2a6=a3+7, 且 ak=13, 则 k=____________. 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 所以 a4+a7+a10=15,即 a1+6d=5,① 2a6=a3+7,即 a1+8d=7,②

? ?a1=-1, 联立解①②组成的方程组得? ? ?d=1,
所以 an=n-2,又因为 ak=13, 令 k-2=13.所以 k=15. 答案:15
? 1 ? 7.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列?a +1?为等差数列,则 a5=________. ? n ?

1 1 1 解析:由题意 , , 成等差数列, a3+1 a5+1 a7+1 1 1 1 7 所以 2× = + ,解得 a5= . 5 a5+1 2+1 1+1 7 答案: 5 8.已知 a,b,c 成等差数列,那么二次函数 y=ax2+2bx+c(a≠0)的图像与 x 轴的交点有 ________个. 解析:因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c, 又 Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,

所以二次函数的图象与 x 轴的交点有 1 或 2 个. 答案:1 或 2 9. 若等差数列{an}的公差 d≠0 且 a1, a2 是关于 x 的方程 x2-a3x+a4=0 的两根, 求数列{an} 的通项公式.

? ?a1+a2=a3, 解:由题意知,? ?a1a2=a4, ? ? ? ?2a1+d=a1+2d, ?a1=2, 所以? 解得? ? ? ?a1(a1+d)=a1+3d. ?d=2,
所以 an=2+(n-1)×2=2n. 故数列{an}的通项公式 an=2n. 10.已知函数 f(x)= 3x ,数列{xn}的通项由 xn=f(xn-1)(n≥2 且 n∈N+)确定. x+3

?1? (1)求证:?x ?是等差数列; ? n?

1 (2)当 x1= 时,求 x2 017. 2 3xn-1 1 xn-1+3 1 1 解:(1)证明:因为 xn=f(xn-1)= (n≥2 且 n∈N+),所以 = = + , x 3 n xn-1+3 3xn-1 xn-1 1 1 1 所以 - = (n≥2 且 n∈N+), xn xn-1 3
?1? 所以?x ?是等差数列. ? n?

n-1 n+5 1 1 1 (2)由第一问知 = +(n-1)× =2+ = . xn x1 3 3 3 2 017+5 2 022 1 所以 = = . x2 017 3 3 3 所以 x2 017= . 2 022 [B 能力提升]

11.(2018· “江淮十校”联考)古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十 等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得 金三斤持出; 中央三人未到者, 亦依等次更给. 问: 各得金几何及未到三人复应得金几何?” 则该问题中未到三人共得金( )

37 A. 斤 26 C.2 斤

49 B. 斤 24 83 D. 斤 26

解析:选 D.由题意可知等差数列{an}中

?a1+a2+a3=4 ? ? , ? ?a7+a8+a9+a10=3 ? ?3a1+3d=4 即? , ?4a1+30d=3 ?
7 83 解得 d=- ,所以 a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d= .故选 D. 78 26 12.首项为-24 的等差数列{an},从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围是________.

? ?a9=-24+8d≤0, 解析:设等差数列的公差为 d,则通项公式 an=-24+(n-1)d,由? ?a10=-24+9d>0, ?
8 解得 <d≤3, 3 8 ? 即公差的取值范围是? ?3,3?. 8 ? 答案:? ?3,3? 13.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+1. (1)求证:数列{an-2n}为等差数列; (2)设数列{bn}满足 bn=2log2(an+1-n),求{bn}的通项公式. 解:(1)证明:(an+1-2n+1)-(an-2n)=an+1-an-2n=1(与 n 无关),故数列{an-2n}为等差 数列,且公差 d=1. (2)由第一问可知, an-2n=(a1-2)+(n-1)d=n-1, 故 an=2n+n-1, 所以 bn=2log2(an+1-n)=2n. 14.(选做题)若数列{bn}对于 n∈N+,都有 bn+2-bn=d(d 为常数),则称数列{bn}是公差为 d
?4n-1,n为奇数 ? 的准等差数列.例如 cn=? ,则数列{cn}是公差为 8 的准等差数列.设数列 ?4n+9,n为偶数 ?

{an}满足:a1=a,对于 n∈N+,都有 an+an+1=2n.

(1)求证:数列{an}为准等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)证明:因为 an+an+1=2n(n∈N+),① 所以 an+1+an+2=2(n+1),② ②-①得 an+2-an=2(n∈N+), 所以数列{an}是公差为 2 的准等差数列. (2)因为 a1=a,an+an+1=2n(n∈N+), 所以 a1+a2=2×1,即 a2=2-a. 因为 a1,a3,a5,…是以 a 为首项,2 为公差的等差数列,a2,a4,a6,…是以 2-a 为首项, 2 为公差的等差数列, n ? 所以当 n 为偶数时,an=2-a+? ?2-1?×2=n-a, 当 n 为奇数时,an=a+?

?n+1 ? ?×2=n+a-1. ? 2 -1?

?n+a-1,n为奇数 ? 所以 an=? . ? ?n-a,n为偶数



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