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2017_2018学年高中数学第一章集合与函数1.3.2奇偶性第2课时奇偶性的应用课件新人教A版必修1_图文


第一章 1.3.2 奇偶性 第2课时 奇偶性的应用 学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式. 3.理解函数的奇偶性的推广——对称性. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 用奇偶性求解析式 思考 函数f(x)在区间[a,b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x,y) 有什么关系? 答案 点(x,y)满足y=f(x). 答案 梳理 一般地,求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式,该 等式同时满足两个条件: ①定义域符合要求; ②图象上任意一点均满足该式. 特别地,如果知道函数的奇偶性和一个区间 [a ,b]上的解析式,想求对 称区间[ - b ,- a]上的解析式,那么就可以设出关于原点对称区间[- b , -a]上任一点(x,y),通过关于原点(或y轴)的对称点(-x,-y)(或(-x, y))满足的关系式间接找到(x,y)所满足的解析式. 知识点二 奇偶性与单调性 思考 1 2 观察偶函数y=x 与奇函数y= 性,你有何猜想? x 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调 答案 偶函数y=x2在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相反;奇 函数y=1 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相同. x 答案 梳理 一般地,若函数f(x)为奇函数,则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b] 和[-b,-a]上具有相同的单调性;若函数 f(x)为偶函数,则f(x)在关 于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性. 知识点三 奇偶性的推广 思考 对于定义域内任意 x ,若 f( - x) =- f(x) ,则函数 f(x) 的图象关于 (0,0)对称,那么若f(1-x)=-f(1+x),函数f(x)的图象又有什么 特点? ?x1+x2 ? ? 2 =1, 设 1-x=x1,1+x=x2,则有? ?f?x1?+f?x2? = 0 , ? 2 ? 答案 即点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))关于点(1,0)对称. 答案 梳理 一般地,对于定义域内任意x, (1) 若f(a -x) =2b -f(a +x) ,则f(x) 图象关于点 (a ,b) 对称 .当a =b =0 时,即为奇函数定义. (2)若f(a-x)=f(a+x),则f(x)图象关于直线x=a对称,当a=0时,即 为偶函数定义. 题型探究 类型一 用奇偶性求解析式 命题角度1 已知区间[a,b]上的解析式,求[-b,-a]上的解析式 例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求当x<0 时,f(x)的解析式. 解 设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当x<0时,f(x)=-x-1. 解答 反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x,然后把 x 转化为 -x,此时- x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数 或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式. 跟踪训练1 已知y=f(x)是定义在 R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x- x2.求y=f(x)的解析式. 解 设x<0,则-x>0,因为f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=2x+x2. 因为y=f(x


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