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2017_2018学年高中数学第一章集合与函数1.3.2奇偶性第2课时奇偶性的应用课件新人教A版必修1_图文

第一章 1.3.2 奇偶性 第2课时 奇偶性的应用 学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式. 3.理解函数的奇偶性的推广——对称性. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 用奇偶性求解析式 思考 函数f(x)在区间[a,b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x,y) 有什么关系? 答案 点(x,y)满足y=f(x). 答案 梳理 一般地,求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式,该 等式同时满足两个条件: ①定义域符合要求; ②图象上任意一点均满足该式. 特别地,如果知道函数的奇偶性和一个区间 [a ,b]上的解析式,想求对 称区间[ - b ,- a]上的解析式,那么就可以设出关于原点对称区间[- b , -a]上任一点(x,y),通过关于原点(或y轴)的对称点(-x,-y)(或(-x, y))满足的关系式间接找到(x,y)所满足的解析式. 知识点二 奇偶性与单调性 思考 1 2 观察偶函数y=x 与奇函数y= 性,你有何猜想? x 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调 答案 偶函数y=x2在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相反;奇 函数y=1 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相同. x 答案 梳理 一般地,若函数f(x)为奇函数,则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b] 和[-b,-a]上具有相同的单调性;若函数 f(x)为偶函数,则f(x)在关 于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性. 知识点三 奇偶性的推广 思考 对于定义域内任意 x ,若 f( - x) =- f(x) ,则函数 f(x) 的图象关于 (0,0)对称,那么若f(1-x)=-f(1+x),函数f(x)的图象又有什么 特点? ?x1+x2 ? ? 2 =1, 设 1-x=x1,1+x=x2,则有? ?f?x1?+f?x2? = 0 , ? 2 ? 答案 即点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))关于点(1,0)对称. 答案 梳理 一般地,对于定义域内任意x, (1) 若f(a -x) =2b -f(a +x) ,则f(x) 图象关于点 (a ,b) 对称 .当a =b =0 时,即为奇函数定义. (2)若f(a-x)=f(a+x),则f(x)图象关于直线x=a对称,当a=0时,即 为偶函数定义. 题型探究 类型一 用奇偶性求解析式 命题角度1 已知区间[a,b]上的解析式,求[-b,-a]上的解析式 例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求当x<0 时,f(x)的解析式. 解 设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当x<0时,f(x)=-x-1. 解答 反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x,然后把 x 转化为 -x,此时- x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数 或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式. 跟踪训练1 已知y=f(x)是定义在 R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x- x2.求y=f(x)的解析式. 解 设x<0,则-x>0,因为f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=2x+x2. 因为y=f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0. 2 ? x ? +2x,x≤0, 所以 f(x)=? 2 ? 2 x - x ,x>0. ? 解答 命题角度2 已知一奇一偶两函数之和,求这两个函数的解析式 1 例2 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)= ,求函数f(x), x-1 g(x)的解析式. 解 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 1 由 f(x)+g(x)= . x-1 ① 1 用-x 代替 x 得 f(-x)+g(-x)= , -x-1 1 ∴f(x)-g(x)= , ② -x-1 1 x (①+②)÷ 2,得 f(x)= 2 ; (①-②)÷ 2,得 g(x)= 2 . x -1 x -1 解答 反思与感悟 1 f(x)+g(x)= 对定义域内任意x都成立,所以可以对x任意赋值,如x x-1 =-x. 因为 f(x) , g(x) 一奇一偶,才能把- x 的负号或提或消,最终得到关于 f(x),g(x)的二元方程组,从中解出f(x)和g(x). 跟踪训练2 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x,求函 数f(x),g(x)的解析式. 解 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ① ② ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 由f(x)+g(x)=2x+x2. 用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2, ∴f(x)-g(x)=-2x+x2, (①+②)÷2,得f(x)=x2; (①-②)÷2,得g(x)=2x. 解答 类型二 例3 奇偶性对单调性的影响 命题角度1 由x的取值情况推导f?x?的取值情况 设f(x)是偶函数,在区间[a,b]上是减函数,试证f(x)在区间[-b, -a]上是增函数. 证明 设x1,x2是区间[-b,-a]上任意两个值,且有x1<x2. ∵-b≤x1<x2≤-a,∴a≤-x2<-x1≤b. ∵f(x)在[a,b]上是减函数,∴f(-x2)>f(-x1). ∵f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x), ∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1). ∴f(x2)>f(x1),即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在区间[-b,-a]上是增函数. 证明


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