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高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示优化训练北师大版必修420170825357

2.6 平面向量数量积的坐标表示 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.已知向量 a=(-4,7),向量 b=(5,2),则 a·b 的值是( ) A.34 B.27 C.-43 D.-6 解析:a·b=-4×5+7×2=-6. 答案:D 2.(高 考 福 建 卷 , 文 14)在 △ABC 中 , ∠A=90° , AB =(k,1),AC =(2,3),则 k 的 值 是 ______________. 解析:由 AB 与 AC 垂直,列出关于 k 的方程,解方程即可. ∵∠A=90°,∴ AB ⊥ AC .∴ AB · AC =2k+3=0.∴k= 3 答案: 3 . 2 2 3.已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b·c)a. 解:(1)∵向量 a 与 b 同向,b=(1,2),∴a=λb=(λ,2λ). 又∵a·b=10,∴有 λ+4λ=10.解得 λ=2>0. 符合向量 a 与 b 同向的条件,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0, ∴(b·c)a=0. 4.求向量 a=(1,2)在向量 b=(2,-2)方向上的投影. 解:设 a 与 b 的夹角为 θ, 则 cosθ= ab ( 2) 12 2 10 . 10 |a| |b| 2 2 2 2 12 2 ( 2) ∴a 在 b 方向上的投影为|a|cosθ= 5 10 ( ) 2 . 10 2 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.已知平面上直线 l 的方向向量 e=( 4 5 3 ,5 ),点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O1、 A1,则 O1A1 =λe,其中 λ 等于( ) 11 11 C.2 D.-2 5 5 A. B.- 解析:将所给坐标代入公式 λ=|OA|cos〈e, OA〉,或利用特殊值. 方法一:由向量在已知向量上的射影的定义知 43 . ( , ) (1, 2) e OA 46 55 λ=|OA|cos〈e, OA〉= 5 5 2 | e | OA | 5 55 1 方法二:利用数形结合的思想,作图可得.令向量 e 过原点,故 O 与 e 方向相反.排除 A、 1A 1 C,检验 B、D 可知 D 正确. 答案:D 2.若向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180°,且|b|=3 5 ,则 b 等于( ) A.(-3,6) B.(3,-6) 解析:由题意 b 与 a 共线, C.(6,-3) D.(-6,3) 方法一:设 b=λ(-1,2),且 λ>0,有(-λ)2+(2λ)2=(3 5 )2 b=(-3,6). 方法二:由题意可知,向量 a、b 共线且方向相反,故可由方向相反排除 B、C.由共线可知 b=-3a. 答案:A 3.已知向量 a=(cosθ,sinθ),向量 b=( 3 ,-1),则|2a-b|的最大值和最小值分别是( ) A.4 2 ,0 B.4,2 2 C.16,0 D.4,0 解析:a·b=2sin( -θ),|2a-b|= 4 8 8sin( 3 4a2 a b b2 , ) 3 ∴|2a-b|的最大值为 4,最小值为 0. 答案:D 4.A、B 、C 、D 四点的坐标依次是(-1,0)、(0,2)、(4,3)、(3,1),则四边形 ABCD 为 () A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 解析:∵ AB =(1,2),DC =(1,2),∴ AB = DC .又线段 AB 与线段 DC 无公共点, ∴AB∥DC 且 四边形 ABCD 为平行四边形. 又|AB|= 5 ,|BC|= 17 ,∴|AB|≠|BC|.∴平行四边形 ABCD 不是菱形也不是正方形. 又 AB · BC =4+2=6≠0,∴AB 与 BC 不垂直.∴平行四边形 ABCD 不是矩形. 答案:D 5.已知|a|=2 13 ,b=(-2,3)且 a⊥b,则 a 的坐标为________________. 解析:设 a=(x,y),则 x2+y2=52.由 a⊥b 得-2x+3y=0. 由以上两个条件得 x 6, x 6, 4. y 4, y 答案:(6,4)或(-6,-4) 6.已知 A、B、C、D 四点的坐标分别为 A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当 m、n 满足什么条 件时,四边形 ABCD 分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D 按逆时针方 向排列)? 解:由条件知 AB =(3,3),BC =(-2,1),AD =(m-1,n),DC =(2-m,4-n). 2 (1)若四边形 ABCD 为平行四边形,则 AB = DC , ∴(3,3)=(2-m,4-n),解得 m=-1,n=1. ∴当 m=-1,n=1 时,四边形 ABCD 为平行四边形. (2)当 m=-1,n=1 时, AB =(3,3),AD =(-2,1). 则| AB |=3 2 ,|AD |= 5 ,|AB |≠| AD |.因此,使四边形 ABCD 为菱形的 m、n 不存在. (3)当 m=-1,n=1 时, AB · AD =(3,3)·(-2,1)=-3≠0,即 AB、AD 不垂直.因此使四边形 ABCD 为矩形的 m、n 不存在. (4)由(2)(3)知,使四边形 ABCD 为正方形的 m、n 不存在. (5)若四边形 ABCD 为梯形,则 DC =λ AB 或 AD =λ BC ,其中 λ 为实数,且 λ>0,λ≠1. 2m ∴ n 4 3, 3 m1 2, (λ>0,λ≠1). 或 n


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