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§2 2.2 向量的减法


2.2

向量的减法

上周日杨恒从家骑车到八里河公

园游玩, 然后再由八里河公园返
回家中,我们把八里河公园记作B


点,杨恒家记作A点,那么杨恒的
位移是多少? 怎样用向量来表示呢? AB+BA=0
A

长度相等,方向相反.
2.类比相反数的概念,我们如何定义上述两个向 量的关系? 与a 长度相等、方向相反的向量,叫作 a 的相反向量.
a 和 ?a互为相反向量. 记作: ?a,

规定:零向量的相反向量仍是零向量.即?0 ? 0.

3.类比相反数的性质,说明相反向量有哪些性质?
1. ?(?a) ? a. 2. a ? (?a) ? (?a) ? a ? 0.

3.如果 a,b 是互为相反的向量,则:
a=-b , b=-a, a ? b ? 0.

向量 a 加上 b 的相反向量,叫作 a 与 b 的差.
即 a ?b ?a ? ( ? b)

求两个向量差的运算,叫作向量的减法.

1.了解相反向量的概念. 2.掌握向量的减法,会求两个向量的减向量.(重点) 3.掌握向量减法的运算,并理解其几何意义.(难点)

探究点 向量减法 已知向量 a,b 如何作 a -b? ,
B b O a b
a -b

C

.
a

A

如图,作 OA=a,OB=b,以OA,OB为边作Y OACB,连接BA. 不难看出,向量BA 表示向量a 与 ?b 的和,也就是向量a ? b.

向量减法法则:
O

B
b

.
a

a?b
A

两个向量起点相同,则两个向量的差就是连
接两向量终点,指向被减向量终点的向量. 注 意: (1)起点相同. (2)由减向量的终点指向被减向量的终点.

(3)向量的差仍是向量.
同起点,连终点,指向被减.

练一练

(1)图中,红色有向线段表示的向量是哪两个向量的差?
a



b

(2)填空

AB - AD = DB BA - BC = CA BC - BA = OD - OA = OA - OB =

AC

AD
BA

(3)如图,

求作 b ? a.

.

r c
r b

r a



uuu r r uuu r r uuu r r r 在平面上任取一点O,作OA ? a, 作OB ? b, 则BA ? a ? b.

uur r 再作BC ? c, 并以BA和BC为邻边作Y BADC, uuu r uuu r uur r r r 则BD ? BA ? BC ? a ? b ? c.

rC c
Br b

D
r r a?b



r a



D

C

A

B

互动探究1

本题中
D 当 a,b 满足 | a |?| b | 时, C

a ? b 与 a ? b 互相垂直.
A
B

互动探究2

本题中
D C

A

B

互动探究3 本题中
D C

不可能,因为对角 线方向不同.

A

B

B

C

A

D

例4

如图,已知一点O 到平行四边形ABCD的三个顶点A,

B,C的向量分别为 a,b,c 试用向量 a,b,c 表示 OD .

D O
解:

C

A

B

OD ? OA ? AD ? OA ? BC ? OA ? OC ? OB ? a ? c ? b.

1.化简 OP-QP+PS +SP 的结果等于( B ) A. QP B. OQ C. SP D. SQ

2.化简 AB -(DB -DC -CD) 为( C )
A. AB B. BA C. AD D. DA

3. 已知△ ABC 为等腰直角三角形,∠ A = 90°,有下 列运算: ① ③
AB -AC = AB +AC ; AB -CB = AC -BC ;
AB -AC = BC -AC + CB -AB .
2 2 2



BC -BA = CB -CA ;



①②③④ . 其中正确的序号为__________

4.

D

C

A

B

1.向量的减法的定义.
2.向量减法可以看作一个向量加上 另一个向量的相反向量. 3. a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终
点的向量( a 与 b 起点相同).

才者,德之资也;德者,才之帅也.

——司马光


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