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高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程学业分层测评苏教版选修1_1

学业分层测评(六) 椭圆的标准方程 (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 1.圆 + =1 上一点 M 到一个焦点的距离为 4, 则 M 到另一个焦点的距离为________. 25 16 【解析】 设椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,不妨令 MF1=4, 25 16 由 MF1+MF2=2a=10,得 MF2=10-MF1=10-4=6. 【答案】 6 2.若 a=6,b= 35,则椭圆的标准方程是________. 【解析】 椭圆的焦点在 x 轴上时,方程为 + =1,在 y 轴上时,方程为 + = 36 35 36 35 1. 【答案】 + =1 或 + =1 36 35 36 35 x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 3.(2016?汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为 F1(-2,0), F2(2,0), P 为椭圆上的一点, 且 F1F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项.该椭圆的方程是________. 【解析】 ∵PF1+PF2=2F1F2=2?4=8,∴2a=8,∴a=4, ∴b =a -c =16-4=12,∴椭圆方程是 + =1. 16 12 【答案】 + =1 16 12 2 2 2 x2 y2 x2 y2 4.过(-3,2)点且与 + =1 有相同焦点的椭圆方程为________. 9 4 【解析】 与 + =1 有相同焦点的椭圆可设为 + =1 且 k<4,将(-3,2)代 9 4 9-k 4-k 入得:k=-6. 【答案】 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 + =1 15 10 2 x2 y2 x y 1 1 5.把椭圆 + =1 的每个点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标缩短到原来的 ,则所得 16 9 4 3 曲线方程为________. 【导学号:24830028】 【解析】 原方程化为? ? +? ? =1,所得曲线为 x +y =1. ?4? ?3? 2 2 ?x?2 ?y?2 【答案】 x +y =1 1 2 2 6.椭圆 4x +9y =1 的焦点坐标是________. 2 2 x y 1 1 1 1 5 2 2 2 2 2 【解析】 椭圆化为标准形式为 + =1,∴a = ,b = ,∴c =a -b = - = , 1 1 4 9 4 9 36 4 9 且焦点在 x 轴上,故为?± 【答案】 ?± 2 2 ? ? 5 ? ,0?. 6 ? ? ? 5 ? ,0? 6 ? 7.方程 - =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是________. 2m m-1 2m>0, ? ? x2 y2 【解析】 将方程化为 + =1,由题意得?1-m>0, 2m 1-m ? ?2m>1-m, 【答案】 2 x2 y2 1 解之得 <m<1. 3 1 <m<1 3 2 x y → → 8.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,P 为椭圆上的一点,已知PF1?PF2=0,则△F1PF2 的 25 9 面积为________. → → 2 2 2 【解析】 ∵PF1?PF2=0,∴PF1⊥PF2.∴PF1+PF2=F1F2且 PF1+PF2=2a. 又 a=5,b=3,∴c=4, ? ?PF1+PF2=64 ∴? ?PF1+PF2=10 ? 2 2 2 ① ② 2 ② -①,得 2PF1?PF2=10 -64,∴PF1?PF2=18,∴△F1PF2 的面积为 9. 【答案】 9 二、解答题 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1); (2)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等 于 2. 【解】 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以可设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), 2 0 ? ?a +b =1, ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1),∴? 0 1 ? ?a +b =1, 2 2 2 2 2 x2 y2 a b 2 ?a =4, ? ∴? 2 ?b =1, ? 2 故所求椭圆的标准方程为 +y =1. 4 x2 2 y2 x2 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),∵P(0,-10) a b 在椭圆上,∴a=10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于 2, ∴-c-(-10)=2,故 c=8,∴b =a -c =36. ∴所求椭圆的标准方程是 2 2 2 2 2 + =1. 100 36 y2 x2 8x y 10.已知椭圆 + =1 上一点 M 的纵坐标为 2. 81 36 (1)求 M 的横坐标; (2)求过 M 且与 + =1 共焦点的椭圆的方程. 9 4 8x y 8x 4 2 【解】 (1)把 M 的纵坐标代入 + =1,得 + =1,即 x =9. 81 36 81 36 ∴x=±3.即 M 的横坐标为 3 或-3. (2)对于椭圆 + =1, 焦点在 x 轴上且 c =9-4=5, 故设所求椭圆的方程为 2+ 2 9 4 a a -5 9 4 =1,把 M 点坐标代入得 2+ 2 =1, a a -5 解得 a =15.故所求椭圆的方程为 + =1. 15 10 能力提升] 1.(2016?绵阳高二检测)设 P 是椭圆 + =1 上的点,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦 16 9 点,则 PF1?PF2 的最大值是________. 【解析】 由题意知:PF1+PF2=2a=8,所以 PF1?PF2≤? 2 2 2 2 x2 y2 x2 y 2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ?PF1+PF2?2=?8?2=16,当且 ? ? ? ? 2 ? ?2? 仅当 PF1=PF2


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