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18版高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数学案苏教版选修2_2

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1.2.1
学习目标

常见函数的导数

1.能利用导数定义,求几个常见函数的导数,领悟求导数算法的基本思想 .2.
x

牢记常见函数的导数公式,并能应用公式求基本初等函数的导数.3.掌握函数 y=a (a>0,

a≠1)与 y=logax(a>0,a≠1)的求导公式及应用.

知识点一 幂函数与一次函数的导数 思考 1 由导数的几何意义能否确定 y=kx+b(k≠0)的导数.

1 1 1 2 -1 -2 思考 2 根据 x′=1, (x )′=2x, (x )′=-x 以及(x )′= x- 能归纳出幂函数 f(x) 2 2 2 =x 的导数公式吗?
n

1.(kx+b)′=k(k,b 为常数),特别地,C′=0(C 为常数). 2.(x )′=α x
α α -1

.

知识点二 基本初等函数的求导公式 思考 1 计算过程(cos π π 1 )′=-sin =- 正确吗? 6 6 2

思考 2 如何利用(ln x)′推出(logax)′?

原函数

导函数

f(x)=sin x f(x)=cos x

f′(x)=______ f′(x)=______

1

f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f(x)=ln x

f′(x)=______ f′(x)=ex f(x)=
1

xln a
1

f′(x)= x

类型一 基本初等函数求导公式的应用 例 1 求下列函数的导数: π 5 2 (1)y= x ;(2)y=sin(x+ ); 2 (3)y=2sin cos ;(4)y=log 1 x -log 1 x. 2 2
2 2

x

x

2

反思与感悟 (1)基本初等函数的求导公式是解决求函数导数问题的基本工具,适当变形, 恰当选择公式,准确套用公式是解决此类问题的关键. (2)不能直接求导的函数,应先对原函数变形化简,然后再求导运算. 跟踪训练 1 求下列函数的导函数: (1)y=x x;(2)y=2 ;(3)y=cos -sin . 2 2
-x 2

x

2

x

类型二 利用导数公式解决切线有关问题
2

1 2 例 2 (1)已知 P,Q 为抛物线 y= x 上两点,点 P,Q 横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别 2 作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的坐标为________. (2)已知两条曲线 y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处 两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.

反思与感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况: ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. (2)求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤:

跟踪训练 2 已知函数 y=kx 是曲线 y=ln x 的一条切线,则 k=________. 类型三 利用导数公式求最值问题 例 3 求抛物线 y=x 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离.
2

3

反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点 P(x0,y0)处的切线方程, 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函数图象的切线有关.解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算. 跟踪训练 3 已知直线 l: 2x-y+4=0 与抛物线 y=x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点, 试求与直线 l 平行的抛物线的切线方程,并在弧 AOB 上求一点 P,使△ABP 的面积最大.
2

1.下列结论: (1)若 y=cos x,则 y′=-sin x; (2)若 y= x,则 y′=

x
2



1 2 (3)若 f(x)= 2,则 f′(3)=- ; x 27

4

(4)若 y=e ,则 y′=y. 其中正确的结论有________个. 2.已知函数 f(x)= x,则 f′(3)=________. 3.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的范 围是________. 4.曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
x
2

x

1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数 公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y=1-2sin 的导数.因为 y=1-2sin =cos x, 2 2 所以 y′=(cos x)′=-sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化. 提醒:完成作业 1.2.1
2

x

2

x

5

答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 由导数的几何意义可得:y′=(kx+b)′=k. 思考 2 f′(x)=(x )′=nx 知识点二 思考 1 不正确.因为 cos π 3 = 为常数,其导数为 0. 6 2
n n-1

.

ln x 1 1 1 1 思考 2 (logax)′=( )′= (ln x)′= · = . ln a ln a ln a x x·ln a cos x -sin x a ln a 题型探究 5 2 例 1 解 (1)y′=( x )′=(x 5 )′ 2 2 ? = x 5 -1= x 5 . 5 5 π (2)∵y=sin(x+ )=cos x, 2 ∴y′=(cos x)′=-sin x. (3)∵y=2sin cos =sin x, 2 2 ∴y′=(sin x)′=cos x. (4)∵y=log 1 x -log 1 x=log 1 x,
2 2 2
2

x

2

2

3

x

x

∴y′=(log 1 x)′=
2

1 =- . 1 xln 2 xln 2
3 2 1

1

3 跟踪训练 1 解 (1)y′=(x x)′=(x )′= x 2 . 2 1 x -x (2)∵y=2 =( ) , 2 1 x 1 x 1 ∴y′=[( ) ]′=( ) ·ln 2 2 2 1 x =-( ) ln 2. 2

6

(3)∵y=cos -sin =cos x, 2 2 ∴y′=(cos x)′=-sin x. 例 2 (1)(1,-4) (2)解 设存在一个公共点(x0,y0)使两曲线的切线垂直, 则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为 k1=cos x0,k2=-sin x0, 要使两切线垂直, 必须 k1k2=cos x0(-sin x0)=-1, 即 sin 2x0=2,这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直. 跟踪训练 2 例3 1 e
2 2

2

x

2

x

解 设切点坐标为(x0,x0),依题意知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x 的切线

的切点到直线 x-y-2=0 的距离最短. 1 2 ∵y′=(x )′=2x,∴2x0=1,∴x0= , 2 1 1 ∴切点坐标为( , ), 2 4

∴所求的最短距离 d=

?1-1-2? ?2 4 ? ? ? 7 2
2 = 8

.

跟踪训练 3 解 设 P(x0,y0)为切点,过点 P 与 AB 平行的直线斜率 k=y′=2x0,∴k=2x0 =2,∴x0=1,y0 =1. 故可得 P(1,1),∴切线方程为 2x-y-1=0. 由于直线 l: 2x-y+4=0 与抛物线 y=x 相交于 A、B 两点,∴|AB|为定值,要使△ABP 的 面积最大,只要 P 到 AB 的距离最大,故 P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点,使△ABP 的面积 最大. 达标检测 1.3 2. 3 6 π 3π 3.[0, ]∪[ ,π ) 4 4 1 2 4. e 2
2

7



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