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第6课时离散型随机变量的均值与方差


第 7 课时

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

例 1、 (2011·福州质检)已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下, E(ξ)=6.3, a 的值为( 且 则

)

基础梳理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为

ξ P
A.5 B.6 C.7

4 0.5

a
0.1 D.8

9

b

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

变式 1:设 ξ~B(n,p),若有 E(ξ)=12,D(ξ)=4,则 n、p 的值分别为( 2 A.18, 3 1 B.16, 2 1 C.20, 6 1 D.15, 4

)

(1)均值 称 E(X)=____________________________________为随机变量 X 的均值或___________, 它反映了离散型随机变量取值的____________. (2)方差 称 D(X)=__________________________为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其 均值 E(X)的______________,其________________________为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=____________. (2)D(aX+b)=____________.(a,b 为实数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=____,D(X)=_____________________________. (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=______,D(X)=____________. 4.正态分布密度曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数 φμ, (x)=__________________________(其中实数 μ 和 σ (σ>0)为参数)的图象为正态分 σ 布密度曲线. (2)正态分布密度曲线的特点 ①曲线位于 x 轴________,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线________对称; ③曲线在________处达到峰值____________; ④曲线与 x 轴之间的面积为____; ⑤当 σ 一定时,曲线随着____的变化而沿 x 轴移动; ⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ________,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集 中;σ________,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 5.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a, (a<b), b 随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=________________________, 则称随机变量 X 服从正态分布,记作________________. (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=____________; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=____________; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=____________.

变式 2:随机变量 X 的分布列为

X P
则 E(5X+4)等于( A.15 B.11 ) C.2.2

1 0.4

2 0.3

4 0.3

D.2.3 ) 35 B.E(ξ)=3.5,D(ξ)= 12 35 D.E(ξ)=3.5,D(ξ)= 16

变式 3:设掷 1 枚骰子的点数为 ξ,则( A.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.52

C.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5

例 2、 (2011·高考天津卷)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个 黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子 里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) 求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 EX. 变式 1: 袋中有 20 个大小相同的球, 其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4). 现 从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、期望和方差; (2)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值. 变式 2:编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位,每位学生坐一个座位,设 与座位编号相同的学生的个数是 X. (1)求随机变量 X 的分布列; (2)求随机变量 X 的数学期望和方差.

考点 1

离散型随机变量的期望和方差

考点 2

均值与方差的实际应用

A.0 和 8 C.0 和 2 例 2、设 X~N(1,22),试求:

B.0 和 4 D.0 和 2

例 1、在某一有奖销售中,每 10 万份奖券中有 1 个一等奖(奖金 10000 元),2 个二等奖(每个 奖金 5000 元),500 个三等奖(每个奖金 100 元),10000 个四等奖(每个奖金 5 元),试求每张 奖券奖金的期望值.如果每张奖券 3 元,销售一张平均获利多少(假设所有奖券全部售完)?

(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).

变式:购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一 年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立. 已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 - 0.999
104

例 3、已知一次考试共有 60 名同学参加,考生的成绩 X~N(110,52),据此估计,大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内?( A.(90,110] C.(100,120] )

B.(95,125] D.(105,115]

. (1)求一投保人在一年度内出险的概率 p;

(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小于 0, 求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元)

变式 1:在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~N(100,100),已知满分为 150 分. (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率; (2)若这次考试共有 2000 名考生参加,试估计这次考试及格(不小于 90 分)的人数.

考点 3

正态分布
)

变式 2:(2011·青岛期末)在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从一个正态分布,即 ξ ~

例 1、已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,σ2),则 P(ξ<3)等于( 1 A. 5 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2

N(90,100).
(1)试求考试成绩 ξ 位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若这次考试共有 2 000 名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?

变式 1:(2011·湖北)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2) 等于( ) B.0.4 C.0.3 D.0.2

A.0.6

变式 3:在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布 N(80,52),现已知该同学中成绩在 80 分~85 分的有 17 人.试计算该班成绩在 90 分以上的同学有多少人?

变式 2: (2011·佛山月考)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则

c 等于(
A.1

) B.2 C.3 D.4

变式 4:已知某种零件的尺寸 X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数, 1 在(80,+≦)上是减函数,且 φ(80)= . 8 2π (1)求正态分布密度函数;

变式 3:(2010·广东)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.682 6,则

P(X>4)等于(
A.0.158 8

) B.0.158 7 C.0.158 6 1 8π D.0.158 5

(2)估计尺寸在 72 mm~88 mm 间的零件大约占总数的百分之几?

变式 4:某随机变量 ξ 服从正态分布,其正态分布密度函数为 φ(x)= 标准差分别是( )

e

-x 8

2

,则 ξ 的期望和



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