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高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数说课稿


1.3.2
一、教材分析

函数的极值与导数

《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修 2-2 第一章第三节,在此之前我们已经学习了导数,这为我 们学习这一节起着铺垫作用。 二、教学目标 1. 教学目标 (1) 知识技能目标: 掌握函数极值的定义,会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系,增强学生的数形结合意识,提 升思维水平; 掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤; 了解可导函数极值点 x0 与 f ?( x0 ) =0 的逻 辑关系;培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力. (2)过程与方法目标: 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 (3)情感与态度目标: 培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神; 体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2.教学重点和难点 重点:掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点:(1) x0 为函数极值点与 f ?( x0 ) =0 的逻辑关系 (2)函数的导数与函数最值的区别及联系。 3.教学方法与教学手段 师生互动探究式教学,遵循“教师为主导、学生为主体”的原则,结合高中学生的求知心理和已有的认知 水平开展教学。由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限(大学里还将继续学习) ,因此教学中更重 视的是从感性认识到理性认识的探索过程,而略轻严格的理论证明,教师的主导作用和学生的主体作用都 必须得到充分发挥. 利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形,直观形象,便于学生观察.幻灯片打出重要结论,清楚明了,节 约时间,提高课堂效率. 4、教学过程

1

情景创设

学生活动

教师活动

设计理 由

利用学生们熟悉的海 1.引入

学生感性认识运

引导学生想象冲浪的过程引入极值的现象。

直观形 象,立 即抓住 学生.

边体育运动—冲浪, 直 动员的运动过程, 观形象地引入函数极 值的定义. 体会函数极值的 定义. 掌握函数极值的 定义. 着重理解: “在点 教师给出函数极值的定义: 一般地,设函数 f ( x ) 在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f ( x ) ﹤ f ( x0 ) ,我 们就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大值,记作 y
大值 极

x0 附近”的含义。
2 函数极 值 的定义 体会:极大值与极 小值没有必然关 系,极大值可能比 极小值还小.

= f ( x0 ) ;

如果对 x0 附近的所有的点,都有 f ( x) ﹥ f ( x0 ) ,我 们就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极小值,记作 y 极小


= f ( x0 ) .

强调:极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的 局部性质,在整个定义区间内可能有多个极大值和极 小值. 再观察冲浪板在波峰 波谷时的状态. 寻找函数极值点 与导数之间的关 系. 不难得出: (1) 曲 3 线在极值点处切 再观察 再认识 ( 冲浪板近似的理解 为曲线的切线) 线的斜率为 0; (2) 曲线在极大值点 左侧切线的斜率 给出寻找和判断可导函数的极值点的方法: 此处突 出直观 性 , 降 低理论 性. 水 平 , 复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相 互关系; 教师引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系. 根据大 纲要求 及学生 的知识

为正,右侧为负; (1) 如果在 x 附近的左侧 f ?( x ) ﹥0, 0 曲线在极小值点

2

左侧切线的斜率 为负,右侧为正. (巩固导数与函 数单调性之间的 关系)

右侧 f ?( x ) ﹤0,那么, f ?( x0 ) 是极大值; (左正右负为极大) (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x ) ﹤0, 右侧 f ?( x ) ﹥0,那么, f ?( x0 ) 是极小值. (右正左负为极小)

求函数 f ( x ) =

教师讲解与板书解题过程,学生回答教师提出的相关问题。 解:∵ f ?( x) =x -4,由 f ?( x) =0 解得 x1=2, x2=-2.当 x 变化时, f ?( x) 、
2

这是本 节课的 重点,

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值. 3
4 应用 1

f ( x)





化 -2 0 极大值



况 (-2,2)

如 2 0





: 利用导

x
f ?( x)
f ( x)

(-∞,-2) +

(2,+∞) 数知识 + 求可导 函数的 极值.

28 3

极小值 ?

4 3

28 4 当 x=-2 时,y 极大值= ;当 x=2 时,y 极小值= ? . 3 3
求可导函数的极值的步骤: (1)求导数 f ?( x) ; 5 归纳 (2)求方程 f ?( x) =0 的根; (3)检查 f ?( x) 在方程的根左右的值的符号 . 如果左正右负 ,那么 f ( x) 在 这个根处取极大值;如果左负右正,那么 f ( x) 在这个根处取极小值.

3

练习:

学生独立完

及时点评,并给出正确答案 (1)

及时巩 固重点 内容, 作到课 堂上就 过手。

?1? y ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 5 成 , 然 后 口 ? 2? y ? 8x
6 练一 练 答。
3

ymax ? f ? ?1? ? 10 ymin ? f ? 3? ? ?22

? 12 x ? 6 x ? 1
2

思考: (1) , (2)此函数没有极值点。 ( 2 )问中的 极值是该函 数 的 最 值 吗? 体会:局部与 整体的关系。 让学生逐步 归纳出 若寻找函数极值点,可否只由 f ?( x) =0 求得即可? 探索:x=0 是否是函数 f ( x) = x 的极值点? (展示此函数的图形) 结论: x0 左右侧导数异号
3

函数的 极值点 处导数 为 0, 但

x0 为

函数极值点 与 f ?( x0 ) =0 的逻辑关系.

x0 是函数 f(x)的极值点 导 数 为
零的点 不一定

f ?( x0 ) =0

7 探索

是极值 点。即

f ?( x0 ) ? 0
是函数 在 x0 取 极值点 的必要 条件。 可导函数的极值与导数的关系: 1. 9 小结 定义区间内可能有多个极大值或极小值,且极大值不一定比极小值大; 2. 点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号; 点是极
4

函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言, 在函数的整个

值点的必要不充分条件是在这点的导数为 0.

函数极值点的两种情 况:

(1) 若点 x0 是可导函数 f(x)的极值点,则 f ?( x) =0,反过来不一定成 立。 (2) 函数的不可导点也可能是函数的极值点,如: y ? x 在 x=0 处不

层层递 进 可留给 同学们

10 研究 性问题

可导,但 x=0 是函数的极小值。

作为研 究性问 题,使 得知识 更 面. 全

利用极值求函数中的 参数

P136 习题 3.8

选作:已知

适当分 层 让不同 的人学 习不同

f ( x) =ax3+bx2+cx(a ≠ 0) 在
x= ? 1 处 取 得 极 值 , 且

11 作业

f (1) =-1.(1) 求 a,b,c 的
值;(2)判断 x= ? 1 时函数取极 大值还是极小值,并说明理由.

的 学.



附 教学设计说明 本节课是导数应用中的第二节(第一节是利用导数知识判断函数的单调性) ,学生们已经了解了导数的一些 用途,思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识,本节课将继续加强这方面的 意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。其后还有利用导数求函数的最值问题,因此本节 课还要起到承上启下的作用. 由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致,大学里还将继续深入学习,因此教学中更重视的是 从感性认识到理性认识的探索过程,而略轻严格的理论证明.让学生掌握的重点内容:求可导函数的极值的 方法和一般步骤,必须在课堂上就过手.对于难点问题: x0 为函数极值点与 f ?( x0 ) =0 的逻辑关系,可由教 师层层递进性的主动提出,师生共同探究完成,体现教师的主导性和学生的主体性.
5

本节教案中的研究性问题为补充例题,选取它的目的是想体现知识的完整性,教师可根据自己学生的认知 能力以及课时情况适当删减. 作业采取适当分层的办法,既可以照顾大多数,又让学有余力者可以发挥. 另:板书设计 1.3.2 函数的极值 1. 函数的极值的定义 2. 判断可导函数极值的方法
2 3 5.应用 2 求 y=(x -1) + 1 的极值。 7:利用极值求函数中的参数

(学生口答,教师板书解题过程) 6.可导函数的极值与导数的关系:函

8.作业 P136 习题 3.8, 选作

3.应用 1 求函数 y= 1 x 3 ? 4 x ? 4 数的极值点处导数为 0, 但导数为零的 3 的极值(板书解题过程) 4.求可导函数的极值的步骤: 点不一定是极值点。即 f ?( x0 ) ? 0 是 函数在 x0 取极值点的必要条件。

一堂课结束以后,黑板上应留下完整的教学基本结构, 重点内容或是易错问题应用彩色笔加以突出. 让 学生有整体上的知识结构图,课后有回忆,有思索的空间.

6


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