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高中数学导数及其应用第3节导数在研究函数中的应用第3课时函数的最大(小)值与导数课件新人教A选修22_图文

第 3 课时 函数的最大(小)值与导数 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲, 预习教材 P29~P31 的内容, 回答下列问题. (1)观察教材 P29 图 1.3-13,回答下列问题: ①你能找出函数 f(x)在区间[a, b]上的极大值和极小值吗? 提示: 极大值有 f(x2), f(x4), f(x6); 极小值有 f(x1), f(x3),f(x5). ②你能找出函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小 值吗? 提示:最大值为 f(a),最小值为 f(x3). (2)观察教材 P30 图 1.3-14, 函数 f(x)在[a, b]上有最 大值和最小值吗?分别是什么? 提示:最大值为 f(b),最小值为 f(a). (3)观察教材 P30 图 1,3-15,函数 f(x)在[a,b]上有最 大值和最小值吗?分别是什么? 提示:最大值为 f(x3),最小值为 f(x4). (4)通过以上观察,你认为函数 f(x)在[a,b]上的最大(小) 值一定是极值吗? 提示:不一定,可能是区间端点对应的函数值. (5)怎样确定函数 f(x)在[a,b]上的最小值和最大值? 提示:比较极值与区间端点处的函数值,最大(小)的是最 大(小)值. 2.归纳总结,核心必记 (1)函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最值 一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象 是一条连续不断 的曲线, 那么它必有最大值和最小值. (2)函数最值的求法 求函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下: ①求函数 y=f(x)在区间(a,b)内的极值 ; ②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a), f(b) 比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. [问题思考] 在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线, 想一想, 在[a, b]上一定存在最值和极值吗? 在区间(a,b)上呢? 提示:在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极 值.如果函数 f(x)在[a,b]上是单调的,此时 f(x)在[a, b]上无极值;如果 f(x)在[a,b]上不是单调函数,则 f(x) 在[a,b]上有极值.当 f(x)在(a,b)上为单调函数时,它 既没有最值也没有极值; 当 f(x)在(a, b)上不是单调函数 时,它有极值但不一定有最值. [课前反思] (1)如何求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小 值? ……………………………………………………. (2)函数 f(x)的最大值和最小值与极值有什么区别与 联系? ……………………………………………………… . 讲一讲 1,.(链接教材 P30-例 5)求下列各函数的最值. (1)f(x)=-x3+3x,x∈[- 3,3]; 54 (2)f(x)=x - x (x<0). 2 [尝试解答] (1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x). 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 所以 x=1 和 x=-1 是函数在[- 3,3]上的两个极值点, 且 f(1)=2,f(-1)=-2. 又因为 f(x)在区间端点处的取值为 f(- 3)=0,f(3)=-18. 所以 f(x)max=2,f(x)min=-18. 54 (2)f′(x)=2x+ 2 . x 令 f′(x)=0 得 x=-3. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 所以 x=-3 时,f(x)取得极小值,也就是最小值, 故 f(x)的最小值为 f(-3)=27,无最大值. (1)求函数的最值, 显然求极值是关键的一环. 但仅 仅是求最值,可用下面简化的方法求得. ①求出导数为零的点. ②比较这些点与端点处函数值的大小, 就可求出函 数的最大值和最小值. (2)若函数在闭区间[a,b]上连续且单调,则最大、最小 值在端点处取得. 练一练 1.求下列各函数的最值. (1)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]; 1 (2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π ]. 2 解:(1)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3, 因为 f′(x)在[-1,1]内恒大于 0, 所以 f(x)在[-1,1]上为增函数. 故 x=-1 时,f(x)取最小值为-12, x=1 时,f(x)取最大值为 2. 1 (2)f′(x)= +cos x,令 f′(x)=0, 2 2π 4π 又 x∈[0,2π],解得 x= 3 或 x= 3 . 计算得 3 -2. 所以当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=0; 当 x=2π时,f(x)有最大值 f(2π)=π. ?2π? π ? f(0)=0, f(2π)=π, f? ? 3 ?= 3 + ? ? ? 3 ? ?4π? 2π f? ?= 3 2, 3 ? ? 讲一讲 2 3 2 3 2.设 <a<1,函数 f(x)=x - ax +b 在区间[-1,1]上 3 2 6 的最大值为 1,最小值为- 2 ,求该函数的解析式. [尝试解答] 令 f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a)=0, 得 x=0 或 x=a. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: 从上表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b,x=a 时取 a3 得极小值- 2 +b. 而 f(0)>f(a),f(1)>f(-1), 3 又因为 f(0)-f(1)= a-1>0, 2 1 f(-1)-f(a)= (a+1)2(a-2)<0, 2 所以 y=f(x)的最大值为 f(0)=b=1. 3 6 y=f(x)的最小值为 f(-1)=-1-2a+b=- 2 . 3 6 6 所以-2a=- 2 ,a= 3


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