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高中数学导数及其应用第3节导数在研究函数中的应用第3课时函数的最大(小)值与导数课件新人教A选修22


第 3 课时 函数的最大(小)值与导数 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲, 预习教材 P29~P31 的内容, 回答下列问题. (1)观察教材 P29 图 1.3-13,回答下列问题: ①你能找出函数 f(x)在区间[a, b]上的极大值和极小值吗? 提示: 极大值有 f(x2), f(x4), f(x6); 极小值有 f(x1), f(x3),f(x5). ②你能找出函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小 值吗? 提示:最大值为 f(a),最小值为 f(x3). (2)观察教材 P30 图 1.3-14, 函数 f(x)在[a, b]上有最 大值和最小值吗?分别是什么? 提示:最大值为 f(b),最小值为 f(a). (3)观察教材 P30 图 1,3-15,函数 f(x)在[a,b]上有最 大值和最小值吗?分别是什么? 提示:最大值为 f(x3),最小值为 f(x4). (4)通过以上观察,你认为函数 f(x)在[a,b]上的最大(小) 值一定是极值吗? 提示:不一定,可能是区间端点对应的函数值. (5)怎样确定函数 f(x)在[a,b]上的最小值和最大值? 提示:比较极值与区间端点处的函数值,最大(小)的是最 大(小)值. 2.归纳总结,核心必记 (1)函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最值 一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象 是一条连续不断 的曲线, 那么它必有最大值和最小值. (2)函数最值的求法 求函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下: ①求函数 y=f(x)在区间(a,b)内的极值 ; ②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a), f(b) 比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. [问题思考] 在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线, 想一想, 在[a, b]上一定存在最值和极值吗? 在区间(a,b)上呢? 提示:在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极 值.如果函数 f(x)在[a,b]上是单调的,此时 f(x)在[a, b]上无极值;如果 f(x)在[a,b]上不是单调函数,则 f(x) 在[a,b]上有极值.当 f(x)在(a,b)上为单调函数时,它 既没有最值也没有极值; 当 f(x)在(a, b)上不是单调函数 时,它有极值但不一定有最值. [课前反思] (1)如何求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小 值? ……………………………………………………. (2)函数 f(x)的最大值和最小值与极值有什么区别与 联系? ……………………………………………………… . 讲一讲 1,.(链接教材 P30-例 5)求下列各函数的最值. (1)f(x)=-x3+3x,x∈[- 3,3]; 54 (2)f(x)=x - x (x<0). 2 [尝试解答] (1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x). 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 所以 x=1 和 x=-1 是函数在[- 3,3]上的两个极值点, 且 f(1)=2,f(-1)=-2. 又因为 f(x)在区间端点处的取值为 f(- 3)=0,f(3)=-18. 所以 f(x)max=2,f(x)min=-18. 54 (2)f′(x)=2x+ 2 . x 令 f′(x)=0 得 x=-3. 当 x 变化时,f′(x


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