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2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示_2.3.3平面向量的坐标运算_学案(人教A版必修4)

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算

课时目标 1.掌握向量的正交分解,理解平面向量坐标的概念,会写出给定向量的坐标, 会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算,能准确运用向量的加法、减法、数 乘的坐标运算法则进行有关的运算.

1.平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解:把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量正交分解. (2)向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 ____________i,j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,有且只有一对实数 x,y 使得 a= ____________, 则________________叫作向量 a 的坐标, ________________叫作向量的坐标 表示. → (3)向量坐标的求法:在平面直角坐标系中,若 A(x,y),则OA=________,若 A(x1,y1), → B(x2,y2),则AB=________________________. 2.平面向量的坐标运算 (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=________________,即两个向量和的坐标等于这 两个向量相应坐标的和. (2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a-b=________________________,即两个向量差的坐 标等于这两个向量相应坐标的差. (3)若 a=(x,y),λ∈R,则 λa=________,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标.

一、选择题 1 3 1.已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a- b 等于( ) 2 2 A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 1 2.已知 a- b=(1,2),a+b=(4,-10),则 a 等于( ) 2 A.(-2,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2) 3.已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且 c=λ1a+λ2b,则 λ1,λ2 的值分别为( ) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 → 1→ 4.已知 M(3,-2),N(-5,-1)且MP= MN,则点 P 的坐标为( ) 2 3? A.(-8,1) B.? ?1,2? 3? C.? D.(8,-1) ?-1,-2? → → → 5.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线.若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD等于( A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)

)

6.已知四边形 ABCD 为平行四边形,其中 A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点 D 的坐 标为( ) A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 1→ 1→ 7.已知平面上三点 A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则 AC- BC的坐标是________. 2 4 → → 8.已知 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且AC=2BD,则 x+y=________. → 9.若向量 a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中 A(1,2),B(3,2),则 x=________. 2 10. 函数 y=x +2x+2 按向量 a 平移所得图象的解析式为 y=x2, 则向量 a 的坐标是________.

三、解答题 11.已知 a=(-2,3),b=(3,1),c=(10,-4),试用 a,b 表示 c.

12.已知平面上三个点坐标为 A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求点 D 的坐标,使得这四个点为 构成平行四边形的四个顶点.

能力提升 13.已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集 合,则 P∩Q 等于( ) A.{(1,1)} B.{(-1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)} π ? 14.函数 y=cos?2x+6? ?-2 的图象 F 按向量 a 平移到 F′,F′的函数解析式为 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于( ) π π ? ? A.? B.? ?-6,-2? ?-6,2? π π ? ? C.? D.? ?6,-2? ?6,2?

1.在平面直角坐标系中,平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一 一对应关系.关系图如图所示: 2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时,向量 的坐标才和这个终点的坐标相同.

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 答案
知识梳理 1.(1)互相垂直 (2)单位向量 xi+yj 有序数对(x,y) a=(x,y) (3)(x,y) (x2-x1,y2 -y1) 2.(1)(x1+x2,y1+y2) (2)(x1-x2,y1-y2) (3)(λx,λy) 作业设计 1.D 2.D ?λ1+2λ2=3, ?λ1=-1, ? ? 3.D [由? 解得? ] ? ? ?2λ1+3λ2=4. ?λ2=2. 1 4.C [设 P(x,y),由(x-3,y+2)= ×(-8,1), 2 3 ∴x=-1,y=- .] 2 → → → 5.B [∵AC=AB+AD, → → → ∴AD=AC-AB=(-1,-1). → → → ∴BD=AD-AB=(-3,-5).] → → 6.D [设 D(x,y),由AD=BC, ∴(x-5,y+1)=(2,-5). ∴x=7,y=-6.] 7.(-3,6) 11 8. 2 → 解析 ∵AC=(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2), → BD=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), → → 又 2BD=AC,即(2x-4,2y-6)=(-1,2),

? ?2x-4=-1, ∴? ?2y-6=2, ?

3 ? ?x=2, 解得? ? ?y=4,

11 ∴x+y= . 2 9.-1 → 解析 ∵A(1,2),B(3,2),∴AB=(2,0). → 又∵a=AB,它们的坐标一定相等. ∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0). ? ?x+3=2, ∴? 2 ?x -3x-4=0, ? ∴x=-1. 10.(1,-1) 解析 函数 y=x2+2x+2=(x+1)2+1 的顶点坐标为(-1,1),函数 y=x2 的顶点坐标为(0,0), 则 a=(0,0)-(-1,1)=(1,-1). 11.解 设 c=xa+yb, 则(10,-4)=x(-2,3)+y(3,1)=(-2x+3y,3x+y), ? ?10=-2x+3y, ∴? ?-4=3x+y, ? 解得 x=-2,y=2,∴c=-2a+2b. → → 12.解 (1)当平行四边形为 ABCD 时,AB=DC, 设点 D 的坐标为(x,y). ∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), ?1-x=1, ?x=0, ? ? ∴? ∴? ∴D(0,-1); ? ? ?-2-y=-1, ?y=-1. (2)当平行四边形为 ABDC 时,仿(1)可得 D(2,-3); (3)当平行四边形为 ADBC 时,仿(1)可得 D(6,15). 综上可知点 D 可能为(0,-1),(2,-3)或(6,15). 13.A [设 a=(x,y),则 ? ? ?x=1 ? P=??x,y?|? ?, ?y=m ? ? ? ∴集合 P 是直线 x=1 上的点的集合. 同理集合 Q 是直线 x+y=2 上的点的集合, 即 P={(x,y)|x=1},Q={(x,y)|x+y-2=0}. ∴P∩Q={(1,1)}.故选 A.] π? π? ? 14.B [函数 y=cos? ?2x+6?-2 按向量 a=(m,n)平移后得到 y′=cos?2x-2m+6?+n-2. π π π 若平移后的函数为奇函数,则 n=2, -2m=kπ+ (k∈Z),故 m=- 时适合.] 6 2 6



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