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2.2.2对数函数及其性质(第一课时——对数函数概念、图像、性质)[1]


2.2.2对数函数 及其性质

复习引入
1. 指数与对数的相互转化 ab=N ? logaN=b.

2. 指数函数的图象和性质

a>1
图 象
y (0,1) y=ax (a>1) y= 1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y (0,1) O y= 1 x

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 在R上是减函数 x>0时,ax>1; x>0时,0<ax<1; x<0时,0<ax<1 x<0时,ax>1

3. 某种细胞分裂时,得到的细胞的 个数y是分裂次数x的函数,这个函数 可以用指数函数y=2x表示.
这种细胞经过多少次分裂,大约 可以得到1万个,10万个……细胞? 分裂次数x就是细胞个数y的函 数.这个函数写成对数的形式是x= log2y.

x=log2y
如果用x表示自变量,y表示函 数,这个函数就是y=log2x.

讲授新课
1. 对数函数的定义: 一般的,我们把函数y=logax (a>0

且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,
函数的定义域为(0,+∞),

例7

求下列函数的定义域:

(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x);(3)y=loga(9-x2); (4) log - 4x). 解y= (1) 由 x2>0 ,得 x≠0, 2(16
∴函数 y=logax2 的定义域是{x|x≠0}; (2)由 4-x>0,得 x<4,
∴函数 y=loga(4-x)的定义域是{x|x<4}; (3)由 9-x2>0,得-3<x<3,

∴函数 y=loga(9-x2)的定义域是{x|-3<x<3}.
小结 此题主要利用对数函数 y=logax 的定义域为(0,+∞)

来求解.

2. 对数函数的图象: 通过列表、描点、连线作 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图象.
2

y

思 考:

y ? log 2 x
x
y ? log 1 x
2

两图象有什么 关系?

O

练习:教材P.73:练习1

探究点一 问题 1

底数大小与函数图象的关系

观察下图所示函数 y=log2x,y=log0.5x,y=log5x,

y=log0.2x 图象,你能得出什么结论?



对于底数 a>1 的对数函数,底数越大函数图像越靠近坐标轴;

对于底数 0<a<1 的对数函数,底数越小函数图像越靠近坐标轴.

练习 教材P.73练习第1题 画出函数 y ? log 3 x 及 y ? log 1 x 的图象,并且说明这两个函数的相 同点和不同点.
3

y

y ? log 3 x
O
y ? log 1 x
3

x

3. 对数函数的性质:
a> 1 0< a< 1
y

图 象

y
O

x

O

x

性 x∈(0, 1)时,y<0; x∈(0, 1)时,y>0 质 x∈(1, +∞)时,y>0. x∈(1, +∞)时,y<0.
在(0,+∞)上是增函数

定义域:(0, +∞); 值域:R 过点(1, 0),即当x=1时,y=0.

在(0,+∞)上是减函数

例8

比较下列各组数中两个值的大小:

(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7; (3)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1).
解 (1)考查对数函数 y=log2x,因为它的底数 2>1,

所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log23.4<log28.5;
(2)考查对数函数 y=log0.3x,因为它的底数 0<0.3<1, 所以它在(0,+∞)上是减函数,于是 log0.31.8>log0.32.7;

(3)当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数,

于是 loga5.1<loga5.9;
当 0<a<1 时, y = logax 在 (0 ,+ ∞) 上是减函数,于是 loga5.1>loga5.9.

练习
1. 教材P.73练习第2、3题

2. 函数y=loga(x+1)-2 (a>0, a≠1)
的图象恒过定点 .

? 3.反函数 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和 反函数.

y=ax(a>0且a≠1)

互为

结论:互为反函数的两个图象 关于直线y=x对称

y?2

x

y?x
y ? log 2 x

?1? y ?? ? ?2?

x

y?x

y ? log 1 x
2

1 2.设函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),且g(a)= ,则a= 4 ( A.2 B.-2 1 C. 2 1 D.- 2 ).

解析 ∵函数f(x)=log2x的反函数为y=2x, 即g(x)=2x. 1 1 a 又∵g(a)= ,∴2 = ,∴a=-2. 4 4 答案 B

例3


函数 y=loga(x-1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图象经过点
根据反函数的概念, 知函数 y=loga(x-1)(a>0 且 a≠1)

(1,4),求 a 的值.
的图象经过点(4,1),

∴1=loga3,∴a=3.
小结 若函数 y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的 图象经过点(b,a).

课堂小结

对数函数定义、图象、性质;

课后作业
1、教材P74:7、8 2、选作
已知函数y=loga(x+1) (a>0, a≠1) 的定义域与值域都是[0, 1],求a的值.

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