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电动力学知识总结


第一章
1、库仑定律
(1)库仑定律

电磁现象的普遍规律
§1.1 电荷与电场

如图 1-1-1 所示,真空中静止电荷 Q '

? 对另一个静止电荷 Q 的作用力 F 为

? F?

1 4?? 0

Q 'Q ? ? ' ? ? 3 r ?r r ?r'

?

?

(1.1.1)

式中 ? 0 是真空介电常数。

? (2)电场强度 E ? 静止的点电荷 Q ' 在真空中所产生的电场强度 E 为

? E?

1 4?? 0

Q' ? ? r ?r'

3

? ? ?r ? r ?
'

(1.1.2)

(3)电场的叠加原理

? N 个分立的点电荷在 r 处产生的场强为
? N E??
i ?1

Qi' ? ? 4?? 0 r ? ri '

3

? ? ?r ? r ?
' i

(1.1.3)

? 体积 V 内的体电荷分布 ? ?r ' ? 所产生的场强为

? E?

1 4?? 0

?

? ?r ' ?dV ' ? ? '
? ? ? r ?r'
3

V

?r ? r ?

(1.1.4)

?' ? 式中 r 为源点的坐标, r 为场点的坐标。

2、高斯定理和电场的散度
? 高斯定理: 电场强度 E 穿出封闭曲面 S 的总电通量等于 S 内的电荷的代数和

(? Qi ) 除以 ? 0 。用公式表示为
i

?


S

? ? 1 E ? dS ?

?0

?Q
i

i

(分离电荷情形)

(1.1.5)

? E ? dS ? ? ?
S 0

?

?

1

V

?dV

(电荷连续分布情形)

(1.1.6)

? 其中 V 为 S 所包住的体积, dS 为 S 上的面元,其方向是外法线方向。

应用积分变换的高斯公式
? ? ? E ? dS ? ? ? ? EdV ?
S V

(1.1.7)

由(1.1.6)式可得静电场的散度为
? 1 ??E ? ?

?0

3. 静电场的旋度
? 由库仑定律可推得静电场 E 的环量为
? ? E ? dl ? 0 ?
L

(1.1.8)

应用积分变换的斯托克斯公式

? E ? dl ? ? ? ? E ? dS
L S

?

?

?

?

从(1.1.8)式得出静电场的旋度为
? ?? E ? 0

(1.1.9)

§1.2
1、电荷守恒定律

电流和磁场

不与外界交换电荷的系统,其电荷的代数和不随时间变化。对于体积为 V , 边界面为 S 的有限区域内,有
? ? d J ? dS ? ? ? ?dV ?S dt V

(1.2.1)


? ?? ?? J ? ?0 ?t

(1.2.2)

这就是电荷守恒定律的数学表达式。

2、毕奥-萨伐尔定律
? ? ? r ' 处的电流元 Idl 在 r 处产生的磁感强度为 ? ? ? ? ? 0 Idl ? r ? r ' dB ? ? ? 3 4? r ?r'

?

?

(1.2.3)

参见图 1-1-2。由此得沿闭合 曲线 L 流动的电流 I 所产生的磁感 强度为

? ? ? B?r ? ? 0 4?

? ? ? Idl ? r ? r ' ?L r ? r ' 3 ? ?

?

?

(1.2.4)

如果电流是体分布,则电流元
?? 为 J ?r ' ?dV ' ,这时

?? ? ? ? ? ?0 J r ' ? r ? r ' dB?r ? ? dV ' ? ?' 3 4? r ?r ? ? ? ? ? ?0 J r ' ? r ? r ' ' B?r ? ? ?V r ? r ' 3 dV ? ? 4?

? ? ?

?

(1.2.5)

? ? ?

?

(1.2.6)

3、磁场的环量和旋度

(1)安培环路定理 ? ? 磁感强度 B 沿闭合曲线 L 的环量等于通过 L 所围的曲面 S 的电流代数和的 0 倍;即

?

L

? ? ? ? B ? dl ? ? 0 ? J ? d S
S

(1.2.7)

(2)磁场的旋度 由安培环路定理和斯托克斯公式

?

L

? ? ? ? B ? dl ? ? ? ? B ? dS
S

可得磁场的旋度为
? ? ? ? B ? ?0 J

(1.2.8)

这是安培环路定理的微分形式。

4、磁场的散度
磁场的散度为
? ?? B ? 0

(1.2.9)

§1.3

麦克斯韦方程组

1、麦克斯韦对电磁感应定律的推广
按照法拉第电磁感应定律, 变化的磁场在一固定导体回路 L 中产生的感应电 动势为
d? d ? ? (1.3.1) ? ? ? B ? dS dt dt S ? 依定义, 感应电动势 ? 是电场强度 E感 沿导体回路 L 的线积分, 因此 (1.3.1)

? ??

式可写做

?E
L

?

i

? 其中 E i 是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。

? d ? ? ? dl ? ? ? B ? dS dt S

(1.3.2)

麦克斯韦的推广: 当导体回路不存在时,变化的磁场在空间仍然产生感应电
? 场 E感 ,并且满足(1.3.2)式。

应用斯托克斯公式,可将(1.3.2)式化为微分形式
? ? ?B ? ? Ei ? ? ?t
? ? 在一般情况下,既有静电场 E S ,又有感应电场 E i ,则总电场便为 ? ? ? E ? E S ? Ei
? 又因为 ? ? E S ? 0 ,故得

(1.3.3)

(1.3.4)

? ? ?B ?? E ? ? ?t

(1.3.5)

这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。

2、麦克斯韦对安培环路定理的推广
? ? 稳恒电流的安培环路定理为 ? ? B ? ? 0 J ,由此得出

? 1 ? ?? J ? ? ? ?? ? B ? ? 0

?0

(1.3.6)

这与电荷守恒定律
? ?? ?? J ? ? ?0 ?t

(1.3.7)

相矛盾。 麦克斯韦的推广:在一般情况下,安培环路定理的普遍形式为
? ? ? ? ? B ? ? 0 ?J ? J D ?

(1.3.8)

其中
? ? ?D JD ? ?t

(1.3.9)

叫做位移电流密度。即
? ? ? ? ?D ? ? ? ? B ? ?0 ? J ? ? ?t ? ? ?

(1.3.10)


? ? B ? dl ? ? 0 ? ?
L

? ? ? ?D ? ? ?J ? ? ? dS S? ?t ? ? ?

(1.3.11)

3、麦克斯韦方程组
我们把电磁学中最基本的实验定律概括、 总结和提高到一组在一般情况下相 互协调的方程组, 这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。它与电荷守恒定律不 矛盾。
? ? ? ?B ?? ? E ? ? ?t ? ? ? ? ?E ? ?? ? B ? ? 0 J ? ? 0 ? 0 ?t ? ? ? ? ?? ? E ? ? ? ?0 ?? ? B ? 0 ?

(1.3.12)

这组方程称为麦克斯韦方程组。

4、洛伦兹力公式
? 带电荷 q 的粒子以速度 v 在电磁场中运动时,它所受的力为
? ? ? ? F ? q?E ? v ? B ?

作用在单位体积的电荷上的力(力密度)为
? ? ? ? ? ? ? f ? ? ?E ? v ? B ? ? ?E ? J ? B

§1.4
1、介质的极化
? (1)极化强度 P

介质的电磁性质

在外电场的作用下, 介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则 的排列,这叫做介质的极化。

? 极化强度 P 是描述介质极化状态的量,其定义是单位体积内的电偶极矩,即
? P?

?p
i

?

i

?V

(1.4.1)

? 式中 ?V 为包含有大量分子的物理小体积, p i 为第 i 个分子的电偶极矩。

? 如果每个分子的平均电偶极矩为 p ,则
? ? P ? np

(1.4.2)

式中 n 为分子数密度。 (2)极化电荷与极化强度的关系

? 极化电荷体密度 ? P 与极化强度 P 的关系为
? ? P ? dS ? ? ? ? P dV ?
S V

(1.4.3)



? P ? ?? ? P
? 极化电荷面密度 ? P 与 P 的关系为

?

(1.4.4)

? P ? n ? ?P1 ? P2 ?
?

?

?

(1.4.5)

? 式中 n 为交界面法线方向的单位矢量, 从介质 1 指向介质 2。 如果介质 2 为真空,


?P ? n?P

? ?

(1.4.6)

均匀介质内的极化电荷

? P ? ?? ? P ? ?? ? ?D ? ? 0 E ? ? ??1 ?
?

?

?

?

?

?0 ? ?? f ? ?

(1.4.7)

即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度 ? f 的
? ? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? 倍。 ?

因此,若该点处无自由电荷分布,则 ? P ? 0 。 (3)有介质时的电场
? ? ? 在一般情况下,介质中的电场 E 是自由电荷的电场 E f ,极化电荷的电场 E P

? 以及变化磁场产生的感应电场 E i 的和,即
? ? ? ? E ? E f ? E P ? Ei

(1.4.8)

在介质中,电场的旋度和散度分别为
? ? ? ?B ? ? E ? ? ? Ei ? ? ?t

(1.4.9)


? 1 ? 1 1 1 ??E ? ? f ? ?P ? ? f ? ? ? P

?0

?0

?0

?0

(1.4.10)

? ? (4)电位移 D 及其与电场强度 E 的关系 ? 电位移矢量 D 的定义为
? ? ? D ? ?0E ? P

(1.4.11)

? ? 在各向同性的线性介质中, P 与 E 成线性关系
? ? P ? ? e? 0 E

(1.4.12)

? e 叫做介质的电极化率。代入(1.4.11)式得
? ? D ? ? 0 ?1 ? ? e ?E

(1.4.13)

定义相对介电常数 ? r 和介电常数 ? 分别为

? r ? 1 ? ? e , ? ? ? r? 0
这时
? ? D ? ?E

(1.4.14)

(1.4.15)

2、介质的磁化
? (1)磁化强度 M
在外磁场的作用下, 介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列,这叫

? 做介质的磁化。磁化强度 M 是描述介质磁化状态的量,其定义是单位体积内的
磁矩,即

? M?

?m
i

?

i

?V

(1.4.16)

? 式中 ?V 为含有大量分子的物理小体积, mi 为第 i 个分子的磁矩。

? 如果每个分子的平均磁矩为 m ,则
? ? M ? nm

(1.4.17)

式中 n 为分子数密度。 (2)磁化电流与磁化强度的关系 ? ? 磁化电流体密度 J M 与磁化强度 M 的关系为

?
上式可写作

L

? ? ? ? M ? dl ? ? J M ? dS
S

(1.4.18)

?

L

? ? M ? dl ? I M

(1.4.19)

式中 I M 是积分环路 L 所套住的磁化电流的代数 和,如图 1-1-3。 把斯托克斯公式用于(1.4.18)式,便得
? ? JM ? ?? M

(1.4.20)

? ? 磁化电流面密度 ? M 与磁化强度 M 的关系:面电流是指在曲面上流动的电

? ? 流,面电流密度 ? 的大小等于通过与 ? 垂直的单位长度横截线的电流。设介质 1
? ? 的磁化强度为 M 1 ,介质 2 的磁化强度为 M 2 ,在两介质的交界面上,磁化面电流

? ? 密度为 ? M ,交界面的单位法向矢量为 n ,从介质 1 指向介质 2,则

? M ? n ? ?M 2 ? M 1 ?
? ?

?

?

(1.4.21)

若介质 2 为真空,则

? M ? n ? ?M 2 ? M 1 ?
? ?

?

?

(1.4.21)

(3)有介质时的磁场 ? ? ? 自由电流 J f 、磁化电流 J M 和位移电流 J D 都产生磁场,这些磁场的叠加就

? 是介质中的磁场 B 。因此,在一般情况下,磁场的旋度和散度分别为
? ? ? ? ? ? ?D ? ?? ? ? ? B ? ? 0 ?J f ? J M ? J D ? ? ? 0 ? J f ? ? ? M ? ? ?t ? ? ?

(1.4.23)


? ?? B ? 0

(1.4.24)

? ? (4)磁场强度 H 及其与磁感强度 B 的关系 ? 磁场 H 定义为
? ? ? B H? ?M

?0

(1.4.25)

? ? 对于各向同性的非铁磁物质,磁化强度 M 和 H 之间有简单的线性关系
? ? M ? ?M H

(1.4.26)

? M 叫做介质的磁化率。把(1.4.26)式代入(1.4.25)式可得
? ? B ? ? 0 ?H? M ?H

(1.4.27)

定义相对磁导率 ? r 和磁导率 ? 分别为

?r ? 1 ? ? M ,
这时
? ? B ? ?H

? ? ?r ?0

(1.4.28)

(1.4.29)

对于所有物质来说, 相对介电常数 ? r 都大于 1, 但相对磁导率 ? r 则可以大于 1(顺磁质) ,也可以小于 1(抗磁质) 。

3、介质中的麦克斯韦方程组
电磁场遵守的普遍规律为 ? ? ? ?B ? ? ? E ? ? ?t ? ? ? ? ?D ? ?? ? H ? J ? ?t ? ? ? ??D ? ? ? ? ? ??B ? 0 物质方程:在各向同性的线性介质中
? ? D ? ?E ,
? ? B ? ?H

(1.4.29)

(1.4.29)

§1.5

电磁场边值关系

由麦克斯韦方程组的积分形式得出介质交接面两侧场量的关系为 ? ? ? n ? ?E 2 ? E1 ? ? 0 ? ? ? ? n ? ?H 2 ? H 1 ? ? ? ? ? ? n ? ?D2 ? D1 ? ? ? ? ? ? n ? ?B2 ? B1 ? ? 0

(1.5.1) (1.5.2) (1.5.3) (1.5.4)

? ? 式中 n 是交接面法线上的单位矢量,从介质 1 指向介质 2; ? 和 ? 分别是交界面
上的自由电荷和自由面电流密度。 在用交界面两侧的切向分量(下标 t ) ,和法向分量(下标 n )表示时,边值 关系可写做
E t1 ? E t 2 H t 2 ? H t1 ? ? Dn 2 ? Dn1 ? ? Bn1 ? Bn 2 (1.5.5) (1.5.6) (1.5.7) (1.5.8)

§1.6

电磁场的能量和能流

1.电磁系统的能量守恒定律
考虑图 1-1-4 所示的空间区域 V , 其边界面
? 为Σ。设 V 内有电荷分布 ? 和电流分布 J 。

(1 )电磁场作用在单位体积电荷上的力为
? ? ? ? f ? ? ( E ? v ? B) ,这力的功率为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f ? v ? ? ( E ? v ? B) ? v ? ?E ? v ? J ? E

(1.6.1)

? ? 式中 J ? E 代表介质单位体积消耗的焦耳热。

(2)电磁场对体积 V 内的电荷系统做功的功率为

?

V

? ? ? ? f ? v dV ? ? J ? EdV
V

(1.6.2)

(3)体积 V 内电磁场能量的增加率为
d d 1 ? ? ? ? ?V?dV ? dt ?V 2 ( E ? D ? B ? H )dV dt

(1.6.3)

(4)单位时间内从边界面Σ流出体积 V 的电磁能量为 ? ? ? ? S ? d ? ? ? ? ? SdV
? V

(1.6.4)

因为能量守恒,对于体积 V 内的电磁场能量有

? J ? EdV ? ? ? ? SdV ? ? dt ? ?dV
V V V

? ?

?

d

(1.6.5)


? ? ? ?? J ?E ???S ? ? ?t

(1.6.6)

这便是电磁场的能量守恒定律。

2.电磁场的能量密度 ?
单位体积内的电磁场能量为

? ? ( E ? D ? H ? B)

1 ? ? 2

? ?

(1.6.7)

3.电磁场的能量密度 S

?

单位时间流过垂直于能流方向的单位面积的电磁场能量为
? ? ? S ? E?H ? S 通常叫做坡印廷矢量。

(1.6.7)

第二章
§2.1
1、静电场的标势
(1)静电场的基本方程 ? ??D ? ? 或

静电场

静电场的标势及其微分方程

(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)

?

S

? ? D ? dS ? Q

? ?? E ? 0



? E ? dl
L

?

?

?0

其中电荷 Q 是封闭曲面 S 包住的自由电荷的代数和, ? 是自由电荷密度。 (2)静电场的电势 在静电场中,根据(2.1.3)式知道有势函数 ? 存在,使得
? E ? ???

(2.1.5)

? 如果在无穷远处的电场强度为零,一般便选 r0 ? ? 为电势参考点,这时由上

? 式得空间一点 P ?r ? 的电势为

? ?r ? ? ?? E ? dr
r

?

?

?

?

(2.1.6)

① 点电荷的电势

? ? 由库仑定律可得 r ' 处(源点)的点电荷 Q 在 r 处(场点)产生的电势为

? ?r ? ?
② 电势叠加原理

?

Q ? ?' 4?? r ? r

1

(2.1.7)

分立的点电荷系所产生的电势为

? ?r ? ?

?

? r ?r ? ? 4??
i

1

Qi

'

(2.1.8)

i

连续分布的电荷所产生的电势为

1 ? ? ?r ? ? 4??

?

? ?r ' ?dV
? ? ? r ?r'

V

(2.1.9)

2、静电势所满足的微分方程和边值关系
(1)电势的微分方程 电势 ? 满足方程
? ? ???? ? ? ? ?

(2.1.10)

在均匀介质内, (2.1.10)式可化为
? 2? ? ?

? ?

(2.1.11)

这个方程叫泊松方程。式中 ? 是自由电荷密度。如果 ? ? 0 则(2.1.11)式便化 为拉普拉斯方程
? 2? ? 0

(2.1.12)

(2)电势的边值关系 在介电常数不同的两种介质交界面上,电势 ? 满足下列边值关系

?1 ? ? 2

(2.1.13) (2.1.14)

?1

??1 ?? 2 ??2 ?? ?n ?n

? 其中 n 是由介质 1 指向介质 2 的单位法向矢量, 是交界面上的自由电荷面密度。 ?
如果介质 1 是导体,则以上两式分别化为

? 1 =常量


(2.1.15) (2.1.16)

?2

?? 2 ? ?? ?n

3、静电场能量
? 电荷分布在区域 V 内,密度为 ? ?r ? ,所具有的静电能量为

W?

1 ? ? ?V ? ?r ?? ?r ?dV 2

(2.1.17)

这能量分布在电场中,因此

W?

1 ? ? 1 2 ? E ? DdV ? 2 ? ?E dV 2

(2.1.17)

? ? 式中 E 是上述电荷所产生的电场,积分遍及 E 不为零的全部空间。

§2.2

唯一性定理

静电学的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊 松方程的解。唯一性问题是讨论在什么条件下,解是唯一的。这点很重要,因为 求解的方法不同, 求出的解可能有不同的表达形式,有时要证明它们是同一解颇 非易事;但如果这些解都满足相同的边界条件,则它们必定相同。其次,对于有 些问题, 可以根据经验提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求 的条件,它就是该问题的唯一正确解。

1. 问题说明
假定空间 V 可以分为若干个小区域 V i ,每一小区域 V i 内都是充满均匀的,介
? 电常数为 ? i 的各向同性介质。设 V 内的自由电荷分布 ? ?r ? 已知,则在 V i 内,电势

满足泊松方程
? 2? i ? ? 1

?i

?

(2.2.1)

在两区域 V i 和 V j 的交界面上,电势满足边值关系

?i ? ? j

(2.2.1)
? ? ? ?

?i ?

? ?? j ? ?? i ? ? ? ? j? ? ?n ? ?n ? ?

(2.2.1)

2. 唯一性定理
? 设区域 V 内自由电荷的分布 ? ?r ? 已知,在 V 的边界 S 上给定

(i) 或

电势 ? S ,

? ?? ? (ii)电势的法向导数 ? , ? (即 E n ) ? ?n ? S

则 V 内的电场便唯一确定。

3. 有导体存在时的唯一性定理
? 设区域 V 内有一些导体,给定导体之外的电荷分布 ? ?r ? ,并给定

(i)每个导体上的电势 ? i , 或 (ii)每个导体上的总电荷 Qi ,
? ?? ? 以及 V 的边界 S 上的 ? S 或 ? ? 值,则 V 内的电场便唯一地确定。 ? ?n ? S

§2.3
1、笛卡儿坐标系

拉普拉斯方程 分离变量法

拉普拉斯方程(简称拉氏方程)的形式为
? 2? ? 2? ? 2? ? ? ?0 ?x 2 ?y 2 ?z 2

(2.3.1)

设电势 ? ?x, y, z ? 可分离变数,即 ? ?x, y, z ? ? X ?x ?Y ? y ?Z ?z ? ,则拉氏方程可分 为以下三个方程
1 d2X ? ?k 2 2 X dx
1 d 2Y ? ?l 2 Y dy 2

(2.3.2)

(2.3.3)

1 d 2Z ? k2 ? l2 Z dz 2

(2.3.4)

由此得方程的通解为

? ?x, y, z ? ? ? ? A1k cos kx ? A2k sin kx?( B1l coslx ? B2l sin lx)

?C
2、柱坐标系
拉氏方程为

k ,l

1k ,l

e

k 2 ?l 2 z

? C 2 k ,l e ?

k 2 ?l 2 z

?

(2.3.5)

式中各常数 A1k , A2 k , B1l , B2l , C1k ,l , C 2 k ,l 等由问题的具体条件决定。

1 ? ? ?? ? 1 ? 2? ? 2? ? 2 ?0 ?r ?? r ?r ? ?r ? r 2 ?? ?z

(2.3.6)

设电势 ? ?r , ? , z ? 可分离变数, ? ?r , ? , z ? ? R?r ???? ?Z ?z ? , 即 代入上式求得 Z ? z ? 的解为
Z ?z ? ? C1 coshbz ? C2 sinh bz

(2.3.7)

? ?? ? 的解为
??? ? ? C3 cos a? ? C4 sin a?

(2.3.8)

在 0 ? ? ? 2? 内,符合物理实际的解必须是单值的,因此 a 必须是整数。
R ?r ?的解为
R?r ? ? C5 J a ?br ? ? C6 N a ?br ?

(2.3.9)

式中

?? 1? ? br ? ? ? ? ? 2? J a ?br ? ? ? m ? 0 m!? ?a ? m ? 1?
m

a?2m

(2.3.10)


N a ?br ? ?

?cos a? ?J a ?br? ? J ?a ?br?
sin a?

(2.3.11)

其中级数 J ?br ? 是 a 阶第一类贝塞耳函数,如果 a ? n (整数) ,则在幂级数中的 伽玛函数 ??a ? m ? 1? 可以用 (n ? m)! 来代替。N a ?br? 是 a 阶第二类贝塞耳函数。 函数 N a ?br? 在 r ? 0 附近的奇异性与 l n r 相似。因此,只要已知 r ? 0 处的电 势是有限的,在解中就不包含 N a ?br? ,即系数 C 6 为零。

3、球坐标系
球坐标系中拉氏方程为
1 ? ? 2 ?? ? 1 ? ? ?? ? 1 ? 2? ?0 ?r ?? 2 ? sin ? ?? 2 ?? ? r sin 2 ? ?? 2 r 2 ?r ? ?r ? r sin? ?? ?

(2.3.12)

设电势 ? ?r ,? , ? ? 可分离变数,即 ? ?r ,? , ? ? ? R?r ???? ???? ? ,且在 ? ? 0 和 ? 时

? ?r ,? , ? ? 为有限值,则拉氏方程(2.3.12)的通解为

? ?r ,? , ? ? ?
?

l ,m ?0

? ?a ?

?

?

lm

rl ?

blm ? m ?Pl ?cos? ? cos m? r l ?1 ?

d ? ? ? ? ? C lm r l ? llm1 ?Pl m ?cos? ?sin m? r? ? l ,m ?

(2.3.13)

式中 Pl m ?cos? ? 是连带勒让德多项式。 如果问题具有轴对称性( m ? 0 ) ,通解为

? ?r ,? ? ? ? ? al r l ?
l ?0

?

? ?

bl ? ?Pl ?cos? ? r l ?1 ?

(2.3.14)

式中 Pl ?cos? ? 是勒让德多项式。 通解中的系数 alm , blm , clm , d lm 或 a l 、 bl 等由问题的具体条件确定。

§2.4
1、平面边界
(1) 无限大导体平面外的点电荷

镜像法

点电荷 Q 到电势为零的无限大导体平面的距离为 a ,如图 1-2-1,电像
q ' ? ? q 在导体平面的另一侧,与导体平面的距离为 a 。则导体外的电势为

? ?x, y, z ? ?

q ? 1 ? ? 4?? 0 ? x 2 ? y 2 ? ?z ? a ?2 ?

1 x 2 ? y 2 ? ?z ? a ?
2

? ? , ?z ? 0? (2.4.1) ? ?

导体面上的感应电荷面密度 为

? ? ?? 0
??

?? | z ?0 ?n a

q 2?

?x

2

? y2 ? a2

?

3 2

(2.4.2) 导体面上的总感应电荷为

? ?dS ? ?q
? F ??

(2.4.3)

导体上感应电荷吸引点电荷 q 的力为
q2 16?? 0 a
2

? n

(2.4.4)

感应电荷与点电荷的相互作用能为
U ?? q2 4?? 0 4a 1

(2.4.5)

(2)劈形导体平面间的点电荷 如图 1-2-2,两无限大导体平板电势为零,夹角为 ? ?? ? ? ? 。其间有一点电

荷 q ,点电荷 q 的幅角为 ? 0 ,与 ? 角的顶点 O 的距离为 a 。 q 有多重电像,当

??

?
n

(n 为整数)时,电像的个数为(2n-1)个,
2? ? ?

?

? 2n ? 1

(2.4.6)

所有电像均位于以 O 为圆心, a 为半径的圆周上。诸电像的位臵为

q:
?q:

4? 2? 2?n ? 1?? ? ? 0 ,……, ??0 , ??0, n n n 4? 2? ? ? 0 ,……, 2? ? ? 0 , ??0 , n n

共 (n ? 1) 个。 共 n 个。

图 1-2-2 是 ? ? 像。

?

4

时电像的分布图。共有七个电

(3) 介质平面外的点电荷 两无穷大的均匀介质的介电常数分别为 ? 1 和

? 2 交界面为平面。在 ? 1 中有一自由点电荷 q ,距
交界面为 a ,如图 1-2-3 所示。 求 z ? 0 区 域 ?? 1 ? 的 解 时 , 可 在

z ? 0 区域内距界面为 a 2 处设臵一电像
' 电荷 q 2 。则所求电势 ? 1 为:

? 1 ? x, y , z ? ?
? 1 4?? 1

1 4?? 1
' q2

q x 2 ? y 2 ? ?z ? a ?
2 2

x 2 ? y 2 ? ?z ? a ?

(2.4.7) 求 z ? 0 区域( ? 2 )的解时,可在 z>0 区域内距界面为 a1 处设臵电像电荷 q1' , 则所求电势 ? 2 为

? 2 ? x, y , z ? ?

1 4?? 2

q1' x 2 ? y 2 ? ? z ? a1 ?
2

(2.4.8)

在 z=0 的交界面上任意一点处,电势应满足边值关系

?1 ? ? 2

(2.4.9) (2.4.10)

?1

??1 ?? 2 ? ?2 ?z ?z

设 a1 ? a 2 ? a ,则在原点处 ( x ? y ? z ? 0) ,应用上式可得
1

?1

?q ? q ? ? ?1 q
' 2 2

' 1

(2.4.11) (2.4.12)

' q ? q 2 ? q1'

解得
' q2 ?

?1 ? ? 2 q ?1 ? ? 2
2? 2 q ?1 ? ? 2

(2.4.13)

q1' ?

(2.4.14)

因此

?1 ?

1 4?? 1

q x 2 ? y 2 ? ?z ? a ?
2

?

1 ?1 ? ? 2 4?? 1 ? 1 ? ? 2

q x 2 ? y 2 ? ?z ? a ?
2

?z ? 0?
(2.4.15)

?2 ?

2? ?? 1 ? ? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? z ? a ?2

1

q

?z ? 0?

(2.4.16)

点电荷 q 所受的库仑力为
F?

?1 ? ? 2 q2 16?? 1 ?? 1 ? ? 2 ? a 2

(2.4.17)

2、球面边界
(1)导体球外的点电荷

有一电势为零,半径为 R 的 导体球,球外距球心 O 为 l 处的

A 点有一点电荷 q 。
如图 1-2-4, 在球内 A ' 点设 臵一电像 q ' ,距球心为 l ' 。由边 界条件得
l' ? R2 l

(2.4.18) (2.4.19)

q' ? ?

R q l

? 于是球外 P ?r ? 处的电势为

1 ? q qR ? ? ?r ? R ? ? ? ? ?' ? ? 4?? 0 ? r ? l l r ? l ? ? ? ? ? 这里选取球心为原点, l 和 l ' 分别为电荷 q 和 q ' 的位臵矢量。

? ?r ? ?

?

(2.4.20)

球上的电荷密度面为

? ?? ? ? ?? 0

?? q l2 ? R2 |r ?R ? ? ?r 4? R R 2 ? l 2 ? 2 Rl cos?

?

?

3

(2.4.21)
2

电荷 q 与导体球的相互作用能为
U ?? q2R 4?? 0 2 l 2 ? R 2 1

?

?

(2.4.22)

电荷 q 所受的库仑力为
F ?? ?U 1 q 2 Rl ?? ?l 4?? 0 l 2 ? R 2

?

?

2

(2.4.23)

(2)导体球形空腔内的点电荷 导体内有一球形空腔, 腔内距球心 O 为 l ' 处有一点电荷 q ' , 导体的电势为零。 由对称性可知,这时图 1-2-4 中,位于 A 点的电荷 q 便是 q ' 的电像,并且

l?

R2 l'

(2.4.24) (2.4.25)

q??

R ' q l'

这时空腔内的电势为

? ?r ? ?

?

1 ? q' q'R ? ? '? ? ? 4?? 0 ? r ? l ' l r ? l ?

? ? (r ? R) ? ?

(2.4.26)

§2.5

格林函数

? ? ? ? 点电荷的密度:位于 x ' 处的单位点电荷的密度为 ? ( x ) ? ? ( x ? x ' ) 。 ? ? 格林函数: 它是单位正点电荷在一定边界条件下的电势。它用 G( x , x ?) 表示,括

? ? 号内左边的位矢 x 对应场点,右边的 x ? 代表点源 q ? ?1 的位矢。它满足方程
? ? ? ? 1 ? 2 G ( x , x ?) ? ? ? ( x ? x ?)

?0

(2.5.1)

第一类边值问题的格林函数满足边界条件
? ? G ( x , x ?)
s

?0

(2.5.2)

第二类边值问题的格林函数满足边界条件
? ? ?G ( x , x ?) ?n ?? 1 ?0S

s

(2.5.3)

其中 n 为边界面法线方向。 格林函数的对称性
? ? ? ? G( x, x?) ? G( x?, x )

(2.5.4)

对于一定边界条件下的格林函数,场点和源点交换时,格林函数的值不变。如球 外空间的第一类格林函数是
? ? ? ? ? ? 1 ? 1 1 ? ?) ? G( x, x ? ? R 2 ? R ? 2 ? 2 RR ? cos? ? 4?? 0 RR ? 2 2 ( ) ? R 0 ?2 RR ? cos? ? ? R0 ? ? ? ? ? ? ,从上式看出函数值不变。 x 与 x ? 互换(即 R, R ? 互换)

(2.5.5)

含格林林函数的格林公式

? ( x ) ? ? G( x?, x ) ? ( x?)dV ? ? ? 0 ? [G( x?, x )
V S

?

? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ( x?) G( x?, x )]dS ? ?n? ?n?

(2.5.6)

第一类边值问题的解

? ? ? G( x?, x )dS ? V S ?n? ? ? ? 式中的 G( x ?, x ) 位为第一类边值格林函数,边界条件由 ? ( x ?)

? ( x ) ? ? G( x?, x ) ? ( x?)dV ? ? ? 0 ? ? ( x?)

?

? ?

?

?

(2.5.7)
S

给定。

第二类边值问题的解
? ? ? ? (2.5.8) ? ( x?)dS ? ?n? ? ? ? ?? ( x?) 式中的 G( x ?, x ) 为第二类边值,边界条件由 给定, S 中应包含无限远处 S ?n?

? ( x ) ? ? G( x?, x ) ? ( x?)dV ? ? ? 0 ? G( x?, x )
V S

?

? ?

?

的面。

§2.6
1、电势的多极展开

电多极矩

? 电荷分布在有限的区域 V 内,体密度为 ? ?r ' ? ,则它所产生的电势为

? ?r ? ?

?

1 4?? 0

?

? ?r ' ?dV '
? ? ? r ?r'

V

(2.6.1)

对于远场(即 r ?? r ' 处的场) ,上式可展开为

? ?r ? ?

?

1 4?? 0

?

V

? ?r ' ?? ? r ' ? ? ? ?
? 1 r

? ?1 ?r

? 1 ?2 1 xi' x 'j ? ?x ?x r ? ... ?dV ' ? 2! i , j i j ?

? ? ? ? ? xi Dij x j ? 1 ? Q p ? r i, j ? ? ... ? ? ? 3 ? 4?? 0 ? r r 2r 5 ? ? ?

(2.6.2)

式中 Q 为电荷系的总电量,即

? Q ? ? ? (r ' )dV '
V

(2.6.3)

? p 为电荷系的电偶极矩,即
? ? ? p ? ? r ' ? (r ' )dV '
V

(2.6.4)

? ? D 为电荷系的电四极矩,即 ? ? ? ? ?? ? D ? ? (3r ' r '?r ' 2 I ) ? (r ' )dV '
V

(2.6.5)

它的 ij 分量为
? Dij ? ? 3 xi' x 'j ? r '? ij ? r ' dV '
V

?

?? ?

(2.6.6)

点电荷系的电四极矩为 ? ? ? 2? ?? D ? ? 3rn' rn' ? rn' I qn

?

?

(2.6.7)

n

其 ij 分量为
' ' Dij ?? ? (3xni xn j ? rn' ? ij )q n 2 n

(2.6.8)

? ? 电四极矩张量 D 是对称张量,又因为
D11 ? D22 ? D33 ? 0

(2.6.9)

? ? 因而 D 只有五个独立分量。

2、相互作用能
点电荷 q 在外场 ? e 中的能量为
We ? q? e

式中 ? e 是 q 所在处外电场的电势。
? 电荷系 ? ?r ? 在外场中的能量为
? ? We ? ? ? ?r ?? e ?r ?dV
V

点电荷系的相互作用能为
We ? 1 n ? qk? k 2 k ?1

式中 ? k 是除 q k 外所有其余的点电荷在 q k 所在点产生的电势。

第三章
§3.1
1、矢势
(1)稳恒电流磁场的基本方程
? ?? B ? 0

静磁场

矢势及其微分方程

(3.1.1) (3.1.2) (3.1.3) (3.1.4)



? ? B ? dS ? 0 ?
S

? ? ?? H ? J



? H ? dl
L

?

?

?I

? 式中 J 是自由电流密度, I 是被闭合环路 L 套住的自由电流的代数和。

(2)稳恒磁场的矢势

? ? 由 ? ? B ? 0 知,存在空间矢量势函数 A ,它满足
? ? B ? ?? A

(3.1.5)

? ? 对于一个确定的磁场 B ,由(3.1.5)式确定的矢势 A 不是唯一的,可以有
一个附加的任意空间函数的梯度。通常用条件
? ?? A ? 0

(3.1.6)

来对这个任意函数加以限制。

? (3)矢势 A 的物理意义

?
?

L

? ? ? ? ? ? A ? d l ? ? ? ? A ? dS ? ? B ? dS ? ?
S S

(3.1.7)

? 即矢势 A 沿任一闭合环路 L 的积分等于通过以 L 为边界的曲面 S 的磁通量。

2、矢势 A 的微分方程和边值关系
? 在均匀介质内,矢势 A 满足泊松方程

? ? ? 2 A ? ? ?J

(3.1.8)

矢势的边值关系
? ? A1 ? A 2

在均匀介质内,该方程的特解是
? ? A? 4?

?

V

?? J r ' dV ' ? ? r ?r'

? ?

(3.1.9)

式中的积分遍及电流所分布的空间 V 。

3、矢势的近似
?? 电流分布在区域 V (线度为 l )内,电流密度为 J ?r ' ?。

这电流在远处(即 r ?? l )产生的磁场其矢势可近似为 ? ? ? ? r A? m? 3 4? r 式中
? 1 ? ?? m ? ? r ' ? J r ' dV ' 2 V

(3.1.10)

? ?

(3.1.11)

叫做这电流的磁矩。对于一个载流为 I 的小线圈 L ,其磁矩为
? ? 1 ? m ? ? r ' ? dl ' 2 L

(3.1.12)

4、稳恒电流磁场的能量
(1)自具能
?? 电流分布在区域 V 内,密度为 J ?r ' ?,所具有的能量为

W?

1 ? ? J ? AdV 2 ?V

(3.1.13)

这能量分布在磁场中,因此
W? 1 ? ? 1 2 ?VH ? BdV ? 2 ?V ?H dV 2

(3.1.14)

? ? 式中 H 是上述电流所产生的磁场,积分遍及 H 不为零的全部空间 V 。
(2)相互作用能

? ? ? 电流 J ?r ? 在外磁场 Ae 中的能量为
? ? Wi ? ? J ? Ae dV
v

(3.1.15)

? 载电流 I 的小线圈在外磁场 Be 中的能量为 ? ? Wi ? m ? B

(3.1.16)

? 式中 m 为小线圈的磁矩。

§3.2
1、磁标势

磁标势

? 如果在某一闭合区域内没有自由电荷(即 J ? 0 ) ,这时稳恒磁场的基本方程


? ?? H ? 0 ? ?? B ? 0 ? 由 ? ? H ? 0 知,在该区域内存在势函数 ? m ,它满足 ? H ? ??? m

(3.2.1) (3.2.2)

(3.2.3)

? ? 这时, H 在形式上与静电场的 E 相对应,而 ? m 则与静电场的电势 ? 相对应。

2、磁标势的拉氏方程和边值关系
拉氏方程为
? 2? ? 0

(3.2.4)

在没有传导电流的两介质交界面上,由
H 1t ? H 2t
B1n ? B2 n

(3.2.5) (3.2.6)

得出磁标势的边值关系为

? m1 ? ? m 2

(3.2.7)

?1

?? m1 ?? m 2 ? ?2 ?n ?n

(3.2.8)

? 式中 n 是交界面上由介质 1 指向介质 2 的单位法向矢量。

3、 “磁荷”
磁荷密度:

? m ? ?? 0? ? M

?

第四章
§4.1
1、电磁场的波动方程
(1)真空中

电磁波的传播
平面电磁波

? ? ? 在 ? ? 0 , J ? 0 的自由空间中,电磁强度 E 和磁场强度 H 满足波动方程

? ? 1 ?2E ? E? 2 2 ?0 c ?t
2

(4.1.1)

? ? 1 ?2H ? H? 2 ?0 c ?t 2
2

(4.1.2)

式中
c? 1 ? 2.997925 ? 10 8 米/秒

? 0 ?0

(4.1.3)

是光在真空中的速度。 (2)介质中 当电磁波在介质内传播时, 介质的介电常数 ? 和磁导率 ? 一般地都随电磁波

? ? 的频率变化,这种现象叫色散。这时没有 E 和 H 的一般波动方程,仅在单色波
(频率为 ? )的情况下才有
? ? 1 ?2E ? E? 2 2 ?0 v ?t
2

(4.1.4)

? ? 1 ?2H ? H? 2 ?0 v ?t 2
2

(4.1.5)

式中
v?? ? ?

? ?? ?? ?? ?

1

(4.1.6)

是频率 ? 的函数。

2、亥姆霍兹方程
? 在各向同性的均匀介质内,假设 ? ? 0 , J ? 0 ,则对于单色波有
? ? ? ? E ?r , t ? ? E ?r ?e ?i?t ? ? ? ? H ?r , t ? ? H ?r ?e ?i?t

(4.1.7) (4.1.8)

这时麦克斯韦方程组可化为
? ? ? 2 E ? k 2 E ? 0,

?k ? ?

??

?

(4.1.9) (4.1.10) (4.1.11)

? ?? E ? 0
? ? i H ?? ?? E

??

? (4.1.9)式称为亥姆霍兹方程。由于导出该方程时用到了 ? ? E ? 0 的条件,因 ? 此,亥姆霍兹方程的解只有满足 ? ? E ? 0 时,才是麦克斯韦方程的解。

3、单色平面波
亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波
? ? ? ?? E ?r , t ? ? E0 e i ?k ?r ??t ? ? ? ? ?? H ?r , t ? ? H 0 e i ?k ?r ??t ?

(4.1.12) (4.1.13)

? 式中 k 为波矢量,其值为

k ? ? ?? ?

2?

?

(4.1.14)

平面波在介质中的相速度为
vP ?

?
k

?

1

??

(4.1.15)

式中 ? 和 ? 一般是频率 ? 的函数。 算符 ? 和
? 作用于单色平面波的场(4.1.12)式或(4.1.13)式时,可简 ?t

化为
? ? ?i? ?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? E ? ik ? E , ? ? E ? ik ? E ,而 E ? ?i?E 。 ?t ? ? ik,

(4.1.16)

电场和磁场的关系为
? H ?

?? ? n?E ?

(4.1.17)

? ? 式中 n ? k ,为波传播方向上的单位矢量。 k

4、电磁波的能量和能流
电磁波的能量密度为

??

1 ? ? ? ? ?E ? D ? H ? B ? 2

(4.1.18)

对于单色平面波有 ?E 2 ? ?H 2 ,故

? ? ?E 2 ? ?H 2
单色平面波的能流密度为
? ? ? S ? E?H ?

(4.1.19)

? ? ? ? ? E ? ?n ? E ? ? ?v ?

(4.1.20)

对时间平均的能流密度为
? 1 ? ? 1 ? 2? S ? Re E ? H * ? E0 n 2 2 ?

?

?

(4.1.21)

§4.2

电磁波在介质交界面上的反射和折射

如图 1-3-1 所示,取 两介质的交界面为 xy 平 面, 轴从介质 1 指向介质 z 2。设平面电磁波从介质 1 入射到交界面上, 入射波、 反射波和折射波的电场强 度分别为
? ? ? ? 入射波: Ei ? E10 e i ?k1 ?r ??t ?

(4.2.1) (4.2.2) (4.2.3)

? ? ' ?' ? 反射波:E r ? E10 e i ?k1 ?r ??t ?
? ? ? ? 折射波:Ei ? E 20 e i ?k2 ?r ??t ?

1、反射定律和折射定律
电磁波在交界面上反射和折射时,分别遵守反射定律和折射定律

? 1 ? ? 1'
? 2?2 sin ? 1 k 2 ? ? n 21 sin ? 2 k1 ? 1 ?1

(4.2.4) (4.2.5)

式中 n21 为介质 2 相对于介质 1 的折射率。除铁磁质外,一般介质 ? ? ? 0 ,故可 得
n 21 ?

?2 ?1

(4.2.6)

2、反射波和折射波的振幅
(1)菲涅耳公式

? 按入射波电矢量的振幅 E10 分下列三种情形: ? (i) E10 垂直于入射面
' E10 sin?? 1 ? ? 2 ? ?? E10 sin?? 1 ? ? 2 ?

(4.2.7)

E 20 2 cos? 1 sin ? 2 ? E10 sin?? 1 ? ? 2 ?
? (ii) E10 平行于入射面
' E10 tan?? 1 ? ? 2 ? ? E10 tan?? 1 ? ? 2 ?

(4.2.8)

(4.2.9)

E 20 2 cos? 1 sin? 2 ? E10 sin?? 1 ? ? 2 ? cos?? 1 ? ? 2 ?
? (iii) E10 与入射面斜交

(4.2.10)

? 把三个波的电矢量的振幅 ?E 0 ? ? 都分解为垂直于入射面的分量 E0?
? 和平行于入射面的分量 ?E 0 // ? ,如图

1-3-2 所示,即
? ? ? E10 ? E10? ? E10 // ?' ?' ?' E10 ? E10? ? E10 //
? ? ? E 20 ? E 20? ? E 20 //

(4.2.11) (4.2.12) (4.2.13)

? ?' ? ? ?' ? 结果得出, E10? 和 E 20? 都只与 E10? 有关;而 E10 // 和 E 20 // 则都只与 E10 // 有关。具体

关系如下:
?' sin?? 1 ? ? 2 ? ? E10? ? ? E 10? sin?? 1 ? ? 2 ? ? 2 sin? 2 cos? 1 ? E 20? ? E10? sin?? 1 ? ? 2 ?

(4.2.14)

(4.2.15)

tan?? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?' n1' ? E10 // ? n1 ? E10 // tan?? 1 ? ? 2 ? ? ? n2 ? E 20 // ? 2 sin ? 2 cos? 1 ? ? n1 ? E10 // sin?? 1 ? ? 2 ? cos?? 1 ? ? 2 ?

(4.2.16)

(4.2.17)

可见(i)和(ii)是(iii)的两种特殊情况。 (2)反射和折射产生的偏振

? 由(4.2.16)式可知,在 ? 1 ? ? 2 ? 90 0 的情况下, E 平行于入射面的分量没 ? 有反射波, 因而反射波便是 E 垂直于入射面的完全偏振波。这就是光学中的布儒
斯特定律,这时的入射角称为布儒斯特角,其值为

? b ? tan ?1

?2 ?1

(4.2.18)

3、全反射
由折射定律知,当电磁波从 ? 较大的介质 ?? 1 ? 入射到 ? 较小的介质 ?? 2 ? ? 1 ? 的交界面上时,折射角 ? 2 大于入射角 ? 1 ,当 sin? 1 ? n21 时,? 2 变为 90 0 ,这时的 入射角称为临界角,其值为 ? 0 ? sin ?1

?2

?1 。

若入射角再增大,当 ? 1 ? ? 0 时, sin? 1 ? n21 。这时 ? 2 就是复数,因而不再具 有折射角这种直观的几何意义了。但折射定律
sin ? 1 k 2 ? sin ? 2 k1

仍然成立。这时折射波为
? ? 2 Ei ? E 20 e ? k1 sin 2 ? 1 ? n21 z ? e i ?k1x sin ?1 ??t ?

(4.2.19)

是沿交界面 x 方向传播的电磁波。它的振幅沿 z 轴方向指数衰减。当振幅衰减到
1 交界面上的振幅的 时,沿 z 方向的距离为 e

z0 ?

1
2 k1 sin 2 ? 1 ? n 21

?

?1
2 2? sin 2 ? 1 ? n 21

(4.2.20)

在一般情况下, z 0 和波长 ?1 同数量级。因此在发生全反射时,折射波的能 量主要集中在交界面附近厚度为 z 0 的薄层内。当 ? 1 ? ? 0 时,反射波的平均能流 密度等于入射波的平均能流密度。因此,对时间平均来说,入射波的能量全部被 反射,所以叫做全反射。

§4.3
1、导体的弛豫时间

有导体存在时电磁波的传播

在静电时, 自由电荷只能分布在导体表面上。当导体里某处有电荷密度 ? 出 现时,就会引起电流流动。 ? ?t ? 与时间 t 的关系为

? ?t ? ? ? 0 e

? t

? ?

? ?0e

?

t

?

(4.3.1)

? 式中 ? 是导体的电导率。? ? ? ? ,叫做导体的弛豫时间,它等于 ? 值减小到 0 ?
的时间。 在交变场中,只要电磁波的频率 ? 满足

? ?? 1 ??

(4.3.2)

就可以认为导体里没有自由电荷分布,因此(4.3.2)式可当做良导体的条件。

2、导体内的电磁波
对于一定频率的单色波来说,麦克斯韦方程组可以化为
? ? ? ? E ? i?? H

(4.3.3) (4.3.4) (4.3.5) (4.3.6)

? ? ? ? H ? ?i?? ' E ? ?? E ? 0 ? ?? H ? 0

式中

?' ?? ?i

? ?

(4.3.7)

叫做导体的复介电常数。 由(4.3.3)—(4.3.6)可得导体内的亥姆霍兹方程为
? ? ?2 E ? k 2 E ? 0

(4.3.8)

k ? ? ? '?

(4.3.9)

? 这时 k 是一个复矢量,设
? ? ? k ? ? ? i?

(4.3.10)

则方程(3.3.8)的单色波解为
?? ? ? ? ?? E ?r , t ? ? E0 e ?? ?r ? e i ?? ?r ??t ?

(4.3.11)

? ? ? 其中 k 的实部 ? 称为周相常数,虚部 ? 称为衰减常数。

如图 1-3-3,设电磁波从介质入射到导体平面(z=0)上, zx 平面为入射面。 则由边值关系
k 0 x ? k x ? ? x ? i? x ,
k0 y ? k y ? 0

可得

? ? ?0, 0, ? ? ,
其中

?

? ? (k 0 sin? , 0, ? z )

?

(4.3.12)

??

1 2 1 2

?? ??

2

?? ? k 02 sin 2 ? ? ? ? 2 ? 2? 2 ?
2 2

1 2 ? ?? ? k 02 sin 2 ? 2 1 2 ? ?? ? k 02 sin 2 ? 2

?

? ?

(4.3.13)

?z ?

2

?? ? k 02 sin 2 ? ? ? ? 2 ? 2? 2 ?

?

(4.3.14)

3、穿透深度

当电磁波垂直入射到导体表面上时,由(4.3.12)式和(4.3.13)式可得

??? ?

???
2

(4.3.15)

1 这时,透射波的振幅随 z 作指数衰减,当振幅减小到导体表面处振幅的 时,沿 e

z 方向经过的距离定义为穿透深度

? ?

1

?

?

2

???

(4.3.16)

§4.4

谐振腔

谐振腔是各面都由金属壁构成的一个空腔,在腔内能够激发各种特定频率 ? 的驻波。

1. 矩形谐振腔中的电磁波
矩 形 谐 振 腔 ( a ? b ? c) 如 图 1-3-5 所示。解亥姆霍兹方程,并把 金属壁当作理想导体, 利用边界条件得出: 矩形腔内电 磁场的振幅为
? E x ? A1 cos k x x sin k y y sin k z z ? ? E y ? A2 sin k x x cos k y y sin k z z ? ? E z ? A3 sin k x x sin k y y cos k z z

(4.4.1)

式中
m? ? ?k x ? a ? n? ? ?k y ? b ? p? ? ?k z ? c ?

(4.4.2)

? m 、 n 、 p 为任意正整数或零。 A1 , A2 和 A3 为任意常数;但因 ? ? E ? 0 ,故 A1 , A2 和 A3 之间有如下关系:
k x A1 ? k y A 2 ? k z A3 ? 0

(4.4.3)

所以, A1 , A2 和 A3 之中仅有两个是独立的。

2. 本征频率 ? mnp
对于每一组 (m, n, p) 值,谐振腔的本振频率为

? mnp ? c (

m? 2 n? p? 2 ) ? ( )2 ? ( ) a b d

(4.4.4)

3. 偏振波型
? 对于每一组 (m, n, p) 值,有两种独立的偏振波型,它们的电场 E 互相垂直。

矩形谐振腔可看做是由轴向长度为 d 的一根矩形波导管,在两端加上与波导 轴线垂直的金属端面构成。 由于端面的存在, 波导内的场现在有两部分迭加而成: 一部分是沿 z 方向传播的波,另一部分是沿负 z 方向传播的波。这样对 TE 波来 说,其纵向分量 H oz 便为
m? n? m? n? ' H oz ? H 0 cos( x) cos( y)e ik z z ? H 0 cos( x) cos( y)e ?ik z z a b a b

又因为在端面 z ? 0和z ? d 上有
H oz ?0

z ?0 z ?d

(4.4.5)

' 故 H 0 ? ? H 0 。于是得

m? n? p? H oz ? i 2 H 0 cos( x) cos( y) sin( z) a b d

最后得到,能在矩形谐振腔内存在的电磁场是一种驻波,其表达式如下:
m? n? p? H z ? i 2 H 0 cos( x) cos( y) sin( z )e ?i?t a b d
H x ? ?i 2 H 0 kz m? m? n? p? sin( x) cos( y ) cos( z )e ?i? t 2 2 a k ? kz a b d kz n? m? n? p? cos( x) sin( y ) cos( z )e ?i? t 2 2 b k ? kz a b d

(4.4.6) (4.4.7)

H y ? ?i 2 H 0

(4.4.8)

E x ? 2H 0

n? ? 0 ck m? n? p? cos( x) sin( y ) sin( z ) e ? i? t 2 2 b k ? kz a b d m? ? 0 ck m? n? p? sin( x) cos( y ) sin( z )e ?i? t 2 2 a k ? kz a b d

(4.4.9)

E y ? ?2 H 0

(4.4.10) (4.4.11)

Ez ? 0

这驻波是谐振腔中一种独立的偏振波型,它与波导中的 TE 波相对应。对于 同一组 (m, n, p) 值来说,与波导管中的 TM 波相对应的另一种独立的偏振波型, 可以用类似的方法求出。

§4.5
1. 波导管中的电磁波

波导管

传播电磁波的长直金属管叫做波导管。波导管中传播的电磁波与自由空间 的电磁波相比,由于边界条件不同,在性质上也有些不同。设以波导管的轴线为

z 轴,则波导管内沿 z 轴传播的频率为 ? 的电磁波可表示为
? ? E ? E 0 ( x, y )e i ( k z z ??t ) ? ? H ? H 0 ( x, y )e i ( k N z ?? t )

(4.5.1) (4.5.2)

? ? 因 E和H 满足下列方程

? 1 ?2 ? E ? (? 2 ? 2 2 )? ? ? ? 0 c ?t ? H ? ? ?
故得

(4.5.3)

? ?E ? ?2 ?2 2 2 ? ( 2 ? 2 ? k ? kz ) ? ? ? 0 ?H ? ?x ?y ? 0?
? 式中 k ? ? c , k z 为 k 沿 z 方向的分量。

(4.5.4)

2. TE 波和 TM 波
把(4.5.1)式和(4.5.2)式代入麦克斯韦方程组,得
? ? ?? ? E ? i?? 0 H ? ? ? ?? ? H ? ?i?? 0 E ? ? ?? ? E ? 0 ? ? ?? ? H ? 0

(4.5.5)

由此可得,场的横向分量可用纵向(轴向)分量表示如下
E ox ? ?H oz ?E oz i ( ? 0 ck ? kz ) 2 ?y ?x k ? kz
2

(4.5.6)

E oy ? ?

?H oz ?E oz i ( ? 0 ck ? kz ) 2 ?x ?y k ? kz
2

(4.5.7)

H ox ? ?

?H oz i k ?Eoz ( ? kz ) 2 ?x k ? k z ? 0 c ?y
2

(4.5.8)

H oy ?

?H oz i k ?E oz ( ? kz ) 2 ?y k ? k z ? 0 c ?x
2

(4.5.9)

可见,只要知道场的纵向分量 Eoz 和H oz ,波导管内的电磁场就可完全确定。 由(4.5.6)至(4.5.9)诸式可以看出:波导管内不能传播 TEM 波(即
Eoz ? 0和H oz ? 0 的横电磁波) 。波导管内可以传播 TE 波(即 Eoz ? 0而H oz ? 0 的

横电磁波)和 TM 波(即 Eoz ? 0而H oz ? 0 的横电磁波) 。

3. 矩形波导管
横截面为矩形的波导管 叫做矩形波导管。设管内横 截面积为 a ? b ,取坐标如图 1-3-4 所示,电磁波沿 z 轴 方向传播。 (1) TE 波 由(4.5.6)至(4.5.9)诸式可知, TE 波由电磁场的纵向分量 H oz 决定。 由方程(4.5.4)得
? ?2 ? ?2 ? 2 ? 2 ? k 2 ? k z2 ? H oz ? 0 ? ?x ? ?y ? ?

(4.5.10)

边界条件为
?H oz ?x ?0 ?H oz ?y ?0

x ?0 x?a

y ?0 y ?b

(4.5.11)

由分离变量法可知, (4.5.10)式满足上述边界条件的解为

H oz ? H 0 cos k x x cos k y y

(4.5.12)

式中 H 0 是常量, k x ?

m? n? ( m, n 为正整数或零) 。把(3.4.12)式分别 ,ky ? a b

代入(4.5.6)至(4.5.9)诸式,得 TE 波为
E x ? ?i n? ? 0 ck m? n? H 0 cos( x) sin( y )e i ( k z z ??t ) 2 2 b k ? kz a b

(4.5.13)

Ey ? i

m? ? 0 ck m? n? H 0 sin( x) cos( y )e i ( k z z ??t ) 2 2 a k ? kz a b

(4.5.14) (4.5.15)

Ez ? 0
H x ? ?i kz m? m? n? H 0 sin( x) cos( y )e i ( k z z ?? t ) 2 2 a k ? kz a b kz n? m? n? H 0 cos( x) sin( y )e i ( k z z ?? t ) 2 2 b k ? kz a b

(4.5.16)

H y ? ?i

(4.5.17) (4.5.18)

m? n? H z ? H 0 cos( x) sin( y)e i ( k z z ?? t ) a b

(2) TM 波

TM 波由电场的纵向分量 Eoz 决定。 Eoz 满足方程
? ?2 ? ?2 ? 2 ? 2 ? k 2 ? k z2 ? E oz ? 0 ? ?x ? ?y ? ?

(4.5.19)

边界条件为
E oz ? 0 , E oz ?0

x ?0 x?a

y ?0 y ?b

(4.5.20)

(4.5.19)式满足上述边界条件的解为
Eoz ? E0 sin( m? n? x) sin( y) a b

(4.5.21)

把(4.5.21)式代入(4.5.6)至(4.5.9)诸式得 TM 波为
Ex ? i kz m? m? n? E 0 cos( x) sin( y )e i ( k z z ?? t ) 2 2 a k ? kz a b

(4.5.22)

Ey ? i

n? k z m? n? E0 sin( x) cos( y )e i ( k z z ??t ) 2 2 b k ? kz a b

(4.5.23) (4.5.24) (4.5.25)

E z ? E0 sin(
H x ? ?i

m? n? x) sin( y)e i ( k z z ??t ) a b

n? k m? n? E0 sin( x) cos( y )e i ( k z z ?? t ) 2 2 b ? 0 c(k ? k z ) a b

Hy ? i

m? k m? n? E0 cos( x) sin( y )e i ( k z z ?? t ) 2 2 a ? 0 c(k ? k z ) a b

(4.5.26)
Hz ? 0

(4.5.27)

4. 波导管中电磁波的特点
(1)波型 在波导管内不可能存在 TEM 波,只能存在 TE 波或 TM 波。在波导管的横截 面上,场的分布情况取决于 m和n 这两个常数,每一组 m和n 的值对应两种独立 的波型,分别记为 TE mn 和TM mn 波。 (2)截止频率 模式为 (m, n) 的电磁波的截止频率为

? c ,mn ? c (

m? 2 n? ) ? ( )2 a b

(4.5.28)

当电磁波的频率 ? ? ? c,mn 时,
kz ?

?2
2

n? ? ? m? 2 ? ?( ) ? ( )2 ? b ? c ? a

(4.5.29)

是虚数,这时传播因子 e ik z z 就变为衰减因子,因而不能在波导管中传播。 (3)波长 ? 电磁波在波导管中的波长 ? 比在自由空间中的波长 ? 0 长,即

??

2? 2? ? ? ?0 kz k

(4.5.30)

(4)相速度和群速度 由相因子 (k z z ? ? t ) 可得电磁波沿 z 方向的相速度为
vp ?

?
kz

?

? k
k kz

?c

(4.5.31)

可见,在波导管中电磁波的相速度大于真空中的光速 c 。但这并不违反相对论, 因为电磁波能量传播的速度是群速度,即
vg ? k d? ?c z ?c dk z k

(4.5.32)

由以上两式有
v p vg ? c 2

(4.5.33)

5. TE10 波
波导中最简单也最常用的波型是 TE10 波。令 m ? 1 , n ? 0 ,由(4.5.13)至 (4.5.18)诸式的 TE10 波为
Ex ? 0

(4.5.34)
H 0 sin( x) sin(k z z ? ? t ) a k ?k a
2 2 z

Ey ? ?

? 0 ck ?

?

(4.5.35) (4.5.36) (4.5.37) (4.5.38)

Ez ? 0
Hx ? kz ? ? H 0 sin( x) sin(k z z ? ? t ) 2 a k ? kz a
2

Hy ? 0

H z ? H 0 cos( x) cos(k z z ? ? t ) a
TE10 波的截止频率为

?

(4.5.39)

? c ,10 ? 2?
相应波长为

c 2a

(4.5.40)

?c,10 ? 2a
这是能够在矩形波导管内传播的电磁波的最长波长。

(4.5.41)

第五章
§5.1
1. 矢势和标势
(1)矢势

电磁波的辐射

电磁场的矢势和标势

? ? 因为 ? ? B ? 0 ,故存在矢势 A ,使得

? ? B ? ?? A

(5.1.1)

? 矢势 A 沿任一闭合环路 L 的线积分等于通过以 L 为边界的任意曲面 S 的磁通

量,即

? A ? dl ? ? ? ? A ? dS ? ? B ? d S ? ?
L S S

?

?

?

?

?

?

(5.1.2)

(2) 标势
? ? ?B ? 0 和(5.1.1)式得 由麦克斯韦方程组的 ? ? E ? ?t ? ? ?A ? ? (E ? ) ? 0 ?t

? ? ?A 可见 E ? 是无旋场,因此存在标势 ? ,使得 ?t ? ? ?A E? ? ??? ?t

所以
? ? ?A E ? ??? ? ?t

(5.1.3)

(3)用矢势和标势描述电磁场
? ? ? 在宏观领域里,通常用 E和B 描述电磁场,有时为方便起见,也用矢势 A 和

? 标势 ? 描述电磁场。 在微观领域里 (如在量子力学和量子场论中) 通常都用 A 和 ,

? 描述电磁场。

2. 规范变换
(1)规范变换
? ? ? 对于一个给定的电磁场,它的 E和B 都是确定的,但它的 A 和 ? 却并不是确
? 定的,而是有一定程度的任意性。设? (r , t ) 为有连续二级偏微商的任意函数,则


? ? A' ? A ? ??

(5.1.4) (5.1.5)

?' ?? ?

?? ?t

? ? 时, A ' , ? '与A, ? 所描述的是同一个电磁场。 (5.1.4)式和(5.1.5)式通常叫做

规范变换。 (2)两种规范
? 为了对矢势和标势的任意性加以限制,可根据方便,选择 ? ? A 为某个值。

这叫做选择规范。 (a) 库仑规范
? ?? A ? 0

(5.1.6)

(b) 洛伦兹规范
? 1 ?? ?? A ? ? 2 c ?t

(5.1.7)

3. 势的微分方程
在真空中,由麦克斯韦方程和势的定义可推得
? ? 1 ?2 A ? 1 ?? ? ? A ? 2 2 ? ?(? ? A ? 2 ) ? ?? 0 J c ?t c ?t
2

(5.1.8)

? 2? ?

? ? ? ?? A ? ? ?t ?0

(5.1.9)

(1)选择库仑规范时,方程(5.1.8)和(5.1.9)式分别化为
? ? 1 ?2 A 1 ? ? ? 2 A ? 2 2 ? 2 ? ?? ? ? ? 0 J ?t c ?t c
? 2? ? ?

(5.1.10)

? ?0

(5.1.11)

这时,标势 ? 与静电势相同,就是库仑势。 (2)选择洛伦兹规范时,方程(5.1.8)式和(5.1.9)式分别化为
? ? 1 ?2 A ? ? 2 A ? 2 2 ? ?? 0 J c ?t
? 2? ? 1 ? 2? ? ?? 2 2 ?0 c ?t

(5.1.12)

(5.1.13)

? ? ? 这时 A和? 满足相同的方程——达朗伯方程, 具有波动方程的形式, 电流 J是A 的

波源,电荷 ?是? 的波源。在源区以外,矢势和标势都以波动形式在空间中传播。

§5.2

推迟势

? 设电荷和电流分布在体积 V 内,它们在 r 处产生的势为 ? ? ?' | r ?r' | ) ? (r , t ? ? 1 c dV ' ? (r , t ) ? ? ?' ?V 4?? 0 |r ?r |
? ? ? A(r , t ) ? 0 4?

(5.2.1)

?

V

? ? ? ?' |r ?r' | ) J (r , t ? c dV ' ? ?' r ?r

(5.2.2)

? 式 中 ? 和 J 分别 表示
? ? r ?r' ?' ' r 处t ? t ? 时刻 c

的电荷密度和电流密 度 , 参 看 图 1-4-1 。 (5.2.1)和(5.2.2)
? ? 两式表明,电荷和电流在距离为 r ?r' 处产生势需要经过一段时间

t ?t ?
'

? ? r ?r' c

,所以叫做推迟势。

1. 振荡电流的推迟势和电磁场
(1)振荡电流的推迟势
? 若电流 J 是频率为 ? 的振荡电流,即
? ? ? ? J (r ' , t ) ? J (r ' )e ?i? t

(5.2.3)

则由前面的(5.2.2)式得出它所产生的推迟矢势为

? ? ? A(r , t ) ? 0 4?

?

V

? ? i ( k r? ?r? ' ?? t ) J ( r ' )e dV ' ? ?' r ?r

(5.2.4)

? ? ? ? 式中 k ? ? c 。令 A(r ' , t ) ? A(r ' )e ?i? t ,则

? ? ? A(r , t ) ? 0 4?

?

V

? ? ik r? ?r? ' J ( r ' )e ' ? ? ' dV r ?r

(5.2.5)

(2)振荡电流外面的电磁场
? ? 在振荡电流区域外面, J ? 0, ? ? 0 。这时,有了 A ,就可求出磁场
? ? B ? ?? A

(5.2.6)

再根据下式,便可求出电场
? ic 2 ? E? ?? B

?

(5.2.7)

? 因此,这时只要知道矢势 A ,便可求出电磁场来。

2. 远区推迟势的多极展开
? ? ? ? 设电流 J (r ' , t ) ? J (r ' )e ?i? t 分布在区域 V 内,V 的线度为 l 。如图 1-4-2,在 V

内任取一点为坐标原点,这 时,r ' ? l 。通常 r ? ?(波长) 的 地 方 叫 做 中 区 , 把
r ?? ? ?? l 的地方叫做远区。

在中区和远区, (5.2.5)式可 展开为
? ? ? e ik r A(r ) ? 0 4?r

?

V

? ? ? ? J (r ) 1 ? iker ? r ' ? ? dV '

?

?

(5.2.8)

? ? ? r 式中 er ? 是 r 方向上的单位矢量。 r

这个展开式可用多极矩表示如下:第一项为
? (0) ? ? 0 e ik r i?? 0 e i? r ? ' A (r ) ? dV ? ? p0 4?r 4?r
? ? ? 式中 p 0 是系统的电偶极矩 p ? p 0 e ? i?t 的振幅,即

(5.2.9)

? ? ? p 0 ? ? r ' ? (r ' )dV '
V

(5.2.10)

第二项为
? ? ik? 0 e ik r A (1) (r ) ? 4? r

(5.2.11) ? ik? 0 e i? r ? ? i? ? ? ?? (e r ? m 0 ? e r ? D0 ) 4?r 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 式中 m0 是系统的磁矩 m ? m0 e ?i?t 的振幅, D 是系统的电四极矩 D ? De ?i?t 的振 幅,它们分别为
1 ? ? ? ? m0 ? ? r ' ? J (r ' )dV ' 2 V

?

V

? ? ? ? J ( r ' )er ? r ' dV '

(5.2.12)



? ? ? ? ? ?' ?' '2 D ? ? (3r r ? r I ) ? (r ' )dV '
V

(5.2.13)

§5.3
1. 中远区的电偶极场

电偶极辐射

? 由(5.2.9)式可求出振荡电偶极矩 p 产生的电磁场为
? ? ? ? i?? 0 ik 1 i ( k r ?? t ) ? ? B ( 0) (r , t ) ? ? ? A ( 0) (r , t ) ? ( ? ? 2 )e er ? p 0 4? r r

(5.3.1) (5.3.2)

? ? ? ? ic E ( 0) (r , t ) ? ? ? B ( 0 ) (r , t ) k ? ? r 式中 er ? ,如图 1-4-3 所示。 r ? p0

? 图 1-4-3

? ? r er ? r

? 若以 p 0 为极轴,取球极坐标系,则由上面两式得

? i? p0 ? H ( 0) (r , t ) ? 4?

? ? ik 1 ? i ( k r ?? t ) sin? e? ? r ? r 2 ?e ? ?

(5.3.3)
? ? p ? 1 ik ? p ? E ( 0 ) (r , t ) ? 0 ? 3 ? 2 ? e i ( k r ?? t ) cos? er ? 0 2?? 0 ? r 4?? 0 r ? ? 1 k 2 ik ? i ( k r ?? t ) ? e sin ? e? ? 3 ? 2 ? r r ? ?r

(5.3.4)

2. 电偶极辐射场
对于远区的辐射场, 可略去 电偶极辐射场便为
? ? 2 p 0 i ( k r ?? t ) ? E? e sin? e? 2 4?? 0 c r

? 1 1 这时, p 0 方向为极轴取球极坐标, 以 和 3 项。 2 r r

(5.3.5)

? ? 2 p0 i ( k r ?? t ) ? H ?? e sin? e? 4?cr

(5.3.6)

平均辐射能流密度为
? 2 ? 1 ?* ? ? 4 p0 ? S ? Re ( E ? H ) ? sin 2 ? er 2 3 2 2 32? ? 0 c r

(5.3.7)

平均辐射功率为
P?
2 ? 4 p0 12?? 0 c 3

(5.3.8)

§5.4
1.磁偶极辐射

磁偶极辐射和电四极辐射

(5.2.11)式中的磁偶极辐射项为
? ? ik? 0 e ik r ? ? ik? 0 e i ( k r ?? t ) ? ? A(r , r ) ? er ? m ? e r ? m0 4?r 4?r

(5.4.1)

由此得磁偶极辐射场为
? ? 2 m0 i ( k r ?? t ) ? E? e sin? e? 3 4?? 0 c r

(5.4.2)

? ? 2 m0 i ( k r ?? t ) ? H ?? e sin? e? 2 4?c r

(5.4.3)

磁偶极辐射的平均能流密度为
? ? S?
2 ? 4 m0 ? sin 2 ? er 2 5 2 32? ? 0 c r

(5.4.4)

辐射功率为
P?

? 4 m0 2 12?? 0 c 5

(5.4.5)

2. 电四极辐射
(5.2.11)式中的电四极辐射项为
? ? ? ? ik? 0 e ik r ? ? A(r , t ) ? ? er ? D 24?r

(5.4.6)

? 定义矢量 D 为
? ? ? ? D ? er ? D

(5.4.7)

则得电四极辐射场为
? ? B(r , t ) ? e ik r ??? ? ? D ? er 4 24?? 0 c r

(5.4.8)

? ? E (r , t ) ?

? e ik r ??? ? ? ( D ? er ) ? er 3 24?? 0 c r

(5.4.9)

平均流密度为
? 1 ? 1 1 ??? ? 2 ? ? S ? Re( E * ? H ) ? D ? er er 5 2 2 4?? 0 288?c r

(5.4.10)

§5.5
1. 半波天线
长度为 l ?

天线辐射

?
2

的天线叫做半波天线.以半波天线的中点为原点,天线为极轴,

取球坐标系。设天线上载有振荡电流
I ? I 0 cos k z e ? i? t

(5.5.1)

? 则拥有振荡电流产生矢势的规律可以求出,在 r ?? l 的 r 处,t 时刻,天线上的电
流所产生的矢势为

? ? ? 0 I 0 cos(2 cos? ) e i ( k r ?? t ) ? ? A(r , t ) ? (cos? er ? sin? e? ) 2 2?k r sin ?
由这个矢势求得半波天线的远场为

?

(5.5.2)

cos( cos? ) i ( k r ?? t ) ? ? iI 0 ? 1 e 2 H? ?? A ? ? e? ?0 2? sin? r

?

(5.5.3)

cos( cos? ) i ( k r ?? t ) ? ? i? 0 cI 0 ? 1 e 2 E? ?? H ? ? e? ?? 0 2? sin? r
半波天线的平均辐射能流密度为
2 ? 1 ? ?* ? 0 cI 0 2 cos ( 2 cos? ) ? S ? Re( E ? H ) ? er 2 8? 2 r 2 sin 2 ?

?

(5.5.4)

?

(5.5.5)

平均辐射功率为
? ? ? 0 cI 0 2 P ? ? ? S ? d? ? 4?

?

?

0

cos2 ( cos? ) ? 0 cI 0 2 2 2 d? ? 2.437 ? 36.53 I 0 sin? 8?

?

(5.5.6) 半波天线的辐射电阻为

Rr ?

2P I0
2

? 73.06?

(5.5.7)

2. 整数倍半波天线
设天线长度 l 为半波长的整数倍,即
l?m , 2

?

m ? 1, 2, 3??

(5.5.8)

以天线中点为原点,天线为极轴,取球坐标系。则当天线上载有振幅为 I 0 的 振荡电流时,它的远场和平均辐射能流密度如下: (1) m 为奇数( m ? 1, 3, 5?)
m? cos( cos? ) i ( k r ?? t ) ? i? 0 cI 0 ? e 2 E?? e? 2? sin? r m? cos( cos? ) i ( k r ?? t ) ? iI 0 ? e 2 H ?? e? 2? sin? r 2 m? cos? ) 2 cos ( ? 1 ? ?* ? 0 cI 0 ? 2 S ? Re ( E ? H ) ? er 2 2 2 2 8? r sin ?

(5.5.9)

(5.5.10)

(5.5.11)

(2) m 为偶数( m ? 2, 4, 6?)
m? ? ? 0 cI 0 sin( 2 cos? ) e i ( k r ?? t ) ? (5.5.12) E?? e? 2? sin? r m? sin( cos? ) i ( k r ?? t ) ? I0 ? e 2 (5.5.13) H ?? e? 2? sin? r 2 m? cos? ) 2 sin ( ? 1 ? ?* ? 0 cI 0 ? 2 (5.5.14) S ? Re( E ? H ) ? er 2 2 2 2 8? r sin ? ? 由于 S 与方位角 ? 无关,故对于天线来说辐射是轴对称的。对于 ? 来说,辐

射角分布的图形有 m 瓣。

§5.6

电磁场的动量

1. 麦克斯韦应力张量和电磁场的动量密度
洛伦兹力公式为
? ? ? ? f ? ?E ? J ? B

(5.7.1)

? 表示单位体积的电何和电流所受到的电磁场作用力。 f 称为力密度。

? 应用麦克斯韦方程组消去(5.7.1)式中的 ? 和 J ,可得 ? ?? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? f ? ? ? [ ED ? HB ? ( E ? D ? H ? B) I ] ? ( D ? B) 2 ?t

(5.7.2)

(1) 麦克斯韦应力张量
? ? ?? ?? 1 ? ? ? ? ? ? T ? ED ? HB ? ( E ? D ? H ? B) I 2 ? ?? ?? ? ? ED ? HB ? wI E1 D2 ? H 1 B2 E1 D3 ? H 1 B3 ? ? E1 D1 ? H 1 B1 ? w ? E D ?H B ?? 2 1 E 2 D2 ? H 2 B2 ? w E 2 D3 ? H 2 B3 ? 2 1 ? ? E3 D1 ? H 3 B1 E 3 D2 ? H 3 B2 E3 D3 ? H 3 B3 ? w? ? ?

(5.7.3)

(2)电磁场的动量密度 电磁场单位体积的动量为
? ? ? ? S g ? D? B ? 2 c

(5.7.4)

因此,(5.7.2)式可表示为 ? ? ?g ? ? f ? ? ?T ? ?t

(5.7.5)

2. 电磁系统的动量守恒定律
? 考虑一个封闭曲面 ? 包住的体积 V ,在 V 内分布有电荷 ? 和电流 J 。把

(5.7.5)式对 V 积分得

? ? ? ? ?g ?V dVf ? V dV? ? T ??V dV ?t ?

(5.7.6)


? ? ? ? ? ?g ?V内的电荷系统? ?V内的电磁场的? ??d? ? T ? ?V dVf ? ?V dV ?t ? ?的动量变化率 ? ? ? 动量变化率 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(5.7.7) 根据动量守恒定律,上式左边应代表单位时间通过 ? 流入 V 内的动量。所以
? ? ? ? d? ? T ? 单位时间内通过d?流入?内的动量

?

?

(5.7.8)

? 因为 d? 的方向是封闭曲面 ? 的外法线方向,所以电磁场的动量流密度张量

便为
? ? ? ? T ? ? ?T ? ? 与麦克斯韦应力张量 T 差一个负号。

(5.7.9)

第六章
§6.1

狭义相对论

狭义相对论的基本原理

1905 年,爱因斯坦根据下列两个基本原理建立了狭义相对论。

1.相对性原理
在每个惯性系里,自然现象所遵循的物理规律都相同。

2.光速不变性原理
在每个惯性系里,光在真空中的速率都相同(即都是 c ) 。

§6.2

洛伦兹变换

由两个基本原理,可以得出彼此相对运动的两个惯性坐标系之间的变换关 系,这种变换关系通常叫做洛伦兹变换。

1.特殊洛伦兹变换
设两个笛卡儿坐标系 ? 和 ? ' 的坐标轴互相平行,其中 x 轴相重合。? ' 系沿 x
? 正轴方向以匀速 v ? (v x , 0, 0) 相对于 ? 系运动。在 t ? t ' ? 0 时刻,两个坐标系的

原点重合。则洛伦兹变换为
x ' ?? ( x ? vt ) y' ? y z' ? z t ' ? ? (t ? v x) c2 (6.2.1) (6.2.2) (6.2.3) (6.2.4)

式中 c 是真空中的光速,

? ?

1 v2 1? 2 c

(6.2.5)

逆变换只需将速度改变符号即可。

2.一般洛伦兹变换
如图 1-5-1 所示,两个笛卡儿坐标 系 ? 和 ? ' 的坐标轴保持平行, ? ' 系的
? 原点 o ' 以匀速 v ? (v x , v y , v z ) 相对于 ? 系做匀速直线运动。这时洛伦兹变换为

vxv y vxv y ? v2 ? x ' ? ?1 ? (? ? 1) x ? x ? (? ? 1) 2 y ? (? ? 1) 2 z ? ? v x t 2 v ? v v ?

(6.2.6)

? ? (? ? 1)
'

v y vz v2

2 ? vy ? v y vz x ? ?1 ? (? ? 1) 2 ? y ? (? ? 1) 2 z ? ? v y t v ? v ? ? ?

(6.2.7)

z ' ? (? ? 1)

vz v y ? vz vx v2 ? x ? (? ? 1) 2 y ? ?1 ? (? ? 1) z2 ? z ? ?v z t v2 v v ? ?

(6.2.8)

t ' ? ??

vy vx vz x ? ? 2 y ? ? 2 z ? ?t 2 c c c

(6.2.9)

§6.3
1.同时性概念的相对性

相对论的时空理论

根据洛伦兹变换,再同一个惯性系里的各个地方,有共同的同时性;而在两 个做相对运动的惯性系里,则没有共同的同时性。例如,惯性系 ? ' 以匀速 v 沿轴 相对与惯性系 ? 运动。在 ? ' 系里各处是同一时刻发生的事件,只要它们发生地 点的坐标 x ' 不相同,则在 ? 系观察,这些时间便不是同一时刻发生的。同样,在

? 系同一时刻发生的事,只要它们发生地点的坐标 x 不相同,则在 ? ' 系观察,
这些事件也不是同一时刻发生的。

2.运动时钟的延缓(时间膨胀)
' 设在惯性系 ? ' 的同一地点, t 1' 时刻发生一事件 A , t 2 时刻发生另一事件 B ,

这两事件相隔的时间为
' ?? ? t 2 ? t1'

(6.3.1)

在 ? 系观测, A 发生于 t1 时刻, B 发生于 t 2 时刻,这两事件相隔的时间为
?t ? t 2 ? t1

(6.3.2)

由洛伦兹变换(6.2.1) (6.2.4)两式得出
?t ? ?? v2 1? 2 c ? ??

(6.3.3)

?? 是同一地点发生的两事件之间的时间间隔,也就是静止的钟所测出的时间,

叫做原时。上式表明,运动系( ? ' 系)所经历的时间 ?? 要比静止系( ? 系)所 经历的时间 ?t 短些。换句话说,运动系的时间要比静止系的慢些。这种现象叫 做时间膨胀。

3.长度收缩(运动尺度的缩短)
设一物体以速度 v 沿 x 轴相对与惯性系 ? 作为匀速运动,而它相对与惯性系
? ' 则是静止的。在 ? 系的同一时刻,测出它的前端 a 的坐标为 x 2 ,后端 b 的坐

标为 x1 ,则它在 ? 系的长度为
l ? x2 ? x1
' 在 ? ' 系测出 a 的坐标为 x 2 , b 的坐标为 x1' ,它在 ? ' 系的长度为
' l 0 ? x 2 ? x1'

(6.3.4)

(6.3.5)

由洛伦兹变换(6.2.1)和(6.2.4)两式得出
l ? l0 1 ? v2 ? l0 c2

(6.3.6)

l 0 是物体静止时测出的长度,叫做静长。上式表明,物体运动时,沿运动方向上

的长度 l 要比静止时的长度 l 0 短。这种现象叫做长度收缩,也有人叫做洛伦兹收 缩。

4.速度变换公式
? 设一质点以速度 u ? (u x , u y , u z ) 相对于 ? 系运动。 ? ' 系相对于 ? 系沿 x 轴正

? ? 方向以 v 速度运动。由洛伦兹变换可推出该质点在 ? ' 系中的速 u ' 度的分量为
v2 uy 1? 2 c ' uy vu 1 ? 2x c v2 uz 1? 2 c ' uz ? vu 1 ? 2x c

' ux ?

ux ? v vu 1 ? 2x c

(6.3.7)

逆变换为
v2 u 1? 2 c uy ? vu ' 1 ? 2x c
' y

' ux ? v ux ? vu ' 1 ? 2x c

v2 u 1? 2 c uz ? vu ' 1 ? 2x c
' z

(6.3.8)

§6.4

相对论理论的四维形式

1、 闵可夫斯基空间与爱因斯坦惯例
(1) 闵可夫斯基空间是四维空间,它的坐标为
x1 ? x, x2 ? y, x3 ? z, x4 ? ict

(6.4.1)

(2) 爱因斯坦惯例 (i)三维空间的矢量其分量右下标用拉丁字母(如 i , j , k ,…等)表示; 四维空间的矢量其分量右下标用希腊字母(如 ? ,? , ? ,…等)表示。 (ii) 惯例 凡在求和中如要对重复指标求和是则略去求和符号 ? , 就意味着
4

对重复指标求和, 这就是爱因斯坦惯例。 该指标称为傀儡 (哑) 指标。 ? A? B? 如
i ?1

写作 A? B? 。

2、洛伦兹变换的四维形式
' x ? ? a ?v x v

(6.4.2)

对于特殊的洛伦兹变换(6.2.1)至(6.2.4)诸式,在闵可夫斯基空间中改 用下列变换矩阵 a ?v
? ? ? ? 0 a?? 0 ? ? ? i?? ? 0 1 0 0 0 0 1 0 i?? 0 0 ? ? ? ? ? ? ?

(6.4.3)

?

式中

??
逆变换矩阵为

?
c

(6.4.4)

a ?1

? ? ? ~ ? 0 ?a ?? 0 ? ? i?? ?

0 1 0 0

0 0 1 0

? i?? ? ? 0 ? ? 0 ? ? ? ?

(6.4.5)

变换矩阵满足正交变换条件
~ aa ? I

(6.4.6)

式中 I 为单位矩阵。

3.物理量的变换
(1)洛伦兹不变量 是在洛伦兹变换下数值不变的标量。 例如光速 c , 原时 ? , 间隔 ?s , 相位 ? , 电荷 q 等。 (2)协变矢量 是具有四个分量的物理量, 它在洛伦兹变换下,每个分量象四维空间的坐标 那样变换,即
V?' ? a ?vVv

(6.4.7)

(3)二阶协变张量 在洛伦兹变换下按下式
T?' v ? a ?? av? T??

(6.4.8)

变换的物理量 T?v 叫做四维二阶协变张量。

4.一些四维协变矢量
(1)四维速度
U? ? 1 u 1? 2 c
2

? (u , ic)

(6.4.9)

? 式中 u 是通常意义下的速度。

(2)四维波矢量
? ? k ? ? (k , i ) c
? 式中 k 和 ? 分别是单色平面波的波矢量和圆频率。

(6.4.10)

(3)电流密度四维矢量
? J ? ? ( J , ic? )

(6.4.11)

? 式中 J 和 ? 分别是电流密度和电荷密度。

(4)电磁场的四维势矢量
? i A? ? ( A, ? ) c

(6.4.12)

式中和分别是矢量和标势。 (5)离子的动量—能量四维矢量
? i P? ? ( P, E ) c

(6.4.13)

? 式中 P 和 E 分别是粒子的动量和能量。
(6)四维力矢量
? i ? ? K ? ? (k , k ? v ) c

(6.4.14)

式中
? ? dP K? d?

(6.4.15) (6.4.16)

? ? dE K ?v ? d?

四维力密度矢量
? i ? ? f? ? ( f , f ? ?) c ? ? ? 式中 f 是力密度, f ? ? 是该力的功率密度。

(6.4.17)

(7)四维梯度算符

? i ? ? (?, ? ) ?x ? c ?t

(6.4.18)

§6.5

电动力学的相对论不变性

1.四维形式的电荷守恒定律
?T ? ?x ? ?0

(6.5.1)

2.四维形式的势的波动方程和洛伦兹条件
势的波动方程的四维形式为
? ? A? ? ? ? 0 J ? ?x ? ?x ?

(6.5.2)

洛伦滋条件的四维形式为
? A? ? 0 ?x ?

(6.5.3)

3.电磁场张量
? ? 0 ? ? ? ? B3 ?? ? ? B2 ? ? iE ? 1 ? c B3 0 ? B1 i E2 c ? B2 B1 0 i E3 c i ? ? E1 ? c ? ? i ? E2 ? c ? i ? ? E3 ? c ? 0 ? ? ?

F? ?

(6.5.4)

F? ? 是一个四维二阶反对称张量,只有六个独立分量。 F? ? 还可以用四维势矢量表示为

F? ? ?

?A? ?A? ? ?x ? ?x?

(6.5.5)

? ? ? ? 由(6.5.4)可见,电磁场 E 和 B 是同一个张量的不同分量。 E , B 与 F? ? 的

关系为

B1 ? F23 ,

B2 ? F31 ,

B3 ? F12 ,

E1 ? icF14 , E 2 ? icF24 , E3 ? icF34

(6.5.6)

4.四维形式的麦克斯韦方程
应用(6.5.6)式,可以把麦克斯韦方程组中的两个方程 ? ? E ? ?
? ? B ? 0 合起来写作
?F?? ?x? ? ?F? ? ?x? ? ?F? ? ?x? ?0

?B , ?t

(6.5.7)

把另外两个方程 ? ? H ?
?F?? ?x? ? ?0 J ?

?D ? J , ? ? D ? ? 合起来写作 ?t

(6.5.8)

5、电磁场变换式
若 ? ' 系相对于 ? 系沿 x 轴正方向以匀速 v 运动,则电磁场的变换关系为
E1 ' ? E1
E 2 ' ? ? ( E 2 ? vB3 ) E3 ' ? ? ( E3 ? vB2 )

(6.5.9) (6.5.10) (6.5.11) (6.5.12) (6.5.13) (6.5.14)

B1 ' ? B1

v E3 ) c2 v B3 ' ? ? ( B3 ? 2 E2 ) c B2 ' ? ? ( B2 ?

§6.6
1、四维动量标积的不变式

相对论力学

?? i ? 设 粒 子 在 ? 系 的 四 维 动 量 为 p ? ? ? p, E ? , 在 ? ' 系 的 四 维 动 量 为 c ? ?

?? i ? p ? ' ? ? p' , E ' ? ,则由四维矢量标积是不变量得 c ? ?
p? ' p? ' ? p? p?


? ? 1 1 p' 2 ? 2 E ' 2 ? p 2 ? E 2 c2 c

(6.6.1)

若粒子在 ?' 系静止,则 p' ? 0, E ' ? m0 c 2 是粒子的静能。这时由上式便得
E 2 ? c 2 p 2 ? m0 c 4
2

(6.6.2)


E ? c 2 p 2 ? m0 c 4
2

(6.6.3)

2、爱因斯坦质能关系式
E ? mc 2

(6.6.4)

式中的 E 是物体的能量, m 是物体的质量, c 是真空中的光速。

3、四维形式的牛顿定律
K? ? dp? d?

(6.6.5)

4、四维形式的洛伦兹力公式
K ? ? qF??U ?

(6.6.6)

第七章
§7.1

带电粒子和电磁场的相互作用
运动带电粒子的势和辐射电磁场

1. 运动带电粒子的势
? ? 设带电荷 q 的粒子在 t ' 时刻位于 r ' 处,以速度 v 运动,如图 1-6-1 所示。
v r r

p
r

q
r

图 1-6-1

? ? t ' 时刻粒子的位臵为 r ' ,速度为 v

? ? r ? r' ? 它在 r ' 处( P )点于 t ? t '? 时刻产生的标势和矢势分别为 c

? (r , t ) ?

?

q 4?? 0 ?R ?

1

(7.1.1)

? ? ? ? 0 qv A(r , t ) ? 4? ?R?

(7.1.2)

式中
? ? ? ? ? v ? (r ? r ' ) (7.2.3) R ? r ? r' ? c ? ? ? ? | r ? r '| 加上方括号表示是 t ' ? t ? 时刻的值, 即其中粒子的坐标 r ' 、 速度 v 都是 t ' 时 c ? ? 刻的值,它表明,带电粒子在距离为 | r ? r '| 处 产生势,需要经过一段时间 ? ? | r ? r '| 。所以这标势和矢势都是推迟势,通常叫做李纳一维谢尔势。 ?t ? t ? t ' ? c

2. 运动带电粒子的场
? ? ? ? 设带电荷 q 的粒子在 t ' 时刻位于 r ' 处, 以速度 v 和加速度 a 运动。 则它在 r 处

? ? | r ? r '| 于 t ? t '? 时刻产生的电磁场,可以把李纳一维谢尔势代入以下两式 c ? ? ?A (7.1.4) E ? ??? ? ?t


? ? 1 H? ?? A

?0

(7.1.5)

? ? ?A 算出。注意:以上两式右边的 ?? , 和 ? ? A 都是 t 时刻的值。算出的结果为 ?t
? ? ? ? ? v 2 ? ? | r ? r '| ? ? ? ? | r ? r '| ? ? ? (1 ? 2 )( r ? r '? v) (r ? r ' ) ? {( r ? r '? v ) ? a} ? ? ? q ? c c c E (r , t ) ? ? ? ? 4?? 0 ? R3 c2 R3 ? ? ? ? ?

(7.1.6)
? ? v2 ? ? ? ? ? ? ? (1 ? 2 )v ? (r ? r ' ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? (r ? r ' )v ? (r ? r ' ) ? CRa ? (r ? r ' ) q c H (r , t ) ? ? ? ? (7.1.7) 3 4? ? R c2 R3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | r ? r '| 以上两式中的方括号表示其中的 r ' 、 v 和 a 都是 t ? t '? 时刻的值。 c

3. 自有场和辐射场
由 (7.1.6) 、 (7.1.7) 两式可见, 运动带电粒子的电磁场由两部分叠加而成。

? ? 一部分与加速度 a 无关,叫做自有场;另一部分与加速度 a 有关,叫做辐射场。
(1)自有场
? ? ? v 2 ? ? | r ? r '| ? ? (1 ? 2 )( r ? r '? v)? ? q ? c c ES ? ? ? 4?? 0 ? R3 ? ? ? ? ? ? v2 ? ? ? ? (1 ? 2 )v ? (r ? r ' ) ? ? q ? c HS ? ? ? 4? ? R3 ? ? ? ? ?

(7.1.8)

(7.1.9)

? ? ? ? 这部分场的特点是: E S 和 H S 都是与距离 | r ? r '| 的平方成反比。因此,场的

能量主要集中在粒子附近,并随粒子一起运动,所以叫做自有场。自有场可由库 仑场通过洛伦兹变换求出。 (2)辐射场
? ? ? ? | r ? r '| ? ? ? ? ? ? (r ? r ' ) ? {( r ? r '? v ) ? a} ? ? q ? c Ea ? ? ? 4?? 0 ? R3 ? ? ? ? ?
? Ha ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? q ? a ? (r ? r ' )v ? (r ? r ' ) ? cRa ? (r ? r ' ) ? ? 4?c 2 ? R3 ? ?

(7.1.10)

(7.1.11)

? ? ? ? 这部分场的特点是: E S 和 H S 都是与距离 | r ? r '| 的一次方成反比。因此,场的能

量分布在较大的范围内,并由粒子所在处向外辐射,所以叫做辐射场。

§7.2

带电粒子加速运动时发出的辐射

1、辐射场和能流密度
带电荷 q 的粒子做加速运动时,它的辐射场(7.1.10)和(7.1.11)可化为
? ? v ? ? ?? er ? {(er ? ) ? a} ? ? q ? c ? Ea ? ? ? ? v ? er 3 ? 4?? 0 c 2 ? ? ? | r ? r ' | (1 ? ) ? ? c ? ?
? ? ? H a ? ? 0 cer ? E a

(7.2.1)

(7.2.2)

式中
? ? ? r ? r' er ? ? ? | r ? r '|
? ? 代表 (r ? r ' ) 方向上的单位矢量。

(7.2.3)

辐射场的能流密度为
2 ? ? ? ? v ? er ? {(er ? ) ? a} ? c ? ? ? ? ? ? ? q 2 S a ? E a ? H a ? ? 0 cEa er ? e ? ? ? ? v ? er 6 r ? 16? 2 ? 0 c 3 ? ? ? 2 | r ? r ' | (1 ? ) ? ? c ? ? ? ?

(7.2.4)

辐射场的能量密度为

?a ?

1 2 2 2 (? 0 E a ? ? 0 H a ) ? ? 0 E a ? 2 c

? Sa

(7.2.5)

2、辐射功率
t ' 时刻,粒子在单位时间内辐射出的能量(辐射功率)为
a2 ? 1 ? ? 2 (v ? a ) c2 v2 (1 ? 2 ) 3 c

P(t ' ) ?

q 6?? 0 c 2

(7.2.6)

3、三种特殊情况下的辐射
(1)低速运动时的辐射
v 当粒子运动的速度比光速小得多,即 v ?? c 时, (7.2.1)式中含有 的项均 c

可略去。这时辐射场可近似写成
? ? ? ? e r ? (e r ? a ) ? ? ? ? ? 4?? 0 c 2 ? r ? r ' ? ? ? ? ? ? H a ? ? 0 cer ? E a ? Ea ? q

(7.2.7) (7.2.8)

? 这时以 q 为原点,以 a 为极轴取球极坐标,如图 1-6-2

a
Φ

er



图 1-6-2 则有
? ? ? ? er ? (er ? a ) ? a sin? e?

(7.2.9)

代入(7.2.7)式,然后与第四章§ 4.3 的电偶极辐射场比较,可以看出,低速 ( v ?? c )运动的带电粒子所发出的辐射,相当于电偶极矩为
? 1 ? p ? ? 2 qa

?

(7.2.10)

的振荡电偶极子发出的辐射。 辐射的能流密度为
? Sa ? ? a 2 sin 2? ? ? ? ? ? er ? 16? 2 ? 0 c 3 ? | r ? r ' | 2 ? q2

(7.2.11)

辐射功率为
P(t ' ) ? q2a2 6?? 0 c 3

(7.2.12)

这个公式通常叫做拉莫尔(Larmor)公式。
? ? (2) a // v 的情况

? 这时以 q 为原点, a 为极轴,取球极坐标(参看图(1-6-2) )则因
? ? ? ? v ? ? er ? ?(er ? ) ? a ? ? a sin ? e? c ? ?

(7.2.13)

故辐射场可写成
? ? ? ? ? a sin? e? ? ? v 4?? 0 c 2 ? ? ? 3 ? | r ? r ' | (1 ? cos? ) ? ? c ? ? q

? Ea ?

(7.2.14)

? ? ? H a ? ? 0 cer ? E a

(7.2.15)

辐射的能流密度为
? ? ? ? ? a 2 sin 2 ? er ? ? v 16? 2 ? 0 c 3 ? ? ? 2 6 ? | r ? r ' | (1 ? cos? ) ? ? c ? ? q2

? Sa ?

(7.2.16)

辐射功率为
P(t ' ) ? q2a2 v2 6?? 0 c (1 ? 2 ) 3 c
3

(7.2.17)

单位立体角内的辐射功率为
dP(t ' ) ? d? q 2 a 2 sin 2 ? v 16? 2 ? 0 c 3 (1 ? cos? ) 5 c

(7.2.18)

带电粒子运动时,因撞击而减速时所发出的辐射,通常叫做轫致辐射。
? ? (3) a ? v 的情况

? ? ? 这时带电粒子在 v 和 a 构成的平面内运动。以 q 为原点, v 为极轴取球极坐
标系如图 1-6-3,并以粒子所在平面为 ? ? 0 平面,则因

z p
V

r

θ

er

q a x
图 1-6-3
? ? er ? a ? a sin? cos? ? ? er ? v ? v cos?
Φ

y

? ? a ? v 的情况

(7.2.19) (7.2.20)


? ? ? ? v ? ? v ? v er ? {(er ? ) ? a} ? a sin? cos? (er ? ) ? (1 ? cos? ) a c c c

(7.2.21)

所以这时的辐射场由(7.2.1)式变为
? ? v ?? v ? ? ? a sin? cos? (er ? c ) ? (1 ? c cos? ) a ? g Ea ? ? ? ? ? v 4?? 0 c 2 ? 3 ? | r ? r ' | (1 ? cos? ) ? ? c ? ?
? ? ? H a ? ? 0 cer ? E a

(7.2.22)

(7.2.23)

辐射功率为
P(t ' ) ? q2a2 v2 6?? 0 c (1 ? 2 ) 2 c
3

(7.2.24)

单位立体角内的辐射功率为
v v2 (1 ? cos? ) 2 ? (1 ? 2 ) sin 2 ? cos2 ? dP(t ' ) q a c c ? 2 3 v d? 16? ? 0 c (1 ? cos? ) 5 c
2 2

(7.2.25)

§7.3
1、电磁质量

带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用

带电粒子的自有场与粒子形成一个不可分割的整体。自有场是库仑场,它的 能量 We 主要集中在粒子附近。根据狭义相对论,这部分能量具有相应的质量
mem ? We c2

(7.3.1)

这个质量通常叫做该粒子的电磁质量。 因 We 的值与电荷分布有关,所以 mem 也就与粒子所带电荷 q 的分布有关。假 定 q 均匀分布在半径为 r 的球面上,则
mem ? We 1 q 2 ? c 2 2 4?? 0 c 2 r

(7.3.2)

假定 q 均匀分布在半径为 r 的球体内,则
mem ? We 3 q 2 ? c 2 5 4?? 0 c 2 r

(7.3.3)

2、经典电子半径
假定我们所观测到的电子质量( 9.11 ? 10 -31 千克)全部是电磁质量,则由 (7.3.2)或(7.3.3)式就可以算出电子半径 r 来。由于目前并不知道电子内 部电荷是如何分布的,所以就略去(7.3.2)或(7.3.3)式右边的系数,把
re ? e2 ? 2.82 ? 10 ?15 米 2 4?? 0 mc

(7.3.4)

这个值只是我们用经典理论对电子的大小所作的一种估算, 并不表示电子就 真的是这样大。因为对于处理象电子这样的微观客体来说,需要用量子理论,经 典理论已不适用。 即使在今天的量子理论里,关于电子本身的结构和它的电磁质

量等问题也还没有解决。 1980 年 7 月, 丁肇中教授宣布, 他由实验测量得出, 电子的半径小于 1 ? 10 ?18 米。

3、辐射反作用
? 当电荷 q 的粒子以加速度 a 运动时,它要发出辐射,辐射带走了能量,粒子
能量因而减少。 这相当于辐射有一种力作用在粒子上产生的结果。通常把这种力 ( Fa )叫做辐射反作用力或辐射阻尼力。根据能量守恒定律, Fa 对粒子作功的 功率,应等于粒子辐射功率的负值,即
Fa ? v ? ? P

(7.3.5)
q 2c 2 。由此得出,若粒子作周期性运 6?? 0 c 3

在非相对论的情况下( v << c ) P ? , 动,则
Fa ? da 6?? 0 c dt
3

q2

(7.3.6)

实际上,这个 Fa 所代表的是一个周期内辐射对粒子作用的一种平均效应,而不 是瞬时力。 在通常情况下, Fa 比作用在粒子上的其他力小得多,可以略去不计。

4、谱线的自然宽度
当带电粒子作简谐振动时,由于受到辐射阻尼力的作用,它将衰减振动。这 种振动发出的辐射便不是单色波,而是具有一定频率分布的电磁波。作为一种近 似, 我们用电子在原子中作衰减振动的模型, 来估算原子发光时谱线的自然宽度。 设作用在电子上的弹力为 ? k r ,辐射阻尼力为 Fa ,则
m d2r e2 d 3 r ? ? k r ? Fa ? ? k r ? dt 2 6?? 0 c 3 dt 3

(7.3.7)

把 Fa 作为微扰,求得近似解为

r ? r0 e
式中

r ? t 2

e ?i?0t

(7.3.8)

?0 ?
? ?

k m
2

(7.3.9)

e 2? 0 6?? 0 mc 3

(7.3.10)

1 电子振动能量衰减到原值的 时,所经历的时间 ? 叫做振子的寿命(即原子 e

处在激发态的寿命) 。对于可见光来说, (7.3.10)式给出

??

1

?

? 10 ?8 秒

(7.3.11)

这个结果与实验大致符合。 辐射场的电场强度 E a 与电子的位移 r 成正比例,故得

E a ? E0 e

r ? t 2

e ?i?0t

(7.3.12)

由此求得,单位频率间隔辐射出的能量为
dW? ?I 0 ? d? 2? 1 (? ? ? 0 ) ? ( ) 2
2

?

(7.3.13)
2

通常把

dW? 降到最大值(在 ? 0 处)的一半的宽度(参看图 1-6-4)叫做谱线的 d?

自然宽度。
dWω dω

o
ωo

ω

图 1-6-4 谱线的自然宽度

由(7.3.13)式得出,谱线的自然宽度为 ? ,即(7.3.10)式。如果用波长

? 表示,则相应的宽度为
?? ? c ?? ? 2?c W0
2

? 02

e2 ?? ? ? 1.2 ? 10 ?14 米 ? 1.2 ? 10 ?14 ? 2 3? 0 mc

(7.3.14)

对于实际光源来说,由于各种因素的影响,谱线的实际宽度通常都比 (7.3.14)式给出的值大。

§7.4

电磁波的散射和吸收

介质的色散

1、自由电子对电磁波的散射
设波长为 ? 的单色波 ? 射到自由电子上,电子便因受力而产生振动。在一般 情况下,电子振动的速度 v << c ,振幅 ro << ? 。这时电子的运动方程可写作
m d2r e2 d 3 r ? ?e E ? dt 2 6?? 0 c 3 dt 3

(7.6.1)

式中
E ? E 0 e ? i? t

(7.6.2)

是入射波的电场。 (7.6.1)式的稳态解为
r? e E0 e ? i? t m(? 2 ? i?? )

(7.6.3)

式中

? ?
在 r0 ?
eE0

e 2? 2 6?? 0 mc 3

(7.6.4)

m? ? 2 ? ? 2

?? ? 时, ? ?? ? ,辐射阻尼力可以略去。这时

r?

e E 0 ? i? e t m? 2

(7.6.5)

即电子的运动可看作一个振动的偶极子。由振动偶极子的辐射场公式(5.3.5) 得出,这时电子的辐射场(也就是散射波的电磁场)为
Ea ? e 2 E0 e i ( kr ??t ) sin ? e? 4?? 0 mc 2 r

(7.6.6)

Ha ?

e 2 E0 i ( kr ??t ) e sin ? e? 4?mcr

(7.6.7)

式中 ? 是散射方向 e r 与入射波的 E 之间的夹角,叫做散射角。

散射波的平均能流密度为
S?

? cE r 1 ? Re( E a ? H a ) ? 0 0 ( e ) 2 sin 2 ? er 2 2 r
2

(7.6.8)

式中 re 是经典电子半径。 波的强度定义为平均能流密度的值,即
I ?S?

? 0 cE0 2 re
2

r ( ) 2 sin 2 ? ? I 0 ( e ) 2 sin 2 ? r r

(7.6.9)

式中 I ?

? 0 cE0 2
2

是入射波的强度。

散射波的平均功率为
P ? ? ? Id ? ? 8? 2 re I 0 3

(7.6.10)

这个公式通常叫做汤姆孙散射公式。 因 I 0 是每秒到单位面积上的能量,故定义散射截面为

??

P(散射功率) I(单位面积上的入射功率) 0

(7.6.11)

由以上两式得,自由电子的散射截面为

??

8? 2 re ? 6.65 ? 10 ?29 米 2 3

(7.6.12)

比经典电子半径 re 所决定的圆面积大一些。
z(入射波的行进方向)
er

r

θ

o
Φ

y

x

图 1-6-5

散射方向 e r 与入射波 E 的关系

当入射波不是偏振波,即 E 0 不是固定的,而是可以在垂直于入射波的平面

内取任何方向时,即如图 1-6-5 所示 ,散射波 ? 可以取到 0 到 2? 的任何值时(入射波是自然光便属于这种情况) 的强度 I 应为 S 对各种各能的 ? 求平均,即
1 I? 2? ? ? ?
2?

? S d?
0

I 0 re 2 2? 2 ( ) sin ?d? 2? r ? 0 I 0 re 2 ( ) ? (1 ? sin 2 ? sin ? )d? 2? r 0 r 1 I 0 ( e ) 2 (1 ? cos2 ? ) 2 r
2?

(7.6.13)

微分散射截面的定义为: 单位立体角的散射功率与入射波的强度 I 0 之比, 即
d? 1 dP ? d? I 0 d?

(7.6.14)

由此得自由电子的微分散射截面为
d? 1 2 ? re (1 ? cos2 ? ) d? 2

(7.6.15)

这个式子叫做汤姆孙散射截面公式。 对于可见光, 汤姆孙公式与实验符合;这时由量子电动力学得出的公式也与 汤姆逊公式一致。

2、束缚电子的散射
在入射波电磁场的作用下, 按经典模型, 束缚在原子中的电子将作强迫振动, 其运动方程为
d2r e2 d 3 r 2 m 2 ? ?m? 0 r ? e E ? dt 6?? 0 c 3 dt 3

(7.6.16)

式中的 ? 0 是电子振动的固有频率。这个方程的稳态解为

r?

e E0 m(? ? ? 0 ? i?r )
2 2

e ? i ? t ??

(7.6.17)

式中

? ? tan ?1

?? ?0 ? ? 2
2

(7.6.18)

散射波的电磁场的振幅为
Ea ? ea sin ? e? 4?? 0 c 2 r

(7.6.19) (7.6.20)

Ha ?

ea sin ? e? 4?cr

式中

??

e? 2 E0 m (? 0 ? ? 2 ) 2 ? ? 2 r 2
2

(7.6.21)

散射波的平均能流密度为
e 4 E0 ?4 S? sin 2 ? er 32? 2 ? 0 c 3 m 2 r 2 (? 0 2 ? ? 2 ) 2 ? ? 2?
2

(7.6.22)

散射波的平均功率为
P(? ) ? ? ? S d ? ? 8? 2 ?4 re I 0 2 3 (? 0 ? ? 2 ) 2 ? ? 2? 2

(7.6.23)

散射截面为

? ?

P(? ) 8? 2 ?4 ? re 2 I0 3 (? 0 ? ? 2) 2 ? ? 2? 2

(7.6.24)

当入射波的频率较底(即 ? ?? ? 0 )时,
8? 2 ? ? ? ? ? re ? ?? ? ? 3 ? 0?
4

(7.6.25)

它表示束缚电子对低频电磁波的散射与电磁波的频率 ? 的四次方成正比。 这种散 射通常叫做瑞利散射。

当 ? ?? ? 0 时,

? ?

8? 2 re 3

(7.6.26)

这便是前面所讲的自由电子散射截面(汤姆孙散射截面) 。 当 ? ? ? 0 时,
8? 2 ? ? 0 ? ? ? re ? ? ? ? ? 3 ? ?
2

(7.6.27)

这时的散射叫做共振散射。对于可见光来说, ? 0 ? ~ 10 7 ,故共振散射截面远远 大于汤姆孙散射截面。 散射截面很大, 表示把入射波的很多能量散射到各方向去。

3、电磁波的吸收
根据能量守恒定律, 束缚电子散射出去的能量应等于它从入射电磁波吸收的 能量。因此,由(7.6.23)式得出,束缚电子的总吸收功率为
P ? ? P (? )d? ? 2? 2 cre I 0 (? 0 )
0 ?

(7.6.28)

式中 I 0 (? 0 ) 是频率为 ? 0 的入射波的强度。

4、介质的色散
介质中的电子都是束缚电子,在入射波的电场 E ? E 0 e ? i?t 的作用下,设单位 体积内有 N 个束缚电子作受迫振动,则介质的极化强度依定义和(7.6.17)式 为
P ? (? ? ? 0 ) E ? ? Ner ? Ne 2 E 2 m ? 0 ? ? 2 ? i??

(7.6.29)

故得介电常数为

? ? ?0 ?

Ne 2 1 2 m ? 0 ? ? 2 ? i??

(7.6.30)

在介质中有各种固有频率的束缚电子时,设单位体积内固有频率为 ? i 的束

缚电子数目为 N i ,则相对介电常数为
Nie2 1 ?r ? 1? ? 2 2 i ? 0 m ? i ? ? ? i?? i

(7.6.31)

式中
e 2? i ?i ? 6?? 0 mc 3
2

(7.6.32)

这时介质复折射率定义为
n ? i? ? ? r

(7.6.33)

式中 n 是介质的折射率,? 是介质的吸收系数。由(7.6.31)和(7.6.33)两式 得
n2 ?? 2 ? 1? ?
i

Nie2 ?i 2 ? ? 2 2 ? 0 m (? i ? ? 2 ) 2 ? ? 2? i 2

(7.6.34)

n? ? ?
i

Nie2 ?? i 2 2? 0 m (? i ? ? 2 ) 2 ? ? 2? i 2

(7.6.35)

由此得出,介质的折射率 n 与入射波的频率有关,这种现象叫做介质的色散。


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