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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 5.4平面向量的应用教案 理 新人教A版


§5.4
2014 高考会这样考 理应用,利用向量解决一些实际问题. 复习备考要这样做

平面向量的应用

1.考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用;2.考查向量的物

1.掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义,会求一些角、距离;2.

体会数形结合思想,重视向量的工具性作用.

1. 向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平 行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题, 包括相似问题, 常用共线向量定理: a∥b?a=λ b(b≠0) ?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质

a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0.
(3)求夹角问题,利用夹角公式 cos θ =

a?b x1x2+y1y2 = 2 (θ 为 a 与 b 的夹角). 2 2 |a||b| x1+y1 x2 2+y2

2. 平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相 似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=F?s=|F||s|cos θ (θ 为 F 与 s 的夹角). 3. 平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识 结合,当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到 关于该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的 综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平 行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质. [难点正本 疑点清源] 1. 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数形结合的产物.在利用向 量解决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.
1

2. 要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解题.

1. 一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1,

F2 成 120°角,且 F1,F2 的大小分别为 1 和 2,则 F1 与 F3 所成的角为________.
答案 90° 解析 如图,F3=-(F1+F2). 在?OACB 中,|OA|=1,|AC|=2, ∠OAC=60°, ∴|OC|= 1 +2 -2?1?2?cos 60° = 3, → → ∴∠AOC=90°,即OA⊥OC,∴F1⊥F3. → → ? y? C(x, 2. 平面上有三个点 A(-2, y), B?0, ?, y), 若AB⊥BC, 则动点 C 的轨迹方程为_____. ? 2? 答案 y =8x (x≠0)
2 2 2

y? → ? y? → ? 解析 由题意得AB=?2,- ?,BC=?x, ?, 2? ? ? 2?
→ → → → 又AB⊥BC,∴AB?BC=0, 即?2,- ???x, ?=0,化简得 y =8x (x≠0). 2? ? 2? ?
2

?

y? ?

y?

3. 河水的流速为 2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小船的 静水速度大小为________. 答案 2 26 m/s 解析 如图所示小船在静水中的速度为 10 +2 =2 26 m/s. → → → 4. 已知 A、B 是以 C 为圆心,半径为 5的圆上的两点,且|AB|= 5,则AC?CB等于( 5 A.- 2 答案 A → 解析 ∵|AB|= 5=r,∴∠ACB=60°, → 5 B. 2 C.0 D. 5 3 2 )
2 2

AC?CB=-CA?CB=-|CA|?|CB|?cos∠ACB
5 =- 5? 5cos 60°=- . 2



→ →





5. a,b 为非零向量,“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)?(xb-a)为一次函数”的(

)
2

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 B

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 因为 f(x)=(xa+b)?(xb-a)=(a?b)x +(|b| -|a| )x-a?b.当 f(x)为一次 函数时,必须满足 ?
? ?a?b=0, ? ?|b| -|a| ≠0,
2 2

2

2

2

? ?a⊥b, 即? ? ?|b|≠|a|,

故 f(x)为一次函数时一定有

a⊥b.当 a⊥b 且|a|=|b|时,f(x)为常函数,所以“a⊥b”不是“f(x)为一次函数”的
充分条件,故选 B.

题型一 应用平面向量的几何意义解题 例1 → → → → → → 2 2 → → 平面上的两个向量OA,OB满足|OA|=a,|OB|=b,且OA⊥OB,a +b =4.向量OP=xOA 1?2 1?2 → 2? 2? +yOB (x,y∈R),且 a ?x- ? +b ?y- ? =1. ? 2? ? 2? → ? 1?→ ? 1?→ (1)如果点 M 为线段 AB 的中点,求证:MP=?x- ?OA+?y- ?OB; ? 2? ? 2? → (2)求|OP|的最大值,并求此时四边形 OAPB 面积的最大值. → 思维启迪:对第(1)问,可先求OM,再由条件即可得到结论;对第(2)问,先设点 M 为线 段 AB 的中点,进而利用第(1)问的结论,并由条件确定 P,O,A,B 四点共圆,结论即可 得到. (1)证明 因为点 M 为线段 AB 的中点, → 1→ 1→ 所以OM= OA+ OB. 2 2 → → → → → ?1→ 1→? 所以MP=OP-OM=(xOA+yOB)-? OA+ OB? 2 ? ?2

? 1?→ ? 1?→ =?x- ?OA+?y- ?OB. ? 2? ? 2?
(2)解 设点 M 为线段 AB 的中点, 1 → → → → → → 则由OA⊥OB,知|MA|=|MB|=|MO|= |AB|=1. 2 1?2 1?2 2? 2? 又由(1)及 a ?x- ? +b ?y- ? =1,得 2 ? ? ? 2? → 2 → → 2 ? 1?2→2 ? 1?2→2 |MP| =|OP-OM| =?x- ? OA +?y- ? OB ? 2? ? 2?

3

? 1?2 2 ? 1?2 2 =?x- ? a +?y- ? b =1. ? 2? ? 2?
→ → → → 所以|MP|=|MO|=|MA|=|MB|=1. 故 P,O,A,B 四点都在以 M 为圆心、1 为半径的圆上,所以当且仅当 OP 为圆 M 的直径 → 时,|OP|max=2.

a +b → → 这时四边形 OAPB 为矩形, 则 S 四边形 OAPB=|OA|?|OB|=ab≤ =2, 当且仅当 a=b= 2 2
时,四边形 OAPB 的面积最大,最大值为 2. 探究提高 本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题. 求解第(2)问的难点就是如 何利用第(1)问的结论来解决新的问题,突破这一难点的关键主要是从设点 M 为线段 AB → 的中点入手,借助条件及第(1)问的结论,去探究|OP|的最大值问题. → → → → 在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与△ABC 的面 积之比是 A. 1 3 1 B. 2 2 C. 3 D. 3 4 ( )

2

2

答案 A 1 → → 解析 由已知可得PC=2AP,∴P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A),易知 S△PAB= S△ABC, 3 即 S△PAB∶S△ABC=1∶3. 题型二 平面向量在物理计算题中的应用 例2 质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知 F1,

F2 成 60°角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为________.
答案 2 7 解析 方法一 由已知条件 F1+F2+F3=0, 则 F3=-F1-F2,F3=F1+F2+2|F1||F2|cos 60°=28. 因此,|F3|=2 7. → 2 2 方法二 如图,|F1F2| =|F1| + |F2| -2|F1||F2|cos 60°=12, → 2 → 2 → 2 则|OF1| +|F1F2| =|OF2| , 即∠OF1F2 为直角, |F3|=2 |F1F2| 2=2 7. F2 1+? ?
2 2 2 2

? → ? ? 2 ?

如图所示,已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向
4

上),F 的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在摩擦因数 μ =0.02 的水平平面上运动了 20 m,问 F、摩擦力 f 所做的功分别 为多少? 解 设木块的位移为 s, 3 =500 3 (J), 2

则 F?s=|F|?|s|cos 30°=50?20?

F 在竖直方向上的分力大小为
1 |F|sin 30°=50? =25(N), 2 所以摩擦力 f 的大小为|f|=(80-25)?0.02=1.1(N), 所以 f?s=|f|?|s|cos 180°=1.1?20?(-1)=-22(J). ∴F,f 所做的功分别为 500 3 J,-22 J. 题型三 平面向量与三角函数的交汇 例3 已知在锐角△ABC 中,两向量 p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1 +sin A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2)求函数 y=2sin B+cos?
2

?C-3B?取最大值时,B 的大小. ? ? 2 ?



(1)∵p∥q,

∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=0, 3 3 2 ∴sin A= ,sin A= , 4 2 ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°. (2)y=2sin B+cos?
2

?C-3B? ? ? 2 ?

=2sin B+cos?
2 2

?180°-B-A-3B? ? 2 ? ?

=2sin B+cos(2B-60°) =1-cos 2B+cos(2B-60°) =1-cos 2B+cos 2Bcos 60°+sin 2Bsin 60° 1 3 =1- cos 2B+ sin 2B=1+sin(2B-30°), 2 2 当 2B-30°=90°,即 B=60°时,函数取最大值 2. 探究提高 向量与三角函数的结合往往是简单的组合.如本题中的条件通过向量给出, 根据向量的平行得到一个等式.向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合,因此这 种题目较为简单.
5

△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,设向量 m=(a+b, sin C),n=( 3a+c,sin B-sin A),若 m∥n,则角 B 的大小为________. 答案 解析 , sin C 则化简得 a +c -b =- 3ac,
2 2 2

5π 6 ∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C( 3a+c)=0,又∵

a
sin A



b
sin B



c

a2+c2-b2 3 5π ∴cos B= =- ,∵0<B<π ,∴B= . 2ac 2 6
题型四 平面向量与解析几何的综合问题 例4 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l: x=8, P 为该平面上一动点, 作 PQ⊥l, 垂足为 Q,

?→ 1→? ?→ 1→? 且?PC+ PQ???PC- PQ?=0. 2 ? ? 2 ? ?
(1)求动点 P 的轨迹方程; → → 2 2 (2)若 EF 为圆 N:x +(y-1) =1 的任一条直径,求PE?PF的最小值. 解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y).

?→ 1→? ?→ 1→? 由?PC+ PQ???PC- PQ?=0, 2 ? ? 2 ? ?
1 → 2 1 → 2 2 2 2 得|PC| - |PQ| =0,即(x-2) +y - (x-8) =0, 4 4 化简得 + =1. 16 12 所以点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12 → → → → → → (2)因PE?PF=(NE-NP)?(NF-NP) → → → → =(-NF-NP)?(NF-NP) → 2 →2 →2 =(-NP) -NF =NP -1,

x2

y2

x2

y2

x2 y2 P 是椭圆 + =1 上的任意一点,设 P(x0,y0),
16 12

x0 y0 4y0 2 则有 + =1,即 x0=16- , 16 12 3
→2 2 2 又 N(0,1),所以NP =x0+(y0-1) 1 2 1 2 =- y0-2y0+17=- (y0+3) +20. 3 3
6

2

2

2

因 y0∈[-2 3,2 3], →2 → → 2 所以当 y0=2 3时,NP 取得最小值(2 3-1) =13-4 3,(此时 x0=0),故PE?PF的最 小值为 12-4 3. 探究提高 本题是平面向量与解析几何的综合性问题,涉及向量数量积的基本运算,数 量积的求解以及轨迹、直线和曲线等问题,该题的难点是向量条件的转化与应用,破解 此问题应从向量的坐标运算入手,这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法.在 解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧,先化简后运算. 已知圆 C:(x-3) +(y-3) =4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意一点,点 N → → 在线段 MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. → → 解 设 M(x0,y0)、N(x,y).由MA=2AN得 (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1), ∴?
?x0=3-2x, ? ? ?y0=3-2y.
2 2 2 2

∵点 M(x0,y0)在圆 C 上,

∴(x0-3) +(y0-3) =4, 即(3-2x-3) +(3-2y-3) =4. ∴x +y =1. ∴所求点 N 的轨迹方程是 x +y =1.
2 2 2 2 2 2

利用平面向量解三角形

典例: (12 分 ) 已知角 A , B , C 是△ABC 的内角, a , b , c 分别是其对边长,向量 m =

?2 3sin A,cos2A?,n=?cos A,-2?,m⊥n. ? ? ? 2 2? 2 ? ? ? ?
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,cos B= 3 ,求 b 的长. 3

审题视角 先根据 m⊥n,利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角的条 件,然后利用正弦定理或余弦定理解题. 规范解答 解 (1)已知 m⊥n,

? ? ? ? 所以 m?n=?2 3sin ,cos ???cos ,-2? 2 2? ? 2 ? ?
A
2

A

A

= 3sin A-(cos A+1)=0,[2 分]

7

? π? 1 即 3sin A-cos A=1,即 sin?A- ?= ,[4 分] 6? 2 ?
π π 5π 因为 0<A<π ,所以- <A- < , 6 6 6 π π π 所以 A- = ,所以 A= .[6 分] 6 6 3 π 3 (2)在△ABC 中,A= ,a=2,cos B= , 3 3 sin B= 1-cos B= 由正弦定理知:
2

1 6 1- = , 3 3

= ,[9 分] sin A sin B 2? 6 3 4 2 = , 3 3 2

a

b

sin B 所以 b=a? = sin A

4 2 所以 b= .[12 分] 3 答题模板 利用向量解三角形问题的一般步骤为 第一步:分析题中条件,观察题中向量和三角形的联系; 第二步:脱去向量外衣,利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系; 第三步:利用正弦定理或余弦定理解三角形; 第四步:反思回顾,检查所得结果是否适合题意作答. 温馨提醒 解三角形问题要分析清楚题目条件,利用正弦定理、余弦定理转化为三角形 中各边之间的关系或各角之间的关系,灵活进行变形.向量只是题目的载体,三角形中 的条件及转化才是解题关键.

方法与技巧 1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用 向量的有关知识可以解决某些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类 综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题 的一般方法. 3.用向量方法解决平面几何问题的步骤
8

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转 化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 4.解析几何问题和向量的联系:可将向量用点的坐标表示,利用向量运算及性质解决解析几 何问题. 失误与防范 1.注意向量夹角和三角形内角的关系:两者并不等价. 2.注意向量的共线和直线平行的关系. 3.构造向量解题:要根据题目需要灵活构造向量.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) → ? → → ? → AB AC ? → AB AC 1 → → ? + 1. 在△ABC 中,已知向量AB与AC满足 ?BC=0 且 ? = ,则△ABC 为 → ? ?|→ → → 2 |AB| |AC| ? AB| |AC|? ( ) A.等边三角形 C.等腰非等边三角形 答案 A → ? ? → AB AC ? → → → + 解析 因为非零向量AB与AC满足? ?BC=0,所以∠BAC 的平分线垂直于 BC, → ? ?|→ ? AB| |AC|? 所以 AB=AC. → → AB AC 1 π 又 cos∠BAC= ? = ,所以∠BAC= . → → 2 3 |AB| |AC| 所以△ABC 为等边三角形. 2. 已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x +|a|x-a?b=0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹角是 ( ) π B.- 3 C. π 3 2π D. 3
2

B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形

π A.- 6

9

答案 D 解析 由已知可得 Δ =|a| +4a?b=0, 即 4|b| +4?2|b|?|b|cos θ =0, 1 2π ∴cos θ =- ,又∵0≤θ ≤π ,∴θ = . 2 3 → → → 3. 已知 P 是△ABC 所在平面内一点,若CB=λ PA+PB,其中 λ ∈R,则点 P 一定在( A.△ABC 的内部 C.AB 边所在直线上 答案 B → → → 解析 由题意知:CB-PB=λ PA, → → → → → → → 即CB+BP=λ PA,∴CP=λ PA,即CP与PA共线, ∴点 P 在 AC 边所在直线上. → → 2 4.已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足PA?PB=x ,则点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案 D → → 解析 PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y), → → 2 2 2 ∴PA?PB=(-2-x)(3-x)+y =x ,∴y =x+6. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) → → → → 5. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若AB?AC=BA?BC=1, 那么 c=________. 答案 2 ) B.AC 边所在直线上 D.BC 边所在直线上 )
2 2

→ → → → 解析 由题意知AB?AC+BA?BC=2, → → → → → → → 即AB?AC-AB?BC=AB?(AC+CB) →2 → =AB =2? c=|AB|= 2. 6. 已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点 P(x,y)满足不等 → → → → → → 式 0≤OP?OM≤1,0≤OP?ON≤1,则 z=OQ?OP的最大值为________. 答案 3 → → → 解析 OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1), → → → → ∴OP?OM=x+y,OP?ON=y,
? ?0≤x+y≤1, 即在? ?0≤y≤1 ?

条件下,求 z=2x+3y 的最大值,由线性规划知识,当 x=0,y

10

=1 时,zmax=3. 15 → → 7. 已知在△ABC 中, AB=a, AC=b, a?b<0, S△ABC= , |a|=3, |b|=5, 则∠BAC=________. 4 答案 150° → → 解析 ∵AB?AC<0,∴∠BAC 为钝角, 1 15 又 S△ABC= |a||b|sin∠BAC= . 2 4 1 ∴sin∠BAC= ,∴∠BAC=150°. 2 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知△ABC 中, ∠C 是直角, CA=CB, D 是 CB 的中点, E 是 AB 上一点, 且 AE=2EB, 求证:AD⊥CE. 证明 建立如图所示的直角坐标系, 设 A(a,0),则 B(0,a),E(x,y). ∵D 是 BC 的中点,∴D?0, ?. ? 2? → → 又∵AE=2EB, 即(x-a,y)=2(-x,a-y), ∴?
?x-a=-2x, ? ?y=2a-2y, ?

?

a?

a 2 解得 x= ,y= a. 3 3

a? → ? a? ? ∵AD=?0, ?-(a,0)=?-a, ?, 2 2 ? ? ? ?
→ → ?a 2 ? OE=CE=? , a?,

?3 3 ?

a 2 a → → ∴AD?CE=(-a)? + a? 3 3 2
1 2 1 2 =- a + a =0. 3 3 → → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE. 9. (12 分)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). π (1)若 x= ,求向量 a 与 c 的夹角; 6

?π 9π ? (2)当 x∈? , ?时,求函数 f(x)=2a?b+1 的最大值,并求此时 x 的值. 8 ? ?2
解 π (1)设 a 与 c 的夹角为 θ ,当 x= 时, 6

11

a=?

a?c ? 3 1? , ?,cos θ = |a||c| ? 2 2?
3 ?? 2 ? 3 ? 2
2



1 -1? + ?0 2 1 ? 2
2

=-
2

+?

? ?

-1?

+0

2

3 . 2

5π ∵θ ∈[0,π ],∴θ = . 6 (2)f(x)=2(-cos x+sin xcos x)+1 π? ? =sin 2x-cos 2x= 2sin?2x- ?. 4? ? 又 x∈?
2

?π ,9π ?,∴2x-π ∈?3π ,2π ?. ? ? 8 ? 4 ? 4 ?2 ? ?

π 3π π ∴当 2x- = ,即 x= 时, 4 4 2

f(x)的最大值为 2?

2 =1. 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) → → 1. 平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于( A. |a| |b| -? a?b? B. |a| |b| +? a?b? C. D. 1 2 2 |a| |b| -? a?b? 2 1 2 2 |a| |b| +? a?b? 2
2 2 2 2 2

)

2

2

2

答案 C 解析 设∠AOB=θ ,那么 cos θ =
2 2

a?b , |a|?|b|
2

则 sin θ = 1-cos θ = 那么△OAB 的面积

2

|a| |b| -? a?b? |a|?|b|



S= |a||b|?sin θ
1 |a| |b| -? a?b? = |a||b|? 2 |a|?|b|
2 2 2

1 2

12

= 2.

1 2 2 |a| |b| -? a?b? 2

2

.

→ → 如图,△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC= 7,则AO?BC 等于 A. 3 2 5 B. 2 D.3 ( )

C.2 答案 B

→ → → → → → → → → 解析 AO?BC=AO?(AC-AB)=AO?AC-AO?AB, 1 → → → 因为 OA=OB,所以AO在AB上的投影为 |AB|, 2 → → 1 → → 所以AO?AB= |AB|?|AB|=2, 2 9 → → 1 → → 同理AO?AC= |AC|?|AC|= , 2 2 5 → → 9 故AO?BC= -2= . 2 2 π → → 3. 已知向量 m,n 的夹角为 ,且|m|= 3,|n|=2,在△ABC 中,AB=m+n,AC=m-3n, 6

D 为 BC 边的中点,则|AD|等于
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A → 1 → → 解析 由题意知:|AD|= |AB+AC| 2 1 2 = |2m-2n|=|m-n|= |m-n| =1. 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) → → 4. 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 120°.如图所示, → → → 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R, 则 x+y 的最大值是________. 答案 2 → → 2 解析 依题意,|OC|=1,则|OC| =1, → → → → → → → 又OC=xOA+yOB,|OA|=|OB|=1, 〈OA,OB〉=120°, →2 →2 → → 2 2 ∴x ?OA +y ?OB +2xyOA?OB=1,



(

)

13

因此 x +y +2xycos 120°=1,xy=x +y -1. ∴3xy=(x+y) -1≤3?
2

2

2

2

2

?x+y?2,(x+y)2≤4. ? ? 2 ?

∴x+y 的最大值是 2. 5. (2012?湖南)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为

P,且 AP=3,则AP?AC=________.
答案 18 解析 根据向量的加法几何意义及数量积运算律求解. → → → → → → → → → ∵AP?AC=AP?(AB+BC)=AP?AB+AP?BC → → → → → → → → → =AP?AB+AP?(BD+DC)=AP?BD+2AP?AB, → → 又∵AP⊥BD,∴AP?BD=0. → → → → → 2 ∵AP?AB=|AP||AB|cos∠BAP=|AP| , → → → 2 ∴AP?AC=2|AP| =2?9=18. → → → → 2 2 6. 已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中 O 为坐 标原点,则实数 a 的值为________. 答案 ±2 → 解析 如图所示,以 OA、OB 为边作平行四边形 OACB,则由|OA+ →





OB|=|OA-OB|得,平行四边形 OACB 是矩形,OA⊥OB.由图象得,
直线 y=-x+a 在 y 轴上的截距为±2.





→ →

三、解答题 7. (13 分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所 受的风力方向为北偏东 30°,速度为 20 km/h,此时水的流向是正东,流速为 20 km/h. 若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向. 解 建立如图所示的直角坐标系,风的方向为北偏东 30°,速度为

|v1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h), 设帆船行驶的速度为 v, 则 v=v1+v2. 由题意,可得向量 v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10 3),向量 v2=(20,0), 则帆船的行驶速度

v=v1+v2=(10,10 3)+(20,0)=(30,10 3),
所以|v|= 30 +? 10 3?
2 2

=20 3(km/h).

14

10 3 3 因为 tan α = = (α 为 v 和 v2 的夹角,α 为锐角), 30 3 所以 α =30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶,速度为 20 3 km/h.

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