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求动点轨迹方程的三种基本方法

求动点轨迹方程的三种基本方法
梁关化,2015,6,16
高考数学的解几题中有一类是求动点轨迹方程题。有的复习资料归纳这类题的解法过 细,其实从历届的高考题来看,主要是下面三种:一是直接法,二是消参法,三是定义法。 直接法就是根据题目提供的明的和暗的条件, 把动点的坐标满足的等式直接写出。 消参法就 是分析动点的变动是因什么变动而引起,是另一动点,还是动直线,还是动曲线?如是另一 动点引起,就把动点的坐标设为参数。如是动直线引起,就把动直线方程的有关参数设为参 数。如是动曲线引起,就把动曲线方程的有关参数设为参数,接着根据题目提供的明的和暗 的条件, 把动点的坐标和参数满足的等式列出, 最后把参数消去。 理论上, n 个参数需要(n+1) 个等式才能把参数消去。消参方法很奇妙,要通过解题,总结消参的技巧。定义法就是分析 动点满足的条件是否就是某一轨迹满足的条件,符合某一轨迹的定义,如是,就可以用待定 法求解。三法当中,高考解几大题考得最多的是消参法,难度也较大。我在一篇消参法的小 文中说到消参的许多具体做法,如代入法,加减法,平方后加减法,两式相乘法,两式相除 法等等。下面以 2015 年广东高考数学的解几大题为例,详细述说这三种方法。 (2015 年广东高考数学的解几大题,文理同题,本小题满分 14 分)已知过原点的动直 线 l 与圆 C1: x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相交于不同的两点 A ,B. (1) 求圆 C1 的圆心坐标; (解略,答案: (3,0) )

3? 9 ?5 ? ? (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (答案: ? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ) 2? 4 ?3 ? ? (3) 是否存在实数 k,使得直线 L: y ? k ( x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k
的取值范围;若不存在,说明理由。 (解略,答案:存在, ?

2

4 2 5 2 5 或k ? ? ) ?k? 3 7 7

A

M

B

A o C C1 D x

解法一(直接法): y y 设M ( x, y ), 则动直线l的斜率为 , 直线C1M 的斜率为 ,由图易知 x x?3 y y 3 3 l ? C1M , 从而有 ? ? ?1, 化简变形得(x- ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 , 但由于 x x ?3 2 2 动直线l与圆C1相交于两个不同的点A, B, 故圆心C1到直线l的距离(即线 3 3 段C1M 的长度)小于圆C1的半径,因此有(x-3)2 ? y 2 ? 4, 与(x- ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 2 2 5 5 联立解得x> ,同时由图易知0 ? x ? 3, 所以 ? x ? 3,因此, 动点M的轨迹方程 3 3 3 3 5 为(x- ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 ( ? x ? 3) 2 2 3 (说明 : 此法中用到平面几何的垂径分弦定理) 解法二(消参法): 设M ( x, y ), A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 动直线l的方程为y=kx(这里的k与第三小题中的k ? y ? kx 不同).解方程组 ? 2 2 ?x ? y ? 6x ? 5 ? 0 消y后整理得(1+k 2 ) x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 9 6 于是有? ? 36 ? 20(1+k 2 ) ? 0 ? 1+k 2 ? , x1 ? x2 ? 5 1+k 2 3 ? x? (1) 2 ? ? 1+k ?? ? y ? 3k (2) ? ? 1+k 2 3 3 消去k后,再变形得(x- ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 2 2 9 5 5 由1+k 2 ? ,得x> ,同时由图易知0 ? x ? 3,? ? x ? 3 5 3 3 3 2 3 5 因此,动点M的轨迹方程为(x- ) ? y 2 ? ( ) 2 ( ? x ? 3) 2 2 3 y (说明 : 消k是分两步进行,先(2)式除以(1)式,求出k= ,再代入(1)即可) x 解法三(定义法): 3 设M ( x, y ),由图易知?OMC1是一个直角三角形,其斜边中点C的坐标为( , 0), 2 3 3 MC ? , 所以动点M的轨迹以C为圆心, 为半径的圆.因此, 动点M的轨迹方程 2 2 3 3 5 为(x- ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 ,用解法一的方法同样可以求出x的取值范围: ? x ? 3, 2 2 3 3 2 3 5 因此, 动点M的轨迹方程为(x- ) ? y 2 ? ( ) 2 ( ? x ? 3) 2 2 3 (说明 : 此法中用到平面几何直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质) 虽然此题三法都可以解,但不是所有的题都是如此,我们要具体问题具体 分析,选用最好的方法求解.此题还涉及到轨迹的完备性问题,如果考生不注意, 肯定被扣分.



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