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18版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)疑难规律方法学案苏教版必修1

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 1 “函数”概念辨析 一、表达式相同的两个函数是不是同一函数? 答 很多同学容易把具有相同表达式的两个函数看作是同一个函数.其实,由函数的表达式 相同,只能知道它们的对应法则相同,但还有定义域是否相同的问题.例如,f(x)=3x+ 1(x∈R)与 g(x)=3x+1(x∈Z),尽管 f(x)和 g(x)的表达式相同,但由于它们的定义域分别 为 R 和 Z,故它们是不同的两个函数. 二、定义域和值域分别相同的两个函数是否相等? 答 有些同学认为,两个函数的定义域和值域分别相同,那么这两个函数必相等.其实不然, 例如,f(x)=x,x∈{0,1},g(x)=(x-1) ,x∈{0,1},这两个函数定义域和值域分别相同, 但由于 f(0)≠g(0), f(1)≠g(1), 即当自变量 x 取相同值 x0 时, f(x0)≠g(x0), 故 f(x)≠g(x). 事实上,两个函数相等的意义也可叙述为:如果两个函数 f(x)和 g(x)的定义域为 D,且对于 任意 x0∈D,都有 f(x0)=g(x0),那么 f(x)=g(x). 三、函数的定义域可以是空集吗? 答 教材中指出:“设 A,B 是非空的数集,……”.由此,不存在定义域为空集的函数.当 函数存在(给定)时,则其定义域一定不是空集;反之,当定义域为空集时,这样的函数不存 在. 四、y=0 是函数式吗? 答 很多同学都认为 y=0 不是函数式,其理由是:函数定义中有两个变量 x 和 y,而在 y=0 中只有一个变量 y. 从形式上来看, y=0 中只出现了一个变量 y, 但我们知道, 0 与任何实数的乘积仍为 0, 因此, 变量 y=0 就是 y=0·x,另一个变量 x 不是出现了吗?根据函数的定义,集合 A={x|x∈R} 显然满足函数的定义,即不论 x 取何值,y 都有唯一确定的值 0 与之对应,因此,按函数的 定义,y=0 是函数式.同理,对任意实数 m,y=m 也是函数式,只要把它写成 y=m+0·x 就清楚了. 五、用解析法表示函数时,一个函数可以有两个或多个解析式吗?如果有,各解析式对自变 量有何限制?函数定义域如何得到? 答 可以有两个或两个以上的解析式,这样的函数称为分段函数,但各解析式对自变量的取 值范围不能出现公共部分,这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集 合的并集. 六、为什么说函数的解析式和定义域给出之后,它的值域相应就被确定了? 答 因为函数的定义域是自变量 x 的取值范围的集合,而函数的解析式就是确定函数关系, 1 2 在这个关系下,每一个 x 都有唯一的 y 与之对应,因此可由定义域和解析式确定值域. 2 诠释函数“三要素” 构成函数的要素为定义域、对应法则“f”、值域三者.因此,这里我们把“定义域、对应法 则、值域”称为函数的“三要素”.对于初学者来说,理解好函数的“三要素”极为重要. 在“三要素”中函数的定义域可称得上是函数的灵魂,做任何函数题都首先要考虑到函数的 定义域, 定义域不同, 不管对应法则、 值域是否相同, 都是不同函数. 如: (1)y=x+1, x∈R; (2)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};(3)y=x+1, x∈[1,5].这三个函数是不同的函数.所以,要弄清楚函数的有关问题,首先要弄清楚其定 义域. 一、定义域 1.函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示. 2.求函数定义域的方法,主要有如下三类: (1)有函数解析式时求函数定义域:只需使函数有意义即可. x+2 例 1 求 y= x+2+ 的定义域. |x|-4 ?x+2≥0 ? 解 由题意知? ? ?|x|-4≠0 , 从而解得 x≥-2 且 x≠4,故所求定义域为[-2,4)∪(4,+ ∞). (2)没有具体解析式时,根据已知函数定义域求解,即视为整体来求解. 例 2 已知函数 y=f(x+1)的定义域为(-1,1),求函数 y=f(x)的定义域. 解 令 t=x+1,∵-1<x<1,∴0<t<2, ∴f(t)的定义域为(0,2),即所求定义域为(0,2). (3)应用题当中,需满足问题所包含的实际意义. 例 3 一等腰三角形的周长为 20,底边长 y 是关于腰长 x 的函数,求其解析式和定义域. 解 由题意知解析式为 y=20-2x,又因为构成三角形必须有 2x>y,y>0,x>0,解得 5< x<10,所以定义域为(5,10). 特别提示 求定义域时要使每个式子都有意义,所以通常取交集. 二、对应法则 一般地说,在函数 f(x)符号中,“f”表示对应法则,等式 y=f(x)表明对于定义域中的任意 的 x 值,在对应法则“f”的作用下,可得到值域中唯一的 y 值.因此,“f”是使“对应” 得以实现的方法和途径,是联系 x 与 y 的纽带,也就是函数的核心.特别地,f(a)表示自变 量 x=a 时所得的函数值,是一个常量;而 f(x)称为变量 x 的函数,在通常情况下,它是一 2 个变量. 例 4 已知函数 f(x)=x -2x,求 f(1)、f(a)、f(2x). 解 f(1)=-1,f(a)=a -2a,f(2x)=4x -4x. 特别提示 对于函数来说,即使定义域相同,值域相同,对应法则不同,也是不同函数.如: (1)y=x+1,x∈R,(2)y=2x+1,x∈R,这两个函数对应法则不同,就是不同的函数. 三、值域 1.函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示. 2.值域的求法,就我们现在所学的知识而言,暂时介绍如下三种方法: (1)二次函数型利用“配方法”. 例 5 求函数 y=-2x +4x+6 的值域. 解 由 y=-2(x-1) +8 得函数的值域为(-∞,8]. (2)换元法(注意换元后新元的范围). 例 6 求函数 y=2x+4 1-x的值域. 解 令 t= 1-x,则 y=-2t +4t+


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