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山东省各地市2012年高考数学(文科)最新试题分类大汇编22:圆锥曲线(2)


【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末文】 (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F (1)若直线 l 过点 M(4,0) ,且 F 到直线 l 的距离为 2,求直线 l 的方程; (2)设 A,B 为抛物线上两点,且 A B 不与 X 轴垂直,若线段 AB 中点的横坐标为 2.求证:线 段 AB 的垂直平分线恰过定点。 【答案】22 解: (1)由已知,x=4 不合题意。设直线 L 的方程为 y ? k ( x ? 4 ) , 由已知,抛物线 C 的焦点坐标为(1,0) , 因为点 F 到直线 l 的距离为 2,所以
| 3k | 1? k
2 5 5
2
2

??????1 分
? 2,

????3 分

解得 k ? ?

,所以直线 L 的斜率为 ?

2 5 5

.

??????5 分

所以直线 l 的方程为 y ? ?

2 5 5

( x ? 4)

?????7 分

(2)设 A、B 坐标为 A( x1 , y 1 ) ,B( x 2 , y 2 ) , 因为 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,
?y2 ? 4x ? y ? kx ? b

?????8 分

联立方程 ?

,消去 y 得

k x ? ( 2 bk ? 4 ) x ? b

2

2

2

? 0,

??????9 分

x1 ? x 2 ?

4 ? 2 bk k
2



因为 AB 中点的横坐标为 2,故

4 ? 2 bk k
2

? 4

整理得 b ?

2 ? 2k k

2

.

由 AB 中点的坐标为(2,2k+b) 得 AB 垂直平分线的方程为: y ? ( 2 k ? b ) ? ?
2 ? 2k k
x ? ky ? 4 ? 0 显然定点(4,0).
2

1 k

( x ? 2)

(※) ,

?????12 分

将b ?

代入方程(※)并化简整理得:

线段 AB 的垂直平分线恰过定点(4,0) 【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末文】设椭圆 E:
y a
2 2

???????14 分
? x b
2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的上焦点

是 F1 ,过点 P(3,4)和 F1 作直线 P F1 交椭圆于 A、B 两点,已知 A( , (1)求椭圆 E 的方程; (2)设点 C 是椭圆 E 上到直线 P F1 距离最远的点,求 C 点的坐标。 【答案】解: (1)由 A( , 令 x=0,得 y=1,即 c=1
1 4 3 3

1 4 3 3

).

)和 P(3,4)可求直线 PF 1 的方程为:y=x+1????1 分 ????2 分

椭圆 E 的焦点为 F1 ( 0 ,1) 、 F 2 ( 0 , ? 1) ,由椭圆的定义可知
2 a ? | AF 1 | ? | AF 2 |? 1 2 4 2 ( ) ? ( ? 1) ? 3 3 1 2 4 2 ( ) ? ( ? 1) ? 2 2 ?????4 分 3 3

∴a ?

2,b ? 1

???????5 分
y
2

椭圆 E 的方程为

? x

2

?1

??????6 分

2

(2)设与直线 PF 1 平行的直线 l : y ? x ? m
? y2 2 ? x ?1 ? 2 2 ,消去 y 得 3 x ? 2 mx ? m ? 2 ? 0 ? 2 ?y ? x ? m ?
? ? (2m ) ? 4 ? 3 ? (m ? 2) ? 0 m
2 2 2

???7 分

??????? 8 分

, ??????????9 分



? 3, m ? ? 3

要使点 C 到直线 PF 1 的距离最远,则直线 L 要在直线 PF 1 的下方,所以 m ? ? 3 ?10 分 此时直线 l 与椭圆 E 的切点坐标为 (
3 3 ,? 2 3 3 ) ,故 C ( 3 3 ,? 2 3 3 ) 为所求。

???12 分

【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末文】若椭圆 有相同的焦点,则 a= 【答案】2 .

x a

2 2

? y

2

? 1( a ? 0 ) 与双曲线

x

2

? y

2

?1

2

【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末文】若点 O 和点 F 分别为椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的中心和

9

5

左焦点,点 P 为椭圆上任意一点,则 O P ? F P 的最小值为 A.
11 4

??? ??? ?

B.3

C.8

D.15

【答案】A 【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末文】正三角形一个顶点是抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 ) 的 焦点,另两个顶点在抛物线上,则满足此条件的正三角形共有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 【答案】C 【山东省德州市 2012 届高三上学期期末考试文】8. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

2

x

2

? y

2

3

? 1 的右焦点重合,则 p 的值为()

A. -4

B. 4

C. -2

D.

2

【答案】A 【山东省德州市 2012 届高三上学期期末考试文】22. (本题满分 12 分)
( 1) 已知椭圆 C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过 0, , (1, 2 2 )

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)直线 l : 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 交椭圆 C 与 A、B 两点,若 T ( 0 ,1) 求证: TA ? TB ? TA ? TB 【答案】解:设椭圆 C 的方程为 mx ? ny
2 2

?1

( 1), 由椭圆 C 过点 0, (1,

2 2

) 得:

1 ? ?m ? n ? 2 ? m ?1 ? 1 ? ?m ? 解得 ? 2 ? n ?1 ?
? 椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

?1

2
?3 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? ? ? ? y
2

(Ⅱ)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由 ? x 2
2

?1

4 ? ? x1 ? x 2 ? 9 消去 y 整理得 27 x 2 ? 12 x ? 16 ? 0 ,由韦达定理得,则 ? 16 ? x1 x 2 ? ? 27 ?

由 TA ? TB ? TA ? TB 两边平方整理可得 TA ? TB ? 0 只需证明 TA ? TB ? 0
TA ? TB ? x1 , y 1 ? 1) x 2 , y 2 ? 1) ( ( ?

? x 1 x 2 ? ( y 1 ? 1)( y 2 ? 1) ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? ( y 1 ? y 2 ) ? 1

而 y 1 y 2 ? ( x 1 ? )( x 2 ? ) ? x 1 x 2 ?
3 3 y 1 ? y 2 ? x1 ? 1 3 ? x2 ? 1 3

1

1

1 3

( x1 ? x 2 ) ? 2 3

1 9

? x1 ? x 2 ?

? TA ? TB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ( y 1 ? y 2 ) ? 1 ? 2 x 1 x 2 ?

4 3

( x1 ? x 2 ) ?

16 9

? -

32 27

-

16 27

?

16 9

?0

故 TA ? TB ? TA ? TB 恒成立 【山东省滨州市沾化一中 2012 届高三上学期期末文】5.设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的 一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是 ( ) A. 2 【答案】D 【山东省滨州市沾化一中 2012 届高三上学期期末文】22. (本题满分 12 分)设 F1 、 F 2 分别
x
2

B. 3

C.

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

是椭圆

? y

2

? 1 的左、右焦点.

4

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 P F1 ? P F2 的最大值和最小值; (2)设过定点 M ( 0 , 2 ) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中
O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

???? ???? ?

【答案】22. (本小题满分 12 分) 解: (1) 易知 a ? 2, b ? 1, c ?
???? ???? ? P F1 ? P F 2 ? ? 3 ? x , ? y ,
3

所以 F1 ? 3 , 0 , F 2
3 ? x, ? y ? x ? y ? 3
2 2

?

?

?

3 , 0 , 设 P ? x, y? ,则

?

?

??

?

? x ?1?
2

x

2

?3?

1 4

4

?3x

2

? 8?

-------------- 3 分
???? ???? ?

因为 x ? ? ? 2, 2 ? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, P F1 ? P F2 有最小值 ? 2 当 x ? ? 2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, P F1 ? P F2 有最大值 1 . -------------- 5 分
???? ???? ?



(2)显然直线 x ? 0 不满足题设条 件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,将
y ? kx ? 2 代入

x

? 2 1? 2 2 ? y ? 1 ,消去 y ,整理得: ? k ? ? x ? 4 kx ? 3 ? 0 4 4? ?

2

∴ x1 ? x 2 ? ?

4k k ?
2

1 4

, x1 ? x 2 ?
2

3 k ? 1 4



-------------- 7 分

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

? ?

3 3 1? 2 或k ? ? , --- 8 分 ? ? 3 ? 4 k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?

又 0 ? ? A 0 B ? 90 ? cos ? A 0 B ? 0 ? O A ? O B ? 0
0 0

??? ??? ? ?

∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 又 y1 y 2 ? ? kx1 ? 2 ? ? kx 2 ? 2 ? ? k x1 x 2 ? 2 k ? x1 ? x 2 ? ? 4
2

??? ??? ? ?

?

3k
2

2

k ?

1 4

?

?8k k ?
2

2

1 4

?4 ?

?k ? 1
2

k ?
2

1 4


2

3 k ? 1 4

?

?k ? 1
2

k ?
2

1 4

? 0 ,即 k ? 4
2

∴ ?2 ? k ? 2

-------------- 11 分

故由①、②得 ? 2 ? k ? ?

3 2



3 2

? k ? 2

-------------- 12 分

【山东济宁汶上一中 2012 届高三 12 月月考文】8.设抛物线的焦点为 F、顶点为 O、准线与 对称轴的交点为 K,分别过 F、O、K 的三条平行直线被抛物线所截得的弦长依次为 a , b , c ,则 ( )
2

A. a ? c 2 ? 2 b 2 【答案】A
2 2

B. ac ? b 2

C. a ? c ? 2 b

D. a c ? 2 b 2
2

【山东济宁微山一中 2012 届高三 第二次质量检测文】 10.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲 线
x ? y ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为(

) D. 4

2

2

A. ? 2 【答案】D

B. 2

C. ? 4

【山东济宁微山一中 2012 届高三第二次质量检测文】11.若点 P ( x , y ) 为椭圆 上一点,则 x ? y 的最大值为( A.1 【答案】D B.
2

x

2

? y

2

?1

4

) C.2 D.
5

【 山 东 济 宁 微 山 一 中 2012 届 高 三 第 二 次 质 量 检 测 文 】 19.(12 分 ) 已 知 双 曲 线
C : x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率为

2 3 3

,左、 右焦点分别为 F1 、F2 ,一条准线的方程

为x ?

3 2

.

(1)求双曲线 C 的方程; (2)若双曲线 C 上的一点 P 满足 P F1 ? P F2 ? 1 ,求 | P F1 | ? | P F2 | 的值; (3) 若直 线 y ? kx ? m ( k ? 0, m ? 0) 与 双 曲 线 C 交于 不 同 的两 点 M , N , 且 M , N 在 以
A ( 0 ,? 1 )为圆心的圆上,求实数 m 的取值范围.

???? ???? ?

????

???? ?

?c 2 3 ? ? ? 3 【答案】19. (1)由条件有 ? a 2 3 ?a ? ? c 2 ?

∴?

?a ? ? ?c ? 2 ?

3

∴ a ? 3, b ? c ? a ? 1 .
2 2 2 2

故双曲线 C 的方程为:
???? ???? ?

x

2

? y ?1.
2

3

(2)设 | P F1 |? r1 , | P F2 |? r2 , ? F1 P F2 ? ? . ∵ P F1 ? P F2 ? 1 又 | r1 ? r2 |? 2 3
???? ???? ?

∴ r1 ? r2 ? co s ? ? 1
2 2 ∴ r1 ? r2 ? 2 r1 r2 ? 1 2

2 2 即 r1 ? r2 ? 2 r1 r2 ? 1 2 .

2 2 2 又由余弦定理有: 4 c ? r1 ? r2 ? 2 r1 r2 cos ? .

即 1 6 ? 2 r1 r2 ? 1 2 ? 2

∴ r1 r2 ? 3 .

故 | P F1 | ? | P F 2 |? 3 .

????

???? ?

? y ? kx ? m ? 2 2 2 ? (1 ? 3 k ) x ? 6 km x ? 3 m ? 3 ? 0 (3)由 ? x 2 2 ? y ?1 ? ? 3

则由条件有: 1 ? 3 k 2 ? 0 是 ? ? 12( m ? 1 ? 3 k ) ? 0
2 2



设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), M N 中点 B ( x 0 , y 0 ) ,则
x0 ? x1 ? x 2 2 ? 3 km 1 ? 3k
2

, y 0 ? kx 0 ? m ?

m 1 ? 3k
2

m

又 M , N 在以 A (0, ? 1) 为圆心的圆上. ∴ A B ? M N .

k AB ? 1 ? 3k 3km
2

?1 ? ?
2

1 k

1 ? 3k

化简得: 3 k 2 ? 4 m ? 1



将②代入①得: m 2 ? 4 m ? 0 解得 m ? 0 或 m ? 4 .
2 又由 3 k ? 4 m ? 1 ? 0

∴m ? ?

1 4

综上: ?

1 4

? m ? 0 或m ? 4 .

【山东济宁微山一中 2012 届高三第二次质量检测文】22. (本题满分 12 分)设 F1 , F 2 分别
y b
2 2

x 是椭圆 E: +

2

=1 0﹤b﹤1) ( 的左、 右焦点, F1 的直线与 E 相交于 A、 两点, A F 2 , 过 B 且

A B , B F2 成等差数列。

(1)求 ? ABF 2 的周长 (2)求 A B 的长 (3)若直线的斜率为 1,求 b 的值。 【答案】22.(1)由椭 圆定义知 ? ? F2 ? + ? ? ? ? ? ? ? F2 ?? ? a 已知 a ? 1 ∴ ? ABF 2 的周长是 4 (2) 由已知 A F 2 , A B , B F2 成等差数列 ∴ AF 2 ? BF 2 ? 2 AB ,又 ? ? F2 ? + ? ? ? ? ? ? ? F2 ?? ?

故 3 AB ? 4 ,解得 A B =

4 3

(3)L 的方程式为 y=x+c,其中 c ? 1 ? b

2

设 A ( x1, y 1 ),B ( x1, y 1 ) ,则 A,B 两点坐标满足方程组

? ? y= x +2c
x2?

y ?1 b2
2 2 2

化简得 (1 ? b ) x ? 2 cx ? 1 ? 2 b ? 0 .
?2c 1? b
2

则 x1 ? x 2 ?

, x1 x 2 ?

1 ? 2b 1? b
2

2

.

因为直线 AB 的斜率为 1,所以 ? ? ? ??

? ? x 2 ? x1 ?


8 9

4 3

?

2 ? x 2 ? x1 ? .



? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

4 (1 ? b )
2

(1 ? b )
2

2

?

4 (1 ? 2 b )
2

1? b

2

?

8b

4 2

1? b

解得

b ?

2 2

【山东济宁梁山二中 2012 届高三 12 月月考文】10.已知双曲线
4 3

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的一条渐近线方

程为 y ?
5 3

x ,则双曲线的离心率为

A.

B.

21 3

C.

5 4

D.

7 2

【答案】A 【山东济宁梁山二中 2012 届高三 12 月月考文】 20.(12 分)设椭圆 C 1 :
x
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

a

的左、右焦点分别是 F1 , F 2 ,下顶点为 A ,线段 OA 的中点为 B ( O 为坐标原点) ,如图.若 抛物线 C 2 : y ? x ? 1 与 y 轴的交点为 B ,且经过 F1 , F 2 点.
2

(1)求椭圆 C 1 的方程; (2) M ( 0 , ? 设
) ,N 为抛物线 C 2 上的一动点, 过点 N 作抛物线 C 2 的切线交椭圆 C 1 于 P , Q 5 两点,求 ? M P Q 面积的最大值. 4

【答案】20.(12 分)解: (1)由题意可知 B(0,-1) ,则 A(0,-2) ,故 b=2.

令 y=0 得 x 2 ? 1 ? 0 即 x ? ? 1 ,则 F1(-1,0),F2(1,0) ,故 c=1.

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 5 .于是椭圆 C1 的方程为:

x

2

?

y

2

? 1.

5

4

(2 )设 N( t , t ? 1 ) ,由于 y ' ? 2 x 知直线 PQ 的方程为:
2

y ? ( t ? 1) ? 2 t ( x ? t ) . 即 y ? 2 tx ? t ? 1 .
2 2

代入椭圆方程整理得: 4 (1 ? 5 t ) x ? 2 0 t ( t ? 1) x ? 5( t ? 1) ? 2 0 ? 0 ,
2 2 2 2 2

? ? 400 t ( t ? 1) ? 80(1 ? 5 t )[( t ? 1) ? 4] = 8 0 ( ? t ? 1 8 t ? 3) ,
2 2 2 2 2 2 4 2

x1 ? x 2 ?

5 t ( t ? 1)
2

1 ? 5t

2

, x1 x 2 ?

5( t ? 1) ? 2 0
2 2

4 (1 ? 5 t )
2

,

故 PQ ?

1 ? 4t

2

x1 ? x 2 ?

1 ? 4 t . ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2 2

?

5 ? 1 ? 4t ?
2

? t ? 1 8t ? 3
4 2 2

1 ? 5t



?

4 5

? t ?1
2

t ?
2

1 5

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,则 d ?

1 ? 4t

?
2


2

1 ? 4t

所以, ? M P Q 的面积 S ?

1 2

PQ ? d ?

1 2

5 ? 1 ? 4t ?
2

? t ? 1 8t ? 3
4 2 2

t ?
2

1 5
2

1 ? 5t

?

1 ? 4t

?

5 10

? t ? 1 8t ? 3 ?
4 2

5 10

? (t ? 9 ) ? 8 4
2 2

?

5 10

84 ?

105 5

当 t ? ? 3 时取到“=” ,经检验此时 ? ? 0 ,满足题意.

综上可知, ? M P Q 的面积的最大值为

105 5



【山东济宁梁山二中 2012 届高三 12 月月考文】21. (本小题满分 12 分) 已知曲线 ? 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3 , 0 和 F 2 (1)求曲线 ? 的方程; (2) 设过 ? 0, ? 2 ? 的直线 l 与曲线 ? 交于 C 、D 两点, O C ? O D ? 0 ( O 为坐标原点) 且 , 求直线 l 的方程. 【答案】21. (本小题满分 12 分) 解: (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,其中 a ? 2 , c ? 则b ?
a ? c ? 1 .所以动点 M 的轨迹方程为
2 2

?

?

?

3 , 0 的距离之和为 4.

?

???? ????

3,

x

2

? y ? 1.
2

4

(2)当直线 l 的斜率不存在时, 不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D ( x 2 , y 2 ) ,∵
???? ???? O C ? O D ? 0 ,∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . ∵ y1 ? kx1 ? 2 , y 2 ? kx 2 ? 2 ,

∴ y 1 y 2 ? k 2 x1 ? x 2 ? 2 k ( x 1 ? x 2 ) ? 4 .
? x2 2 ? y ? 1, ? 2 ∴ (1 ? k ) x1 x 2 ? 2 k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 0 . 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?

得 ? 1 ? 4 k 2 ? x 2 ? 1 6 kx ? 1 2 ? 0 .则 x1 ? x 2 ?
2 代入①,得 ? 1 ? k ? ?

16k 1 ? 4k
2

, x1 ? x 2 ?

12 1 ? 4k
2



12 1 ? 4k
2

? 2k ?

16k 1 ? 4k
2

?4? 0.

2 即 k ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ? 2 .

所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2 x ? 2 . 【莱州一中 2009 级高三第三次质量检测数学(文科) 】6.双曲线 mx + y =1 的虚轴长是实轴长
2 2

的 2 倍,则 m 等于 A.1 4

( B.-4 C.4

) D.
1 4

【答案】A 【 莱 州 一 中 2009 级 高 三 第 三 次 质 量 检 测 数 学 ( 文 科 )】 12. 已 知 双 曲 线

x a

2 2

?

y b

2 2

???? ? ???? ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点, F1 F 2 在 F1 P 上的 ????

投影的大小恰好为| F1 P |,且它们的夹角为
2 ?1 2

?
6

,则双曲线的离心率 e 为

? A.

B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

【答案】C 【莱州一中 2009 级高三第三次质量检测数学(文科) 22.(本小题满分 14 分) 】 ? 如图,椭圆 C :
x a
2 2

?

y

2

? 1 的焦点在 x 轴上,左

2

右顶点分别为 A1,A,上顶点 B,抛物线 C1, 2 分别以 A1, 为焦点,其顶点均为坐标原点 O, C B C1 与 C2 相交于直线 y ?
2 x 上一点 P.

(1)求椭圆 C 及抛物线 C1,C2 的方程; (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交 于不同两点 M,N,已知点 Q ( ? 2 , 0 ) ,求 Q M ?Q N 的最小值. 22. (本小题满分 14 分) 解:1) ( 由题意 A ( a , 0 ), B (0, 2 ) , 抛物线 C1 方程设为 y ? 4 a x , 抛物线 C2 的方程 x 2 ? 4 2 y ,
2

???? ???? ?

? y ? 4ax 2 2 ? x y ? ? 1, ?????????????3 由 ? x 2 ? 4 2 y ? a ? 4, P (8, 8 2 ), ∴椭圆 C : 16 2 ? ? y ? 2x
2


2 抛物线: C 2 : y ? 16 x ,

????????4 分 ????????5 分
? x2 y ? 2 ?1 ? 2 2 ? 16 2 2 , k ? ? x ? b, 由 ? ? , 设直线 l : y ? ? 2 2 2 ? y ? ? x?b ? ? 2

抛物线:C 2 : x ? 4 2 y ,
2

(2)(1) 由 直线 OP 的斜率为

消去,得 5 x ? 8 2 b x ? (8 b 2 ? 1 6 ) ? 0 . 分

????????????7

∵动直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点,∴△ ? 128 b ? 20(8 b ? 16 ) ? 0,
2 2

? ? 10 ? b ?

10 .

????????????8

分 设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 1 ),? x 1 ? x 2 ?
8 2b 5 1 2 , x1 x 2 ? 8b ? 16
2

,

5 b ?8
2

y1 y 2 ? ( ?

2 2

x 1 ? b )( ?

2 2

x2 ? b) =

x1 x 2 ?

2b 2

( x1 ? x 2 ) ? b ?
2

, ???????

5

10 分
???? ? ? Q M ? ( x1 ? ???? 2 , y 1 ), Q N ? ( x 2 ? ???? ???? ? 2 , y 2 ),? Q M ?Q N ? ( x 1 ?
9b ? 16b ? 14
2

2 )( x 2 ?

2 ) ? y1 y 2

? x1 x 2 ?

2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? y 1 y 2 ?

, ?????????????????12

5


? ? 10 ? b ? 9 5 ? (? 8 9 ) ?
2

1 0 ,? 当 b ? ? ? (? 8 9 )? 14 5

8 9

时, Q M ?Q N 取得最小值,其最小值为
38 9 .

???? ???? ?

16 5

? ?

??????????????????????10



【山东省苍山县 2012 届高三上学期期末检测文】2.抛物线 x ? 8 y 的焦点到准线的距离是
2

A.1 【答案】C

( ) B.2

C.4

D.8

【山东省苍山县 2012 届高三上学期期末检测文】11.设椭圆 焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,离心率为
2

x m

2 2

?

y n

2 2

? 1( m ? 0, n ? 0 ) 的右

1 2

,则此椭圆的方程为

( A.
x
2


x
2

?

y

2

?1

12

16

B.

?

y

2

?1

16

12

C.

x

2

?

y

2

?1

48

64

D.

x

2

?

y

2

?1

64

48

【答案】B 【山东省苍山县 2012 届高 三上学期期末检测文】16 .已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 8 ? 0 ,
2 2

以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的 标准方程为 。 【答案】
x
2

?

y

2

?1

4

12

【山东省苍山县 2012 届高三上学期期末检测文】22. (本题满分 14 分) 设椭圆 C1 和抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点,从每条曲线上 各取两点,将其坐标记录于下表中:

(1)求曲线 C1,C2 的标准方程; (2)设直线 l 与椭圆 C1 交于不同两点 M、N,且 O M ? O N ? 0 ,请问是否存在直线 l 过 抛物线 C2 的焦点 F?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 22.解: (1)由题意(-2,0)一定在椭圆 C1 上。设 C1 方程为 则 a ? 2 …………2 分
2 2

???? ???? ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1,

? 椭圆 C1 上任何点的横坐标 | x |? 2 .

所以 ( 2 ,

) 也在 C1 上,从而 b

2

? 1 ………………………………3 分

? C1 的方程为

x

2

? y

2

?1

4

……………………………… 4 分

2 从而 ( 3 , ? 2 3 ) , (4,-4)一定在 C2 上,设 C2 的方程为 y ? 2 px ( p ? 0 )

? p ? 2 . ………5 分

即 C2 的方程为 y

2

? 4 x.

…………6 分

(2)假设直线 l 过 C2 的焦点 F(1,0) 。…………………………7 分 当 l 的斜率不存在时,则 M (1, 此时 OM ? ON ? 1 ?
3 4 ? 1 4
3 2 ), N (1, ? 3 2 ).

? 0,

与已知矛盾。………………8 分

当 l 的斜率存在时设为 k ,则 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 代入 C1 方程并整理得:
(1 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 k
2 2 2 2

? 4 ? 0 . ………………………………9 分

设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ?

8k

2 2

1 ? 4k

, x1 x 2 ?

4k

2

?4
2

1 ? 4k

…………10 分

y 1 y 2 ? k ( x 1 ? 1) k ( x 2 ? 1) ? k ( x 1 x 2 ? x 1 ? x 2 ? 1) ?
2

? 3k

2 2

1 ? 4k

? OM ? ON ? 0 , ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,…………………11 分

?k

2

? 4 ? 0 , k ? ? 2 ………………………………13 分

? 存在符合条件的直线 l 且方程为 y ? ? 2 ( x ? 1). ……………1



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