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高中数学 2.2.4平面与平面平行的性质课件 新人教A版必修2_图文

第二章 点、直线、平面之间的位置 关系 §2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.4 平面与平面平行的性质 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 课前热身 1.平面与平面平行的性质定理. (1)文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线________. (2)符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?________. (3)图形语言:如图所示. 2.如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它 与另一个也______. 3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另 一个平面________. 自 1.平行 a∥b 我 校 2.相交 对 名师讲解 1.正确使用线、面平行的性质定理与判定定理 在使用判定定理和性质定理时,要注意定理中的条件.如 使用两平面平行的性质定理容易出现错误:“如果α∥β且a? α,b?β,那么有a∥b.”显然这一结论是错误的.必须强调辅 助平面γ,且有γ∩α=a,γ∩β=b,α∥β,那么才有a∥b成 立.再如利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时,最 容易忽略掉“平面外一条直线”这一条件.要避免此错误的出 现,关键是明确:与平面α内直线a平行的直线b和α存在这样两 种位置关系为b∥α和b?α,即不仅有平行而且还有在平面内的 情况. 2.辅助线、辅助面的作法 在证线面、面面平行的有关问题时,常需要辅助线或辅助 面,证题时要特别注意两点:一是所作的辅助线或面需要有理 论根据;二是辅助线或辅助面具有什么性质,一定要以某一性 质定理为依据决不能随意添加. 3.线、面平行问题的转化关系 4.面面平行的性质定理的几个常用结论 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于 另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比 例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面 互相平行. 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 典例剖析 一 证明线面平行 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CD的中点, 【例1】 F为B1C1的中点. 求证:EF∥平面BB1D1D. 【分析】 如图所示. 要证线面平行,可先证面面平行,取BC的中点H,连接 FH,EH. 易证平面EFH∥平面BB1D1D. 再用两面平行的性质得证. 【证明】 如图,取BC的中点H. 连接EH,FH. ∵E为CD的中点, ∴EH∥BD,EH?平面BB1D1D. ∴EH∥平面BB1D1D. 又F为B1C1的中点, ∴FB1綊BH. ∴BHFB1为平行四边形. ∴FH∥BB1. 又FH?平面BB1D1D, ∴FH∥平面BB1D1D. 又FH∩EH=H, ∴平面EFH∥平面BB1D1D. ∴EF∥平面BB1D1D. 规律技巧 在证明线面平行时,常用线线平行,线面平 行,面面平行进行相互转化,达到证题的目的. 二 证明面面平行 已知a,b是异面直线,a?平面α,b?平面β,a 【例2】 ∥β,b∥α,求证:α∥β. 【分析】 要证α∥β,由判定定理知,在β内找出两条相 交直线都平行于α.由已知,b?β,b∥α,再找出一条直线a′ ∥α.这需要作辅助平面γ,使γ∩α=a,γ∩β=a′,只要a′∥ a,就可得α∥β,具体如何作出辅助平面γ,请看证明. 【证明】 γ,如图所示. 在b上任取一点P,设直线a与点P确定平面为 设β∩γ=a′,∵a∥β,∴a′∥a,∴a′∥α. 又b∥α,且a′∩b=P,a′?β,b?β, ∴α∥β. 三 综合性问题 如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点D,D1分别 【例3】 为AC,A1C1上的点. A1D1 (1)当D C 的值等于何值时,BC1∥平面AB1D1; 1 1 AD (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求DC的值. 【分析】 若BC1∥平面AB1D1,则平面AB1D1中存在直线 与BC1平行,连接A1B交AB1于O,由棱柱的定义,知O为A1B的 中点,平面A1BC1与平面AB1D1的交线OD1与直线BC1平行,由 A1D1 三角形中位线定理,知D1为A1C1的中点,此时D C =1. 1 1 若平面BC1D∥平面AB1D1, AD D1C1 BO 易知DC=A D =OA =1. 1 1 1 【解】 A1D1 (1)如题图,取D1为线段A1C1的中点,此时 D C 1 1 =1,连接A1B交AB1于点O,连接OD1. 由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O 为A1B的中点. 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,∴OD1 ∥BC1. 又∵OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1, ∴BC1∥平面AB1D1. A1D1 ∴当 =1时,BC1∥平面AB1D1. D1C1 (2)由已知平面BC1D∥平面AB1D1. 且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1, 平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O, 因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1. A1D1 A1O A1D1 DC ∴D C = OB ,D C =AD. 1 1 1 1 A1O AD 又∵ OB =1,∴DC=1. 规律技巧 探索平行问题,即找平行成立具备的条件,三 种平行关系的相互转化是解决问题常用的方法. 随堂训练 1.过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直 线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( A.4条 C.8条 B.6条 D.12条 ) 解析 如图,取各棱的中点, 易证平面EFGH∥平面DBB1D1,故平行四边形EFGH的四 条边及对角线均为各棱中点的连线均平行于面DBB1D1,共6 条,同理在平行四边


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