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江苏省无锡一中2010-2011学年高一下学期期中考试数学试题


江苏无锡高一(下)期中考试

数 学 试 题
一. 填空题(每题 5 分共 70 分) 1. 若集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 0} ,则 A ? B ?
2

2. 已知一个等差数列的前三项分别为 ? 1, x, 3 ,则它的第五项为 3. △ ABC 中, 内角 A,B,C 所对边分别为 a, b, c 且 a ?

[来源:]

3, A ? 60 ? , C ? 45 ? , 则 c =

4. 等比数列 {a n } 中, a1 ? 3, a 4 ? 81, 则 {a n } 的通项公式为_________________ 5. 已知△ ABC 中,AB=6,∠A=30 ? 且△ ABC 的面积为 6,则边 AC 的长为

?x ? 0 ?y ? 0 ? 6. 若实数 x, y 满足不等式组 ? ,则 z ? x ? y 的最大值为______________ 2 x ? 3 y ? 6 ? ? ?3 x ? 2 y ? 6
7. 已 知 二 次 函 数 f ( x) ?

? x 2 ? x ? 2 的 定 义 域 为 A, 若 对 任 意 的 x ? A , 不 等 式

x 2 ? 4 x ? k ? 0 成立, 则实数 k 的最小值为__________________
8. 若正实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,且 t ? 2 ? x ?

1 . 则当 t 取最大值时 x 的值为 4y

9. 已知数列 {a n } 是等差数列,若 a 4 ? a7 ? a10 ? 17 , a 4 ? a5 ? a6 ? ? ? a13 ? a14 ? 77 且 a k ? 13 ,则 k ? 10.若△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 a, b, c 成等比数列,c ? 2a , 则 cos B 的 值为

?| x |? 3 ? 11.实数 x, y 满足不等式组 ?? 3 ? y ? 2 ,若在平面直角坐标系中 ,由点 ( x, y ) 构成 ?x ? y ? a ?
的区域的面积是 22,则实数 a 的值为

12.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照右图排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3

个数为

?1? 13.已知数列{ a n }中, a n ? 250 ? ? ? , n ? N * ,则 {a n } 的前 ?3?
14.已知函数 f ( x) ? x ? 40 x, 数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n ?
2

n

项乘积 最大。 ..

68 (n ? N ?) . n

当 | f (a n ) ? 2011 | 取得最小值时, n 的所有可能取值集合为 二. 解答题(共 90 分) 15.(14 分)已知△ ABC ,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足下列三个条件: ② 3 c ? 14 sin C a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab 求 (1) 内角 C 和边长 c 的大小; (2)△ ABC 的面积. ① ③ a ? b ? 13

n 1 21 ?1? 16(14 分).设{an}是公差大于 的等差数列,bn= ? ? ,已知 b1+b2+b3= ,b1b2b3= , ....0 . 8 8 ?2?

a

⑴ 求证:数列{bn}是等比数列; ⑵ 求等差数列{an}的通项 an.

17.(14 分)某小区规划一块周长为 2a ( a 为正常数)的矩形停车场,其中如图所示的直角三角形 ADP 内为绿化区域.且 ?PAC ? ?CAB .设矩形的长 AB ? x , AB ? AD (1)求线段 DP 的长关于 x 的函数 l ( x) 表达式并指出定义域; (2)应如何规划矩形的长 AB ,使得绿化面积最大?

[来源:]

18.(16 分)一个公差不为零的等差数列{an}共有 100 项,首项为 5,其第 1、4、16 项分别为正项 等比数列{bn}的第 1、 3、5 项. 记{an}各项和的值为 S. ⑴求 S (用数字作答);[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

S ,求{bn}项数的最大值 N; 2 ⑶记数列 {c n } , cn ? a n bn (n ? N *, n ? 100 ) .求数列 {c n } 的前 n 项的和 Tn .
⑵若{bn}的末项不大于

[来源:Z_xx_k.Com]

19.(16 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1, x ? R . (1) 若 a ? 2 , 解不等式 f ( x) ? 0 ;
2 2

(2) 若 a ? R , 解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (3) 若 x ? [0,2] 时, f ( x) ? a (1 ? x) 恒成立.求实数 a 的取值范围. [来源:ZXXK]
2

20.(16 分)已知 f ( x) ? x ? x. ,数列 {a n } 的首项 a1 ? 0, a n ?1 ? f (a n )( n ? N *) .
2

(1) 比较 a n ?1与a n 的大小 (2) 判断并证明数列 {a n } 是否能构成等比数列? (3)若 a1 ?

1 , 求证: 2

1?

1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an

[来源:Z.xx.k.Com]

[来源:学|科|网]

参考答案
一填空题 1.

(0,1)

2.

7
3 4

3.

2

4.

3n

5.

4

6.

12 5

7.

3

8.

1 2

9.

18

10.

11.

?2

12.

n2 ? n ? 6 2
a n ?1 ? a n

13.

5

14.

{1,68}

二解答题

b ?1? 16.(1)证明: 设{ a n }的公差为 d . n ?1 ? ? ? bn ?2?
a d

?1? ? ? ? 为常数,又 bn >0. ?2?

d

1 ?1? ?1? 即 {bn } 为以 ? ? 为首项,公比为 ? ? 的等比数列.-------------------------------------6 分 ?2? ?2?

21 ? 1 ? 1 b ? b ? ? d 1 3 ? 1 ? ?b1 ? ?b3 ? ?1? 8 ?? (2) 由 b2 ? 得, ? 8 or? 8 ,由 {bn } 公比为 q ? ? ? ? (0,1) 1 2 ? ?2? ? b1b3 ? ?b1 ? 2 ?b3 ? 2 ? ? 4 ?
1 ? ?b3 ? 所以 b1 ? b3 , 所以 ? 8 ? ?b1 ? 2
所以

------------------------------------------------------------------12 分

?1? bn ? ? ? ?2?
2 2

2 n ?3

, 即
2

an ? 2n ? 3, n ? N * --------------------------------------14 分

15. (1) 由 a ? b ? c ? ab ,所以 cos B ? 又0 ? C ? ? , 即C ? (2), S ?ABC ?

1 ,[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 2

?

c 14 ? ? c ? 7 ---------------------------------------------6 分 ? 3 sin 60 3
-

1 ? ab sin ------------------------------------------------- --- ----------------------------8 分 2 3

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,得 49 ? (a ? b) 2 ? 3ab ? ab ? 40 ,--------------------------------------12 分

S ?ABC ?

1 ? ab sin ? 10 3 -------------------------------------------------------------------------14 分 [ 来 源 : 2 3 a ? x ? a(a ? 0) 2

学。科。网] 17.解 (1) AD ? BC ? a ? x, 由 AB ? AD ,得

设 ?BAC ? ?CAP ? ? , tan ? ? 得 DP ? 源:ZXXK] (2) S ?ADP ?

a?x AD a ? x , , 因为 ?APD ? 2? , tan 2? ? ? a DP DP
2ax ? a 2 a , 定义域为 ( , a ) -----------------------------7 分 [ 来 2x 2

2ax ? a 2 , 所以 2x

l ( x) ?

1 a a2 AD ? DP ? (3a ? ? 2 x) ---------------------------------------------------9 分 2 4 x

a2 2 2 a 因为 a 时取等号. 又 a ? ( , a) ? 2 x ? 2a 2 ,仅当 x ? 2 2 x 2
所以 ( S ?ADP ) max ?

a2 2 (3 ? 2 2 ) ,此 时 AB= a ---------------------------------------------13 分 2 4
2 a 时,绿化面积最大.--------------------------------------------------------14 分 2
2

答: 当矩形的长为

18.解 (1)设 {a n } 的公差为 d ( d ? 0 ),由 b1 , b3 , b5 成等比数列,得 b3 ? b1b5

(5 ? 3d ) 2 ? 5(5 ? 15d ) ? d ? 0(舍)or d ? 5 . 所以 a n ? 5n ( n ? N *, n ? 100 )

S ? 5 ? 100 ?

100 ? 99 5 ? 25250 -----------------------------------------------------------------6 分 2
2
n ?1

(2)由 b1 ? 5, b2 ? 20 ? q ? 4(q ? 0) ,所以 q ? 2, bn ? 5 ? 2 由 bn ?

S ? 2 n ? 5050 ,所以 n 的最大值为 12.又 bn ?1 ? bn ,所以 2 S S b1 ? b2 ? ?b12 ? , n ? 13 时 bn ? ,所以 N ? 12 .------------------------------------ 12 分 2 2
n ?1

(3) c n ? 25n ? 2 得

2 n ?1 ? ? Tn ? 25(1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ) ,? 2 n ?1 n ? ? 2Tn ? 25 [ 2 ? 2 ? 2 ? ?(n ? 1) ? 2 ? n ? 2 ]

? Tn ? 25(1 ? 2 ? ?2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ) = 25[(1 ? n)2 n ? 1] Tn ? 25[( n ? 1)2 n ? 1]( n ? N *, n ? 100 ) ------------------------------------16 分

19.(1) 1 ? x ? 5 --------------------- ----------------------------------------------------------------2 分 (2) f ( x) ? 0 时 ? ? 8a ---------------------------------------------------------------------------4 分 当 a ? 0, x ??; --------------------------------------------------------------------------6 分

当 a ? 0, a ? 1 ? 2a ? x ? a ? 1 ?
2

2a ---------------------------------------------------------8 分
2

(3) 由题意:任意的 x ? [0,2], x ? 1 ? (?a ? 2a ? 1) x, 成立

当 x ? 0 时,不等式显然成立-----------------------------------------------------------------------10 分 当 x ? (0,2] , ? a 2 ? 2a ? 2 ? x ?

1 1 . ? x ? ? 2, ( x ? 1 时取等) ? ?a 2 ? 2a ? 2 ? 2, 即 x x

a?0 或 a?2
综上:

a ? 0 或 a ? 2 ------------------------------------------------------------------16 分
2 2
2

20.(1)由 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ? a n ? a n ? 0, a 2 ? a1 ? a1 ? 0 ,依次递推 得, a3 ? 0, a 4 ? 0,?, a n ? 0 .所以 ?n ? N *, a n ?1 ? a n .---------------------------------------4 分 (另证:若存在 m ? N *, 使得 a m?1 ? a m ,则 a m ?1 ? a m ? a m ? 0 ,又与 a m ? a1 ? 0 矛盾) (2) 若 {a n } 为等比数列 , 设公比为 q , 则
2

a n ?1 ? a n ? 1 ? q ? a n ? q ? 1 为常数 , 所以 q ? 1, 即 an

a n ? 0 .所以 {a n } 不能为等比数列.--------------------------------------------------------------10 分
(3)因 为

1 a n ?1

?

1 an ? an
2

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ,所以 --------12 分 a n (a n ? 1) a n a n ? 1 a n ? 1 a n a n ?1

1 1 1 1 1 1 3 21 ? ??? ? ? ? 2? 因为 a 2 ? , a3 ? ? 1 所以 a1 ? 1 a 2 ? 1 a n ? 1 a1 a n ?1 a n ?1 4 16
an?1 ? a3 ? 1(n ? 2) 0 ?
即 1?

1 a n ?1

?1

,

1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) ----------------------------16 分 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an

w.w.w.zxxk.c.o.m



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