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学校概率论习题集答案













概率练习答案
第一章练习一

一、填空: 1、b 表示不中,z 表示中(1) zzz,zzb,zbz,bzz,zbb,bzb,bbz,bbb (2)0,1,2,3,4,5 (3)1,2,3,4,5,(4)z,bz,bbz,bbbz,bbbbz. …
_ _

2、 (1) A ∪ B (2) AB (3) AB ∪ AB (4) AB (5) AB ∪ A B 3、 (1) A ∪ B ∪ C (2) ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC

4、(1)成立(2)不成立(3)不成立(4)成立 5、 (1) ? (2) [0,0.25) ∪ (0.5,1) ∪ [1.5,2] (3)B (4) A 6、 (1)
1 1 1 , (2) 27 9 21 二、解答题:

1、不相容 A 与 D,B 与 D,C 与 D。相容 B 与 C, 2、 (1){奇奇,奇偶,偶奇,偶偶} 3、a/a+b
第一章练习二

对立事件 B 与 D

(2) C1 = AB ∪ AB 、 C2 = AB ∪ AB

一、1-5

1、 ( A )

2、(C )

3、 ( B) 3、1-p-q 2、0.99

4、 ( B ) 4、c-b,(c-b)/(1-b)

二、1、 1 ? p ,

2、0.82

三、1、 (1)0.4 (2)0.2

3、 P ( A / B ) = 0.7, P( B / A ) = 0.7, P( A ∪ B ) = 0.52
第一章练习三

一、1、

1 3

2、0.84

3、 1 ? P 3 4、0.684
4 9

二、1、0.55

2、0.18;

3、

4 7

4、 (1) 0.0125

(2) 0.64

5、 1 ? (0.99) x ≥ 0.95 ? (0.99) x ≤ 0.05 三、事件 A、B 独立,当且仅当 P ( AB ) P ( AB ) = P ( AB ) P ( AB ) 必要性易证 充分性: [ P ( B ) ? P ( AB )][ P ( A) ? P ( AB )] = P ( AB )[1 ? P ( A) ? P ( B ) + P ( AB )]

1













化简可得 P ( A) P ( B ) = P ( AB )
第一章练习四(小结) 第一章练习四(小结)

一、1、 ( C ) 2、( B ) 3、 (A) 4、 (B)5、 (B) 二、1、0.6 2、(1-p)(1-q) 3、0.243 4、0.7,0; 0.58,0.12; 0.4,0.3;5、 1 3 三、1、
68 , 117 2、 20 21
3、

k n ? (k ? 1)n Nn
6、

4、0.93

5、0.0077;

3 1 ? ln 4 4 4

四、 1、A,B 独立 ,A、C 独立,但 A 与 B U C 可能不独立
2、

由 P ( A) = 1 易知,且 P ( AB ) = P ( B ) , P ( A) P ( B ) = P ( B )

故有 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) 所以事件 A 与事件 B 必定相互独立 五、证明: A 与 B 独立 ? A 与 B 独立 ? P ( B / A) = P ( B ), P ( B / A) = P ( B )
? P ( B / A) = P ( B / A ) P ( B / A) = P ( B / A ) ?

P ( AB ) P ( AB ) P ( B ) ? P ( AB ) = = P ( A) 1 ? P ( A) A

? P ( AB )[1 ? P ( A)] = P[ P ( B ) ? P ( AB )] ? P ( AB ) = P ( A) P ( B )
第二章练习一 一、 1、

X P

0 0.001

1 0.027

2 0.243

3 0.729

2、 P{ X = k } =

λk e ? λ
k!

(k = 0,1,2 L)
4、

3、 P{ X = k } = (1 ? p ) k ?1 p, k = 1, 2L 二、

2 4 1 1 , , , 3 5 3 3
8 5 36 9 4 36 10 3 36

5、

1 2
12 1 36

1、

X P

2 1 36

3 2 36

4 3 36

5 4 36

6 5 36

7 6 36

11 2 36

2













X 2、 (1) P
3 1 20

1 C C
2 5 3 6

2 C C
4 3 20
2 4 3 6

3 C C
2 3 3 6

4 C C
3 3 3 6



X P

1 1 2

2 3 10

3 3 20

4 1 20

Y (2) P

5 3 10 2 7 30 3

6 1 2 4 1 120
(2) P{ X = k } = (

X 3、 (1) P

1 7 10

7 120

3 k ?1 7 ) × ( ), k = 1, 2L 10 10

4、因 λe



=

λ2 e ? λ
2!

,得 λ = 2 ,

所以 P{ X = 4} =
2

2 4 e ?2 2 ? 2 = e 4! 3

5、因 P{ X ≥ 1} = 1 ? P{ X = 0} = 1 ? (1 ? p ) = 故 P{Y ≥ 1} = 1 ? P{Y = 0} = 1 ? (1 ? p ) =
3

5 1 ,所以 p = 9 3

19 27

第二章练习二 一、1、C,2、A,3、B,4、D 二、1、 1 ? F ( a ) , F (b) ? F ( a ) ,0 2、

1 2π

3、 2e

?1

4、

Y P

?1 0.3
3

1 0.3

2 0.4

5、

1 4

三、1、 (1)因

4 x 1 kxdx + ∫ (2 ? )dx = 1 ,得 k = ∫0 3 2 6 x<0 ?0 ? 2 ?x 0≤ x<3 x ? 12 (2) F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ? 2 ?∞ ?? x + 2 x ? 3 3 ≤ x < 4 ? 4 ? x>3 ?1

2、 P{Z ≥ 4} =
2

4 5

3、证:当 x1 < x2 , F ( x2 ) ? F ( x1 ) = a ( F1 ( x2 ) ? F1 ( x1 )) + b( F2 ( x2 ) ? F2 ( x1 )) > 0 ;

0 ≤ F ( x) = aF1 ( x) + bF2 ( x) ≤ a + b = 1, (a > 0, b > 0) ; F ( x + 0) = aF1 ( x + 0) + bF2 ( x + 0) = aF1 ( x) + bF2 ( x) = F ( x) .

3













第二章练习三答案 一、1、B,2、A,3、C,4、D,5、D 二、

Y 1、 P

0 1 5

1 17 30

4 1 5

9 1 30

2、 1 ? Φ ( 3、0.3413

a??

σ

) , 2Φ (

a??

σ

) ? 1 , 2 ? 2Φ (

a??

σ

)

4、当 a > 0, FY ( y ) = FX ( 5、 N (0,1)

x?b x?b ) ; 当 a < 0, FY ( y ) = 1 ? FX ( ) a a

? x ? 3 ? ( x ?3) ? e 4 三、1、 (1) fY ( x) = ? 2 ?0 ?
(3) fY ( x) = 2e 2、由 x = h( y ) =
2 x ? e2 x

2

?e ? x , (2) fY ( x) = ? ?0 其它
x ≥ ?3

x>0


其它

, x∈ R

y ?b ,有 a 1 2π a σ
? [ y ? ( a ? + b )]2 2( aσ ) 2

fY ( y ) = f X [h( y )] h′( y ) =
故 Y = aX + b

e

(?∞ < y < +∞)

N (a ? + b, (aσ )2 ) .

第二章练习四答案 一、1、D,2、C,3、D,4、C 5、A 二、1、1,
+∞

2、 1 ? Φ (0) =

1 , 2

3、0.5,

4、 3 0.5 .

三、1、(1)因

∑ P{ X = k} = 1 ,所以可得 C =1
k =1

(2) P{ X ≤ 3} =

1 1 1 3 + + = , 1× 2 2 × 3 3 × 4 4

P{n1 ≤ X ≤ n2 } =
2、 由 f X ( x ) = 2e

n + 1 ? n1 1 1 +L+ = 2 (n1 + 1) × n1 n2 × (n2 + 1) n1 (n2 + 1))
1 I {x ≥ 0} 与 x = h( y ) = ? ln y , y ∈ (0,1] 可得: 2 1 I {0 < y ≤ 1} = I {0 < y ≤ 1} , 2y

?2 x

fY ( y ) = f X [h( y )] h′( y ) I {0 < y ≤ 1} = 2 y ?

4

概 故: Y = e
+∞
?2 x











U (0,1) .
1

3、 (1)因

∑ P{ X = k} = 1 ,所以可得 a = 10 ,
k =1

x <1 ?0, ?0.1 1 ≤ x < 2 ? ? (2) F ( x) = ?0.3, 2 ≤ x < 3 , (3)0 ?0.6, 3 ≤ x < 4 ? ?1, x≥4 ?
4、因 P{2 < X < 4} = P{0 < 故 P{ X < 0} = P{ 5、 a = ?

X ?2

X ?2

σ
2

<

2

σ

2 } = Φ ( ) ? Φ(0) = 0.3 ,

σ

σ

< ? } = Φ (? ) = 0.2 .

2

σ

σ

3 7 ,b = 2 4
2

? ?x ? 2 6、 (1)A=1,B= ? 1 (2) f ( x ) = ? xe ?0 ?
第三章练习一答案 一、1、

x>0 x≤0

(3) P{1 < X < 2} = ?e ? 2 + e

?

1 2

X Y
y1 y2

x1
0.2 0 .1 0 .3

x2
0.2 0.3 0.5

x3
0.1 0.1 0.2

2、10,

3、 ? ( x, y ) = ?
? ( x?a )2 2σ 1
2

?6 ( x, y ) ∈ G , ?0 ( x, y ) ? G
, ? 2 ( y) =

4、 ?1 ( x) =

1 2π σ 1
Y X

e

1 2π σ 2

?

( y ?b ) 2 2σ 2 2

e

(其中 x,y 为一切实数)

二、1、 0

0
1 1 C10 C 2 2 P12

1

2 P10 2 P12 1 1 C10 C 2 2 P12

1

P22 2 P12
5













即 0 1

Y X

0

1

15 22 5 33

5 33 1 66

2、因 f ( x, y ) = ?

?1 ( x, y ) ∈ G , ?0 ( x, y ) ? G

所以有 f X ( x ) =



+∞

?∞

? x 1dy = 2 x 0 ≤ x ≤ 1 ? , f ( x, y )dy = ?∫? x ?0 其它 ?

? 11dx = 1 + y ? 1 ≤ y ≤ 0 ?∫? y ? 1 +∞ ? f Y ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ?∫ 1dx = 1 ? y 0 ≤ y ≤ 1 ?∞ y ? 其它 ?0 ? ?
3、因

∫ ∫

+∞ +∞

? ∞ ?∞

f ( x, y )dxdy = 1 ,得 b =

1 1 ? e ?1 0 < x <1

f X ( x) = ∫

+∞

?∞

? +∞ ? x? y e?x dy = ?∫0 be f ( x, y )dy = ? 1 ? e ?1 ?0 ?
1 0 1? x

其它

4、

P{ X + Y ≥ 1} = ∫



2

( x2 +

xy 65 )dxdy = 3 72

第三章练习二答案

一、1、0.34,2、

?e ? ( x + y ) x ≥ 0, y ≥ 0 5 1 5 5 ,3、 ,4、 , ,5、 f ( x, y ) = ? 8 2 21 28 其它 ?0

二、1、因为对所有的 i,j,都有 P{ X = i, Y = j} = P{ X = i}P{Y = j}
1 ? a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ? 2、(1)因 f ( x, y ) = ? (b ? a )( d ? c) ?0 其它 ?

? 1 ? 得 f X ( x) = ? (b ? a ) ?0 ?

a ≤ x ≤ b,

? 1 ? , f Y( y ) = ? ( d ? c) ?0 其它 ?

c≤ y≤d


其它

所以对任意的实数 x,y,都有 f ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y ) 成立,故 x 与 y 是独立的。

? 1 2 2 2 ? 2 x +y ≤r , (2)因 f ( x, y ) = ? π r ?0 其它 ?
6













? 2 r 2 -x 2 ? 得 f X ( x) = ? π r 2 ?0 ?

? r ≤ x ≤ r,

? 2 r 2 -y 2 ? fY ( y ) = ? π r 2 ?0 其它 ?

? r ≤ y ≤ r, 其它

所以不是对任意的实数 x,y,都有 f ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y ) 成立,故 x 与 y 不是独立的。 3、由已知得 f X ( x ) = ?

? 2 .4 ( 2 ? x ) x 2 ?0

0 ≤ x ≤ 1, 其它

?2.4 y (3 ? 4 y + y 2 ) 0 ≤ y ≤ 1, fY ( y) = ? 其它 ?0

所以不是对任意的实数 x,y,都有 f ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y ) 成立,故 x 与 y 不是独立的。 第三章练习三答案 2、 N ( ? , σ ) ,
2

一、1、0.5,

1 n

?1 ? e ? z 0 ≤ z ≤1 ? ?z 3、 f Z ( z ) = ?e (e ? 1) z > 1 ?0 其它 ?
1 的指数分布。 2

4、因 Fmin ( z ) = ? 二、1、 U 1 P V P W P 1 0.65 2 0.1 0.1

?1 ? e ?2 z , z > 0
,所以服从参数为

?0, 其它
2 0.3 2 0.35 3 0.15 4 0.45 3 0.5 3 0 5 0.3 6 0 7 0 4 0.1

?z2, 0 ≤ z <1 ? 2 2、 f Z ( z ) = ?2 z ? z , 1 ≤ z ≤ 2 ?0 其它 ?
3、设两周的需要量为随机变量 Z,第 i 周的需要量为随机变量 X i (i = 1,2) , 显然有 Z = X 1 + X 2 ,所以 f X i ( x) = ?

? xe ? x ?0

x≥0 , i = 1,2 ,由题意知, x<0
z

当 z > 0 时,有 f Z ( z ) =



+∞

?∞

f X 1 ( x) f X 2 ( z ? x)dx = ∫ xe ? x ? ( z ? x)e x ? z dx =
0

z 3 ?z e , 6

7

概 当 z ≤ 0, f Z ( z ) = 0 第三章练习四答案











一、1、 F ( x 2 , y 2 ) ? F ( x1 , y 2 ) ? F ( x 2 , y1 ) + F ( x1 , y1 ) ,

?e ?2 x 2、 fYi ( y ) = ? ?0

x>0 , x≤0

3、0.5, 4、

1 2

二、1、因 p{ XY = 0} = 1 ,得 P{X=1,Y=1}=0,

从而可得 1 2 1 1 1 , P{ X = 0, Y = 1} = , 所以P{ X = 0, Y = 0} = ? = 4 3 3 4 12 1 2 P{X=1}P{Y=1} = ? ≠ 0 ,故 X 与 Y 不独立。 4 3
P{ X = 1, Y = 0} =
2、
f ( x , y ) = ? 2 , ? ? 9 ? 0 , ? ( x , y ) ∈ ( x , y ) ?
x+2

G , G .

故 f X ( x) = ∫

+∞

?∞

2 ? ?2 dy, ?1 ≤ x ≤ 2, ? (2 + x ? x 2 ), ?1 ≤ x ≤ 2 ? f ( x, y ) dy = ? ∫x 2 9 = ?9 ?0, 其它 ?0, 其它 ? ?

fY ( y ) = ∫

+∞

?∞

? y 2 4 0 ≤ y < 1, ? 0 ≤ y < 1, ? ∫? y 9 dx, ?9 y, ? ? 2 ? y 2 dx, 1 ≤ y ≤ 4 = ? (2 + y ? y ), 1≤ y ≤ 4 f ( x, y ) dx = ? ∫y ? 2 ? 9 ? ?9 其它 ?0, ?0, 其它 ? ? ? ?

3、因 1 =

∫ ∫

+∞ +∞

? ∞ ?∞

f ( x, y )dxdy = A∫

+∞

0



+∞

0

e ? (3 x + 4 y ) dxdy =
1 3?3 x 4 0

A ,得 A=12 12

所以 P{3 X + 4Y < 3} =

3 x + 4 y <3

∫∫ f ( x, y)dxdx = ∫ dx ∫
0

12e ?( 3 x + 4 y ) dy = 1 ? 4e ?3 。
1

4、 P{0 < ξ1 <

1 1 1 1 1 ,0 < ξ 2 < ,0 < ξ 3 < } = [ P{0 < ξ1 < }]3 = [ ∫ 2 1dx]3 = 。 0 2 2 2 2 8

第四章练习一答案 一、1、11 2、0

3、15,60
3

E (4 X 2 + 6) = ∑ (4 xi2 + 6) pi
二、1、
i =1

= 22 × 0.3 + 6 × 0.4 + 10 × 0.3 = 12
注: 计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法:一种是先求出随机变量的概率分布或概 率密度,再按数学期望的定义计算;一种是直接带入要点 2 种所列的公式。通常用后一种方法较
8













简便. 2、设 X 表示射击所得的分数,因 X 0 15

30

55
3 C 4 ( 0 .6 ) 3 ( 0 .4 )

100

pk

1 2 ( 0 .4 ) 4 C 4 ( 0 .6 ) 1 ( 0 .4 ) 3 C 4 ( 0 .6 ) 2 ( 0 .4 ) 2

( 0 .6 ) 4

所以 E(X)=44.64. 3、 E ( X ) =



+∞

?∞

xf ( x)dx = ∫ x 2 dx + ∫ (2 x ? x 2 )dx = 1 .
0 1

1

2

4、 由题设知, X 的密度函数为 f ( x ) = ? 且 E ( X ) = 1 ,又因为 E (e
?2 X

?e? x , x > 0, ? 0, x ≤ 0.

+∞ +∞ 1 ) = ∫ e ? 2 x f ( x)dx = ∫ e ? 2 x e ? x dx = , ?∞ 0 3 1 4 ?2 X ) = E ( X ) + E (e ? 2 X ) = 1 + = 从而 E ( X + e . 3 3

?2 xe ? ( y ?5) 5、 f ( x, y ) = ? ?0
所以 E ( XY ) =

0 ≤ x ≤ 1, y > 5


其它
1 +∞

∫ ∫

+∞ +∞

? ∞ ?∞

(xy ) f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ xy ? 2 xe ? ( y ?5) dy = 4 .
0 5

第四章练习二答案 一、 1、8 2、100,0.4 3、25
0

4、10,3
1

5、N(4,25)

6、

8 9

二、 1、E(X)=



+∞

?∞

xf ( x)dx = ∫ x(1 + x )dx + ∫ x(1 ? x )dx
?1 0 0 1

3 ? 3 ? ? 2 ? 2 =?x + x ? +?x ? x ? = ?1 + 1 + 1 ?1 = 0 ? ? ? ? 3 ? ?1 ? 2 3 ?0 2 3 2 3 ? 2 2 2 2 ∫?∞ [x ? E ( x)] f ( x)dx = ∫?1 x (1 + x)dx + ∫0 x (1 ? x)dx

+∞

0

1

则 D(X)=

4 ? 3 =?x + x ? 4 ? 3

4 ? ? 3 ? +?x + x ? ? 4 ? ?1 ? 3

0

? ? =1?1+1?1 = 1 ? ?0 3 4 3 4 6

1

2、 E ( X ) =



+∞

?∞

xdF ( x) = ∫ 3 x 3 dx =
0

1

+∞ 1 3 3 2 2 4 , E ( X ) = ∫ x dF ( x ) = ∫ 3 x dx = ?∞ 0 4 5

D( X ) = E ( X 2 ) ? [ E ( X )] 2 =
3、设 X i = ?

3 80
,i=1,2,3, 则 X i (i=1,2,3 的)分布律分别为

?1 第i次投中 ?0 第i次没投中
1 0.6

X1
p

0 0.4

X2
p

0 0.3

1 0.7

X3
p

0 0.1

1 0.9

9













显然该运动员三次投篮投中的次数 X = X 1 + X 2 + X 3 故所求的平均投中的次数为 E(X)=0.6+0.7+0.9=2.2 三、证明: E ( X ? c) 2 = E ( X 2 ? 2cX + c 2 ) = E ( X 2 ) ? 2cE ( X ) + c 2

= D( X ) + [ E ( X )] 2 ? 2cE ( X ) + c 2 = D( X ) + [ E ( X ) ? c] 2 ≥ D( X ) = E ( X ? ? ) 2
第四章练习三答案 一、1、未必有 一定有 2、0.5 5、0 6、—1 7、0.1 3、 4.2 4、 cov( X , Y ) = 0

二、1、(1) f X ( x) = ?

? 2 x, 0 < x < 1 ?0, 其他地方,
2 2

?3 y 2 , 0 < y < 1 f Y ( y) = ? ? 0, 其他地方 ,

E(X)=2/3, E(Y)=3/4, E(X )=1/2, E(Y )=3/5, D(X)=1/18, D(Y)=3/80,

E ( XY ) = ∫



?∞





?∞

xyp ( x, y ) dx dy = ∫

1 1

0 0



xy ? 6 xy 2 dx dy =

cov(x,y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, ρ (X,Y)=0。 (2) Y = 6 ? X ?

1 , 2

ρ XY = ?1 , E(Y)=

11 5 5 , D(Y)= ,cov(X,Y)= ? 6 36 36

2、因 E(XY)=0,E(X)=E(Y)=0,所以 ρ XY = 0 ,故 X 与 Y 不相关。 但 P{X=0,Y=0}=0 与 P{X=0}P{Y=0}不相等,所以不相互独立 。 3. X 和 Y 不相关,故 E(XY)=E(X)E(Y),E[(aX+b) (cY+d)]= E(acXY+ adX+bcY+bd) = acE(XY)+ adE(X)+bcE(Y)+bd= acE(X) E(Y)+ adE(X)+bcE(Y)+bd= E(aX+b)E (cY+d) 所以 aX+b 和 cY+d 不相关 第四章练习四答案 一、1、B 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 二、1、 2 2、4, 18 3、0, 1 4、 N (0,1) ,6,81
( z ? 5)2
2×9

5、2, 2e

?2

1 6、1, 2

? 1 7、 f Z ( z ) = e 3 2π

,

? ∞ < z < +∞.

8、 7.8

2 7 9 ?3 ? x = ? 5 x1 + 5 x 2 = 5 x1 = 1 ? 1 5 ? ? ? 三、1、由题意得 ? ,解出 ? 或? (不合题意,舍去) ? x2 = 2 ? x = 4 ?3 x 2 + 2 x 2 = 6 + ( 7 )2 2 ?5 1 ? 2 5 5 25 5 ? ?
所以所求的分布律为

ξ
p

1

2

3 5

2 5

2、由题意知 X ~ B (10, 0.4 ) , 于是 EX = 10 × 0.4 = 4, DX = 10 × 0.4 × (1 ? 0.4 ) = 2.4.
10


2






2





由 DX = EX ? ( EX ) 可推知 EX = DX + ( EX ) = 2.4 + 4 = 18.4.
2 2 2

3、 E ( X ) =



+∞

?∞

xdF ( x) = ∫ x ? 3a 3 x ? 4 dx =
a

+∞

3a , 2

E ( X 2 ) = ∫ x 2 dF ( x) = ∫ x 2 ? 3a 3 x ? 4 dx = 3a 2 ,所以 D(X)= E ( X 2 ) ? [ E ( X )] 2 =
?∞ a

+∞

+∞

3a 2 4

4、 E ( Z ) =

D(Z) ≈ 1.3

1 2 1 53 (x + 2 y ) f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ ( x + 2 y )( x 2 + xy )dy = ∫?∞ ∫?∞ 0 0 3 18

+∞ +∞

5、 (1)由数学期望的运算性质有

1 1 ?X Y? 1 EZ = E ? + ? = EX + EY = . 2 3 ? 3 2? 3
由 D ( X + Y ) = DX + DY + 2Cov ( X , Y ) 有

?X Y? ?1 ? ?1 ? ?1 1 ? DZ = D ? + ? = D ? X ? + D ? Y ? + 2Cov ? X , Y ? ? 3 2? ?3 ? ?2 ? ?3 2 ? 1 1 1 1 = 2 DX + 2 DY + 2 × × Cov ( X , Y ) 3 2 3 2 1 1 1 = DX + DY + ρ XY DX DY 9 4 3 = 1 + 4 ? 2 = 3.
(2)因为

X Y? ? Cov ( X , Z ) = Cov ? X , + ? 3 2? ? 1 1 = Cov ( X , X ) + Cov ( X , Y ) 3 2 1 1 = DX + ρ XY DX DY 3 2 1 1 ? 1? = × 32 + × ? ? ? × 3 × 4 = 0, 3 2 ? 2?
所以

ρ XZ =

Cov ( X , Z ) DX DZ

= 0.

(3)因 X , Y 均为正态,故 X , Y 的线性组合 Z 也是正态随机变量,由于二正态分布的独立 性与相关性是等价的,所以由 ρ XZ = 0 知, X 与 Z 相互独立. 四、1、等式右边

11













= {E ( X 2 ) ? [ E ( X )] 2 }{E (Y 2 ) ? [ E (Y )] 2 } + [ E ( X )]2 {E (Y 2 ) ? [ E (Y )] 2 } + [ E (Y )] 2 {E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 } = E ( X 2 ) E (Y 2 ) ? [ E ( X )] 2 [ E (Y )] 2 = E ( X 2Y 2 ) ? [ E ( XY )] 2 = D( XY )
2、证明:cov(X*,Y*)= E[a+bX-E(a+bX)][c+dY-E(c+dY)] = E[bX-bEX][ dY-dEY] = E[b(X-EX)d(Y-EY)] = bdE[(X-EX)(Y-EY)]=bd cov(X, Y)
2 2

又因为 D(X*)=b D(X),D(Y*)=d D(Y),

σ

(X*)=

b σ (X), σ (Y*)= d σ (Y),
cov( X *, Y *) bd cov( X , Y ) = = ± ρ ( X ,Y ) = ± ρ σ ( X *)σ (Y *) b d σ ( X )σ (Y )
2

所以, ρ (X*,Y*)=

3. E ( X ) = 0 ? D ( X ) + E ( X ) = 0 ? D ( X ) = 0且E ( X ) = 0 ? P ( X = 0) = 1
2

{Q D (X ) = 0 ? P ( X = c) = 1 ? E ( X ) = c } 4. P{ X ≥ a} = ∫a 答案:
+∞

f ( x )dx ≤ ∫a

+∞

x 1 +∞ 1 f ( x )dx ≤ ∫? ∞ xf ( x )dx = E ( X ) a a a

第五章练习一答案
一.填空题

1.

3 4

2. 10

3. 8

4. A

5.C

二.解答题. 1. 解: E ( X ) =

2 ,由切比雪夫不等式有 n 1 2/n 8 2 P{| X ? ? |< } ≥ 1 ? = 1 ? ≥ ? n ≥ 24 2 1/ 4 n 3

? , D( X ) =

2. 设每毫升男性成人白细胞数为 X,则 E(X)=7300,D(X)= 700 ,由切比雪夫不等式,
2 P{5200 < X < 9400} = P{| X ? 7300 |< 2100} ≥ 1 ? 700 2 = 8 9 2100

2

3



E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) = 0,

Cov( X , Y ) = ρ xy D( X ) D(Y ),

D( X + Y )

= D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X , Y ) = D( X ) + D(Y ) ? D( X ) D(Y ) = 3 ,由切比雪夫不等式

P{|X+Y| ≤ 6}≤ 32 = 1
6

12
1 1 1 2 5 7 + + + + + 1 = , X 1 , X 2 ,L , X n 相互独立 6 3 2 3 6 2

4.第 n 次抛掷出点数 X i , E ( X i ) =

12













且服从同一分布,由辛钦大树定律,得 n 次抛掷出点数的算术平均值 X n 依概率收敛的极限 为

7 。 2

第五章练习二答案
一.填空题

1.

Φ (2)

2. 2Φ (1) ? 1

3.

0.09

二.解答题. 1. 解:设一只蛋糕的价格为

X i ,其分布律为:

? 1 1.2 1.5 ? Xi ~ ? ? ? 0.3 0.2 0.5 ? , i = 1, 2,...,300 可 求 出 EX i = 1.29, DX i = 0.05
P{∑ X i ≥ 400} ≈ 1 ? Φ (
i =1 n

400 ? 300 ×1.29 ) = 1 ? Φ (3.36) = 1 ? 0.9997 = 0.0003 300 × 0.05

2.解答:设 X 表示同时去图书馆上自习的人数,并设图书馆至少设 n 个座位,才能以 99% 的概 率保证去上自习的同学都有座位,即 n 满足 P{ X ≤ n} ≥ 0.99 ,又因为 X ~ B (1000,0.8)

? n ? 1000 × 0.8 ? ? 0 ? 1000 × 0.8 ? ? n ? 800 ? 所以 P{ X ≤ n} ≈ Φ? ? 1000 0.8 0.2 ? ? Φ? 1000 0.8 0.2 ? = Φ? 12.65 ? ≥ 0.99 , ? ? ? × × × × ? ? ? ? ? ?
查表得

n ? 800 ≥ 2.33 ,故 ≥ 829.5 ,因此图书馆至少设 830 个座位 12.65

3. 解: 设在某时间内发生交通事故的次数为 X ,则 X~B(100000,0.0001), 由二项分布的性 质知 E(X)=10, D(X)=9.999.

P( X ≤15) = Φ( 15?10 ) = Φ(1.58) = 0.9426 9.999

4.

X ~ B (100,0.25) X ? 100 × 0.25 100 × 0.25 × 0.75
>

P{X > 40} = P{

40 ? 25 25 × 0.75

} ≈ 1 ? Φ (2 3 ) ≈ 0 X=
10000 i =1

5. 解: 设第 i 位顾客的消费额为 X i , i = 1, 2,...,10000 , 商场日销售额为 X , 则 因为 X i ~ U [100,1000] ,所以

∑X

i



EX i =

1 9002 1 ≈ 259.8 (100 + 1000) = 550 DX i = (1000 ? 100) 2 = 2 12 12 ,

13


10000








10000



EX =


i =1

EX i = 1000 × 550 = 5.5 × 105


DX =


i =1

DX i = 104 ×

9002 12

P{| X ? 5.5 ×106 |≤ 20000} = P{|
≈ Φ(

X ? 5.5 ×106 20000 |≤ } 100 × 900 / 12 100 × 900 / 12

4 3 4 3 4 3 ) ? Φ(? ) = 2Φ ( ) ? 1 = 2Φ (0.77) ? 1 ≈ 0.56 9 9 9
4

2)欲求顾客数 n ,使得 P{ X ≥ 400 × 10 } = 0.95

X ? 550n 4 ×106 ? 550n P{ 12 ≥ 12} = 0.95 900 n 900 n

1 ? Φ(

4 ×106 ? 550n 4 ×106 ? 550n 12 = u0.05 = ?1.65 12) = 0.95 900 n 900 n ,即

550n ? 428.67 n ? 4 × 106 = 0 ,解出: n ≥ 7.34 × 103 。

第六章练习一 一、填空题:

1. ①

λ k =1

∑ xk
e ? nλ , x k = 0,1,2, L ②

n

x1 ! x 2 !L x n !

(nλ ) k ? nλ e , k = 0,1,2, L k!



(nλ ) k ? nλ e , k = 0,1,2, L k!

2.① ? ,

σ2
n

,② σ

2

3.① α ;②-2.015

4. Y ~ t ( 2)

二.选择题:1.B 三、解答题:

2.C 3.B

1. 解:由 X 1 L X 5 相互独立,且 X i ~ N (0,1), i = 1,2,3,4,5

? X 1 + X 2 + X 3 ~ N (0,3)即 ( X 1 + X 2 + X 3 )
且 X 4 + X 5 ~ N (0,2) 即 ( X 4 + X 5 ) 且 X 4 + X 5 ~ χ 2 ( 2)
2 2

3 ~ N (0,1) ,

2 ~ N (0,1) ,

(1) ( X 1 + X 2 + X 3 )

2

1 1 3 + ( X 4 + X 5 ) 2 2 ~ χ 2 (2) 可得 k1 = , k 2 = 。 3 2
14













(X1 + X 2 + X 3 )
(2)

3

(X 4 + X 5 ) 2
2 2

~ t ( 2) 可得 c =

2 3
~ F (1,2) ,可得 λ =

(3)由 ( X 1 + X 2 + X 3 ) 三、.证明:

2

3 ~ χ (1) ,故
2

(X1 + X 2 + X 3 )2 3 (X 4 + X 5 ) 2
2 2

2 3

n n 1 n 1 n 1 2 2 ( X i ? X )2 = (X i ? 2Xi X + X 2 ) = [ ∑ X i ? 2 X ∑ X i + nX 2 ] ∑ ∑ n ? 1 i =1 n ? 1 i =1 n ? 1 i =1 i =1 n n 1 1 2 2 2 2 2 [ ∑ X i ? 2nX + nX ]= [ ∑ X i ?nX ] n ? 1 i =1 n ? 1 i =1



第六章 练习 2 一填空题 1. ① ?1 ? ? 2 ; ② 二、选择题 1..(B);2..(C) ; ( ) ; 三、解答题 1.解:因为 X ~ N ( ? , σ 2 ) ,得

σ 12
n

+

σ 22
n

; 2. ① N (0,1) ;② t ( n ? 1) ;

3. 1) 2 ( n) ( χ (2) 2 ( n ? 1) χ

σ

X ?? 10

~ N (0,1) ,因此

P{ X ? ? > 4} = P{
4

X ??

σ

>

4

10

σ

} = 2 P{
4

10

σ

X ?? 10

>

4

σ

} = 2[1 ? Φ (

4

10

σ

)] = 0.02

10

于是可得 Φ (

σ

) = 0.99 ,查表的

σ

= 2.33 ,从而可得总体的标准差. σ ≈ 5.429

10

10

2.解:

(n ? 1) S 2

σ

2

=

15S 2

σ

2

~ χ 2 (15) ?

P{

S2

σ2
2

15S 2 15S 2 2 < 2.041} = P{ 2 < 30.615} ≈ P{ 2 < χ 0.01 (15)} = 0.99

σ

σ

(Q χ 0.01 (15) ≈ 30.615 ) 3.解:两个样本均值 X ~ N (30,

32 32 ) , Y ~ N (30, ) 20 25

则 X ? Y ~ N (0,0.9 2 ) ,所以两个样本均值之差的绝对值大于 0.3 的概率为

P{ X ? Y > 0.4} = 1 ? P{ X ? Y ≤ 0.4} = 1 ? P{
15

X ?Y 0 .9



0 .4 } = 2 ? 2Φ (0.444) =0.66 0 .9













4. 解:由
9

Y ?0

σ

~ N (0,1),

Xi ? 0 ~ N (0,1), i = 1,2 L 9 , X i 与 Y 独立的条件 2


i =1

(

Xi ? 0 2 ) ~ χ 2 (9) ? 2

Y σ



X i 9 4

2

=

6

Y

σ

∑X

2 i

~ t (9) ? σ = 6 , σ 2 = 36

第六章小结练习 一、填空题:

1 1 ,b = ,自由度为 2. 20 100 二、选择题 a=
1. (C ) ;2..(C) ;3. ( ) ; (C ) ; 三、解答题 1. X ~ N ( ? ,

σ2
n

) , Y ~ N (? ,

σ2
n

) , X 与 Y 相互独立,故 X ? Y ~ N (0,

2σ 2 ) n

? ? ? ? ? n? ? σ ? ? ? P{ X ? Y > σ } = 1 ? P{ X ? Y ≤ σ } = 2[1 ? Φ? ?] = 2[1 ? Φ? 2 ?] ≥ 0.01 2 ? ? ? ? nσ ? ? ? ?

? n? ? 0.995 , ? n ≤ 2.58 ? n ≤ 13.3 则 n 最多取 13. Φ? ? 2 ?≤ 2 ? ?
2.解: P{

X ?? X ?? X ?? > K } = 0.95 ? P{ > 4 K } = 0.95 ,由 ~t(15),故 S S/4 S /4

4 K = ?t 0.05 (15) = ?1.7531 ? K = ?1.7531 / 4
四、证明题: 1.证明:假设 Y1 ~ N (0,1), Y2 ~

χ 2 ( n) ,且 Y1 与 Y2 相互独立,则 Y =

Y1 Y2 n

~ t ( n)

故 X 与 Y 同分布,从而

Y n 1 1 1 1 与 2 同分布,而 2 = 2 2 ~ F ( n,1) ,所以 2 ~ F ( n,1) 2 Y Y1 X Y X

2. 证: Y ~

χ 2 ( n) 因 X 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ,所以 X n+1 也服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ,故
~ N (0,1) 由 χ 2 分布的定义知 U 2 ~ χ 2 (1) ,又因为

U=

X n +1 ? ?

σ

16













W=

(n ? 1) S 2

χ

2

=

∑ (X i
i =1

n

? X )2

σ

~ χ 2 (n ? 1) X n+ 1 与 X 1 , X 2 , L , X n 相互独立,可知 U 与 W 独

立,再根据 χ 分布的可加性,得
2

Y = U +W =

( X n+1 ? ? )

2

σ

+

(n ? 1) S

2

χ

2

=

( X n+1 ? ? )

2

σ

+

∑ ( X i ? X )2
i =1

n

σ

~ χ 2 ( n)

第七章练习 第七章练习 1 一、填空题 1. 76.23, 2.98

? ? 2. 1 ? e ? X 3. θ = 1 (2 ? X ). 4. θ = 2 X ; ?MLE = max{ 1 , X 2 ,L, X n } θ X
8

二、解答题 1.

? λ MLE = X ;提示:似然函数为 L(λ ) = e ? nλ λ

∑ xi
i =1

n

/ ∏ xi !
i =1

n

2. (1)

E(X ) = ∫ x θ x
1 0

θ ?1

dx = ∫ θ x θ dx =
0

1

θ θ +1

x

θ +1

1 0

=

θ θ +1

θ θ +1

=X =

1 n ∑ Xi n i =1

? X 解之得 θ = ? ?1? X ? )

? ? ? ?

2

(2)样本 X 1 , X 2 ,L , X n 的似然函数为 L(θ ) =


i =1

n

θ xi

θ ?1



n 2

∏x
i =1

n

θ ?1

i



ln L(θ ) =

n ln θ + 2

( θ ? 1)∑ ln x
n i =1

i



? n ln L(θ ) = + i =1 ?θ 2θ 2 θ

∑ ln x

n

i

=0

1 n 解得θ 的极大似然估计 θ = ∑ ln xi 2n i =1 ? 3. θ 矩 = 2 X ? 1 .提示:令
E( X ) = 1

)

θ

(1 + 2 + L + θ ) = X

17








n





4. L( p ) =

∏ p( xi ,θ ) = ∏ C p (1 ? p)
xi m xi i =1 i =1
n i =1

n

n

m ? xi

= p i =1 (1 ? p )
n

∑ xi

nm ?

∑ xi

∏C
i =1

n

xi m

x ln L( p ) == ∑ xi ln p + (nm ? ∑ xi ) ln(1 ? p ) + ln ∏ C mi i =1

d ln L( p ) 1 n 1 1 = ∑ xi ? (nm ? ∑ xi ) = 0 ? p = x dp p i =1 1? p m
5.由两点分布可知, E ( X ) = p , x = E ( X ), 而 X =

1 5 (1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1) = , 所以 6 6 5 $ p = 5 / 6. 由 p = r / 10 0 , r = 100 p = 100 于是 $ 83. 故红球的矩估计值为 r = 83 个. 6 1 n ∑ ( xi ? x ) 2 n ? 1 i =1

第七章练习 2 一、填空题:1. S 2 = 二、解答题 1. 由于 X 在区间 [θ ,θ + 1] 上均匀分布,知 2θ + 1 1 1 EX i = EX = = θ + ,EX = EX = θ + , 2 2 2 1? 1 1 ? Eθ?1 = E? X ? ? = θ + ? = θ . 2? 2 2 ? 2. E (θ?) = θ 3. D(θ1 ) < D (θ 2 ) 4. 1
n ?1

? 从而 θ 1 是 θ 的无偏估计量.
2. 证 : 因 为 X 1 , X 2 ,K, X n 与 X 同 分 布 , 故 X 1 , X 2 ,K, X n 与 X n 同 分 布 , 所 以 ,
k k E X 1k = E X 2 = K = E X n = ? k k k k k

( )

( )

( )

于是 EAk = E ?

1 ?1 n k ? 1 n ∑ X i ? = n ∑ E X ik = n ? nE X ik = E X ik = ? k i =1 ? n i =1 ?

( )

( )

( )

即 Ak 是 ? k 的无偏估计。

?1 ? ,0 < x < θ , 3. (1)因为 X ~ U [0, θ ] ,所以 f ( x ) = ?θ ?0, 其他 ? E(X ) = ∫
)
θ

1

0

θ

xdx =

θ
2

,令 E ( X ) = X ,则 θ = 2 X ,

)

(2)因为 θ = 2 X , 所以 E θ M = E 2 X = 2 E ( X ) = 2 ? 故, θ = 2 X , 是无偏的.
)

() ) ( )

θ
2



18













4.(1)

∑a
i =1

n

i

=

1 1 , (2) 2(n ? 1) k

第七章练习 3 一、填空题:

(n ? 1) s 2 (n ? 1) s 2 1. ( 2 , ) χ 0.025 (n ? 1) χ 02.975 (n ? 1)
3. [9.216,10.784] 二、解答题:

2. L = 1.96

σ0
n

× 2 = 3.92

1 25

= 0.784 , n ≥ 61.4656

4. (2.6895, 2.7205)

1. ( X ? z α
2

σ
n

, X + zα
2

σ
n

) 带入数据得(11.9,12.72) S n

2.

( X ? t α (n ? 1)
2

S n

, X + t α (n ? 1)
2

) ? (5.232, 6.768)
(n ? 1) s 2 (n ? 1) s 2 , ) ,代入数据得 2 χα (n ? 1) χ12?α (n ? 1)
2 2

3. 解:Q

(n ? 1) s 2

σ2
(n ? 1) S 2

~ χ 2 ( n ? 1) ∴ 置信区间 (

(1.861,5.279) 4. 由 于
σ2
~ x 2 (n ? 1) , 对 于 n = 20, α = 0.05 , 查 x 2 分 布 上 侧 分 位 数 表 , 得

2 2 x 0.025 (20 ? 1) = 32.852, x1? 0.025 (20 ? 1) = 8.907 所以,总体标准差 σ 的置信度为 95%的置信区间


? ? ? ? n ? 1S n ? 1S ? ? 20 ? 1 × 0.2203 20 ? 1 × 0.2203 ? ? , = , ? = [0.168, 0.322] ? x 2 (n ? 1) x 2 (n ? 1) ? ? 32.852 8.907 ? ? ? α ? 1? α 2 2 ? ?

第七章练习 4(小结) (小结) 一、选择题: 1.C 2.D 3.A 4.D 二、填空题:

5.B

6.A

?X2
1. 4 2.(1082.1,1435.9) 3.

1 n 2 ∑ Xi ? X 2 ? X n i =1

1 n 2 ∑ Xi ? X 2 ? X n i =1 ; ?X

三、解答题: 1. L(θ ) =


i =1

n

f ( xi , θ ) = ∏ (θ + 1) xiθ = (θ + 1) n (∏ xi )θ
i =1 i =1

n

n

x1 , L , x n > 0

19













ln L(θ ) = n ln(θ + 1) + θ ln(∏ xi )
i =1 n d ln L(θ ) n ? = + ln(∏ xi ) = 0 ? θ = ?1 ? dθ θ +1 i =1

n

n

∑ ln X
i =1

n

i

? 2.(1)矩法: ? 2 = E ( X 2 ) = 2θ 2 ≈ A2 ? θ =
(2) L(θ ) =

1 n 2 ∑ Xi 2n i =1
1


i =1

n

f ( xi ,θ ) = ∏
i =1

n

? ∑ | xi | 1 ? θi 1 e = ( )n e θ 2θ 2θ

|x |

x1 , L , x n ∈ R

ln L(θ ) = ?n ln 2θ ?

∑| x θ
i =1 n

1

n

i

|

d ln L(θ ) n 1 =? + 2 dθ θ θ
3. Q (n ? 1) s 2

n n ? = 1 | x |,? θ = 1 | X | ? ∑ | xi | = 0 ? θ n ∑ i ∑ i n i =1 i =1 i =1

σ2

~ χ 2 ( n ? 1) ∴ 置信区间 (

(n ? 1) s 2 (n ? 1) s 2 , 2 ) ,代入数据得 2 χ α (n ? 1) χ1?α (n ? 1)
2 2

(55.2,444) 4.解答: E ( X 1 ) = E ( X 2 ) =

? , D( X 1 ) =

σ2
n1

, D( X 2 ) =

σ2
n2

E (Y ) = aE ( X 1 ) + bE ( X 2 ) = (a + b) ? = ? ,Y 是 ? 的无偏估计 D(Y ) = a 2 D( X 1 ) + b 2 D( X 2 ) = a 2

σ2
n1

+ (1 ? a ) 2

σ2
n2

n1 n2 dD(Y ) 1 1 d 2 D(Y ) = [2a ? 2(1 ? a) ]σ 2 = 0 ? a = ,b = ,易证 > 0, da n1 n2 n1 + n2 n1 + n2 da 2
a= n1 n2 ,b = 是极小值点。 n1 + n2 n1 + n2

第八章练习 1 一、填空题

X ? ?0
1. (1)

σ

n

~ N (0,1)

X ? ?0
(2)

S

n

~ t (n ? 1)

20













x ? ?0
2.

σ

≥ zα ,
2

n
≤χ
2 1?

x ? ?0 < t α (n ? 1) , s 2 n
2

(n ? 1) s 2
2 σ0

α
2

(n ? 1) 或 χ α (n ? 1) ≤
2

(n ? 1) s 2
2 σ0

3. H 0 为真,拒绝 H 0 ; 5.A 二、解答题 1.(略) 5.(略)

H 0 不真,接受 H 0

4. 增大样本容量 n

2.(1) α = P ( X ? 68 > 1) = P (

X ? 68 3 .6 64

>

1 3 .6 64

) = 2 × [1 ? Φ (2.22)] = 0.0264

(2)当 H 0 不成立,在 ? = 68.5 时, X ~ N (68.5 , 3.6 2 )

β = P( X ? 68 ≤ 1) = P(67 ≤ X ≤ 69) = P(
= Φ (1.111) ? Φ ( ?3.333) = 0.886 3. H 0 : ? ≤ 140

67 ? 68.5 X ? 68.5 69 ? 68.5 ≤ ≤ ) 3 .6 3 .6 3.6 64 64 64

H 1 : ? > 140
≥ tα (n ? 1)

X ? ?0
拒绝域:

s/ n

X ? ?0 ≈ 2.15 < t 0.025 (3) =3.1824, S/ n
故在显著性水平为 0.025 下认为果树产量没有明显提高。 三、提高题

x ? ?0
1.

σ

≥ zα ,

x ? ?0

n

σ

> ? zα

n

2. 犯第一类错误的概率,即原假设 H 0 成立时样本值却落在拒绝域的概率 α = P ( M ≥ M α ) 。

? 0, x < 0, ? x n 此时 M = max{X i } 的分布函数为: FM ( x ) = [ FX ( x )] n = ?( ) ,0 ≤ x ≤ c, 1≤ i ≤ n ? c ? 1, x > c.
当 0 ≤ M α ≤ c 时, α = P ( M ≥ M α ) = 1 ? P ( M < M α ) = 1 ? (
21

Mα n ) , c

概 所以 M α = c ? n 1 ? α 。











3.(1)当 H 0 不成立时, X ~ N ( ?1 , σ ) ,由于接受域为
2

x ? ?0

σ

> ? zα ,

n

故犯第二类错误的概率 β = P (

X ? ?0

σ

> ? zα ) > ? zα ?

n

= P(

X ? ?1

σ

n

?1 ? ? 0 ) σ
n

= Φ( zα +

?1 ? ? 0 ). σ
n

(2)若 n 固定,

?1 ? ? 0 为定值,当 α 由 1 减少到 0 时, zα 由 ? ∞ 增大到 + ∞ , σ
n

zα +

?1 ? ? 0 由 ? ∞ 增大到 + ∞ , σ
n

由 β = Φ ( zα +

?1 ? ? 0 ) 知, β 的值由 0 增大到 1。 σ
n

(3)若 α 固定,则 zα 为定值,又 ?1 ? ? 0 < 0 ,所以 lim ( zα +
n →∞

?1 ? ? 0 ) =?∞, σ
n

故 lim β = lim Φ ( zα +
n →∞ n →0

?1 ? ? 0 ) = 0. σ
n

(4)由 α = 0.05 ,查表得 zα = z 0.05 = 1.645 , 再由 β = Φ( zα +

?1 ? ? 0 ) , σ = 0.12 , ?1 ? ? 0 = ?0.02 , σ
n

β = Φ( zα +
查表得 1.645 +

?1 ? ? 0 ? 0.02 ) = Φ(1.645 + ) ≤ 0.025 , σ 0.12
n
n

? 0.02 ≤ ?1.96 ,解得 n ≥ 468 . 0.12 n

第八章练习 2 一、填空题 1、总体方差 σ 未知时对总体均值 ? 的检验;总体均值 ? 未知时对总体方差 σ 检验;
2 2

22













(n ? 1) s 2
2.

σ0

2

~ χ 2 (n ? 1)

3. 由

x ? 30 < z 0.025 = 1.96 ,解得 x ∈ (29.216 , 30.784) 4 100
5.

4.

(n ? 1) s 2 (n ? 1) s 2 2 < σ0 < 2 2 χ α 2 (n ? 1) χ1?α 2 (n ? 1)

Q / n(n ? 1)

X ? ?0

二、解答题 1. 检验假设: H 0 : ? = 32.50, H 1 : ? ≠ 32.50 .

此检验拒绝域为 z =

x ? 32.50 ≥ z 0.025 . 1.1 6

查表得 z 0.025 = 1.96 ,计算得 x = 31.13 ,

31.13 ? 32.50 ≈ 3.05 > 1.96 , 1.1 6
cm 2


z 落在拒绝域中,故拒绝 H 0 ,即不能认为这批砖的平均抗断强度为 32.50 kg
2. 检验假设: H 0 : ? = 3.25, H 1 : ? ≠ 3.25

此检验拒绝域为 t =

x ? 3.25 ≥ t 0.025 (4) , s 5

查表得 t 0.025 ( 4) = 2.7764 ,计算得 x = 3.252 , s = 0.013 ,

3.252 ? 3.25 ≈ 0.344 < 2.7764 ,故接受 H 0 ,认为这批矿沙的镍含量为 3.25%. 0.013 5
3. 检验假设: H 0 : σ
2

= 0.108 2 , H 1 : σ 2 ≠ 0.108 2
2 ≤ χ 2 α (n ? 1) 或 χ α (n ? 1) ≤ 1? 2 2
2

(n ? 1) s 2
此检验拒绝域为

(n ? 1) s 2

σ 02

σ 02
2



查表得 χ 0.975 ( 4) = 0.484 , χ 0.025 ( 4) = 11.1 ,计算得 s = 0.228 ,
2 2

χ2 =

4 × 0.228 2 ≈ 17.827 > 11.1 ,故拒绝 H 0 ,不能认为方差为 0.108 2 . 2 0.108
23



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