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2017-2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修2_1

第三章 圆锥曲线与方程 学习目标 1.理解曲线方程的概念,掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛 物线的定义及其应用,会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其 求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单性质,会利用简单性质解决相关问题.5.掌握简单 的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法. 知识点一 三种圆锥曲线的定义、标准方程、简单性质 椭圆 平面内到两个定点 F1,F2 的距离之差的绝对值 定义 距离之和等于常数(大于 等于常数(大于零且小 |F1F2|)的点的集合 于|F1F2|)的点的集合 标准方程 关系式 图形 对称性 两条对称轴 顶点 离心率 准线方程 决定形状 四个 0<e<1 两个 一条对称轴 一个 的集合 过 F)的距离相等的点 和一条定直线 l(l 不 双曲线 平面内到两定点 F1,F2 抛物线 平面内与一个定点 F x y + =1(a>b>0) a2 b2 a2-b2=c2 封闭图形 2 2 x y - =1(a>0,b>0) a2 b2 a2+b2=c2 无限延展,有渐近线 2 2 y2=2px(p>0) 无限延展, 没有渐近线 无对称中心 对称中心为原点 e>1 e= 1 p x=- 2 e 决定扁平程度 的因素 e 决定开口大小 2p 决定开口大小 知识点二 待定系数法求圆锥曲线标准方程 1.椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面,一般先确定焦点的位置,再确 定参数.当焦点位置不确定时,要分情况讨论.也可将椭圆方程设为 Ax +By =1(A>0,B>0, 2 2 A≠B),其中当 > 时,焦点在 x 轴上,当 < 时,焦点在 y 轴上;双曲线方程可设为 Ax2+By2 A B A B 1 1 1 1 1 1 1 =1(AB<0),当 <0 时,焦点在 y 轴上,当 <0 时,焦点在 x 轴上. A B 另外,与已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ ≠0); 已知所求双曲线为等轴双曲线,其方程可设为 x -y =λ (λ ≠0). 2.抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时, 先确定抛物线的方程类型, 再由条件求出参数 p 的大小.当焦点位置 不确定时,要分情况讨论,也可将方程设为 y =2px(p≠0)或 x =2py(p≠0),然后建立方程 求出参数 p 的值. 知识点三 直线与圆锥曲线有关的问题 1.直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的 个数来确定,通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程,考虑该 一元二次方程的判别式 Δ ,则有:Δ >0?直线与圆锥曲线相交于两点;Δ =0?直线与圆锥 曲线相切于一点;Δ <0?直线与圆锥曲线无交点. 2.直线 l 截圆锥曲线所得的弦长|AB|= +k 2 2 2 2 2 x2 y2 a b x2 y2 a b x1-x2 2 或 + 1 k2 y1-y2 2 , 其中 k 是直线 l 的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直线与圆锥曲线的两个交点 A,B 的坐标,且 (x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2,x1+x2,x1x2 可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出. 2 2 类型一 圆锥曲线定义的应用 例 1 已知点 M(2,1),点 C 是椭圆 + =1 的右焦点,点 A 是椭圆上的动点,则|AM|+|AC| 16 7 的最小值是________. 反思与感悟 应用定义解决问题时,需紧扣其内涵,注意限制条件是否成立,然后得到相应 的结论. 跟踪训练 1 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 x2 y2 BC 与到直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A.直线 C.双曲线 类型二 圆锥曲线性质的应用 B.圆 D.抛物线 2 例 2 设 P 是抛物线 y =4x 上的一个动点,则点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=- 1 的距离之和的最小值为________. 反思与感悟 圆锥曲线的性质综合性强,需弄清每个性质的真正内涵,然后正确地应用到解 题中去. 跟踪训练 2 双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( A.2 B. 3 C. 2 3 D. 2 2 x2 y2 a b ) 类型三 直线与圆锥曲线的位置关系问题 x2 y2 6 例 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. a b 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 大值. 3 ,求△AOB 面积的最 2 反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似,一般有两种方法 (1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解. (2)不等式法:根据题意建立含参数的不等关系式,通过解不等式求参数范围. 跟踪训练 3 已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 P 在 C 上且其横坐标为 1,以 F 为 圆心、|FP|为半径的圆与 C 的准线 l 相切. (1)求 p 的值; 2 (2)设 l 与 x 轴交点为 E,过点 E 作一条直线与抛物线 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的垂直平 分线在 x 轴上的截距的取值范围. 3 1.下列各对方程中,表示相同曲线的一对方程是( A.y= x与 y =x C.y -x =0 与|y|=|x| 2 2 2 ) B.y=x 与 =1 D.y=lg x 与 y=2lg x 2 x y 2.中心在原点,焦点在


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