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【成才之路】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:第3章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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第三章 3.4 生活中的优化问题举例

第三章

3.4

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第三章

3.4

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自主预习学案

第三章

3.4

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1.了解导数在实际问题中的应用,对给出的实际问题,如
使利润最大、效率最高、用料最省等问题,体会导数在解决实 际问题中的作用. 2.能利用导数求出某些特殊问题的最值.

第三章

3.4

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重点:利用导数知识解决实际中的最优化问题.

难点:将实际问题转化为数学问题,建立函数模型.

第三章

3.4

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优化问题 思维导航 1 .生活中,我们经常遇到面积、体积最大,周长最小, 利润最大,用料最省,费用最低,效率最高等等一系列问题,

这些问题通常统称为优化问题,解决这些问题的基本思路、途
径、过程是什么?

第三章

3.4

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新知导学 1 .在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的 变量关系用函数关系式给予表示 , 还应确定函数关系式中 自变量 的取值范围. __________ 2 .实际优化问题中,若只有一个极值点,则极值点就是 最优 点. __________

3.解决优化问题的基本思路:

第三章

3.4

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牛刀小试 1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单 1 3 位:万件)的函数关系式为 y=-3x +81x-234,则使该生产厂 家获取最大年利润的年产量为( A.13 万件 C.9 万件 ) B.11 万件 D.7 万件

[答案] C

第三章

3.4

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1 3 [解析] ∵y=-3x +81x-234, ∴y′=-x2+81(x>0). 令 y′=0 得 x=9,令 y′<0 得 x>9,令 y′>0 得 0<x<9, ∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减, ∴当 x=9 时,函数取得最大值.故选 C.

[点评]

利用导数求函数最值时,令y′=0得到x的值,此x

的值不一定是极大(小)值时,还要判定x值左、右两边的导数的 符号才能确定.

第三章

3.4

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2.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产 一单位产品,成本增加 100 元,已知总收益 R 与年产量 x 的关 1 ? ?400x- x2 ?0≤x≤400? 2 系是 R(x)=? ,则总利润最大时,每 ? ?80 000 ?x>400? 年生产的产品是( A.100 C.200 ) B.150 D.300

[答案] D

第三章

3.4

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[解析] 由题意,总成本为:C=20 000+100x,所以总利 x2 ? ?300x- -20 000 0≤x≤400 2 润为 P=R-C=? , ? ?60 000-100x x>400
? ?300-x P′=? ? ?-100

0≤x≤400 , 令 P′=0, 当 0≤x≤400 时, x>400

得 x=300;当 x>400 时,P′<0 恒成立,易知当 x=300 时,总 利润最大.

第三章

3.4

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3 .某公司的盈利 y( 元) 和时间x(天 ) 的函数关系是 y =f(x) ,

假设f(x)>0恒成立,且f ′(10)=10,f ′(20)=1,则这些数据说明
第20天与第10天比较( A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加,且增加的幅度变大 C.公司在亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利在增加,但增加的幅度变小 [答案] D [解析] 导数为正说明盈利是增加的,导数变小说明增加 )

的幅度变小了,但还是增加的.

第三章

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4.在周长为l的矩形中,面积的最大值为__________.
[答案] l2 16

[解析]

1 设一边长为 x,则另一边长为2(l-2x),其面积 S

1 l =2x(l-2x) (0<x<2), 1 l2 l 由 S′=2l-2x=0 得 x=4,此时 S=16.

第三章

3.4

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典例探究学案

第三章

3.4

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面积、容积最大问题
有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个 角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容 器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?

第三章

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[解析] 设截下的小正方形边长为 x,容器容积为 V(x),则 做成的长方体形无盖容器底面边长为 a-2x,高为 x, a V(x)=(a-2x) x,0<x<2.
2

a 即 V(x)=4x -4ax +a x,0<x<2.
3 2 2

实际问题归结为求 先求

? a? V(x)在区间?0,2?上的最大值点.为此, ? ?

? a? V(x)的极值点.在开区间?0,2?内, ? ?

V′(x)=12x2-8ax+a2.
第三章 3.4

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令 V′(x)=0,得 12x2-8ax+a2=0. 1 1 解得 x1=6a,x2=2a(舍去).
? a? 1 x1=6a 在区间?0,2?内,x1 可能是极值点.且 ? ?

当 0<x<x1 时,V′(x)>0; a 当 x1<x<2时,V′(x)<0.

第三章

3.4

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因此

? a? x1 是极大值点,且在区间?0,2?内,x1 ? ?

是唯一的极值

1 点,所以 x=6a 是 V(x)的最大值点. 1 即当截下的小正方形边长为6a 时,容积最大.

第三章

3.4

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[ 方法规律总结 ]

1. 利用导数解决实际问题中的最值的一

般步骤:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学 模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的导数f ′(x),解方程f ′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小) 者为最大(小)值; (4)把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情 况并下结论.

第三章

3.4

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其基本流程是

第三章

3.4

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2.面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几

何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示
为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.

第三章

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已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线 y = 4 - x2 在 x 轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和 宽. [解析] 如图所示,设出AD的长,进而求出AB,表示出面

积S,然后利用导数求最值.

第三章

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设 AD=2x(0<x<2),则 A(x,0), AB=y=4-x2, ∴矩形面积为 S=2x(4-x2)(0<x<2), 即 S=8x-2x3, S′=8-6x2,令 S′=0, 2 2 解得 x1= ,x2=- (舍去). 3 3

第三章

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2 当 0<x< 时,S′>0; 3 2 当 <x<2 时,S′<0, 3 2 所以,当 x= 时,S 取得最大值,此时 3 32 3 S 最大值= 9 . 8 4 3 即矩形的长和宽分别为3、 3 时,矩形的面积最大.

第三章

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利润最大问题

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入
成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5 000辆, 本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成 本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1) ,则出厂价相应 提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆 车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.

第三章

3.4

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(1) 若年销售量增加的比例为 0.4x ,写出本年度的年利润 p(万元)关于 x 的函数关系式; (2)若年销售量关于 x 的函数为 y=3
? 5? 2 240×?-x +2x+3?, ? ?

则当 x 为何值时,本年度年利润最大?最大年利润是多少?
[解析] (1)由题意得:本年度每辆车的投入成本为 10×(1 + x) ; 出 厂 价 为 13×(1 + 0.7x) , 年 销 售 量 为 5 000×(1 + 0.4x).因此本年度的年利润为:

p = [13×(1+ 0.7x) - 10×(1 +x)]×5 000×(1 + 0.4x) =(3 -
0.9x)×5 000×(1+0.4x)=-1 800x2+1 500x+15 000(0<x<1).
第三章 3.4

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(2) 本 年 度 的 年 利 润 为 f(x) = (3 - 0.9x)×3240×
? 5? 2 ?-x +2x+ ?=3 3? ?

240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),则 f ′(x)=3

240×(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),令 f ′(x)=0.所以 5 x=9或 x=3(舍). 5 5 5 当 0<x<9时 f ′(x)>0,当9<x<1 时 f ′(x)<0,所以 x=9时 f(x)有最大值
?5? f?9?=20 ? ?

000.

第三章

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5 所以当 x=9时, 本年度的年利润最大, 最大年利润为 20 000 万元.

[方法规律总结 ] 解.

利润最大,效率最高等实际问题,关键

是弄清问题的实际背景,将实际问题用函数关系表达,再求

第三章

3.4

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某厂生产某种电子元件, 如果生产出一件正品, 可获利 200 元,如果生产出一件次品,则损失 100 元.已知该厂制造电子 3x 元件过程中,次品率 p 与日产量 x 的函数关系是:p= (x 4x+32 ∈N+). (1)写出该厂的日盈利额 T(元)用日产量 x(件)表示的函数关 系式; (2)为获最大日盈利,该厂的日产量应定为多少件?

第三章

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[解析] (1)由意可知次品率 p=日产次品数/日产量,每天 生产 x 件,次品数为 xp,正品数为 x(1-p). 3x 因为次品率 p= ,当每天 x 件时, 4x+32
? 3x ? 3x ? 有 x· 件次品,有 x?1-4x+32? ?件正品. 4x+32 ? ?

所以

? 3x ? 3x ? ? 1 - T=200x? 4x+32?-100x· 4x+32 ? ?

64x-x2 =25· (x∈N+). x+8

第三章

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?x+32?· ?x-16? (2)T′=-25· ,由 T′=0 得 x=16 或 x= 2 ?x+8? -32(舍去).当 0<x≤16 时,T′≥0;当 x≥16 时,T′≤0; 所以当 x=16 时,T 最大.即该厂的日产量定为 16 件,能获得 最大日盈利.

第三章

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费用(用料)最省问题
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中,每 小时耗油量 y(L)关于行驶速度 x(km/h)的函数解析式可以表示 1 3 3 为: y = 128000 x - 80 x + 8(0<x≤120) .已知甲、乙两地相距 100km. (1)当汽车以 40km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要 耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最 少?最少为多少升?
第三章 3.4

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[分析] (1)汽车的耗油量关于行驶速度x的函数解析式是什

么?其定义域是什么? (2) 利用什么方法求出上述函数的最小
值?
[解析] 2.5(h),
? ? 1 3 3 要耗油?128000×40 -80×40+8?×2.5=17.5(L). ? ?

100 (1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 =

答: 当汽车以 40km/h 的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗 油 17.5L.

第三章

3.4

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100 (2)当速度为 xkm/h 时,汽车从甲地到乙地行驶了 x h,设 耗油量为 h(x)L. 依题意得
? ? 100 1 3 3 h(x)=?128000x -80x+8?·x ? ?

1 2 800 15 =1280x + x - 4

(0<x≤120),

3 3 800 x -80 x h ′(x)=640- x2 = 640x2 (0<x≤120).

第三章

3.4

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令h ′(x)=0,得x=80.

当x∈(0,80)时,h ′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120]时,h ′(x)>0,h(x)是增函数. ∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 最少,最少为11.25L. [方法规律总结 ] 本题属于费用最低问题,此种类型的题 目解决的关键是正确地理解题意列出函数的解析式,利用导数

求其最值时,要注意函数的定义域的限制.

第三章

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某工厂要围建一个面积为 128m2 的矩形堆料场,一边可以 用原有的墙壁,其他三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料

最省,堆料场的长、宽应分别为__________.
[答案] 16m 8m

第三章

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128 [解析] 设场地宽为 xm,则长为 x m, 128 因此新墙总长度为 y=2x+ x (x>0), 128 y′=2- x2 ,令 y′=0,∵x>0,∴x=8. 因为当 0<x<8 时,y′<0;当 x>8 时,y′>0, 所以当 x=8 时,y 取最小值,此时宽为 8m,长为 16m. 即当堆料场的长为 16m,宽为 8m 时,可使砌墙所用材料 最省.

第三章

3.4

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含参数的函数求最值时,注意极值与参数取值的关系

甲、乙两地相距 skm ,汽车从甲地匀速行驶到
乙地,速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本 (以元 为单位) 由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/h)

的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.
(1) 把全程运输成本 y( 元 ) 表示为速度 v(km/h) 的函数,并指 出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

第三章

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[错解]

(1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间

?a ? s s 2 s ? +bv?,所求函数及其 为v,全程运输成本为 y=a· v+bv · v=s?v ?

定义域为

?a ? y=s?v+bv?,v∈(0,c]. ? ?

(2)由题意知 s、a、b、v 均为正数,
? a? ? 由 y′=s?b-v2? ?=0 得 v=± ? ?

a ab 又 0<v≤c, 所以当 v= b b,

时,全程运输成本 y 最小.

[辨析]

ab 第(2)问中 b 与 c 未进行比较大小而直接得出结

论,故错误.
第三章 3.4

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ab ab [正解] ①若 b ≤c,则 v= b 是使 y 的导数为 0 的点, 且当
? v∈? ?0, ? ? a? ? ? 时, y ′≤ 0 ; v ∈ ? b? ? ?

a ? ? 时,y′≥0.所以当 , c b ? ?

ab v= b 时,全程运输成本 y 最小.

第三章

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ab ②若 b >c,v∈(0,c],此时 y′<0,即 y 在(0,c]上为减 函数. 所以当 v=c 时,y 最小. 综上可知,为使全程运输成本 y 最小. ab ab ab 当 b ≤c 时,行驶速度 v= b ;当 b >c 时,行驶速度 v =c.

第三章

3.4

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课时作业
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第三章

3.4



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