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【最新】金识源高中数学 421第2课时直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

4.2.1
第二课时

直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系(习题课)

1.直线与圆的位置关系有哪几种?

2.如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关 系?

3.如何求过某点的圆的切线方程?

4.如何求圆的弦长?

与圆有关的切线问题
[例1] 自点P(-6,7)发出的光线l射到x轴上的点A

处,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-8x- 6y+21=0相切于点Q.求光线l所在直线方程.

[解]

如图,作圆x2+y2-8x-

6y+21=0关于x轴的对称圆x2+y2-8x +6y+21=0,由几何光学原理,知直 线l与圆x2+y2-8x+6y+21=0相切. 由于l的斜率必存在,故可设直线l:y-7=k(x+6),即kx -y+6k+7=0. 由圆x2+y2-8x+6y+21=0的圆心(4,-3)到直线l的距离 等于半径,知 |4k+3+6k+7| 10|k+1| 3 4 = = 2 ,解得 k =- 或 k =- , 2 2 4 3 k +1 k +1 故光线l所在直线的方程为3x+4y-10=0或4x+3y+3=0.

[类题通法] 过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法: (1)设切线斜率,用判别式法; (2)设切线斜率,用圆心到直线的距离等于半径长; (3)设切点(x0,y0),用切线公式法.

[活学活用] 1.已知圆 C:(x-2)2+(y-1)2=1.求: (1)过 A(3,4)的圆 C 的切线方程; (2)在两坐标轴上的截距相等的圆 C 的切线方程.
解:(1)当所求直线的斜率存在时,设过 A(3,4)的直线方程为 y -4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0, |2k-1+4-3k| 4 由 =1,得 k= . 2 3 1+k 4 所以切线方程为 y-4= (x-3),即 4x-3y=0. 3 当所求直线的斜率不存在时,直线方程为 x=3,也符合题意. 故所求直线方程为 4x-3y=0 或 x=3.

x y (2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 a+a=1 或 y= kx, |3-a| |2k-1| 于是由圆心(2,1)到切线距离为 1,得 =1 或 2=1. 2 1+k 4 解得 a=3± 2,k=0 或 k= . 3 4 故所求切线方程为 x+y=3± 2或 y=0 或 y= x. 3

与圆有关的参数问题
3 [例2] 已知直线l:y=- x+m与圆x2+y2=1在第一象 3 限内有两个不同的交点,求m的取值范围. 3 [解] ∵l:y=- x+m,圆x2+y2=1, 3 ∴l可变形为: 3 x+3y-3m=0,圆的圆心为(0,0),半径 长r=1. 当直线和该圆相切时,应满 |-3m| 2 3 足d= =1,解得m=± . 3 3+9

3 在平面直角坐标系中作出图象,如图所示,其中l2:y=- x 3 2 3 3 2 3 + ,l3:y=- x- . 3 3 3

3 过原点作直线l0:y=- x,m0:y=-x. 3 3 ∵直线l的斜率k=- ,直线AB的斜率k=-1, 3 ∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象 3 限内有两个交点,此时对应的直线l1:y=- x+1,要使 3 直线与圆在第一象限内有两个不同交点,直线l只有在直线l1
? 2 3? ? ? 和直线l2之间运动才可,此时相应的m∈?1, ?. 3 ? ? ? 2 3? ? ? ∴m的取值范围是?1, ?. 3 ? ?

[类题通法] 要注意结合图象,得出正确的答案,不能想当 然.要注意直线之间倾斜程度的比较,像在此例题中, 3 我们要注意比较直线l的斜率k=- 与直线AB的斜率k 3 =-1,如果注意到它们的关系了,就不易出错.

[活学活用] 3 2.已知直线l:y=- x+m与圆x2+y2=1在第一象限内 3 有交点,求m的取值范围. 3 解:∵l:y=- x+m,圆x2+y2=1, 3

∴l可变形为: 半径长r=1.

3 x+3y-3m=0,圆的圆心为(0,0),

|-3m| 当直线和该圆相切时,应满足d= =1,解得m= 3+9 2 3 ± ,在平面直角坐标系中作出图象, 3

3 2 3 如下图所示,其中 l2:y=- x+ , 3 3 3 2 3 l3:y=- x- . 3 3

∵直线 l 与圆在第一象限内有交点, ∴直线 l 应该在过点 B(1,0)的直线与切线 l2 之间才可以, 而 当 B(1,0)在直线 l 上时,
? 3 2 3? 3 ? m= ,∴m 的范围是? , ? 3 ?. 3 3 ? ?

直线与圆的综合问题
[例3] 已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0

相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.

[解]

? ?x+2y-3=0 由? 2 2 ? ?x +y +x-6y+m=0

消去y,得5x2+10x+

4m-27=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 ?Δ=100-20?4m-27?>0 ? ?x1+x2=-2 ?x x =?4m-27?/5 ? 1 2 ①

又OP⊥OQ,∴KOP· KOQ=-1即x1x2+y1y2=0. 1 1 ∴x1· x2+ (3-x1)·(3-x2)=0, 2 2 整理得5x1x2-3(x1+x2)+9=0, 4m-27 ∴5× -3×(-2)+9=0. 5 解得m=3满足① ∴实数m的值为3.

[类题通法] 此题设出P,Q两点的坐标,但在求解过程中又不 能刻意地求出来,只将它作为一个转化过程中的桥 梁,这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常 见,要注意认真体会并掌握.

[活学活用] 3.自原点 O 作圆(x-1)2+y2=1 的不重合两弦 OA,OB, 若|OA|· |OB|=k(定值),证明不论 A,B 两点位置怎样, 直线 AB 恒切于一个定圆,并求出定圆的方程.

解:设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 2 2 则|OA|· |OB|= x2 1+y1· x2+y2 2 2 2 = x2 + [1 - ? x - 1 ? ]· x + [1 - ? x - 1 ? ] 1 1 2 2

= 4x1x2=k. k2 ∴x1x2= . 4

设直线 AB 的方程为 y=mx+b,代入已知圆的方程并整理,得 (1+m2)x2+2(mb-1)x+b2=0, b2 由韦达定理,得 x1x2= . 1+m2 b2 k2 ∴ = . 1+m2 4 |b| ∵原点 O 到直线 mx-y+b=0 的距离为 2, 1+m ∴所求定圆的半径 r 满足
2 2 b k r2 = = (定值). 1+m2 4 2 k ∴直线 AB 恒切于定圆 x2+y2= . 4

4.利用数形结合思想探究与圆有关 的最值问题
[典例]
[解] 距离. 因为圆心(0,1)与定点的距离是 ?2-0?2+?0-1?2 = 5 , 圆的半径是1, 所以, ?x-2?2+y2的最小值是 5-1,最大值是 5+1.

设点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上,求
?x-2?2+y2 的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的

?x-2?2+y2的最值.

[多维探究] 1.化为求斜率问题 y+2 求 的最小值. x+1 ? ?y+2=t?x+1?, y+2 解:法一: 令 = t ,则方程组 ? 2 一定有 2 ? x+1 x + ? y - 1 ? = 1 , ?
解. 消去 y, 整理得(1+t2)x2+2(t2-3t)x+(t2-6t+8)=0 有解. 所以,Δ=4(t2-3t)2-4(1+t2)(t2-6t+8)≥0, 4 即 6t-8≥0,解得 t≥ . 3 y+2 4 故 的最小值是 . 3 x+ 1

y+2 法二:令 = k, x+1 则k表示圆上任一点与(-1,-2)点连线的斜率, ∴kx-y+k-2=0, |0-1+k-2| 由 ≤ 1, 2 k +1 4 得 k≥ . 3 y+2 4 ∴ 的最小值为 . 3 x+ 1

2.化为求圆心到直线距离问题 求直线 x-y-2=0 上的点到圆的距离的最值.
|-1-2| 解: 圆心为(0,1), 到直线 x-y-2=0 的距离为 = 2 3 2 , 2 3 2 因此直线上的点和圆上的点的最大距离为 +1, 最小 2 3 2 距离为 -1. 2

3.化为求圆心到直线距离问题 若圆上有且只有四个点到直线 3x-4y+C=0 的距离 1 为 ,求 C 取值范围. 2

1 解:由题意,圆心(0,1)到直线的距离小于 即可, 2 |-4+C| 1 则 2 2 <2, 3 +4
?3 13? 3 13 解得 <C< .所以C的取值范围为?2, 2 ? 2 2 ? ?

[方法感悟] 解与圆有关的最值问题,要明确其几何意义: y-b (1)k= 表示圆上的点(x,y)与定点(a,b)连线的 x-a 斜率,直线方程可与圆的方程联立得到关于x的一元二次 方程,利用Δ≥0求k的最值;也可用圆心到直线的距离 d≤r,求k的最值. (2)直线与圆相离时,直线上的点到圆的距离的最大 值为d+r,最小值为d-r.

[随堂即时演练] 1.直线x+ 3y=0绕原点按顺时针方向旋转30? 所得直线与 圆x2+y2-4x+1=0的位置关系是( A.直线与圆相切 C.直线与圆相离 ) B.直线与圆相交但不过圆心 D.直线过圆心

解析:直线按顺时针方向旋转30?后,所得直线方程为 3 x+y=0,由圆的方程可知圆心坐标为(2,0),半径长 为 3.圆心到直线 3 x+y=0的距离d= 3 =r,所以直线 与圆相切. 答案: A

x y 2.若直线a+b=1与圆x2+y2=1有公共点,则( A.a2+b2≤1 1 1 C. 2+ 2≤1 a b B.a2+b2≥1 1 1 D. 2+ 2≥1 a b

)

解析:圆的圆心(0,0)到直线bx+ay-ab=0的距离小 于或等于圆的半径1, |b×0+a×0-ab| 即 ≤ 1, 2 2 a +b a2+b2 1 1 即 2 2 ≥1,则 2+ 2≥1. ab a b
答案: D

y 3.如果实数x,y满足等式(x-2) +y =3,那么x的最大
2 2

值是________. y 解析:设 x =k,则y=kx,(x-2)2+k2x2=3,整理得
(1+k2)x2-4x+1=0. ∵Δ=16-4(1+k2)≥0, ∴- 3≤k≤ 3.

答案: 3

4.过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引的切线方程为________.
解析:显然x=2为所求切线之一.另设切线方程为y-4= k(x-2),即kx-y+4-2k=0. |4-2k| 3 而 2 =2,得k= ,所以切线方程为3x-4y+10=0, 4 k +1 故所求切线为x=2,或3x-4y+10=0.
答案:x=2或3x-4y+10=0

5.已知以点P为圆心的圆过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P于点C、D,且|CD|=4 10. (1)求直线CD的方程; (2)求圆P的方程.

解:(1)∵kAB=1,AB的中点坐标为(1,2),∴直线CD 的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.

(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.① 又直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10, ∴(a+1)2+b2=40.② 由①②解得a=-3,b=6或a=5,b=-2. ∴圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2 =40.



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