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天津市天津一中2012-2013学年高一上学期期末考试 数学试题


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天津一中 2012—2013 学年第一学期期末高一数学试卷 一.选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 1.若 ? ? ? , ? , cos 2? ? ? ,则 sin ? =( 4 2 8 A.

?? ? ? ? ?

1

) C. 7
4

3 5

B. 3 4

D. 4
5

? 2.下列函数中,以 为最小正周期的偶函数是( 2
A. y ? sin 2 x ? cos 2 x C. y ? cos(4 x ?



B. y ? sin 2 x cos 2 x D. y ? sin 2 x ? cos 2 x
2 2

?
2

)

3.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于( A.30° B.30°或 150° C.60°



D.60°或 120° )

4.已知 tan( ? ? ) ? ?

13 A. 18

2 ? 1 ? , tan(? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值等于( 5 4 4 4 3 13 3 B. 22 C. 22 D. 18


5.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为( 2 2 1 A. B.- C. 3 3 4 6.函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? 则 ? 的值为( A. ) B.

D.-

?

1 4

3

? ? ), ? ? (0, ? ) 满足 f ( x ) ? f ( x) ,

? 6

? 3

C.

? 12

D.

2? 3


7. 要得到函数 y ? 2sin(2 x ?

2? A.向左平秱 3 个单位 4? C.向左平秱 3 个单位

2? 2? ( ) 的图像, 需要将函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的图像 3 3 2? B.向右平秱 3 个单位

4? D.向右平秱 3 个单位 2 A 8.在△ABC 中,已知 sin B ? sin C ? cos ,则三角形△ABC 的形状一定是( 2
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A.等腰三角形 B.直角三角形

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C.等边三角形 D.等腰直角三角形

9.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 象如图所示,则正确的结论是( A. A ? 3, T ? 2? )

? )的周期为 T ,在一个周期内的图 2
y 2
? 2? O 3

B. B ? ?1, ? ? 2

? C. T ? 4?, ? ? ? 6

? D. A ? 3, ? ? 6

4? 3

x

-4

10.若函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x ? m 在 ?0,
2 2

? ?? 上有零点,则 m 的取值范围为 ? 2? ?



) B. ?1, 3? C. ? ?1, 2 ? 2 ?

A. ? ?1, 2?

?

?

D. ?1, 2 ?

?

2? ?

二.填空题: (每小题 3 分,共 18 分) 11. ]已知 sin ? ? cos? ?

1 ? ? . , 且 ? ? ? , 则 cos? ? sin? ? 8 4 2 ____________

12.已知 sin(

?

1 2? . ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是 6 3 3 ____________
0 0

13.函数 y ? sin( x ? 15 ) ? 2 cos( x ? 60 ) 的最大值 ____________.

( 14.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60°,则
2 2

ab 的值为 ____________. 15.在钝角△ABC 中,已知 a ? 1 , b ? 2 ,则最大边 c 的取值范围是 ____________. ____________.

16.已知 y ? sin x ? cos x ,给出以下四个命题,其中正确命题的序号为 ①若 x ? ? 0, ? ? ,则 y ? ?1, 2 ? ;

?

?

②直线 x ? ③在区间 ?

?
4

是函数 y ? sin x ? cos x 图象的一条对称轴;

? ? 5? ? , 上函数 y ? sin x ? cos x 是增函数; ?4 4 ? ?
2 cos x 的图象向右平秱

④函数 y ? sin x ? cos x 的图象可由 y ? 三.解答题: (共 52 分)
第 2 页 共 7 页

? 个单位而得到, 4

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sin(? ? ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 . tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) ) cos(

?

3?

17.(本题满分 10 分)已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? (1)化简 f ?? ? ; (2)若 cos(? ?

3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值. 2 5

18. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2cos(? x ? 期为 10? . (1)求ω的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
6

(其中 ? ? 0 ,x∈R)的最小正周 ),

?

5 6 5 16 ] , f (5? ? ? ) ? ? , f (5? ? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 3 5 6 17

19. (本题满分 10 分)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是三内角 A,B,C 所对的三边,已知

b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc .
(1)求角 A 的大小;
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(2)若 2 sin
2

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B C ? 2 sin 2 ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 2 2

20.(本题满分 11 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,

C= .
3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b;

π

(2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

2 21. (本小题满分 11 分)已知函数 f ( x ) ? cos x ? 3 sin x cos x ? 1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f (? ) ?
5 π 2π , ? ? ( , ) ,求 sin 2? 的值. 3 3 6

参考答案: 一.选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 1.B 2.D 3.D 4.B 5.D

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6.A 7.A 8.A

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9.C 10.D

二.填空题: (每小题 3 分,共 18 分) 11. ? 12. ? 13.1

3 2

7 9

4 14. 3
15. 5 ? c ? 3 16.②④ 三.解答题: (共 52 分) 17.解: (1) f (? ) ?

? cos? sin ? (? tan? ) ? ? cos? ………………4 分 ? tan? sin ? 3? 1 1 ) ? ,得 sin ? ? ? 。………………6 分 2 5 5

? (2)由 cos( ?

又已知 ? 为第三象限角, 所以 cos? ? 0 ,所以 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ?
2

2 6 5

,………………8 分

所以 f (? ) = 18.解:

2 6 5

………………10 分

(1)∵ T ? 10? ?

2?

?

,? ?

1 1 ,而 ? ? 0 ,∴ ? ? ………………2 分 5 5

(2)由(1) f ( x) ? 2cos( x ?

5 1 5 ? ? ? f (5? ? ? ) ? 2cos[ (5? ? ? ) ? ] ? 2cos(? ? ? ) ? ?2sin ? 3 5 3 6 3 6

1 5

?
6

) ,所以
, 而

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5 6 6 3 ? , f (5? ? ? ) ? ? , ∴ ?2 s i n ? ? , sin ? ? , … … … … 4 分 ∵ ? ? [ 0 , ] ∴ ? 5 5 2 3 5 4 c o s ? …………5 分 ? 5 5 1 5 ? ? ? , 而 f (5? ? ? ) ? 2cos[ (5? ? ? ) ? ] ? 2cos( ? ? ? ) ? 2cos ? 6 5 6 6 6 6 5 16 16 8 f (5? ? ? ) ? ,∴ 2 cos ? ? , cos ? ? ,…………7 分 17 17 6 17 ? 15 ∵ ? ? [0, ] ,∴ sin ? ? …………8 分 2 17
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ………………9 分

4 8 3 15 13 ? ? ? ? ? ? …………………10 分 5 17 5 17 85
19.解: (1) b ? c ? a ? bc ,所以 cos A ?
2 2 2

? b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? ,得到 A ? 2bc 2bc 2 3

…………(4 分) (2)∵ 2 sin
2

B C ? 2 sin 2 ? 1 2 2

∵ 1 ? cos B ? 1 ? cosC ? 1

∴ cos B ? cosC ? 1,…………6 分 即 cos B ? cos(

2? ? ? B) ? 1 ,得到 sin(B ? ) ? 1 ,…………8 分 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? ?0 ? B ? ? ? B? ? ?B ? ? ?B ? 3 6 6 6 6 2 3

? ?ABC 为等边三角形…………10 分
20.解: (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,…………2 分 又因为△ABC 的面积等于 1 3,所以 absinC= 2 3,得 ab=4. …………4 分

? ?a2+b2-ab=4, 联立方程组? 解得 a=2,b=2. …………5 分 ?ab=4, ?
(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即 sinBcosA=2sinAcosA,…………7 分 π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A= ,B= ,a= ,b= ,…………8 分 2 6 3 3
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?a2+b2-ab=4, ? ? ?b=2a,

当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,联立方程组?

2 解得 a=

3

3 4 ,b=

3 3

.…………10 分

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absinC= .…………11 分 2 3

21.解: (Ⅰ) f ( x ) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1
?

? 3 1 ? cos 2 x 3 ? sin2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? . …………3 分 2 2 3 2

由 2k? ? ? ? 2 x ?

?

3

? 2k? ,得 k? ?

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ? (Ⅱ)∵ f (? ) ?

2? ? .………… 6 分 , k? ? ] ( k ? Z ) 3 6

2? ? . ? x ? k? ? ( k ? Z ) 3 6

5 ? 3 5 ? 2 ,∴ cos(2 x ? ) ? ? , cos(2? ? ) ? ? .…………7 分 6 3 2 6 3 3

? 5? ? ? 5 ? ? 2? ? ∵ ? ? ? , ? ,∴ 2? ? ? (? , ) , sin( 2? ? ) ? ? 1 ? cos2 ( 2? ? ) ? ? . 3 3 3 3 3 ? 3 3 ?
…………9 分 ∴ sin2? ? sin(2? ?

?
3

?

?
3

)?

2 3? 5 1 ? 3 ? …11 分 sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) ? 2 3 2 3 6

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