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2.1.6 点到直线的距离2


第2章 平面解析几何初步

2.1.6 点到直线的距离

问题1 :

两点P1(x1, y1),P2(x2, y2)间的距离公式是 什么?
问题2 :

求点P(-1,2)到直线 l :2x+y-10=0 y 的距离。
Q
P o d x

l

确定直线l的斜率k 求与l垂直直线的斜率k′ 求过点P垂直于l的直线l′的方程 求l与l ′的交点Q 求点P与点Q的距离

得到点P到l的距离d

问题3:求点P(x0 ,y 0)到直线l:Ax+By+C=0的距离。

P

y l Q P(x0,y0) x l:Ax+By+C=0

O

法一:写出直线PQ的方程,与l 联立求出点Q的坐标, 然后用两点间的距离公式求得 PQ . (但这样做太繁琐)

法二:P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,

d 作y轴的平行线, 交l与点S ? x0 , y2 ? Q ? Ax1 ? By0 ? C ? 0, Ax0 ? By2 ? C ? 0 (x0,y2) ? By0 ? C ? Ax0 ? C x ? x1 ? , y2 ? S O A B Ax0 ? By0 ? C Ax0 ? By0 ? C ? PR ? x0 ? x1 ? , PS ? y0 ? y2 ? A B
PR 2 ? PS 2 ? A2 ? B 2 Ax0 ? By0 ? C AB

l R 过p作x轴的平行线, 交l与点R ? x1 , y0 ? ; (x ,y )
1 0

AB ? 0,? 这时l与x轴, y轴都相交,

y

P

? RS ?

由三角形面积公式可得:

d ? RS ? PR ? PS
?d ? A2 ? B 2 Ax0 ? By0 ? C AB

l R

y

P d Q
O

Ax0 ? By0 ? C Ax0 ? By0 ? C ? . A B

S

x

?d ?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

注: ?在使用该公式前,须将 直线方程化为一般式.

? A=0或B=0,此公式也成立, 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离. (如:点A(-1,3)到直线x=6的 7 距离是________.)

A=0: | PQ |?
C 此时L:y= ? B
又PQ//y轴

| 0 ? x0 ? By0 ? C | 02 ? B 2

当A=0,即L⊥y轴时 y P

C ?| PQ |?| y0 ? (? ) | B

| By0 ? C | ? |B|

Q o

L x

B=0:
当B=0,即L⊥x轴时

| PQ |?

| Ax0 ? 0 ? y0 ? C | A2 ? 0 2
y Q

C 此时L:x= ? A
又PQ//x轴

P

C ?| PQ |?| x0 ? (? ) | A

o

| Ax0 ? C | ? | A|

x

L

例1.求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0; ②3x=2的距离。 解: ①根据点到直线的距离公式,得

d?
y
P(-1,2) O

2 ? ?? 1? ? 1 ? 2 ? 10 2 ?1
2 2

?2 5

②如图,直线3x=2平行于y轴,

2 5 ? d ? ? ( ?1) ? 3 3 x 用公式验证,结果怎样? l:3x=2

练习1:求下列点到直线的距离:

(1) O(0,0), 3x+2y-26=0;
(2) A(-2,3), 3x+4y+3=0; (3) B(1,0),
3x ? y ? 3 ? 0

(4) C(1,-2), 4x+3y=0.
答案:

9 2 (1)2 13;(2) ;(3)0; (4) . 5 5

2.

点A(a,6)到直线3x-4y=2的距 离等于4,求a的值.
46 a=2 或 a ? 3

例2. 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点,例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离

? d?

2?3 ? 7?0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

14 14 53 ? ? 53 53

?直线到直线的距离转化为点到直线的距离

y P

l1 思考:任意两条平行线的距离是多少呢?
Q

l2
x

O

任意两条平行直线都可以写 成如下形式: l1 :Ax+By+C1=0

在直线 l1上任取一点P ? x0 , y0 ? ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 ? By0 ? C2 则点P到直线l2的距离为: PQ ? A2 ? B2 点P在直线l1上, ? Ax0 ? By0 ? C1 ? 0

l2 :Ax+By+C2=0

? Ax0 ? By0 ? ?C1 ? PQ ?
注:①此公式可直接用;

C2 ? C1 A2 ? B2

(两平行线间 的距离公式)

②用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。

例3. 在抛物线 y=4x2 上求一点P, 使P到直线 l: y=4x-5 的 距离最短,并求出这个最短距离. 解:依题意设 P(x,4x2), 则P到直线l: 4x- y-5=0的距离为

d?

| 4 ? x 0 ? ( ?1) ? 4 x 0 ? 5 | 4 ?1
2 2

2

?

| 4 x0 ? 4 x0 ? 5 | 17

2

?

(2 x 0 -1) 2 ? 4 17

1 1 4 17 ?当x 0 ? 即P点坐标为 ( .1)时 , d有最小值 2 2 17

小结:
(1)点到直线距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2



注意用该公式时应先将直线方程化为一般式; (2)两平行直线间的距离:

d?

C2 ? C1 A ?B
2 2



注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。


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