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吉林省长春市朝阳区2017届高三数学下学期第八次模拟考试试题理


吉林省长春市朝阳区 2017 届高三数学下学期第八次模拟考试试题 理
第 Ⅰ 卷 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) (1)若 z ? (A)

2?i ,则 z = 2?i
(B)1 (C)5 (D)25

1 5

(2)设集合 A ? x x2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ?x | x ? 2 | ≤2? ,则 A ? B ? (A) ? ?1,0? (B) ? 0,3? (C) ? 3, 4? (D) ? ?1,3?

?

?

(3)已知平面向量 a ? (1, m), b ? (2,5), c ? (m,0) ,且 (a ? c ) ? (a ? b) ,则 m ? (A) 3 ? 10 (4)已知 sin(? ? (A) (B) 3 ? 10 (C) 3 ? 10 (D) ?3 ? 10

?
12

1 5? ) ? ,则 cos(? ? ) 的值等于 3 12
(B)
2 2 3

1 3

(C) ?

1 3

(D) ?

2 2 3

(5)函数 y ?

sin x ( x ? 0) 的部分图象大致是 ln | x |

(A)

(B)

( C)

(D)

(6)已知表示不超过 整数.执行如图所示的程序框 ...x 的最大 .. 图,若输入 x 的值为 2.4,则输出 z 的值为 (A)1.2 (C)0.4 (B)0.6 (D)-0.4

(7)某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言, 要求甲、乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有 (A)336 种 (C)192 种 (B)320 种 (D)144 种

(8)若一个空间几何体的三视图如图所示,且已知该几何体

-1-

的体积为

3 ? ,则其表面积为 6

3 (A) ? ? 3 2 3 (C) ? ? 2 3 4

3 (B) ? 2 3 (D) ? ? 3 4 1 5? 的图象向左平移 个单位长度后得到 2 12

( 9 ) 已 知 将 函 数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ?

? ? ?? y ? g ( x) 的图象,则 g ( x) 在 ? ? , ? 上的值域为 ? 12 3 ? ? 1 ? (A) ? ? ,1? ? 2 ? ? 1? (B) ? ?1, ? ? 2?

? 3 1? (C) ? ? , ? ? 2 2?

? 1 3? (D) ? ? , ? ? 2 2 ?

(10)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过其左焦点 F 作 x 轴的垂线,交双曲线于 A、B 两 a 2 b2

点,若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是

3 (A) (1, ) 2

(B) (1, 2)

3 (C) ( , ??) 2

(D) (2, ??)

(11)已知三棱锥 S ? ABC 外接球的直径 SC ? 6 ,且 AB ? BC ? CA ? 3 ,则三棱锥 S ? ABC 的 体积为 (A)
3 2 4

(B)

9 2 4

(C)

3 2 2

(D)

9 2 2

?1 ? 1 ? x x ? ? ?? , 2? ? 8? (12)已知函数 f ? x ? ? ? ,则函数 g ? x ? ? f ? x ? ? cos ? x 在区间 ?0 , ? ?) ? ?3 f ? x ? 2? x ?[2 ,
内所有零点的和为 (A)16 (B)30 (C)32 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第(22) 、 (23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. )
b、 C 所对的边, (13) △ ABC 中, 若 a、 c 分别是角 A 、 B、

(D)40

cos C 2a ? c ,则 B ? ? cos B b



? x≤y ? (14)已知变量 x, y 满足约束条件 ? y≤2 x ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围是_________. ? x ? y≤6 ?

-2-

(15)若二项式 (

m 5 2 1 6 x ? ) 的展开式中的常数项为 m,则 ?1 ( x 2 ? 2 x)dx ? _________. 5 x

(16)关于圆周率 ? ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理 斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 ? 的值:先请 200 名同学,每人 随机写下一个都小于 1 的正实数对 (x, y) ; 再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 (x,

y)的个数 m;最后再根据统计数 m 来估计 ? 的值.假如统计结果是 m=56,那么可以估计
(用分数表示) ? ? __________. 三、解答题: (解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ) (17) (本小题满分 12 分)
2 ? 9a1a5 . 已知正项等比数列 {an } 满足 a1 , 2a2 , a3 ? 6 成等差数列,且 a4

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (1 ? log 3 an ) ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (18) (本小题满分 12 分) 为选拔选手参加“中国谜语大会” ,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本 次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为 样本(样本容量为 n )进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) ,[90,100] 的

[90,100] 分组作出频率分布直方图, 并作出样本分数的茎叶图 (图中仅列出了得分在 [50, 60) ,
的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 3 名学生参加“中国谜语大会” ,设随机变量 X 表示所抽取的 3 名学生中得分在 [80, 90) 内的学 生人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望.
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y

5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 3 4

(19) (本小题满分 12 分)

O

50 60 70 80 90 100 成绩(分)

如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 平面 ABC ,△ ABC 为等腰直角三角形,

-3-

?BAC ? 90? ,且 AB ? AA1 , E, F 分别是 CC1 , BC 的中点.

C1 A1 E C A

B1

(Ⅰ)求证: B1 F ? 平面 AEF ; (Ⅱ)求锐二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值.

F

B

(20) (本小题满分 12 分) 已知 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上. 3 2

???? ???? ? (Ⅰ)求 PF1 ? PF2 的最小值; ???? ????? (Ⅱ)若 y0 ? 0 且 PF1 ? F1F2 ? 0 ,已知直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于两点 A、 B ,过
点 P 且平行于直线 l 的直线交椭圆 C 于另一点 Q ,问:四边形 PABQ 能否成为平行四边形?若 能,请求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ?a ? R? . x

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 0 ,求实数 a 的值;
?2 (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 在区间 ? ?e , ??) 上零点的个数;

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若在 ?1,e? ? e ? 2.71828...? 上存在一点 x0 ,使得 x0 ? 成立,求实数 m 的取值范围.

1 ? mf ? x0 ? x0

请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

-4-

? x ? 3 cos ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C : ? ( ? 为参数) ,在以原点 O 为极点, ? ? y ? sin ?
x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

2 ? ? cos(? ? ) ? ?1 . 2 4

(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)过点 M (?1, 0) 且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A、 B 两点,求点 M 到 A、 B 两 点的距离之积. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ?

1 | (a ? 0) . a

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集;

1 (Ⅱ)证明: f (m) ? f (? )≥4 . m

-5-

数学(理科)参考答案 第 Ⅰ 卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 题 1 号 答 B 案 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 90 分) B C C A D A A B D D C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第(22) 、 (23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. ) (13)
π ; 3

(14) ? ?6,0? ;

(15)

2 ; 3

(16)

78 . 25

三、解答题: (解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ) (17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设正项等比数列 ?a n ?的公比为 q?q ? 0?
2 2 由 a4 ? 9a1a5 ? 9a3 ? q2 ? 2 a4 ? 9 ? q ? ?3 , 2 a3

??????????? 2 分 ????????????3 分

因为 q ? 0 ,所以 q ? 3 . 又因为 a1 ,2a2 , a3 ? 6 成等差数列,所以

a1 ? ?a3 ? 6? ? 4a2 ? 0 ? a1 ? 9a1 ? 6 ?12a1 ? 0 ? a1 ? 3
所以数列 ?a n ?的通项公式为 an ? 3n . 依题意得 bn ? ?2n ? 1?? 3n ,则

????????????5 分 ???????????? 6 分(Ⅱ)

???????????? 7 分

Tn ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? ? ? ?2n ?1?? 3n ????? 3Tn ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ? 34 ? ? ? ? ? ?2n ?1?? 3n ? ?2n ?1?? 3n?1 ?????
由?-?得

2Tn ? ?2n ?1?? 3

n?1

? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ?2n ? 1? ? 3n?1 ? 2 ?
2 3 n 2

?

?

32 ? 3n?1 ? 32 ? 2n ? 3n?1 1? 3

所以数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ? n ? 3n?1

????????????12 分

-6-

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 2 ? 50 , y ? ? 0.004 , 0.016 ?10 50 ?10
.????????????4 分

x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030

(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人,分数在 [90,100] 内的学生有 2 人, 共 7 人. 抽取的 3 名学生中得分在 [80, 90) 的人数 X 的可能取值为 1,2,3,则

P( X ? 1) ?

1 2 1 3 0 C5 C2 C52C2 C5 C2 10 2 5 1 20 4 , , ? ? P ( X ? 2) ? ? ? P ( X ? 3) ? ? ? . 3 3 3 C7 35 7 C7 35 7 C7 35 7

所以 X 的分布列为

X P

1

2

3

1 7

4 7

2 7

??????????????????????????????????10 分 所以 E ? X ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? (19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)连结 AF ,∵ F 是等腰直角三角形 ?ABC 斜边 BC 的中点,∴ AF ? BC . 又? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, ∴ AF ? 面 BB1C1C , AF ? B1F . 设 AB ? AA 1 ? 1 ,则 B1 F ? ∴面 ABC ? 面 BB1C1C , -------2 分

1 7

4 7

2 15 ? .??????????????????12 分 7 7

6 3 3 , EF ? , B1E ? . 2 2 2
-------------------4 分 -------------------6 分

∴ B1F 2 ? EF 2 ? B1E 2 ,∴ B1F ? EF . 又 AF ? EF ? F ,∴ B1F ? 平面 AEF .

(Ⅱ)以 F 为坐标原点, FA, FB 分别为 x , y 轴建立直角坐标系如图,设 AB ? AA 1 ?1 , 则 F (0, 0, 0), A(

2 2 2 1 , 0, 0), B1 (0, ,1), E (0, ? , ), 2 2 2 2

z C1 A1 E C A B F x
-7-

B1

??? ? ???? 2 2 1 2 2 AE ? (? ,? , ) , AB1 ? (? , ,1) . 2 2 2 2 2
-------------------7 分

y

由(Ⅰ)知, B1F ? 平面 AEF , ∴可取平面 AEF 的法向量 m ? FB1 ? (0,

??

????

2 ,1) . 2

-------------------8 分 设平面 B1 AE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?

? 2 2 1 ? ??? ? ? x ? y ? z ? 0, ? ? ?n?AE ? 0, ? 2 ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0, 2 2 由 ? ? ???? ?? ?? ? ? ?n?AB1 ? 0 ?? 2 x ? y 2 ? z ? 0 ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? ? 2 2 ? ∴可取 n ? (3, ?1, 2 2) . -------------------10 分
设锐二面角 B1 ? AE ? F 的大小为 ? ,

?? ? ?? ? m?n 则 cos ? ?| cos ? m, n ?|? ?? ? ? | m || n |

0?3 ? 02 ? ( ?

2 ? (?1) ? 1? 2 2 2

?

2 2 2 ) ? 1 ? 32 ? (?1) 2 ? (2 2) 2 2

6 . 6

∴所求锐二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值为 (20) (本小题满分 12 分)

6 . 6

-------------------12 分

解:(Ⅰ)由题意可知 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,
2 2 则 PF , 1 ? (?1 ? x0 , ? y0 ), PF 2 ? (1 ? x0 , ? y0 ) ? PF 1 ? PF 2 ? x0 ? y0 ? 1

????

???? ?

???? ???? ?

? 点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上

?

x0 2 y0 2 2x 2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? 2 ? 0 3 3 2

???? ???? ? 2x 2 x2 ? PF1 ? PF2 ? x0 2 ? 2 ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 (? 3 ? x0 ? 3) 3 3

???? ???? ? ? 当 x0 ? 0 时, PF1 ? PF2 的最小值为 1.
(Ⅱ)? PF1 ? PF2 ? 0, ? x0 ? ?1,

-------------------4 分

???? ???? ?

? y0 ? 0 ? P(?1,

2 3 ) 3

-----------5 分

-8-

? y ? k ( x ? 1) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3(k 2 ? 2) ? 0 ?1 ? ? ?3 2
? x1 ? x2 ? ? 6k 2 3k 2 ? 6 , x x ? 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
4 3(1 ? k 2 ) 2 ? 3k 2
-----------7 分

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 3 ), PQ / / AB 3

-----------8 分

? P(?1,

? 直线 PQ 的方程为 y ? 2 3 ? k ( x ? 1) 3

? 2 3 y? ? k ( x ? 1) ? ? 2 3 2 3 2 3 由? 2 得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k (k ? ) x ? 3(k ? ) ?6 ? 0 2 3 3 ?x ? y ?1 ? 2 ?3
2 ? 3k 2 ? 4 3k ? xQ ? 2 ? 3k 2 ? PQ ? 1 ? k xP ? xQ ?
2

1 ? k 2 4 ? 4 3k 2 ? 3k
2

------10 分
2

2 1 ? k 4 ? 4 3k 若四边形 PABQ 能成为平行四边形,则 AB ? PQ ,即 4 3(1 ? k ) ? 2 2

2 ? 3k

2 ? 3k

解得 k ? ?

3 3 ,则符合题意的直线 l 存在,且方程为 y ? ? ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ?1 ? 0 3 3
-----------12 分

注:第二问也可利用椭圆的对称性直接得到直线 PQ 过点 F2,由此得到 k ? k PF2 ? ? 给分。 (21) (本小题满分 12 分) 解 :( Ⅰ ) ? f ' ? x ? ?

3 ,酌情 3

1 a ? , 函 数 f ( x) 在 x ? 1 处 的 切 线 平 行 于 直 线 x x2
??????????

2 x ? y ? 0 .? f ? ?1? ? 1 ? a ? 2,?a ? ?1 .
??3 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? ln x ?

a ? 0 , x?? e?2 , ??) ? x
'

得 ? a ? x ln x

??????4 分

?2 记 H ( x) ? x ln x, x ? ? ?e , ??) , H ( x) ? 1 ? ln x, 由此可知
?1 ?2 ?1 H ( x) 在 ? ?e ,e ? ? 上递减,在 (e , ??) 上递增,

??????5 分
-9-

且 H (e ?2 ) ? ?2e ?2 , H (e ?1 ) ? ?e ?1 , x ? ?? 时 H ( x) ? ?? 故a ?

??????6 分

1 ?2 时, f ( x) 在 ? ?e , ??) 无零点 e 1 2 ?2 a ? 或a ? 2 时, f ( x) 在 ? ?e , ??) 恰有一个零点 e e 2 1 ? a ? 时, f ( x) 在 ? ????????????8 分 e?2 , ??) 有两个零点 2 ? e e

. . 存 在 一 点 x0 , 使 得 x0 ? ( Ⅲ ) 在 ?1,e? ? e ? 2. 71828. ?上
h ? x? ? x ?

1 ? mf ? x0 ? 成 立 等 价 于 函 数 x0

1 1 m ? mf ? x ? ? x ? ? m ln x ? 在 ?1, e? 上的最小值小于零. x x x

h '? x? ? 1?

1 m m x 2 ? mx ? m ? 1 ? x ? 1?? x ? m ? 1? , ? ? ? ? x2 x x2 x2 x2

?????9 分

①当 m ? 1 ? e 时 , 即 m ? e ? 1 时 , h ? x ? 在 ?1, e? 上单调递减 , 所以 h ? x ? 的最小值为 h ? e ? , 由

h ?e? ? e ?

1? m e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 ? m ? 0 可得 m ? ,? ;???10 分 ? e ? 1,? m ? e e ?1 e ?1 e ?1

②当 m ? 1 ? 1 时 , 即 m ? 0 时 , h ? x ? 在 ?1, e? 上 单调递增 , 所以 h ? x ? 的 最小值为 h ?1? , 由

h ?1? ? 1 ?1 ? m ? 0 可得 m ? ?2 ;
③ 当 1 ? m ?1 ? e

????????????11 分

时 , 即 0 ? m ? e ?1 时 , 可 得

h ? x? 的 最 小 值 为

h ?1? m? ,?0 ? ln ?1? m? ? 1,?0 ? m ln ?1 ? m? ? m, h ?1? m? ? 2 ? m ? m ln ?1? m? ? 2 此
时, h ?1 ? m? ? 0 不成立. 综上所述:可得所求 m 的范围是 m ? ????????????12 分

e2 ? 1 或 m ? ?2 e ?1

请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)曲线 C 化为普通方程为:

x2 ? y 2 ? 1, 3

?????????2 分

- 10 -



2 ? ? cos(? ? ) ? ?1 ,得 ? cos ? ? ? sin ? ? ?2 , 2 4
??????????????5 分

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) (Ⅱ)直线 l1 的参数方程为 ? , 2 ?y ? t. ? ? 2
代入

????????8 分

x2 ? y 2 ? 1 化简得: 2t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , 3

??????????9 分

设 A, B 两点所对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1t2 ? ?1 , ∴ | MA | ? | MB |?| t1t2 |? 1 . ????????????????10 分

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ?

1 | ,原不等式等价于 2

1 1 ? ? x ? ?2 ?2 ? x ? ? x?? ? ? ? ? ? ? 2 2 或? 或? ? 1 1 1 ?x ? 2 ? x ? ? 3 ? ? x ? 2 ? x ? ? 3 ?x ? 2 ? x ? ? 3 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
解得: x ? ?

11 1 11 1 或 x ? ? 或 x ? ,所以不等式的解集为 ? x | x ? ? 或 x ? } ....5 分 4 4 4 4

(Ⅱ) f (m) ? f (?

1 1 1 1 1 ) ?| m ? a | ? | m ? | ? | ? ? a | ? | ? ? | m a m m a 1 1 1 1 1 1 ?| m ? a | ? | ? ? a | ? | m ? | ? | ? ? |? 2 | m ? |? 2(| m | ? | |) ? 4 ....10 分 m a m a m m

- 11 -


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