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【2015高考数学(人教A版,文科)一轮课时训练:第6篇 第2节 一元二次不等式及其解法


第六篇

第2节

一、选择题 1.(2014 渭南模拟)函数 y= A.(-∞,-4)∪(1,+∞) C.(-4,0)∪(0,1) x 的定义域为( -x -3x+4
2

)

B.(-4,1) D.(-1,4)

解析:由-x2-3x+4>0 得 x2+3x-4<0, 解得-4<x<1,所以函数的定义域为(-4,1).故选 B. 答案:B x-1 2.(2012 年高考重庆卷)不等式 ≤0 的解集为( 2x+1 1 ? A.? ?-2,1? 1? C.? ?-∞,-2?∪[1,+∞) x-1 解析:不等式 ≤0 2x+1
? ??x-1??2x+1?≤0, ?? ?2x+1≠0 ?

)

1 ? B.? ?-2,1? 1? D.? ?-∞,-2?∪[1,+∞)

1 ?- <x≤1. 2 故选 A. 答案:A 3.(2014 安徽省六校联考)设 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(ax)2<(x-b)2 的解中恰有四 个整数,则实数 a 的取值范围是( A.(-3,-1) C.(2,3) 解析:由(ax)2<(x-b)2 有四个整数解, 得(ax+x-b)(ax-x+b)<0 有四个整数解. 因为 0 是原不等式的一个整数解, ) B.(1,2) D.(3,6)

? ? ?- <x< , ?ax+x-b<0, a+1 ? 所以 即? a-1 ?ax-x+b>0, ? ? ?a>1.
因为 0<b<1+a,

b

b

b b 所以 0< <1,原不等式的四个整数解必为 0,-1,-2,-3,可得-4≤- <- a+1 a- 1 3, a+1 b 即 3< ≤4,故 3< ,可得 1<a<2.故选 B. a-1 a-1 答案:B 4.(2014 沈阳模拟)某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就要 减少 10 件.那么要保证每天所赚的利润在 320 元以上,销售价每件应定为( A.12 元 C.12 元到 16 元之间 B.16 元 D.10 元到 14 元之间 )

解析:设销售价定为每件 x 元,利润为 y,则: y=(x-8)[100-10(x-10)], 依题意有,(x-8)[100-10(x-10)]>320, 即 x2-28x+192<0, 解得 12<x<16, 所以每件销售价应为 12 元到 16 元之间.故选 C. 答案:C 5.(2014 广州模拟)“不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是 ( ) 1 A.m> 4 C.m>0 B.0<m<1 D.m>1

解析:不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立, 则有 Δ=1-4m<0, 1 ∴m> , 4 ∴它的一个必要不充分条件应为 m>0.故选 C. 答案:C 6.(2014 厦门模拟)对于实数 x,当 n≤x<n+1(n∈Z)时,规定[x]=n,则不等式 4[x]2- 36[x]+45<0 的解集为( A.{x|2≤x<8} C.{x|2≤x≤8} ) B.{x|2<x≤8} D.{x|2<x<8}

3 15 解析:由 4[x]2-36[x]+45<0 可解得 <[x]< , 2 2 又由题意,当 n≤x<n+1(n∈Z)时,[x]=n,

则 2≤n≤7, ∴x 的取值范围应为 2≤x<8.故选 A. 答案:A 二、填空题 x?x-1? 7.(2014 山东师大附中第三次模拟)不等式 <0 的解集是________. x+2 解析:原不等式等价为 x(x-1)(x+2)<0, 解得 x<-2 或 0<x<1, 即原不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,1). 答案:(-∞,-2)∪(0,1) 1 1 - , ?,则不等式- 8.(2014 烟台模拟)已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为? ? 3 2? cx2+2x-a>0 的解集为________.

?-3+2=-a, 解析:依题意知,? 1 1 c ?-3×2=a,
∴解得 a=-12,c=2, ∴不等式-cx2+2x-a>0, 即为-2x2+2x+12>0,即 x2-x-6<0, 解得-2<x<3. 所以不等式的解集为(-2,3). 答案:(-2,3) 1? 9.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=(x-1)2;若当 x∈? ?-2,-2?时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最小值为________. 解析:当 x<0 时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2, 1? ∵x∈? ?-2,-2?, ∴f(x)min=f(-1)=0, f(x)max=f(-2)=1, ∴m≥1,n≤0,m-n≥1. 答案:1 10.(2013 年高考重庆卷)设 0≤α≤π,不等式 8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0,对 x∈R 恒成 立,则 a 的取值范围为________. 解析:由题意知,(8sin α)2-4×8· cos 2α≤0,

1 1

2

∴2sin2α-cos 2α≤0, ∴2sin2α-(1-2sin2α)≤0, ∴4sin2α-1≤0, 1 ∴sin2α≤ , 4 又 0≤α≤π, 1 ∴0≤sin α≤ . 2 π 5π ∴0≤α≤ 或 ≤α≤π. 6 6 π? ?5π ? 答案:? ?0,6?∪? 6 ,π? 三、解答题 11.(2014 日照模拟)已知函数 f(x)= ax2+2ax+1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的最小值为 2 ,解关于 x 的不等式 x2-x-a2-a<0. 2

解:(1)∵函数 f(x)= ax2+2ax+1的定义域为 R, ∴ax2+2ax+1≥0 恒成立, ∴当 a=0 时,1≥0 恒成立.
?a>0, ? 当 a≠0 时,则有? 2 ? ?Δ=?2a? -4a≤0,

∴0<a≤1, 综上可知,a 的取值范围是[0,1]. (2)∵f(x)= ax2+2ax+1= a?x+1?2+1-a, ∵a>0, ∴当 x=-1 时,f(x)min= 1-a, 由题意得, 1-a= 1 ∴a= , 2 3 ∴不等式 x2-x-a2-a<0 可化为 x2-x- <0. 4 1 3 解得- <x< , 2 2 1 3 - , ?. 所以不等式的解集为? ? 2 2? 12.一个服装厂生产风衣,月销售量 x(件)与售价 p(元/件)之间的关系为 p=160-2x, 2 , 2

生产 x 件的成本 R=500+30x(元). (1)该厂月产量多大时,月利润不少于 1300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少? 解:(1)由题意知,月利润 y=px-R, 即 y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500. 由月利润不少于 1300 元,得-2x2+130x-500≥1300. 即 x2-65x+900≤0, 解得 20≤x≤45. 故该厂月产量在 20~45 件范围内时,月利润不少于 1300 元. (2)由(1)得, 65?2 3225 y=-2x2+130x-500=-2? ?x- 2 ? + 2 , 由题意知,x 为正整数. 故当 x=32 或 33 时,y 最大为 1612. 所以当月产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为 1612 元.



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