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2013年北京高考理科数学试题及答案A3版


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分,考试时长 120 分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回.

?2 x ? y ? 1 ? 0 , ? (8)设关于 x , y 的不等式组 ? x ? m ? 0 , 表示的平面区域内存在点 P ? x0 ,y0 ? ,满足 x0 ? 2 y0 ? 2 ,求得 m 的 ?y ? m ? 0 ?

取值范围是
4? ? A. ? ?? , ? 3? ?

2? 1? ? ? B. ? ?? , ? C. ? ?? ,? ? 3? 3? ? ?

5? ? D. ? ?? ,? ? 3? ?

第一部分(选择题 共 40 分) 第二部分(非选择题 共 110 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
0, 1? , B ? ?x | ?1≤ x ? 1? ,则 A (1)已知集合 A ? ??1,
B?
开始

A. ?0?

0? B. ??1,
2

1? C. ?0 ,

D. ??1, 0, 1? )

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
i=0, S=1 S +1 2S+1
2

(2)在复平面内,复数 ? 2 ? i ? 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

π? ? (9)在极坐标系中,点 ? 2 , ? 到直线 ? sin ? ? 2 的距离等于 6? ?

. ;前 n 项和
O

B

S=

D.第四象限 )

( 10 )若等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 20 , a3 ? a5 ? 40 ,则公比 q ?
Sn ?


(3)“ ? ? π ”是“曲线 y ? sin ? 2 x ? ? ? 过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2 3 13 21

D P

i=i+1 i ≥2 是 输出S


A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
610 987

( 11)如图, AB 为圆 O 的直径, PA 为圆 O 的切线, PB 与圆 O 相交于 D ,若 PA ? 3 ,
PD : DB ? 9:16 ,则 PD ?

, AB ?



(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 B. C. D.

结束

(12)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 称, 则 .
a

b c

(5)函数 f ? x ? 的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y ? e x 关于 y 轴对
f ? x? ?

b, c 在正方形网格中的位置如图所示, (13) 向量 a , 若 c ? ? a ? ?b ? ? , ? ? R? ,

则 B. e x ?1 C. e? x?1 D. e ? x ?1

A. e x ?1

? ? ?


A1

D1 B1 D P B E

C1

(14) 如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点, 点 P 在线段 D1 E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 .

x2 y 2 (6)若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a b
A. y ? ?2 x B. y ? ? 2 x
1 C. y ? ? x 2

C

A

D. y ? ?

2 x 2

(7)直线 l 过抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A.
4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

1

三、解答题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,演算步骤 (15)本小题共(13 分) 在 △ ABC 中, a ? 3 , b ? 2 6 , ?B ? 2?A . (Ⅰ )求 cos A 的值; (Ⅱ )求 c 的值.

(17) (本小题共 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 平面 ABC ? AA1C1C 是边长为 4 的正方形.
AA1C1C , AB ? 3 , BC ? 5 .
C1 A1 B1

平面

(Ⅰ )求证: AA1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ )求证二面角 A1 ? BC1 ? B1 的余弦值;
BD (Ⅲ )证明:在线段 BC1 上存在点 D ,使得 AD ? A1 B ,并求 的值. BC1

A

B

C

(16) (本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量 指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

空 气 质 量 指 数

250 200 150 100 50 25 0 86 57

220 160 143

217 160 158 121 86 40

79 37 日期

(18) (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C : y ?

1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日10日11日12日13日 14日

ln x 在点 ?1,0 ? 处的切线. x

(Ⅰ )求 l 的方程; (Ⅰ )求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ )设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ )由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) (Ⅱ )证明:除切点 ?1,0 ? 之外,曲线 C 在直线 l 的下方.

2

(19) (本小题共 14 分) 已知 A, B, C 是椭圆 W :

x2 ? y2 ? 1 上的三个点, O 是坐标原点. 4

(Ⅰ )当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ )当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

(20) (本小题共 13 分) 已知 ?an ? 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An ,第 n 项之后各项 an ?1 , an ? 2 值记为 Bn , d n ? An ? Bn . (Ⅰ )若 ?an ? 为 2,1, 4,3, 2,1, 4,3 …,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n ? N* , an? 4 ? an ) ,写出 d1 , d 2 , d3 , d 4 的 值; (Ⅱ )设 d 是非负整数,证明: dn ? ?d ? n ? 1, 2,3 (Ⅲ )证明:若 a1 ? 2 , dn ? 1? n ? 1, 2,3, 的最小

? 的充分必要条件为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列;

? ,则 ?an ? 的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.

3

要使可行域存在, 必有 m<-2m+1, 要求可行域内包含直线 y ? 上的点,只要边界点 ( - m , 1 - 2m) 在直线 y ?

1 x ?1 2

1 1 x ? 1 上方,且 (-m , m) 在直线 y ? x ? 1 下方,解不等式组 2 2

? ? m ? 1 ? 2m ? 2 1 ? ?1 ? 2m ? ? m ? 1 得 m< ? 3 2 ? 1 ? m ? ? m ?1 ? ? 2

4

5

6

7

8


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