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2016


第 2 课时

复数的几何意义

1.理解复平面、实轴、虚轴等概念. 2.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对 应关系.(重点) 3.理解复数模的概念,会求复数的模.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 复数的几何意义及复数的模 阅读教材 P52 例 2 以下的内容,完成下列问题. 1.复平面 (1)定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面; (2)实轴:在复平面内,x 轴叫做实轴,单位是 1,实轴上的点都表示实数; (3)虚轴:在复平面内, y 轴叫做虚轴,单位是 i,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数; (4)原点:原点(0,0)表示实数 0. 2.复数的几何意义 一一对应 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)←― ― ― ― 复平面内的点 Z(a,b). 一一对应 → (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)←― ― ― ― 平面向量OZ. → 为方便起见,我们常把复数 z=a+bi 说成点 Z 或说成向量OZ,并且规定,相等的向量 表示同一个复数. 3.复数的模 → 2 2 向量OZ的长度叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|,且|a+bi|= a +b .

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( (2)复数的模一定是正实数.( ) )
1

)

(3)复数 z1>z2 的充要条件是|z1|>|z2|.(

【解析】 (1)正确.根据实轴的定义,x 轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来, 实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数 2. (2)错误.复数的模一定是实数但不一定是正实数,如:0 也是复数,它的模为 0 不是正 实数. (3)错误.两个复数不一定能比较大小,但两个复数的模总能比较大小. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

教材整理 2 共轭复数 阅读教材 P53 例 1 以下部分,完成下列问题. 1.定义:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为共轭复 数. 2.表示:复数 z 的共轭复数用 z 表示,即当 z=a+bi(a,b∈R)时,则 z =a-bi.





若 x-2+yi 和 3x-i 互为共轭复数,则实数 x 与 y 的值分别是________,________. 【解析】 ∵x-2+yi 和 3x-i 互为共轭复数, ∴?
?x-2=3x, ? ? ?y=1,

解得?

?x=-1, ? ? ?y=1.

【答案】 -1 1 [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 复数与复平面内点的关系 已知复数 z=(a -1)+(2a-1)i,其中 a∈R.当复数 z 在复平面内对应的点满 足下列条件时,求 a 的值(或取值范围). (1)在实轴上;
2
2

(2)在第三象限; (3)在抛物线 y =4x 上. 【精彩点拨】 解答本题可先确定复数 z 的实部、虚部,再根据要求列出关于 a 的方程 (组)或不等式(组)求解. 【自主解答】 复数 z=(a -1)+(2a-1)i 的实部为 a -1,虚部为 2a-1,在复平面 内对应的点为(a -1,2a-1). (1)若 z 对应的点在实轴上,则有 1 2a-1=0,解得 a= . 2 (2)若 z 对应的点在第三象限,则有
?a -1<0, ? 1 ? 解得-1<a< . 2 ?2a-1<0, ?
2 2 2 2 2

(3)若 z 对应的点在抛物线 y =4x 上, 则有(2a-1) =4(a -1),即 4a -4a+1=4a -4, 5 解得 a= . 4
2 2 2 2

2

复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着 一个有序实数对,复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标,从而讨论复数对应点在 复平面内的位置,关键是确定复数的实、虚部,由条件列出相应的方程(或不等式)组.

[再练一题] 1.在复平面内,若复数 z=(m -m-2)+(m -3m+2)i 对应点:(1)在虚轴上;(2)在第 二象限;(3)在直线 y=x 上,分别求实数 m 的取值范围. 【解】 复数 z=(m -m-2)+(m -3m+2)i 的实部为 m -m-2,虚部为 m -3m+2. (1)由题意得 m -m-2=0, 解得 m=2 或 m=-1.
?m -m-2<0, ? (2)由题意得? 2 ?m -3m+2>0, ? ? ?-1<m<2, ∴? ?m>2或m<1, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

∴-1<m<1. (3)由已知得 m -m-2=m -3m+2, ∴m=2.
2 2

3

复数与向量的对应关系 → → 已知平面直角坐标系中 O 是原点,向量OA,OB对应的复数分别为 2-3i,-3 → +2i,求向量BA对应的复数. 【导学号:37820037】 【 精 彩 点 拨 】 → 确定对应的复数 → → 【自主解答】 向量OA,OB对应的复数分别为 2-3i,-3+2i,根据复数与复平面内 → → 的点一一对应,可得向量OA=(2,-3),OB=(-3,2). → → → 由向量减法的坐标运算可得向量BA=OA-OB=(2+3,-3-2)=(5,-5), → 根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量BA对应的复数是 5-5i. 复数 → → → 求向量OA,OB的坐标 → → 计算向量BA的坐标

1.根据复数与平面向量的对应关系, 可知当平面向量的起点为原点时, 向量的终点对应 的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线 段,即为复数对应的向量. 2.解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工 具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.

[再练一题] → 2.(2016·黄山高二检测)在复平面内,O 是原点,向量OA对应的复数为 2+i. → (1)如果点 A 关于实轴的对称点为点 B,求向量OB对应的复数; (2)如果(1)中的点 B 关于虚轴的对称点为点 C,求点 C 对应的复数. → 【解】 (1)设向量OB对应的复数为 z1=x1+y1i(x1,y1∈R),则点 B 的坐标为(x1,y1), 由题意可知,点 A 的坐标为(2,1). 根据对称性可知:x1=2,y1=-1,故 z1=2-i. (2)设点 C 对应的复数为 z2=x2+y2i(x2,y2∈R), 则点 C 的坐标为(x2,y2),由对称性可知:x2=-2,y2=-1,故 z2=-2-i. [探究共研型] 复数模的几何意义及应用 探究 1 若 z∈C,则满足|z|=2 的点 Z 的集合是什么图形?
4

→ 【提示】 因为|z|=2,即|OZ|=2,所以满足|z|=2 的点 Z 的集合是以原点为圆心, 2 为半径的圆,如图所示.

探究 2 若 z∈C,则满足 2<|z|<3 的点 Z 的集合是什么图形? 【提示】 不等式 2<|z|<3 可化为不等式组?
? ?|z|>2, ?|z|<3, ?

不等式|z|>2 的

解集是圆|z|=2 外部所有的点组成的集合,不等式|z|<3 的解集是圆|z| =3 内部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解 集. 因此, 满足条件 2<|z|<3 的点 Z 的集合是以原点为圆心、 分别以 2 和 3 为半径的两个圆 所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图所示. 1 3 已知复数 z1=- 3+i,z2=- - i. 2 2 (1)求|z1|与|z2|的值,并比较它们的大小; (2)设复平面内,复数 z 满足|z2|≤|z|≤|z1|,复数 z 对应的点 Z 的集合是什么? 【精彩点拨】 (1)利用复数模的定义来求解.若 z=a+bi(a,b∈R),则|z|= a +b . (2)先确定|z|的范围,再确定点 Z 满足的条件,从而确定点 Z 的图形. 【自主解答】 (1)|z1|= (- 3) +1 =2. |z2|= 3?2 ?-1?2+? ? 2? ?- ? =1. ? ? ? 2?
2 2 2 2

∵2>1,∴|z1|>|z2|. (2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|, 则 1≤|z|≤2. 因为不等式|z|≥1 的解集是圆|z|=1 上和该圆外部所有点的集 合, 不等式|z|≤2 的解集是圆|z|=2 上和该圆的内部所有点组成的集 合,所以满足条件 1≤|z|≤2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环,且包括圆环的边界.

1.两个复数不全为实数时不能比较大小;而任意两个复数的模均可比较大小. 2.复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离, 这可以类比实数的绝对值, 也可以 类比以原点为起点的向量的模来加深理解.

5

3.|z1-z2|表示点 Z1,Z2 两点间的距离,|z|=r 表示以原点为圆心,以 r 为半径的圆.

[再练一题] 3.如果复数 z=1+ai 满足条件|z|<2,那么实数 a 的取值范围是________.

【解析】 由|z|<2 知,z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,以 2 为半径的圆内(不 包括边界),由 z=1+ai 知 z 对应的点在直线 x=1 上,所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的 集合,由图可知- 3<a< 3. 【答案】 (- 3, 3) [构建·体系]

→ → 1.在复平面内,若OZ=(0,-5),则OZ对应的复数为( A.0 B.-5 C.-5i D.5

)

→ 【解析】 OZ对应的复数 z=0-5i=-5i. 【答案】 C 2.在复平面内,复数 z=sin 2+icos 2 对应的点位于( ) 【导学号:37820038】 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

6

π 【解析】 ∵ <2<π ,∴sin 2>0,cos 2<0. 2 故 z=sin 2+icos 2 对应的点在第四象限. 【答案】 D 3.已知复数 z= 2-3i,则复数的模|z|是( A.5 B.8 C.6 D. 11
2 2

)

【解析】 |z|= ( 2) +(-3) = 11. 【答案】 D 4.若复数 z1=3+ai,z2=b+4i(a,b∈R),且 z1 与 z2 互为共轭复数,则 z=a+bi 的 模为________. 【解析】 ∵z1=3+ai,z2=b+4i 互为共轭复数,
?3=b, ? ∴? ?a=-4, ?

∴z=-4+3i, ∴|z|= (-4) +3 =5. 【答案】 5 5.已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,求复数 z. 【解】 设 z=a+bi(a,b∈R), 则|z|= a +b , 代入方程得,a+bi+ a +b =2+8i, ∴?
? ?a+ a2+b2=2, ?a=-15, 解得? ?b=8. ? ?b=8,
2 2 2 2 2 2

∴z=-15+8i.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(九) (建议用时:45 分钟)

7

[学业达标] 一、选择题 1.(2016·长春高二检测)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i ) B.8+2i D.4+i

【解析】 由题意知 A(6,5),B(-2,3),则 AB 中点 C(2,4)对应的复数为 2+4i. 【答案】 C 2.复数 z=1+3i 的模等于( A.2 C. 10
2 2

) B.4 D.2 2

【解析】 |z|=|1+3i|= 1 +3 = 10,故选 C. 【答案】 C 3.复数 z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|,则实数 a 的取值范围是( )

【导学号:37820039】 A.(-1,1) C.(0,+∞)
2

B.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【解析】 ∵|z1|= a +4,|z2|= 5, ∴ a +4< 5,∴-1<a<1. 【答案】 A → 4.在复平面内,O 为原点,向量OA对应的复数为-1+2i,若点 A 关于直线 y=-x 的对 → 称点为 B,则向量OB对应的复数为( A.-2-i C.1+2i ) B.-2+i D.-1+2i
2

→ 【解析】 因为 A(-1,2)关于直线 y=-x 的对称点为 B(-2,1),所以向量OB对应的 复数为-2+i. 【答案】 B 5.已知复数 z 对应的点在第二象限,它的模是 3,实部为- 5,则 z 为( A.- 5+2i C.- 5+3i B.- 5-2i D.- 5-3i
2 2

)

【解析】 设 z=- 5+bi(b∈R),由|z|= (- 5) +b =3,解得 b=±2,又复 数 z 对应的点在第二象限,则 b=2,

8

∴z=- 5+2i. 【答案】 A 二、填空题 6.在复平面内,复数 z 与向量(-3,4)相对应,则|z|=________. 【解析】 由题意知 z=-3+4i, ∴|z|= (-3) +4 =5. 【答案】 5 7.已知复数 x -6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限,则实数 x 的取值范 围是________. 【解析】 由已知得? ∴1<x<2. 【答案】 (1,2) → → → 8. 已知△ABC 中, AB , AC 对应的复数分别为- 1 + 2i ,- 2 - 3i ,则 BC 对应的复数为 ________. → → 【解析】 因为AB,AC对应的复数分别为-1+2i,-2-3i, → → 所以AB=(-1,2),AC=(-2,-3). → → → → 又BC=AC-AB=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以BC对应的复数为-1-5i. 【答案】 -1-5i 三、解答题 9.若复数 z=x+3+(y-2)i(x,y∈R),且|z|=2,则点(x,y)的轨迹是什么图形? 【解】 ∵|z|=2, ∴ (x+3) +(y-2) =2, 即(x+3) +(y-2) =4. ∴点(x,y)的轨迹是以(-3,2)为圆心,2 为半径的圆. 10.实数 m 取什么值时,复平面内表示复数 z=(m-3)+(m -5m-14)i 的点: (1)位于第四象限; (2)位于第一、三象限; (3)位于直线 y=x 上. 【解】 (1)由题意得?
?m-3>0, ? ? ?m -5m-14<0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

?x -6x+5<0, ? ? ?x-2<0,

2

?1<x<5, ? ∴? ? ?x<2,

得 3<m<7,此时复数 z 对应的点位于第四象限.

9

(2)由题意得?

? ?m-3>0,
2

? ?m-3<0, 或? 2 ? ?m -5m-14>0, ? ?m -5m-14<0,

∴m>7 或-2<m<3, 此时复数 z 对应的点位于第一、三象限. (3)要使复数 z 对应的点在直线 y=x 上,只需

m2-5m-14=m-3,
∴m -6m-11=0, ∴m=3±2 5, 此时,复数 z 对应的点位于直线 y=x 上. [能力提升] 1.(2016·吉林高二检测)已知 a∈R,且 0<a<1,i 为虚数单位,则复数 z=a+(a-1)i 的共轭复数 z 在复平面内所对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 【解析】 ∵0<a<1,∴1-a>0, 故复数 z=a+(a-1)i 的共轭复数 z=a+(1-a)i 在复平面内所对应的点(a,1-a)位 于第一象限. 【答案】 A 2.已知实数 a,x,y 满足 a +2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点(x,y)的轨迹是( A.直线 C.圆心不在原点的圆
2 2 2

) B.第二象限 D.第四象限

)

B.圆心在原点的圆 D.椭圆
2

【解析】 因为 a,x,y∈R,所以 a +2a+2xy∈R,a+x-y∈R.又 a +2a+2xy+(a
? ?a +2a+2xy=0, +x-y)i=0,所以? 消去 ?a+x-y=0, ?
2 2 2

a 得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,即 x2+y2-2x

+2y=0,亦即(x-1) +(y+1) =2,该方程表示圆心为(1,-1),半径为 2的圆. 【答案】 C 3.若复数 z 对应的点在直线 y=2x 上,且|z|= 5,则复数 z=________. 【导学号:37820040】 【解析】 依题意可设复数 z=a+2ai(a∈R),由|z|= 5,得 a +4a = 5,解得 a =±1,故 z=1+2i 或 z=-1-2i. 【答案】 1+2i 或-1-2i → → 4.(2016·黄山高二检测)已知 O 为坐标原点, OZ1对应的复数为-3+4i, OZ2对应的复数 → → 为 2a+i(a∈R).若OZ1与OZ2共线,求 a 的值.
2 2

10

→ 【解】 因为OZ1对应的复数为-3+4i,

OZ2对应的复数为 2a+i,
→ → 所以OZ1=(-3,4),OZ2=(2a,1). → → → → 因为OZ1与OZ2共线,所以存在实数 k 使OZ2=kOZ1, 即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
? ?2a=-3k, 所以? 所以 ?1=4k, ?



1 ? ?k=4, ? 3 ? ?a=-8,

3 即 a 的值为- . 8

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