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挑战中考数学压轴题(第九版精选)(2016版)


挑战压轴题

马学斌?编著


第一部分



函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2015 年上海市宝山嘉定区中考模拟第 24 题 例 2 2014 年武汉市中考第 24 题 例 3 2012 年苏州市中考第 29 题 例 4 2012 年黄冈市中考第 25 题 例 5 2010 年义乌市中考第 24 题 例 6 2009 年临沂市中考第 26 题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2015 年重庆市中考第 25 题 例 2 2014 年长沙市中考第第 26 题 例3 例4 例5 例6 1.3 例1 例2 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 2012 年扬州市中考第 27 题 2012 年临沂市中考第 26 题 2011 年盐城市中考第 28 题 因动点产生的直角三角形问题 2015 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 2014 年苏州市中考第 29 题

例 3 2013 年山西省中考第 26 题 例 4 2012 年广州市中考第 24 题 例 5 2012 年杭州市中考第 22 题 例 6 2011 年浙江省中考第 23 题 例 7 2010 年北京市中考第 24 题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例 1 2015 年成都市中考第 28 题 例 2 2014 年陕西省中考第 24 题 例 3 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题 例 4 2012 年福州市中考第 21 题 例 5 2012 年烟台市中考第 26 题 例 6 2011 年上海市中考第 24 题 例 7 2011 年江西省中考第 24 题 1.5 因动点产生的梯形问题 例 1 2015 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 例 2 2014 年上海市金山区中考模拟第 24 题 例 3 2012 年上海市松江中考模拟第 24 题 例 4 2012 年衢州市中考第 24 题 例 5 2011 年义乌市中考第 24 题

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1.6 因动点产生的面积问题 例 1 2015 年河南市中考第 23 题 例2 例3 例4 例5 例6 例7 2014 年昆明市中考第 23 题 2013 年苏州市中考第 29 题 2012 年菏泽市中考第 21 题 2012 年河南省中考第 23 题 2011 年南通市中考第 28 题 2010 年广州市中考第 25 题

1.7 因动点产生的相切问题 例 1 2015 年上海市闵行区中考模拟第 24 题 例2 例3 2014 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题

1.8 因动点产生的线段和差问题 例 1 2015 年福州市中考第 26 题 例2 例3 例4 2014 年广州市中考第 24 题 2013 年天津市中考第 25 题 2012 年滨州市中考第 24 题

第二部分

图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2015 年呼和浩特市中考第 25 题 例 2 2014 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 例 3 2013 年宁波市中考第 26 题 例 4 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例 1 2015 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 例 2 2014 年黄冈市中考第 25 题 例 3 2013 年菏泽市中考第 21 题 例 4 2012 年广东省中考第 22 题 例 5 2012 年河北省中考第 26 题 例 6 2011 年淮安市中考第 28 题

第三部分

图形运动中的计算说理问题

3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2015 年北京市中考第 29 题 例 2 2014 年福州市中考第 22 题 例 3 2013 年南京市中考第 26 题

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3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 1 2015 年杭州市中考第 22 题 例 2 2014 年安徽省中考第 23 题 例 3 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题

第四部分

图形的平移翻折与旋转

4.1 图形的平移 例 1 2015 年泰安市中考第 15 题 例 2 2014 年江西省中考第 11 题 4.2 图形的翻折 例 1 2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 18 题 例 2 2014 年上海市中考第 18 题 4.3 图形的旋转 例 1 2015 年扬州市中考第 17 题 例 2 2014 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题 4.4 三角形 例 1 2015 年上海市长宁区中考模拟第 18 题 例 2 2014 年泰州市中考第 16 题 4.5 四边形 例 1 2015 年安徽省中考第 19 题 例 2 2014 年广州市中考第 8 题 4.6 圆 例 1 2015 年兰州市中考第 15 题 例 2 2014 年温州市中考第 16 题 4.7 函数图像的性质 例 1 2015 年青岛市中考第 8 题 例 2 2014 年苏州市中考第 18 题

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马学斌?编著

声 明
选自东师范大学出版社出版的 《挑战压轴题? 中考数学:精讲解读篇》 (含 光盘)一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题, 并把它 们分为 4 部分、 24 小类。 该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课 件,并为每一题录制了视频讲解,让你在动态中体验压轴题的变与不变,获得 清晰的解题思路,完成满分解答,拓展思维训练。 《挑战压轴题?中考数学:精讲解读篇》自出版以来广受读者欢迎,被评 为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、 浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中,几乎人手一本,成为冲刺名牌高中必 备用书。 由于格式问题,该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上, 敬请原谅。

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马学斌?编著

第一部分
1.1
例1

函数图象中点的存在性问题

因动点产生的相似三角形问题

2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 24 题

如图 1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠0)与直线 y=x+2 都经过点 A(2, m). (1)求 k 与 m 的值; (2)此双曲线又经过点 B(n, 2),过点 B 的直线 BC 与直线 y=x+2 平行交 y 轴于点 C, 联结 AB、AC,求△ABC 的面积; (3)在(2)的条件下,设直线 y=x+2 与 y 轴交于点 D,在射线 CB 上有一点 E,如 果以点 A、C、E 所组成的三角形与△ACD 相似,且相似比不为 1,求点 E 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“15 宝山嘉定 24” ,拖动点 E 在射线 CB 上运动,可以体验到, △ACE 与△ACD 相似,存在两种情况.

思路点拨
1.直线 AD//BC,与坐标轴的夹角为 45°. 2.求△ABC 的面积,一般用割补法. 3.讨论△ACE 与△ACD 相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方 程.

满分解答
(1)将点 A(2, m)代入 y=x+2,得 m=4.所以点 A 的坐标为(2, 4).

k ,得 k=8. x 8 (2)将点 B(n, 2),代入 y ? ,得 n=4. x
将点 A(2, 4)代入 y ? 所以点 B 的坐标为(4, 2). 设直线 BC 为 y=x+b,代入点 B(4, 2),得 b=-2. 所以点 C 的坐标为(0,-2). 由 A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,-2),可知 A、B 两点间的水 平距离和竖直距离都是 2,B、C 两点间的水平距离和竖直距 离都是 4. 所以 AB= 2 2 ,BC= 4 2 ,∠ABC= 90°. 图2

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所以 S△ABC=

1 1 BA ? BC = ? 2 2 ? 4 2 =8. 2 2

(3)由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,-2),得 AD= 2 2 ,AC= 2 10 . 由于∠DAC+∠ACD=45°,∠ACE+∠ACD=45°,所以∠DAC=∠ACE. 所以△ACE 与△ACD 相似,分两种情况: ①如图 3,当

CE AD 时,CE=AD= 2 2 . ? CA AC
CE AC CE 2 10 时, .解得 CE= 10 2 .此时 C、E 两点间的水 ? ? CA AD 2 10 2 2

此时△ACD≌△CAE,相似比为 1. ②如图 4,当

平距离和竖直距离都是 10,所以 E(10, 8).

图3

图4

考点伸展
第(2)题我们在计算△ABC 的面积时,恰好△ABC 是直角三角形. 一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法. 如图 5,作△ABC 的外接矩形 HCNM,MN//y 轴. 由 S 矩形 HCNM=24,S△AHC=6,S△AMB=2,S△BCN=8,得 S△ABC=8.

图5

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例2

2014 年武汉市中考第 24 题

如图 1,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点 P 从点 B 出发,在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动,同时动点 Q 从点 C 出发, 在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运动,运动时间为 t 秒(0<t<2) ,连接 PQ. (1)若△BPQ 与△ABC 相似,求 t 的值; (2)如图 2,连接 AQ、CP,若 AQ⊥CP,求 t 的值; (3)试证明:PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“14 武汉 24” ,拖动点 P 运动,可以体验到,若△BPQ 可以两 次成为直角三角形,与△ABC 相似.当 AQ⊥CP 时,△ACQ∽△CDP.PQ 的中点 H 在 △ABC 的中位线 EF 上.

思路点拨
1.△BPQ 与△ABC 有公共角,按照夹角相等,对应边成比例,分两种情况列方程. 2.作 PD⊥BC 于 D,动点 P、Q 的速度,暗含了 BD=CQ. 3.PQ 的中点 H 在哪条中位线上?画两个不同时刻 P、Q、H 的位置,一目了然.

满分解答
(1)Rt△ABC 中,AC=6,BC=8,所以 AB=10. △BPQ 与△ABC 相似,存在两种情况: BP BA 5t 10 ? ① 如果 ,那么 ? .解得 t=1. BQ BC 8 ? 4t 8 BP BC 5t 8 32 ? ② 如果 ,那么 . ? .解得 t ? BQ BA 8 ? 4t 10 41

图3 (2)作 PD⊥BC,垂足为 D. 在 Rt△BPD 中,BP=5t,cosB=

图4

4 ,所以 BD=BPcosB=4t,PD=3t. 5 当 AQ⊥CP 时,△ACQ∽△CDP. AC CD 6 8 ? 4t 7 ? 所以 ,即 ? .解得 t ? . QC PD 4t 3t 8

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图5 图6 (3)如图 4,过 PQ 的中点 H 作 BC 的垂线,垂足为 F,交 AB 于 E. 由于 H 是 PQ 的中点,HF//PD,所以 F 是 QD 的中点. 又因为 BD=CQ=4t,所以 BF=CF. 因此 F 是 BC 的中点,E 是 AB 的中点. 所以 PQ 的中点 H 在△ABC 的中位线 EF 上.

考点伸展
本题情景下,如果以 PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切,求 t 的值. BP BC 32 ? 如图 7,当⊙H 与 AB 相切时,QP⊥AB,就是 ,t ? . BQ BA 41 BP BA ? 如图 8,当⊙H 与 BC 相切时,PQ⊥BC,就是 ,t=1. BQ BC 如图 9,当⊙H 与 AC 相切时,直径 PQ ? PD2 ? QD2 ? (3t )2 ? (8 ? 8t )2 , 半径等于 FC=4.所以 (3t )2 ? (8 ? 8t )2 ? 8 . 解得 t ?

128 ,或 t=0(如图 10,但是与已知 0<t<2 矛盾) . 73

图7

图 8

图9

图 10

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例3

2012 年苏州市中考第 29 题

1 2 1 b x ? (b ? 1) x ? (b 是实数且 b>2)与 x 轴的正半轴分别交 4 4 4 于点 A、B(点 A 位于点 B 是左侧) ,与 y 轴的正半轴交于点 C. (1)点 B 的坐标为______,点 C 的坐标为__________(用含 b 的代数式表示) ; (2) 请你探索在第一象限内是否存在点 P, 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b, 且△PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在,请说 明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q,使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的 任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点 Q 的坐标;如 果不存在,请说明理由.
如图 1,已知抛物线 y ?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 苏州 29” ,拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动,可以体验到, 点 P 到两坐标轴的距离相等,存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻.双击按钮“第(3) 题” ,拖动点 B,可以体验到,存在∠OQA=∠B 的时刻,也存在∠OQ′A=∠B 的时刻.

思路点拨
1.第(2)题中,等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等. 2.联结 OP,把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含 b 的式子 表示. 3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上.

满分解答
b ). 4 (2)如图 2,过点 P 作 PD⊥x 轴,PE⊥y 轴,垂足分别为 D、E,那么△PDB≌△PEC. 因此 PD=PE.设点 P 的坐标为(x, x). 如图 3,联结 OP. 1 b 1 5 所以 S 四边形 PCOB=S△PCO+S△PBO= ? ? x ? ? b ? x ? bx =2b. 2 4 2 8 16 16 16 解得 x ? .所以点 P 的坐标为( , ). 5 5 5
(1)B 的坐标为(b, 0),点 C 的坐标为(0,

图2

图3

挑战压轴题

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1 2 1 b 1 x ? (b ? 1) x ? ? ( x ? 1)( x ? b) ,得 A(1, 0),OA=1. 4 4 4 4 ①如图 4,以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC,那么△OQC≌△QOA. BA QA 当 ,即 QA2 ? BA ? OA 时,△BQA∽△QOA. ? QA OA b 所以 ( ) 2 ? b ? 1 .解得 b ? 8 ? 4 3 .所以符合题意的点 Q 为(1, 2 ? 3 ). 4 ②如图 5,以 OC 为直径的圆与直线 x=1 交于点 Q,那么∠OQC=90°。 因此△OCQ∽△QOA. BA QA 当 时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°. ? QA OA BO QA 所以 C、Q、B 三点共线.因此 ,即 b ? QA .解得 QA ? 4 .此时 Q(1,4). ? CO OA b 1 4
(3)由 y ?

图4

图5

考点伸展
第(3)题的思路是,A、C、O 三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而∠QOA 与∠QOC 是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况. 这样,先根据△QOA 与△QOC 相似把点 Q 的位置确定下来,再根据两直角边对应成比 例确定点 B 的位置. 如图中,圆与直线 x=1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢? 如果符合题意的话,那么点 B 的位置距离点 A 很近,这与 OB=4OC 矛盾.

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例4

2012 年黄冈市中考模拟第 25 题
1 ( x ? 2)( x ? m) (m>0)与 x 轴交于点 B、C,与 y m

如图 1,已知抛物线的方程 C1: y ? ?

轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线 C1 过点 M(2, 2),求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积; (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使得 BH+EH 最小,求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与△BCE 相似?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 黄冈 25” ,拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动,观察左图,可 以体验到,EC 与 BF 保持平行,但是∠BFC 在无限远处也不等于 45°.观察右图,可以体 验到,∠CBF 保持 45°,存在∠BFC=∠BCE 的时刻.

思路点拨
1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当 H 落在线段 EC 上时,BH+EH 最小. 2.第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线 BF,作∠CBF=∠EBC=45°,或 者作 BF//EC.再用含 m 的式子表示点 F 的坐标.然后根据夹角相等,两边对应成比例列关 于 m 的方程.

满分解答
1 1 ( x ? 2)( x ? m) ,得 2 ? ? ? 4(2 ? m) .解得 m=4. m m 1 1 2 1 (2)当 m=4 时, y ? ? ( x ? 2)( x ? 4) ? ? x ? x ? 2 .所以 C(4, 0),E(0, 2). 4 4 2 1 1 所以 S△BCE= BC ? OE ? ? 6 ? 2 ? 6 . 2 2 (3)如图 2,抛物线的对称轴是直线 x=1,当 H 落在线段 EC 上时,BH+EH 最小. HP EO 设对称轴与 x 轴的交点为 P,那么 . ? CP CO HP 2 3 3 因此 ? .解得 HP ? .所以点 H 的坐标为 (1, ) . 3 4 2 2 (4)①如图 3,过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F,过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′. CE BC 由于∠BCE=∠FBC,所以当 ,即 BC 2 ? CE ? BF 时,△BCE∽△FBC. ? CB BF 1 ( x ? 2)( x ? m) 1 FF ' EO 2 设点 F 的坐标为 ( x, ? ( x ? 2)( x ? m)) ,由 ,得 m ? ? . m BF ' CO x?2 m 解得 x=m+2.所以 F′(m+2, 0).
(1)将 M(2, 2)代入 y ? ?

挑战压轴题

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CO BF ' (m ? 4) m2 ? 4 m m ? 4 .所以 ,得 . ? BF ? ? CE BF m BF m2 ? 4

由 BC 2 ? CE ? BF ,得 (m ? 2)2 ? m2 ? 4 ? 整理,得 0=16.此方程无解.

(m ? 4) m2 ? 4 . m

图2 图3 图4 ②如图 4,作∠CBF=45°交抛物线于 F,过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′, BE BC 由于∠EBC=∠CBF,所以 ,即 BC 2 ? BE ? BF 时,△BCE∽△BFC. ? BC BF 1 在 Rt△BFF′中,由 FF′=BF′,得 ( x ? 2)( x ? m) ? x ? 2 . m 解得 x=2m.所以 F′ (2m, 0) .所以 BF′=2m+2, BF ? 2(2m ? 2) . 由 BC 2 ? BE ? BF ,得 (m ? 2)2 ? 2 2 ? 2(2m ? 2) .解得 m ? 2 ? 2 2 . 综合①、②,符合题意的 m 为 2 ? 2 2 .

考点伸展
第(4)题也可以这样求 BF 的长:在求得点 F′、F 的坐标后,根据两点间的距离公式 求 BF 的长.

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例5

2010 年义乌市中考第 24 题

如图 1,已知梯形 OABC,抛物线分别过点 O(0,0) 、A(2,0) 、B(6,3) . (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标; (2) 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、 CB 以相同的速度同时向上平移, 分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1.设梯形 O1A1B1C1 的面积 为 S,A1、 B1 的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含 S 的代数式表示 x2-x1,并求出当 S=36 时点 A1 的坐标; (3)在图 1 中,设点 D 的坐标为(1,3),动点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的 速度沿着线段 BC 运动,动点 Q 从点 D 出发,以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动.P、 Q 两点同时出发,当点 Q 到达点 M 时,P、Q 两点同时停止运动.设 P、Q 两点的运动时间 为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、 抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ,拖动点 I 上下运动,观察图形和图象,可以体验 到,x2-x1 随 S 的增大而减小.双击按钮“第(3)题” ,拖动点 Q 在 DM 上运动,可以体验 到,如果∠GAF=∠GQE,那么△GAF 与△GQE 相似.

思路点拨
1.第(2)题用含 S 的代数式表示 x2-x1,我们反其道而行之,用 x1,x2 表示 S.再注 意平移过程中梯形的高保持不变,即 y2-y1=3.通过代数变形就可以了. 2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位 置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证. 3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线 AB 与 x 轴的夹角不变,直线 AB 与抛物 线的对称轴的夹角不变.变化的直线 PQ 的斜率,因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴 的下方,或者假设交点 G 在 x 轴的上方.

满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线 x ? 1 ,解析式为 y ? ( 2 ) 梯 形 O1A1B1C1 的 面 积 S ?

2( x1 ? 1 ? x2 ? 1) ? ? ? 3( x1 ? x2 ) ? 6 , 由 此 得 到 2 s 1 2 1 1 1 x1 ? x2 ? ? 2 .由于 y2 ? y1 ? 3 ,所以 y2 ? y1 ? x2 ? x2 ? x12 ? x1 ? 3 .整理,得 3 8 4 8 4 72 1? ?1 . ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? ? ? 3 .因此得到 x2 ? x1 ? S 4? ?8 ? x2 ? x1 ? 14, ? x1 ? 6, 当 S=36 时, ? 解得 ? 此时点 A1 的坐标为(6,3) . ? x2 ? x1 ? 2. ? x2 ? 8.
(3)设直线 AB 与 PQ 交于点 G,直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E,直线 PQ 与 x

1 2 1 1 . x ? x ,顶点为 M(1, ? ) 8 4 8

挑战压轴题

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轴交于点 F,那么要探求相似的△GAF 与△GQE,有一个公共角∠G. 在△GEQ 中,∠GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值. 在△GAF 中,∠GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF. 因此只存在∠GQE=∠GAF 的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD. 由于 tan ?GAF ?

3 3 t 20 DQ t , tan ?PQD ? ,所以 ? .解得 t ? . ? 4 4 5?t 7 QP 5 ? t

图3

图4

考点伸展
第(3)题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况?如图 4,假如存在,说理过程相同,求得 的 t 的值也是相同的.事实上,图 3 和图 4 都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图 3.

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例6

2009 年临沂市中考第 26 题

如图 1,抛物线经过点 A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点. (1)求此抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上的一个动点,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 A、P、M 为顶点的三角形与△OAC 相似?若存在,请求出符合条件的 点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由; (3) 在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D, 使得△DCA 的面积最大, 求出点 D 的坐标.

, 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“09 临沂 26” ,拖动点 P 在抛物线上运动,可以体验到,△PAM 的形状在变化,分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和“P 在 A 右侧” ,可以显 示△PAM 与△OAC 相似的三个情景. 双击按钮“第(3)题” , 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动,观察△DCA 的形状和面 积随 D 变化的图象,可以体验到,E 是 AC 的中点时,△DCA 的面积最大.

思路点拨
1.已知抛物线与 x 轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便. 2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长. 3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程. 4.把△DCA 可以分割为共底的两个三角形,高的和等于 OA.

满分解答
( 1 ) 因 为 抛 物 线 与 x 轴 交 于 A(4 , 0) 、 B ( 1 , 0) 两 点 , 设 抛 物 线 的 解 析 式 为

1 y ? a( x ? 1)(x ? 4) ,代入点 C 的 坐标(0,-2) ,解得 a ? ? .所以抛物线的解析式为 2 1 1 5 y ? ? ( x ? 1)( x ? 4) ? ? x 2 ? x ? 2 . 2 2 2 1 (2)设点 P 的坐标为 ( x,? ( x ? 1)( x ? 4)) . 2 1 ①如图 2,当点 P 在 x 轴上方时,1<x<4, PM ? ? ( x ? 1)( x ? 4) , AM ? 4 ? x . 2 1 ? ( x ? 1)(x ? 4) AM AO ? ? 2 ,那么 2 如果 ? 2 .解得 x ? 5 不合题意. PM CO 4? x 1 ? ( x ? 1)(x ? 4) AM AO 1 1 ? ? ,那么 2 如果 ? .解得 x ? 2 . PM CO 2 4? x 2
此时点 P 的坐标为(2,1) .

挑战压轴题

马学斌?编著

②如图 3,当点 P 在点 A 的右侧时,x>4, PM ?

1 ( x ? 1)( x ? 4) , AM ? x ? 4 . 2

1 ( x ? 1)(x ? 4) 解方程 2 ? 2 ,得 x ? 5 .此时点 P 的坐标为 (5,?2) . x?4 1 ( x ? 1)(x ? 4) 1 解方程 2 ? ,得 x ? 2 不合题意. x?4 2 1 ③如图 4,当点 P 在点 B 的左侧时,x<1, PM ? ( x ? 1)( x ? 4) , AM ? 4 ? x . 2 1 ( x ? 1)(x ? 4) 解方程 2 ? 2 ,得 x ? ?3 .此时点 P 的坐标为 (?3,?14) . 4? x 1 ( x ? 1)(x ? 4) 1 2 解方程 ? ,得 x ? 0 .此时点 P 与点 O 重合,不合题意. 4? x 2 综上所述,符合条件的 点 P 的坐标为(2,1)或 (?3,?14) 或 (5,?2) .

图2

图3

图4

(3)如图 5,过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E.直线 AC 的解析式为 y ? 设点 D 的横坐标为 m (1 ? m ? 4) ,那么点 D 的坐标为 (m,?

1 x?2. 2

1 2 5 m ? m ? 2) ,点 E 的 2 2 1 1 2 5 1 1 2 坐标为 ( m, m ? 2) .所以 DE ? (? m ? m ? 2) ? ( m ? 2) ? ? m ? 2m . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 因此 S ?DAC ? (? m ? 2m) ? 4 ? ?m ? 4m ? ?(m ? 2) ? 4 . 2 2 当 m ? 2 时,△DCA 的面积最大,此时点 D 的坐标为(2,1) .

图5

图6

挑战压轴题

马学斌?编著

考点伸展
第(3)题也可以这样解: 如图 6,过 D 点构造矩形 OAMN,那么△DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去 △CDN 和△ADM 的面积. 设点 D 的横坐标为(m,n) (1 ? m ? 4) ,那么

1 1 1 (2n ? 2) ? 4 ? m(n ? 2) ? n(4 ? m) ? ?m ? 2n ? 4 . 2 2 2 1 2 5 2 由于 n ? ? m ? m ? 2 ,所以 S ? ?m ? 4m . 2 2 S?

挑战压轴题

马学斌?编著

1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2015 年重庆市中考第 25 题

如图 1,在△ABC 中, ? ACB=90° ,∠BAC=60° ,点 E 是∠BAC 的平分线上一点, 过点 E 作 AE 的垂线,过点 A 作 AB 的垂线,两垂线交于点 D,连接 DB,点 F 是 BD 的中 点,DH⊥AC,垂足为 H,连接 EF,HF. (1)如图 1,若点 H 是 AC 的中点,AC= 2 3 ,求 AB、BD 的长; (2)如图 1,求证:HF=EF. (3)如图 2,连接 CF、CE,猜想:△CEF 是否是等边三角形?若是,请证明;若不 是,请说明理由.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“15 重庆 25” ,拖动点 E 运动,可以体验到,△FAE 与△FDH 保持全等,△CMF 与△CAE 保持全等,△CEF 保持等边三角形的形状.

思路点拨
1.把图形中所有 30°的角都标注出来,便于寻找等角和等边. 2.中点 F 有哪些用处呢?联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了.

满分解答
(1)如图 3,在 Rt△ABC 中,∠BAC=60°,AC= 2 3 ,所以 AB= 4 3 . 在 Rt△ADH 中,∠DAH=30°,AH= 3 ,所以 DH=1,AD=2. 在 Rt△ADB 中,AD=2,AB= 4 3 ,由勾股定理,得 BD= 2 13 . (2)如图 4,由∠DAB=90°,∠BAC=60°,AE 平分∠BAC,得∠DAE=60°, ∠DAH=30°. 在 Rt△ADE 中,AE=

1 1 AD .在 Rt△ADH 中,DH= AD .所以 AE=DH. 2 2

因为点 F 是 Rt△ABD 的斜边上的中线,所以 FA=FD,∠FAD=∠FDA. 所以∠FAE=∠FDH.所以△FAE≌△FDH.所以 EF=HF.

图3 图4 (3)如图 5,作 FM⊥AB 于 M,联结 CM. 由 FM//DA,F 是 DB 的中点,得 M 是 AB 的中点.

图5

挑战压轴题

马学斌?编著

1 AD ,△ACM 是等边三角形. 2 1 又因为 AE= AD ,所以 FM=EA. 2
因此 FM= 又因为 CM=CA,∠CMF=∠CAE=30°,所以△CMF≌△CAE. 所以∠MCF=∠ACE,CF=CE. 所以∠ECF=∠ACM=60°.所以△CEF 是等边三角形.

考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图,看看有没有熟悉的感觉. 如图 6,如图 7,当点 F 落在 BC 边上时,点 H 与点 C 重合.

图6 图7 如图 8,图 9,点 E 落在 BC 边上.如图 10,图 11,等腰梯形 ABEC.

图8

图9

图 10

图 11

例2

2014 年长沙市中考第 26 题

如图 1,抛物线 y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数,a≠0)的对称轴为 y 轴,且经过(0,0) 1 和 ( a , ) 两点,点 P 在该抛物线上运动,以点 P 为圆心的⊙P 总经过定点 A(0, 2). 16 (1)求 a、b、c 的值; (2)求证:在点 P 运动的过程中,⊙P 始终与 x 轴相交; (3)设⊙P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当△AMN 为等腰三角形时,求圆心 P 的纵坐标.

挑战压轴题

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图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 长沙 26” ,拖动圆心 P 在抛物线上运动,可以体验到,圆 与 x 轴总是相交的,等腰三角形 AMN 存在三种情况.

思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙,原来⊙P 在 x 轴上截得的弦长 MN=4 是定值. 2.等腰三角形 AMN 存在三种情况,其中 MA=MN 和 NA=NM 两种情况时,点 P 的纵 坐标是相等的.

满分解答
(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以 y=ax2.所以 b=0,c=0. 1 1 1 将 ( a , ) 代入 y=ax2,得 ? a 2 .解得 a ? (舍去了负值) . 16 16 4 1 1 (2)抛物线的解析式为 y ? x 2 ,设点 P 的坐标为 ( x, x2 ) . 4 4 1 1 4 1 x ? 4 > x2 . 已知 A(0, 2),所以 PA ? x 2 ? ( x 2 ? 2) 2 ? 4 16 4 1 2 而圆心 P 到 x 轴的距离为 x ,所以半径 PA>圆心 P 到 x 轴的距离. 4 所以在点 P 运动的过程中,⊙P 始终与 x 轴相交. (3)如图 2,设 MN 的中点为 H,那么 PH 垂直平分 MN. 1 1 1 在 Rt△PMH 中, PM 2 ? PA2 ? x4 ? 4 , PH 2 ? ( x)2 ? x4 ,所以 MH2=4. 16 4 16 所以 MH=2.因此 MN=4,为定值. 等腰△AMN 存在三种情况: ①如图 3,当 AM=AN 时,点 P 为原点 O 重合,此时点 P 的纵坐标为 0.

图2

图3

②如图 4,当 MA=MN 时,在 Rt△AOM 中,OA=2,AM=4,所以 OM=2 3 . 1 1 此时 x=OH=2 3 ? 2 .所以点 P 的纵坐标为 x2 ? (2 3 ? 2)2 ? ( 3 ? 1)2 ? 4 ? 2 3 . 4 4 ③如图 5,当 NA=NM 时,点 P 的纵坐标为也为 4 ? 2 3 .

挑战压轴题

马学斌?编著

图4

图5

考点伸展
1 2 x 上运动,以点 P 为圆心的⊙P 总经过定点 B(0, 1),那么在点 4 P 运动的过程中,⊙P 始终与直线 y=-1 相切.这是因为: 1 设点 P 的坐标为 ( x, x2 ) . 4 1 1 1 已知 B(0, 1),所以 PB ? x 2 ? ( x 2 ? 1)2 ? ( x 2 ? 1)2 ? x 2 ? 1 . 4 4 4 1 而圆心 P 到直线 y=-1 的距离也为 x 2 ? 1 , 所以半径 PB=圆心 P 到直线 y=-1 的距 4 离.所以在点 P 运动的过程中,⊙P 始终与直线 y=-1 相切.
如果点 P 在抛物线 y ?

挑战压轴题

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例3

2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点 D 为边 BC 的中点,DE⊥BC 交边 AC 于点 E,点 P 为射线 AB 上的一动点,点 Q 为边 AC 上的一动点,且∠PDQ=90°. (1)求 ED、EC 的长; (2)若 BP=2,求 CQ 的长; (3)记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F,若△PDF 为等腰三角形,求 BP 的长.

图1

备用图

动感体验
请打开几何画板文件名 “13 虹口 25” , 拖动点 P 在射线 AB 上运动, 可以体验到, △PDM 与△QDN 保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F 可以落在对边的垂直平分线上,不存在 DF=DP 的情况. 请打开超级画板文件名 “13 虹口 25” , 拖动点 P 在射线 AB 上运动, 可以体验到, △PDM 与△QDN 保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F 可以落在对边的垂直平分线上,不存在 DF=DP 的情况.

思路点拨
1.第(2)题 BP=2 分两种情况. 2.解第(2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系. 3.第(3)题探求等腰三角形 PDF 时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三 角形 CDQ.

满分解答
(1)在 Rt△ABC 中, AB=6,AC=8,所以 BC=10. 在 Rt△CDE 中,CD=5,所以 ED ? CD ? tan ?C ? 5 ?

3 15 25 , EC ? . ? 4 4 4

(2)如图 2,过点 D 作 DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为 M、N,那么 DM、DN 是 △ABC 的两条中位线,DM=4,DN=3. 由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN. 因此△PDM∽△QDN. 3 4 PM DM 4 所以 ? ? .所以 QN ? PM , PM ? QN . 4 3 QN DN 3

图2 图3 ①如图 3,当 BP=2,P 在 BM 上时,PM=1. 此时 QN ?

图4

3 3 3 19 PM ? .所以 CQ ? CN ? QN ? 4 ? ? . 4 4 4 4

②如图 4,当 BP=2,P 在 MB 的延长线上时,PM=5.

3 15 15 31 PM ? .所以 CQ ? CN ? QN ? 4 ? ? . 4 4 4 4 QD DN 3 (3)如图 5,如图 2,在 Rt△PDQ 中, tan ?QPD ? ? ? . PD DM 4
此时 QN ?

挑战压轴题

马学斌?编著

在 Rt△ABC 中, tan ?C ?

BA 3 ? .所以∠QPD=∠C. CA 4

由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ. 因此△PDF∽△CDQ. 当△PDF 是等腰三角形时,△CDQ 也是等腰三角形. ①如图 5,当 CQ=CD=5 时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图 3 所示) .

4 4 4 5 QN ? .所以 BP ? BM ? PM ? 3 ? ? . 3 3 3 3 5 4 25 CH ②如图 6,当 QC=QD 时,由 cos C ? ,可得 CQ ? ? ? . 2 5 8 CQ 25 7 所以 QN=CN-CQ= 4 ? . ? (如图 2 所示) 8 8 4 7 7 25 此时 PM ? QN ? .所以 BP ? BM ? PM ? 3 ? ? . 3 6 6 6
此时 PM ? ③不存在 DP=DF 的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图 5,图 6 所示) .

图5

图6

考点伸展
如图 6,当△CDQ 是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP 也是等腰 三角形,PB=PD.在△BDP 中可以直接求解 BP ?

25 . 6

挑战压轴题

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例4

2012 年扬州市中考第 27 题

如图 1,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线 l 是抛物线的 对称轴. (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; (3)在直线 l 上是否存在点 M,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合 条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 扬州 27” ,拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动,可以体验 到,当点 P 落在线段 BC 上时,PA+PC 最小,△PAC 的周长最小.拖动点 M 在抛物线的对 称轴上运动,观察△MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以看到,点 M 有 1 次机会落在 AC 的垂直平分线上;点 A 有 2 次机会落在 MC 的垂直平分线上;点 C 有 2 次 机会落在 MA 的垂直平分线上,但是有 1 次 M、A、C 三点共线.

思路点拨
1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点 P 在线段 BC 上时△PAC 的周长最小. 2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.

满分解答
(1)因为抛物线与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3, 0)两点,设 y=a(x+1)(x-3), 代入点 C(0 ,3),得-3a=3.解得 a=-1. 所以抛物线的函数关系式是 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)如图 2,抛物线的对称轴是直线 x=1. 当点 P 落在线段 BC 上时,PA+PC 最小,△PAC 的周长最小. 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H. BH PH 由 ,BO=CO,得 PH=BH=2. ? BO CO 所以点 P 的坐标为(1, 2). 图2 (3)点 M 的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, ? 6 )或(1,0).

考点伸展
第(3)题的解题过程是这样的: 设点 M 的坐标为(1,m). 在△MAC 中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2. ①如图 3,当 MA=MC 时,MA2=MC2.解方程 4+m2=1+(m-3)2,得 m=1. 此时点 M 的坐标为(1, 1). ②如图 4,当 AM=AC 时,AM2=AC2.解方程 4+m2=10,得 m ? ? 6 . 此时点 M 的坐标为(1, 6 )或(1, ? 6 ). ③如图 5,当 CM=CA 时,CM2=CA2.解方程 1+(m-3)2=10,得 m=0 或 6. 当 M(1, 6)时,M、A、C 三点共线,所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0).

挑战压轴题

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图3

图4

图5

挑战压轴题

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例5

2012 年临沂市中考第 26 题

如图 1,点 A 在 x 轴上,OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等 腰三角形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 临沂 26” ,拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动,可以体验 到,⊙O 和⊙B 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点,当点 P 运动到 ⊙O 与对称轴的另一个交点时,B、O、P 三点共线. 请打开超级画板文件名“12 临沂 26” ,拖动点 P,发现存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形

思路点拨
1.用代数法探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的 距离公式列方程;然后解方程并检验. 2.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点 P 重合在一起.

满分解答
(1)如图 2,过点 B 作 BC⊥y 轴,垂足为 C. 在 Rt△OBC 中,∠BOC=30°,OB=4,所以 BC=2, OC ? 2 3 . 所以点 B 的坐标为 (?2, ?2 3) . (2)因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0),设抛物线的解析式为 y=ax(x-4), 代入点 B (?2, ?2 3) , ?2 3 ? ?2a ? (?6) .解得 a ? ?

3 . 6 3 3 2 2 3 所以抛物线的解析式为 y ? ? x( x ? 4) ? ? x ? x. 6 6 3 (3)抛物线的对称轴是直线 x=2,设点 P 的坐标为(2, y). ①当 OP=OB=4 时,OP2=16.所以 4+y2=16.解得 y ? ?2 3 .
当 P 在 (2, 2 3) 时,B、O、P 三点共线(如图 2) . ②当 BP=BO=4 时,BP2=16.所以 42 ? ( y ? 2 3)2 ? 16 .解得 y1 ? y2 ? ?2 3 . ③当 PB=PO 时,PB2=PO2.所以 42 ? ( y ? 2 3)2 ? 22 ? y 2 .解得 y ? ?2 3 . 综合①、②、③,点 P 的坐标为 (2, ?2 3) ,如图 2 所示.

挑战压轴题

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图2

图3

考点伸展
如图 3,在本题中,设抛物线的顶点为 D,那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三 角形.

3 3 2 3 2 3 ,得抛物线的顶点为 D (2, x( x ? 4) ? ? ( x ? 2)2 ? ). 6 6 3 3 2 3 因此 tan ?DOA ? .所以∠DOA=30°,∠ODA=120°. 3
由y??

挑战压轴题

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例6

2011 年盐城市中考第 28 题
4 x 的图象交于点 A,且与 x 轴交于 3

如图 1,已知一次函数 y=-x+7 与正比例函数 y ?

点 B. (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2) 过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C, 过点 B 作直线 l//y 轴. 动 点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长的速度,沿 O— C— A 的路线向点 A 运动;同时直线 l 从点 B 出发,以相同速度 向左平移,在平移过程中,直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO 于点 Q.当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都 停止运动.在运动过程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒. ①当 t 为何值时,以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积 为 8? ②是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,求 t 的值;若不存在,请说明理由. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 盐城 28” ,拖动点 R 由 B 向 O 运动,从图象中可以看到, △APR 的面积有一个时刻等于 8.观察△APQ,可以体验到,P 在 OC 上时,只存在 AP= AQ 的情况;P 在 CA 上时,有三个时刻,△APQ 是等腰三角形.

思路点拨
1.把图 1 复制若干个,在每一个图形中解决一个问题. 2.求△APR 的面积等于 8,按照点 P 的位置分两种情况讨论.事实上,P 在 CA 上运动 时,高是定值 4,最大面积为 6,因此不存在面积为 8 的可能. 3.讨论等腰三角形 APQ,按照点 P 的位置分两种情况讨论,点 P 的每一种位置又要讨 论三种情况.

满分解答
? y ? ? x ? 7, (1)解方程组 ? 4 ? y ? x, ? 3 ?

? x ? 3, 所以点 A 的坐标是(3,4). 得? ? y ? 4.

令 y ? ? x ? 7 ? 0 ,得 x ? 7 .所以点 B 的坐标是(7,0). (2)①如图 2,当 P 在 OC 上运动时,0≤t<4.由 S△APR ? S 梯形CORA ?S △ , A C P ?S P △ O R ? 8

1 1 1 得 (3+7 ? t ) ? 4 ? ? 4 ? (4 ? t ) ? ? t (7 ? t ) ? 8 .整理,得 t 2 ? 8t ? 12 ? 0 .解得 t=2 或 t=6 2 2 2 (舍去) .如图 3,当 P 在 CA 上运动时,△APR 的最大面积为 6. 因此,当 t=2 时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8.

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 图3 图4 ②我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形,0≤t<4. 如图 1, 在△AOB 中, ∠B=45°, ∠AOB>45°, OB=7,AB ? 4 2 , 所以 OB>AB. 因 此∠OAB>∠AOB>∠B. 如图 4,点 P 由 O 向 C 运动的过程中,OP=BR=RQ,所以 PQ//x 轴. 因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ 越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP 的情况. 此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以 BR=1,t=1. 我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形,4≤t<7. 3 5 5 20 在△APQ 中, cos ?A ? 为定值, AP ? 7 ? t , AQ ? OA ? OQ ? OA ? OR ? t ? . 5 3 3 3 5 20 41 如图 5,当 AP=AQ 时,解方程 7 ? t ? t ? ,得 t ? . 3 3 8 如图 6,当 QP =QA 时,点 Q 在 PA 的垂直平分线上, AP = 2(OR -OP).解方程 7 ? t ? 2[(7 ? t ) ? (t ? 4)] ,得 t ? 5 . 1 AQ 如 7 , 当 PA = PQ 时 , 那 么 cos ?A ? 2 . 因 此 A Q? 2 A P .解方程 ? c o s? A AP 5 20 3 226 . t? ? 2(7 ? t ) ? ,得 t ? 3 3 5 43 41 226 综上所述,t=1 或 或 5 或 时,△APQ 是等腰三角形. 8 43

图5

图6

图7

考点伸展
当 P 在 CA 上,QP=QA 时,也可以用 AP ? 2 AQ ? cos ?A 来求解.

挑战压轴题

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1.3
例1

因动点产生的直角三角形问题

2015 年上海市虹口区中考模拟第 25 题

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=13,CD//AB,点 E 为射线 CD 上一动点 (不与点 C 重合) ,联结 AE 交边 BC 于 F,∠BAE 的平分线交 BC 于点 G. (1)当 CE=3 时,求 S△CEF∶S△CAF 的值; (2)设 CE=x,AE=y,当 CG=2GB 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)当 AC=5 时,联结 EG,若△AEG 为直角三角形,求 BG 的长.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“15 虹口 25” ,拖动直角顶点 C 运动,可以体验到,CG=2GB 保持不变,△ABC 的形状在改变,EA=EM 保持不变.点击屏幕左下角的按钮“第(3)题” , 拖动 E 在射线 CD 上运动,可以体验到,△AEG 可以两次成为直角三角形.

思路点拨
1.第(1)题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形,面积比等于底边的比. 2.第(2)题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形. 3.第(3)题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论.

满分解答
(1)如图 2,由 CE//AB,得

EF CE 3 ? ? . AF BA 13

由于△CEF 与△CAF 是同高三角形, 所以 S△CEF∶S△CAF=3∶13. (2)如图 3,延长 AG 交射线 CD 于 M. 图2 由 CM//AB,得

CM CG ? ? 2 .所以 CM=2AB=26. AB BG

由 CM//AB,得∠EMA=∠BAM. 又因为 AM 平分∠BAE,所以∠BAM=∠EAM. 所以∠EMA=∠EAM.所以 y=EA=EM=26-x.

图3 图4 (3)在 Rt△ABC 中, AB=13,AC=5,所以 BC=12. ①如图 4,当∠AGE=90°时,延长 EG 交 AB 于 N,那么△AGE≌△AGN. 所以 G 是 EN 的中点.

挑战压轴题

马学斌?编著

所以 G 是 BC 的中点,BG=6. ②如图 5,当∠AEG=90°时,由△CAF∽△EGF,得 由 CE//AB,得 所以

FC FA . ? FE FG

FC FB . ? FE FA

FA FB .又因为∠AFG=∠BFA,所以△AFG∽△BFA. ? FG FA

所以∠FAG=∠B.所以∠GAB=∠B.所以 GA=GB.

13 . 2 BH 13 12 169 在 Rt△GBH 中,由 cos∠B= ,得 BG= ÷ = . 2 13 24 BG
作 GH⊥AH,那么 BH=AH=

图5

图6

考点伸展
第(3)题的第②种情况,当∠AEG=90°时的核心问题是说理 GA=GB. 如果用四点共圆,那么很容易. 如图 6,由 A、C、E、G 四点共圆,直接得到∠2=∠4. 上海版教材不学习四点共圆,比较麻烦一点的思路还有: 如图 7,当∠AEG=90°时,设 AG 的中点为 P,那么 PC 和 PE 分别是 Rt△ACG 和 Rt △AEG 斜边上的中线,所以 PC=PE=PA=PG. 所以∠1=2∠2,∠3=2∠5. 如图 8,在等腰△PCE 中,∠CPE=180°-2(∠4+∠5), 又因为∠CPE=180°-(∠1+∠3),所以∠1+∠3=2(∠4+∠5).所以∠1=2∠4. 所以∠2=∠4=∠B.所以∠GAB=∠B.所以 GA=GB.

图7

图8

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年苏州市中考第 29 题

如图 1,二次函数 y=a(x2-2mx-3m2)(其中 a、m 是常数,且 a>0,m>0)的图像与 x 轴分别交于 A、B(点 A 位于点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C(0,-3),点 D 在二次函数的图 像上,CD//AB,联结 AD.过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E,AB 平分∠DAE. (1)用含 m 的式子表示 a; AD (2)求证: 为定值; AE (3)设该二次函数的图像的顶点为 F.探索:在 x 轴的负半轴上是否存在点 G,联结 GF,以线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一 个满足要求的点 G 即可,并用含 m 的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 苏州 29” ,拖动 y 轴正半轴上表示实数 m 的点运动,可以 体验到,点 E、D、F 到 x 轴的距离都为定值.

思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙.通过二次函数解析式的变形,写出点 A、B、F 的坐标后, 点 D 的坐标也可以写出来.点 E 的纵坐标为定值是算出来的. 1 2.在计算的过程中,第(1)题的结论 a ? 2 及其变形 am 2 ? 1 反复用到. m 3.注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4) ,因此过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的交点,就是要求的点 G.

满分解答
1 . m2 (2)由 y=a(x2-2mx-3m2)=a(x+m)(x-3m)=a(x-m)2-4axm2=a(x-m)2-4, 得 A(-m, 0),B(3m, 0),F(m, -4),对称轴为直线 x=m. 所以点 D 的坐标为(2m,-3). 设点 E 的坐标为(x, a(x+m)(x-3m)). 如图 2,过点 D、E 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 D′、E′. EE ' DD ' a( x ? m)( x ? 3m) 3 由于∠EAE′=∠DAD′,所以 .因此 . ? ? AE ' AD ' x?m 3m 1 所以 am(x-3m)=1.结合 a ? 2 ,于是得到 x=4m. m 当 x=4m 时,y=a(x+m)(x-3m)=5am2=5.所以点 E 的坐标为(4m, 5). AD DD ' 3 所以 ? ? . AE EE ' 5
(1)将 C(0,-3)代入 y=a(x2-2mx-3m2),得-3=-3am2.因此 a ?

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 图3 (3)如图 3,由 E(4m, 5)、D(2m,-3)、F(m,-4), 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3. 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点,就是符合条件的点 G. GF FF ' 4 证明如下:作 FF′⊥x 轴于 F′,那么 ? ? . AD DD ' 3 AE AD GF 因此 .所以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形. ? ? 5 3 4 此时 GF′=4m.所以 GO=3m,点 G 的坐标为(-3m, 0).

考点伸展
第(3)题中的点 G 的另一种情况,就是 GF 为直角三角形的斜边. AE AD GF ? ? 此时 .因此 GF ? 34m . 5 3 34 所以 GO ? ( 34 ? 1)m .此时 G(m ? 34m,0) .

挑战压轴题

马学斌?编著

例3
如图 1,抛物线 y ?

2013 年山西省中考第 26 题

1 2 3 ,与 y 轴 x ? x ? 4 与 x 轴交于 A、B 两点(点 B 在点 A 的右侧) 4 2

交于点 C,连结 BC,以 BC 为一边,点 O 为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个 动点,设点 P 的坐标为(m, 0),过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q. (1)求点 A、B、C 的坐标; (2)当点 P 在线段 OB 上运动时,直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N.试探究 m 为何 值时,四边形 CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形 CQBM 的形状,并说明理由; (3)当点 P 在线段 EB 上运动时,是否存在点 Q,使△BDQ 为直角三角形,若存在, 请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 山西 26” ,拖动点 P 在线段 OB 上运动,可以体验到,当 P 运动到 OB 的中点时, 四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形. 拖动点 P 在线段 EB 上运动,可以体验到,∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角. 请打开超级画板文件名“13 山西 26” ,拖动点 P 在线段 OB 上运动,可以体验到,当 P 运动到 OB 的中点时, 四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形. 拖动点 P 在线段 EB 上运动,可以体验到,∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角.

思路点拨
1.第(2)题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长,再根据 MQ=DC 列方程. 2.第(2)题要判断四边形 CQBM 的形状,最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一 个准确的示意图,先得到结论. 3.第(3)题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂 线可以构造相似三角形.

满分解答
1 2 3 1 x ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 8) ,得 A(-2,0),B(8,0),C(0,-4). 4 2 4 1 (2)直线 DB 的解析式为 y ? ? x ? 4 . 2 1 1 3 由点 P 的坐标为(m, 0),可得 M (m, ? m ? 4) , Q (m, m 2 ? m ? 4) . 2 4 2 1 1 2 3 1 2 所以 MQ= (? m ? 4) ? ( m ? m ? 4) ? ? m ? m ? 8 . 2 4 2 4
(1)由 y ? 当 MQ=DC=8 时,四边形 CQMD 是平行四边形. 解方程 ?

1 2 . m ? m ? 8 ? 8 ,得 m=4,或 m=0(舍去) 4

此时点 P 是 OB 的中点,N 是 BC 的中点,N(4,-2),Q(4,-6). 所以 MN=NQ=4.所以 BC 与 MQ 互相平分. 所以四边形 CQBM 是平行四边形.

挑战压轴题

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图2 (3)存在两个符合题意的点 Q,分别是(-2,0),(6,-4).

图3

考点伸展
第(3)题可以这样解:设点 Q 的坐标为 ( x, ( x ? 2)( x ? 8)) .

1 4

1 ? ( x ? 2)( x ? 8) QG BH 1 1 ①如图 3,当∠DBQ=90°时, ? ? .所以 4 ? . GB HD 2 8? x 2
解得 x=6.此时 Q(6,-4).

1 4 ? ( x ? 2)( x ? 8) QG DH 4 ②如图 4,当∠BDQ=90°时, ? ? 2 .所以 ? 2. GD HB ?x
解得 x=-2.此时 Q(-2,0).

图3

图4

挑战压轴题

马学斌?编著

例4

2012 年广州市中考第 24 题

3 3 如图 1,抛物线 y ? ? x 2 ? x ? 3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 8 4 轴交于点 C. (1)求点 A、B 的坐标; (2)设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积 时,求点 D 的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4, 0),M 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三 角形有且只有 三个时,求直线 l 的解析式. ....

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 广州 24” ,拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动,可以体验 到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点 M 只有 1 个. 请打开超级画板文件名“12 广州 24” ,拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动,可以体验 到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点 M 只有 1 个.

思路点拨
1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的 点 D 有两个. 2.当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点 M 有 2 个;当直线 l 与圆相切时,符合∠AMB=90°的点 M 只有 1 个. 3.灵活应用相似比解题比较简便.

满分解答
3 3 3 (1)由 y ? ? x 2 ? x ? 3 ? ? ( x ? 4)( x ? 2) , 8 4 8 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线 x=-1. (2) △ACD 与△ACB 有公共的底边 AC,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,点 B、 D 到直线 AC 的距离相等. 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D,在 AC 的另一侧有对应的点 D′. 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G,与 AC 交于点 H. DG CO 3 由 BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以 ? ? . BG AO 4 3 9 9 所以 DG ? BG ? ,点 D 的坐标为 (1, ? ) . 4 4 4 因为 AC//BD,AG=BG,所以 HG=DG. 27 27 而 D′H=DH,所以 D′G=3DG ? .所以 D′的坐标为 (1, ) . 4 4

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 图3 (3)过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,这两条垂线与直线 l 总是有交点的,即 2 个点 M. 以 AB 为直径的⊙G 如果与直线 l 相交,那么就有 2 个点 M;如果圆与直线 l 相切,就 只有 1 个点 M 了. 联结 GM,那么 GM⊥l. 在 Rt△EGM 中,GM=3,GE=5,所以 EM=4. M A 3 在 Rt△EM1A 中,AE=8, tan ?M 1 EA ? 1 ? ,所以 M1A=6. AE 4 3 所以点 M1 的坐标为(-4, 6),过 M1、E 的直线 l 为 y ? ? x ? 3 . 4 3 根据对称性,直线 l 还可以是 y ? x ? 3 . 4

考点伸展
第(3)题中的直线 l 恰好经过点 C,因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式. 在 Rt△EGM 中,GM=3,GE=5,所以 EM=4. 在 Rt△ECO 中,CO=3,EO=4,所以 CE=5. 因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线 CM 过点 C.

挑战压轴题

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例5

2012 年杭州市中考第 22 题

在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数 y=k(x2+x-1)的图象交于点 A(1,k)和点 B(-1,-k). (1)当 k=-2 时,求反比例函数的解析式; (2)要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大,求 k 应满足的条件以及 x 的 取值范围; (3)设二次函数的图象的顶点为 Q,当△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求 k 的值.

动感体验
请打开几何画板文件名 “12 杭州 22” , 拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动, 可以体验到, 当 k<0 并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大.观察 抛物线的顶点 Q 与⊙O 的位置关系,可以体验到,点 Q 有两次可以落在圆上. 请打开超级画板文件名 “12 杭州 22” , 拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动, 可以体验到, 当 k<0 并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大.观察 抛物线的顶点 Q 与⊙O 的位置关系,可以体验到,点 Q 有两次可以落在圆上.

思路点拨
1.由点 A(1,k)或点 B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是 y ?

k .题目 x

中的 k 都是一致的. 2.由点 A(1,k)或点 B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B 关于原点 O 对称,以 AB 为直 径的圆的圆心就是 O. 3.根据直径所对的圆周角是直角,当 Q 落在⊙O 上是,△ABQ 是以 AB 为直径的直角 三角形.

满分解答
(1)因为反比例函数的图象过点 A(1,k),所以反比例函数的解析式是 y ? 当 k=-2 时,反比例函数的解析式是 y ? ? (2)在反比例函数 y ?

k . x

2 . x

k 中,如果 y 随 x 增大而增大, x

那么 k<0. 当 k<0 时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y 随 x 增大而增大. 1 5 抛物线 y=k(x2+x+1)= k ( x ? ) 2 ? k 的对称轴是直 2 4 线 1 图1 x?? . 2 1 所以当 k<0 且 x ? ? 时,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大. 2 1 5 (3)抛物线的顶点 Q 的坐标是 (? , ? k ) ,A、B 关于原点 O 中心对称, 2 4 当 OQ=OA=OB 时,△ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形. 1 5 由 OQ2=OA2,得 (? ) 2 ? (? k )2 ? 12 ? k 2 . 2 4

挑战压轴题

马学斌?编著

解得 k1 ?

2 2 , k2 ? ? . 3 (如图 2) 3 (如图 3) 3 3

图2

图3

考点伸展
k (k>0)交于 A、B x 和 C、D,那么 AB 与 CD 互相平分,所以四边形 ACBD 是平行四边形. 问平行四边形 ABCD 能否成为矩形?能否成为正方形? 如图 5,当 A、C 关于直线 y=x 对称时,AB 与 CD 互相平分且相等,四边形 ABCD 是 矩形. 因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以 OA 与 OC 无法垂直,因 此四边形 ABCD 不能成为正方形.
如图 4,已知经过原点 O 的两条直线 AB 与 CD 分别与双曲线 y ?

图4

图5

挑战压轴题

马学斌?编著

例6

2011 年浙江省中考第 23 题

设直线 l1:y=k1x+b1 与 l2:y=k2x+b2,若 l1⊥l2,垂足为 H,则称直线 l1 与 l2 是点 H 的直角线. 1 (1)已知直线① y ? ? x ? 2 ;② y ? x ? 2 ;③ y ? 2 x ? 2 ;④ 2 y ? 2 x ? 4 和点 C(0,2),则直线_______和_______是点 C 的直角线 (填序号即可) ; (2) 如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形 OABC 的顶点 A(3, 0)、B(2,7)、C(0,7),P 为线段 OC 上一点,设过 B、P 两点的直 线为 l1,过 A、P 两点的直线为 l2,若 l1 与 l2 是点 P 的直角线,求 直线 l1 与 l2 的解析式. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 浙江 23” ,拖动点 P 在 OC 上运动,可以体验到,∠APB 有两个时刻可以成为直角,此时△BCP∽△POA.

答案
(1)直线①和③是点 C 的直角线. (2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么 =6 或 OP=1.

BC PO 2 PO ,即 .解得 OP ? ? CP OA 7 ? PO 3

1 x ? 6 , l2:y=-2x+6. 2 1 如图 3,当 OP=1 时,l1:y=3x+1, l2: y ? ? x ? 1 . 3
如图 2,当 OP=6 时,l1: y ?

图2

图3

挑战压轴题

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例7

2010 年北京市中考第 24 题
m ? 1 2 5m x ? x ? m 2 ? 3m ? 2 与 x 轴的交点 4 4

在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ?

分别为原点 O 和点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上. (1)求点 B 的坐标; (2)点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发向点 A 运动,过点 P 作 x 轴的垂线,与直线 OB 交于点 E,延长 PE 到点 D,使得 ED=PE,以 PD 为斜边,在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当点 P 运动时,点 C、D 也随之运动) . ①当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长; ②若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一 个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动, 速度为每秒 2 个单位 (当点 Q 到达点 O 时停止运动, 点 P 也停止运动) .过 Q 作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F,延长 QF 到点 M,使得 FM= QF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当点 Q 运动时,点 M、N 也 随之运动) .若点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线 上,求此刻 t 的值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“10 北京 24” ,拖动点 P 从 O 向 A 运动,可以体验到,两个等 腰直角三角形的边有三个时刻可以共线.

思路点拨
1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了. 2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有 t 的式子表示这些线段的长. 3.点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP 的长. 4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于 t 的方程 就可以求解了.

满分解答
m ? 1 2 5m x ? x ? m 2 ? 3m ? 2 经 过 原 点 , 所 以 4 4 1 2 5 m2 ? 3m ? 2 ? 0 . 解得 m1 ? 2 , m2 ? 1 (舍去) .因此 y ? ? x ? x .所以点 B 的坐 4 2
(1) 因 为 抛 物 线 y?? 标为(2,4) . (2) ①如图 4,设 OP 的长为 t,那么 PE=2t,EC=2t,点 C 的坐标为(3t, 2t).当点 C 落在抛物线上时, 2t ? ?

1 5 22 ? (3t ) 2 ? ? 3t .解得 t ? OP ? . 4 2 9

②如图 1,当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时,点 P、Q 重合.此时 3t=10.解

挑战压轴题

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得t ?

10 . 3

如图 2,当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上,△PQN 是等腰直角三角形,PQ= PE.此时 10 ? 3t ? 2t .解得 t ? 2 . 如图 3,当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上,△PQC 是等腰直角三角形,PQ= PD.此时 10 ? 3t ? 4t .解得 t ?

10 . 7

图1

图2

图3

考点伸展
在本题情境下,如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切,求 t 的值. 如图 5,当 P、Q 重合时,两圆内切, t ?

10 . 3

如图 6,当两圆外切时, t ? 30 ? 20 2 .

图4

图5

图6

挑战压轴题

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例8

2009 年嘉兴市中考第 24 题

如图 1,已知 A、B 是线段 MN 上的两点, MN ? 4 , MA ? 1 , MB ? 1.以 A 为中心顺 时针旋转点 M,以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成△ABC,设 AB ? x . (1)求 x 的取值范围; (2)若△ABC 为直角三角形,求 x 的值; (3)探究:△ABC 的最大面积?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24” ,拖动点 B 在 AN 上运动,可以体验到,三角形的 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;∠CAB 和∠ACB 可以成为直角,∠CBA 不可 能成为直角;观察函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“U”形,当 AB 等于 1.5 时,面积达到最大值.

思路点拨
1.根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组,可 以求得 x 的取值范围. 2.分类讨论直角三角形 ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的 存在性. 3.把△ABC 的面积 S 的问题,转化为 S2 的问题.AB 边上的高 CD 要根据位置关系分 类讨论,分 CD 在三角形内部和外部两种情况.

满分解答
(1)在△ABC 中, AC ? 1 , AB ? x , BC ? 3 ? x ,所以 ?

?1 ? x ? 3 ? x, 解得 1 ? x ? 2 . 1 ? 3 ? x ? x . ?

(2)①若 AC 为斜边,则 1 ? x 2 ? (3 ? x) 2 ,即 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,此方程无实根. 5 ②若 AB 为斜边,则 x 2 ? (3 ? x) 2 ? 1 ,解得 x ? ,满足 1 ? x ? 2 . 3 4 ③若 BC 为斜边,则 (3 ? x) 2 ? 1 ? x 2 ,解得 x ? ,满足 1 ? x ? 2 . 3 5 4 因此当 x ? 或 x ? 时,△ABC 是直角三角形. 3 3 1 (3)在△ABC 中,作 CD ? AB 于 D,设 CD ? h ,△ABC 的面积为 S,则 S ? xh . 2 ① 如 图 2 , 若 点 D 在 线 段 AB 上 , 则 1 ? h 2 ? (3 ? x) 2 ? h 2 ? x . 移 项 , 得

(3 ? x) 2 ? h 2 ? x ? 1 ? h 2 .两边平方,得 (3 ? x) 2 ? h 2 ? x 2 ? 2x 1 ? h 2 ? 1 ? h 2 .整理,
得 x 1 ? h 2 ? 3x ? 4 . 两 边 平 方 , 得 x 2 (1 ? h 2 ) ? 9x 2 ? 24x ? 16 . 整 理 , 得
x 2 h 2 ? ?8x 2 ? 24x ? 16

挑战压轴题

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所以 S 2 ? 当x?

4 1 2 2 3 1 . x h ? ?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? ?2( x ? ) 2 ? ( ≤ x ? 2 ) 4 2 2 3

4 2 3 1 时(满足 ≤ x ? 2 ) , S 2 取最大值 ,从而 S 取最大值 . 2 2 2 3

图2

图3

②如图 3,若点 D 在线段 MA 上,则 (3 ? x) 2 ? h 2 ? 1 ? h 2 ? x . 同理可得, S 2 ? 易知此时 S ?

4 1 2 2 3 1 . x h ? ?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? ?2( x ? ) 2 ? ( 1 ? x ≤ ) 4 2 2 3

2 . 2 2 . 2

综合①②得,△ABC 的最大面积为

考点伸展
第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设 AD ? a , 例如在图 2 中,由 AC ? AD ? BC ? BD 列方程 1 ? a 2 ? (3 ? x) 2 ? ( x ? a) 2 .
2 2 2 2

整理,得 a ?

3x ? 4 .所以 x

? 8x 2 ? 24x ? 16 ? 3x ? 4 ? 1? a ? 1? ? . ? ? x2 ? x ?
2

2

因此

S2 ?

1 2 x (1 ? a 2 ) ? ?2 x 2 ? 6 x ? 4 . 4

挑战压轴题

马学斌?编著

1.4
例1

因动点产生的平行四边形问题
2015 年成都市中考第 28 题

如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2-2ax-3a(a<0)与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在点 B 的左侧) ,经过点 A 的直线 l:y=kx+b 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的 另一个交点为 D,且 CD=4AC. (1)直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含 a 的式子表示) ; 5 (2) 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点, 若△ACE 的面积的最大值为 , 求 a 的值; 4 (3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点,点 Q 在抛物线上,以点 A、D、P、Q 为顶点的 四边形能否成为矩形?若能,求出点 P 的坐标;若不能,请说明理由.

图1

备用图

动感体验
请打开几何画板文件名“15 成都 28” ,拖动点 E 在直线 AD 上方的抛物线上运动,可以 体验到,当 EC⊥AC 时,△ACE 的面积最大.点击屏幕左下角的按钮“第(3)题” ,拖动 点 H 在 y 轴正半轴运动,观察点 Q 和 Q′,可以看到点 Q 和点 Q′都可以落在抛物线上.

思路点拨
1.过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F,那么△AEF 与△CEF 是共底的两个三角形. 2.以 AD 为分类标准讨论矩形,当 AD 为边时,AD 与 QP 平行且相等,对角线 AP= QD;当 AD 为对角线时,AD 与 PQ 互相平分且相等.

满分解答
(1)由 y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3),得 A(-1, 0). 由 CD=4AC,得 xD=4.所以 D(4, 5a). 由 A(-1, 0)、D(4, 5a),得直线 l 的函数表达式为 y=ax+a. (2)如图 1,过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F. 设 E(x, ax2-2ax-3a),F(x, ax+a),那么 EF=yE-yF=ax2-3ax-4a.

1 1 EF ( xE ? xA ) ? EF ( xE ? xC ) 2 2 1 1 1 3 25 = EF ( xC ? x A ) = (ax 2 ? 3ax ? 4a) = a( x ? ) 2 ? a, 2 2 2 2 8 25 25 5 2 得△ACE 的面积的最大值为 ? a .解方程 ? a ? ,得 a ? ? . 8 8 4 5
由 S△ACE=S△AEF-S△CEF= (3)已知 A(-1, 0)、D(4, 5a),xP=1,以 AD 为分类标准,分两种情况讨论: ①如图 2,如果 AD 为矩形的边,那么 AD//QP,AD=QP,对角线 AP=QD. 由 xD-xA=xP-xQ,得 xQ=-4. 当 x=-4 时,y=a(x+1)(x-3)=21a.所以 Q(-4, 21a).

挑战压轴题

马学斌?编著

由 yD-yA=yP-yQ,得 yP=26a.所以 P(1, 26a). 由 AP2=QD2,得 22+(26a)2=82+(16a)2. 整理,得 7a2=1.所以 a ? ?

7 26 7 .此时 P (1, ? ). 7 7

②如图 3,如果 AD 为矩形的对角线,那么 AD 与 PQ 互相平分且相等. 由 xD+xA=xP+xQ,得 xQ=2.所以 Q(2,-3a). 由 yD+yA=yP+yQ,得 yP=8a.所以 P(1, 8a). 由 AD2=PQ2,得 52+(5a)2=12+(11a)2. 整理,得 4a2=1.所以 a ? ?

1 .此时 P (1, ? 4) . 2

图1

图2

图3

考点伸展
第(3)题也可以这样解.设 P(1,n). ①如图 2,当 AD 时矩形的边时,∠QPD=90°,所以 解得 n ?

AM DN 5 5a ? n ,即 . ? ? MD NP ?5a 3

3 3 ? 5a 2 3 ? 5a 2 .所以 P (1, ) .所以 Q ( ?4, ) . a a a
3 a 3 7 . ? 21a .所以 a ? ? a 7

将 Q ( ?4, ) 代入 y=a(x+1)(x-3),得

②如图 3,当 AD 为矩形的对角线时,先求得 Q(2,-3a). 由∠AQD=90°,得

?3a 2 1 AG QK ,即 .解得 a ? ? . ? ? 3 ?3a ? 5a 2 GQ KD

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年陕西省中考第 24 题

如图 1,已知抛物线 C:y=-x2+bx+c 经过 A(-3,0)和 B(0, 3)两点.将这条抛物线的 顶点记为 M,它的对称轴与 x 轴的交点记为 N. (1)求抛物线 C 的表达式; (2)求点 M 的坐标; (3)将抛物线 C 平移到抛物线 C′,抛物线 C′的顶点记为 M′,它的对称轴与 x 轴的交 点记为 N′.如果以点 M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形,那么应将 抛物线 C 怎样平移?为什么?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 陕西 24” ,拖动右侧的点 M′上下运动,可以体验到,以点 M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有四种情况.

思路点拨
1.抛物线在平移的过程中,M′N′与 MN 保持平行,当 M′N′=MN=4 时,以点 M、N、 M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形. 2.平行四边形的面积为 16,底边 MN=4,那么高 NN′=4. 3.M′N′=4 分两种情况:点 M′在点 N′的上方和下方. 4.NN′=4 分两种情况:点 N′在点 N 的右侧和左侧.

满分解答
(1)将 A(-3,0)、B(0, 3)分别代入 y=-x2+bx+c,得 ??9 ? 3b ? c ? 0, 解得 b=-2,c=3. ? ?c ? 3. 所以抛物线 C 的表达式为 y=-x2-2x+3. (2)由 y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得顶点 M 的坐标为(-1,4). (3)抛物线在平移过程中,M′N′与 MN 保持平行,当 M′N′=MN=4 时,以点 M、N、 M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形. 因为平行四边形的面积为 16,所以 MN 边对应的高 NN′=4. 那么以点 M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有 4 种情况: 抛物线 C 直接向右平移 4 个单位得到平行四边形 MNN′M′(如图 2) ; 抛物线 C 直接向左平移 4 个单位得到平行四边形 MNN′M′(如图 2) ; 抛物线 C 先向右平移 4 个单位, 再向下平移 8 个单位得到平行四边形 MNM′N (如图 ′ 3) ; 抛物线 C 先向左平移 4 个单位, 再向下平移 8 个单位得到平行四边形 MNM′N (如图 ′ 3) .

挑战压轴题

马学斌?编著

图2

图3

考点伸展
本题的抛物线 C 向右平移 m 个单位,两条抛物线的交点为 D,那么△MM′D 的面积 S 关于 m 有怎样的函数关系? m?2 如图 4, △MM′D 是等腰三角形, 由 M(-1,4)、 M′(-1+m, 4), 可得点 D 的横坐标为 . 2 m?2 m2 m2 将x? 代入 y=-(x+1)2+4,得 y ? ? ? 4 .所以 DH= ?4. 2 4 4 1 m2 1 所以 S= m( ? 4) ? m3 ? 2m . 2 4 8

图4

挑战压轴题

马学斌?编著

例3

2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题

如图 1,已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)求 tan∠ABO 的值; (3)过点 B 作 BC⊥x 轴,垂足为 C,在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N,交抛物线于点 M,若四边形 MNCB 为平行四边形,求点 M 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名 “13 松江 24” , 拖动点 N 在直线 AB 上运动, 可以体验到, 以 M、 N、 C、 B 为顶点的平行四边形有 4 个, 符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个. 请打开超级画板文件名“13 松江 24” ,拖动点 N 在直线 AB 上运动,可以体验到,MN 有 4 次机会等于 3,这说明以 M、N、C、B 为顶点的平行四边形有 4 个,而符合 MN 在抛物 线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个.

思路点拨
1.第(2)题求∠ABO 的正切值,要构造包含锐角∠ABO 的角直角三角形. 2.第(3)题解方程 MN=yM-yN=BC,并且检验 x 的值是否在对称轴左侧.

满分解答
(1)将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 y=-x2+bx+c,得

9 ?c ? 1, 解得 b ? ,c=1. ? 2 ??16 ? 4b ? c ? 3. 9 所以抛物线的解析式是 y ? ? x 2 ? x ? 1 . 2
(2)在 Rt△BOC 中,OC=4,BC=3,所以 OB=5. 如图 2,过点 A 作 AH⊥OB,垂足为 H. 在 Rt△AOH 中,OA=1, sin ?AOH ? sin ?OBC ? 所

4 , 5


A

?

s

4 . 5

H

? i

图2

3 22 , BH ? OB ? OH ? . 5 5 AH 4 22 2 在 Rt△ABH 中, tan ?ABO ? ? ? ? . BH 5 5 11 1 (3)直线 AB 的解析式为 y ? x ? 1 . 2
所以 OH ?

挑战压轴题

马学斌?编著

设点 M 的坐标为 ( x, ? x 2 ? 那么 MN ? (? x 2 ?

9 1 x ? 1) ,点 N 的坐标为 ( x, x ? 1) , 2 2

9 1 x ? 1) ? ( x ? 1) ? ? x 2 ? 4 x . 2 2

当四边形 MNCB 是平行四边形时,MN=BC=3. 解方程-x2+4x=3,得 x=1 或 x=3. 因为 x=3 在对称轴的右侧(如图 4) ,所以符合题意的点 M 的坐标为 (1, ) (如图 3) .

9 2

图3

图4

考点伸展
第(3)题如果改为:点 M 是抛物线上的一个点,直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N, 如果 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形,求点 M 的坐标. 那么求点 M 的坐标要考虑两种情况:MN=yM-yN 或 MN=yN-yM. 由 yN-yM=4x-x2,解方程 x2-4x=3,得 x ? 2 ? 7 (如图 5) . 所以符合题意的点 M 有 4 个: (1, ) , (3,

9 2

11 5? 7 5? 7 ) , (2 ? 7, ) , (2 ? 7, ). 2 2 2

图5

挑战压轴题

马学斌?编著

例4

2012 年福州市中考第 21 题

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向 点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位 长度的速度运动,过点 P 作 PD//BC,交 AB 于点 D,联结 PQ.点 P、Q 分别从点 A、C 同 时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为 t 秒(t≥0) . (1)直接用含 t 的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______; (2)是否存在 t 的值,使四边形 PDBQ 为菱形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说 明理由,并探究如何改变点 Q 的速度(匀速运动) ,使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形,求 点 Q 的速度; (3)如图 2,在整个运动过程中,求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“12 福州 21” ,拖动左图中的点 P 运动,可以体验到,PQ 的中 点 M 的运动路径是一条线段.拖动右图中的点 Q 运动,可以体验到,当 PQ//AB 时,四边 形 PDBQ 为菱形. 请打开超级画板文件名“12 福州 21” ,拖动点 Q 向上运动,可以体验到,PQ 的中点 M 的运动路径是一条线段.点击动画按钮的左部,Q 的速度变成 1.07,可以体验到,当 PQ//AB 时,四边形 PDBQ 为菱形.点击动画按钮的中部,Q 的速度变成 1.

思路点拨
1.菱形 PDBQ 必须符合两个条件,点 P 在∠ABC 的平分线上,PQ//AB.先求出点 P 运动的时间 t,再根据 PQ//AB,对应线段成比例求 CQ 的长,从而求出点 Q 的速度. 2.探究点 M 的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点 M 的路 径.

满分解答
4 (1)QB=8-2t,PD= t . 3 (2)如图 3,作∠ABC 的平分线交 CA 于 P,过点 P 作 PQ//AB 交 BC 于 Q,那么四边形 PDBQ 是菱形. 过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E,那么 BE=BC=8. 在 Rt △ ABC 中 , AC = 6 , BC = 8 , 所 以 AB = 10. AE 2 3 10 在 Rt△APE 中, cos A ? ? ? ,所以 t ? . AP t 5 3 10 6? CQ CP CQ 3 .解得 CQ ? 32 . 当 PQ//AB 时, ,即 ? ? CB CA 9 8 6

图3

挑战压轴题

马学斌?编著

32 10 16 . ? ? 9 3 15 (3)以 C 为原点建立直角坐标系. 如图 4,当 t=0 时,PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3,0). 如图 5,当 t=4 时,PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1,4). 直线 EF 的解析式是 y=-2x+6. 6?t 6?t 如图 6,PQ 的中点 M 的坐标可以表示为( ,t) .经验证,点 M( ,t)在直 2 2 线 EF 上. 所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长,EF= 2 5 .
所以点 Q 的运动速度为

图4

图5

图6

考点伸展
第(3)题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数: 当 t=2 时,PQ 的中点为(2,2). 设点 M 的运动路径的解析式为 y=ax2+bx+c,代入 E(3,0)、F(1,4)和(2,2), ?9a ? 3b ? c ? 0, 得? 解得 a=0,b=-2,c=6. ?a ? b ? c ? 4, ?4a ? 2b ? c ? 2. ? 所以点 M 的运动路径的解析式为 y=-2x+6.

挑战压轴题

马学斌?编著

例5

2012 年烟台市中考第 26 题

如图 1, 在平面直角坐标系中, 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、 C(3, 0)、 D(3, 4). 以 2 A 为顶点的抛物线 y=ax +bx+c 过点 C.动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动,同 时动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向点 D 运动.点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位, 运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点 E 作 EF⊥AD 于 F,交抛物线于点 G,当 t 为何值时,△ACG 的面积最大? 最大值为多少? (3)在动点 P、Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在 点 H,使以 C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形?请直接写出 t 的值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 烟台 26” ,拖动点 P 在 AB 上运动,可以体验到,当 P 在 AB 的中点时,△ACG 的面积最大.观察右图,我们构造了和△CEQ 中心对称的△FQE 和 △ECH′,可以体验到,线段 EQ 的垂直平分线可以经过点 C 和 F,线段 CE 的垂直平分线可 以经过点 Q 和 H′,因此以 C、Q、E、H 为顶点的菱形有 2 个. 请打开超级画板文件名“12 烟台 26” ,拖动点 P 在 AB 上运动,可以体验到,当 P 在 AB 的中点时,即 t=2,△ACG 的面积取得最大值 1.观察 CQ,EQ,EC 的值,发现以 C、 Q、E、H 为顶点的菱形有 2 个.点击动画按钮的左部和中部,可得菱形的两种准确位置。

思路点拨
1.把△ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形,高的和等于 AD. 2.用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来. 3.构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.

满分解答
(1)A(1, 4).因为抛物线的顶点为 A,设抛物线的解析式为 y=a(x-1)2+4, 代入点 C(3, 0),可得 a=-1. 所以抛物线的解析式为 y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. AP AB 1 1 (2)因为 PE//BC,所以 ? ? 2 .因此 PE ? AP ? t . PE BC 2 2 1 所以点 E 的横坐标为 1 ? t . 2 1 1 将 x ? 1 ? t 代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4= 4 ? t 2 . 2 4 1 2 1 2 1 所以点 G 的纵坐标为 4 ? t .于是得到 GE ? (4 ? t ) ? (4 ? t ) ? ? t 2 ? t . 4 4 4

挑战压轴题

马学斌?编著

1 1 1 因此 S?ACG ? S?AGE ? S?CGE ? GE ( AF ? DF ) ? ? t 2 ? t ? ? (t ? 2) 2 ? 1 . 2 4 4 所以当 t=1 时,△ACG 面积的最大值为 1. 20 (3) t ? 或 t ? 20 ? 8 5 . 13

考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的: 因为 FE//QC,FE=QC,所以四边形 FECQ 是平行四边形.再构造点 F 关于 PE 轴对称 的点 H′,那么四边形 EH′CQ 也是平行四边形. 再根据 FQ=CQ 列关于 t 的方程,检验四边形 FECQ 是否为菱形,根据 EQ=CQ 列关 于 t 的方程,检验四边形 EH′CQ 是否为菱形. 1 1 E (1 ? t , 4 ? t ) , F (1 ? t , 4) , Q(3, t ) , C (3, 0) . 2 2 1 如图 2,当 FQ=CQ 时,FQ2=CQ2,因此 ( t ? 2) 2 ? (4 ? t ) 2 ? t 2 . 2 整理,得 t 2 ? 40t ? 80 ? 0 .解得 t1 ? 20 ? 8 5 , t2 ? 20 ? 8 5 (舍去) .

1 如图 3,当 EQ=CQ 时,EQ2=CQ2,因此 ( t ? 2) 2 ? (4 ? 2t ) 2 ? t 2 . 2 20 整理,得 13t 2 ? 72t ? 800 ? 0 . (13t ? 20)(t ? 40) ? 0 .所以 t1 ? , t2 ? 40 (舍去) . 13

图2

图3

挑战压轴题

马学斌?编著

例6

2011 年上海市中考第 24 题
3 x ? 3 的图象与 y 轴交于点 A,点 M 4

已知平面直角坐标系 xOy(如图 1) ,一次函数 y ? 在正比例函数 y ?

3 x 的图象上,且 MO=MA.二次函数 2 y=x2+bx+c 的图象经过点 A、M. (1)求线段 AM 的长; (2)求这个二次函数的解析式; (3)如果点 B 在 y 轴上,且位于点 A 下方,点 C 在上述 3 二次函数的图象上,点 D 在一次函数 y ? x ? 3 的图象上,且 4 四边形 ABCD 是菱形,求点 C 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 上海 24” ,拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动,四边形 ABCD 保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点 C 有一次机会落在抛物线上.

思路点拨
1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来, 但是对抛物线的位置要心中有数. 2.根据 MO=MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上,并且求得点 M 的坐标,是整个题 目成败的一个决定性步骤. 3.第(3)题求点 C 的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母 m 表示点 C 的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母 m.

满分解答
(1)当 x=0 时, y ?

3 x ? 3 ? 3 ,所以点 A 的坐标为(0,3),OA=3. 4

3 3 如图 2, 因为 MO=MA, 所以点 M 在 OA 的垂直平分线上, 点 M 的纵坐标为 . 将y? 2 2 3 3 13 代入 y ? x ,得 x=1.所以点 M 的坐标为 (1, ) .因此 AM ? . 2 2 2 ?c ? 3, 3 5 (2)因为抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(0,3)、M (1, ) ,所以 ? ? 3 解得 b ? ? 2 , 2 1? b ? c ? . ? ? 2
c ? 3 .所以二次函数的解析式为 y ? x 2 ?

5 x ?3. 2 (3)如图 3,设四边形 ABCD 为菱形,过点 A 作 AE⊥CD,垂足为 E. 在 Rt△ADE 中,设 AE=4m,DE=3m,那么 AD=5m.
因此点 C 的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点 C(4m,3-2m)代入 y ? x 2 ?

5 x ? 3 ,得 2

3 ? 2 m ? 16 m 2 ?10 m ?3 .解得 m ?
因此点 C 的坐标为(2,2) .

1 或者 m=0(舍去) . 2

挑战压轴题

马学斌?编著

图2

图3

考点伸展
如果第(3)题中,把“四边形 ABCD 是菱形”改为“以 A、B、C、D 为顶点的四边形 是菱形” ,那么还存在另一种情况: 7 27 如图 4,点 C 的坐标为 ( , ) . 4 16

图4

挑战压轴题

马学斌?编著

例7

2011 年江西省中考第 24 题

将抛物线 c1: y ? ? 3x2 ? 3 沿 x 轴翻折,得到抛物线 c2,如图 1 所示. (1)请直接写出抛物线 c2 的表达式; (2)现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为 M,与 x 轴的交点从左到右依次为 A、B;将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度,平移后得到新抛物 线的顶点为 N,与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E. ①当 B、D 是线段 AE 的三等分点时,求 m 的值; ②在平移过程中,是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在, 请求出此时 m 的值;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 江西 24” ,拖动点 M 向左平移,可以体验到,四边形 ANEM 可以成为矩形,此时 B、D 重合在原点.观察 B、D 的位置关系,可以体验到,B、D 是线 段 AE 的三等分点,存在两种情况.

思路点拨
1.把 A、B、D、E、M、N 六个点起始位置的坐标罗列出来,用 m 的式子把这六个点 平移过程中的坐标罗列出来. 2.B、D 是线段 AE 的三等分点,分两种情况讨论,按照 AB 与 AE 的大小写出等量关 系列关于 m 的方程. 3.根据矩形的对角线相等列方程.

满分解答
(1)抛物线 c2 的表达式为 y ? 3x2 ? 3 . (2)抛物线 c1: y ? ? 3x2 ? 3 与 x 轴的两个交点为(-1,0)、(1,0),顶点为 (0, 3) . 抛物线 c2: y ? 3x2 ? 3 与 x 轴的两个交点也为(-1,0)、(1,0),顶点为 (0, ? 3) . 抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度后,顶点 M 的坐标为 (?m, 3) ,与 x 轴的两个交点为 A(?1 ? m, 0) 、 B(1 ? m, 0) ,AB=2. 抛物线 c2 向右平移 m 个单位长度后,顶点 N 的坐标为 (m, ? 3) ,与 x 轴的两个交点为 D(?1 ? m,0) 、 E (1 ? m, 0) .所以 AE=(1+m)-(-1-m)=2(1+m). ①B、D 是线段 AE 的三等分点,存在两种情况: 1 情形一,如图 2,B 在 D 的左侧,此时 AB ? AE ? 2 ,AE=6.所以 2(1+m)=6.解得 3 m=2.

挑战压轴题

马学斌?编著

情形二,如图 3,B 在 D 的右侧,此时 AB ?

2 AE ? 2 ,AE=3.所以 2(1+m)=3.解得 3

m?

1 . 2

图2

图3

图4

②如果以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形,那么 AE=MN=2OM.而 OM2=m2 +3,所以 4(1+m)2=4(m2+3).解得 m=1(如图 4) .

考点伸展
第(2)题②,探求矩形 ANEM,也可以用几何说理的方法: 在等腰三角形 ABM 中,因为 AB=2,AB 边上的高为 3 ,所以△ABM 是等边三角形. 同理△DEN 是等边三角形.当四边形 ANEM 是矩形时,B、D 两点重合. 因为起始位置时 BD=2,所以平移的距离 m=1.

挑战压轴题

马学斌?编著

1.5
例1

因动点产生的梯形问题

2015 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题

如图 1,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与 x 轴交于点 A(-1,0)和点 B(3, 0), D 为抛物线的顶点,直线 AC 与抛物线交于点 C(5, 6). (1)求抛物线的解析式; (2)点 E 在 x 轴上,且△AEC 和△AED 相似,求点 E 的 坐标; (3)若直角坐标系平面中的点 F 和点 A、C、D 构成直角 梯形,且面积为 16,试求点 F 的坐标. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“15 徐汇 24” ,拖动点 E 在 x 轴上运动,可以体验到,直线 CA 和直线 DA 与 x 轴的夹角都是 45°,△CAE∽△EAD 存在两种情况.

思路点拨
1.由 A、C、D 三点的坐标,可以得到直线 CA、直线 DA 与 x 轴的夹角都是 45°,因 此点 E 不论在点 A 的左侧还是右侧,都有∠CAE=∠DAE.因此讨论△AEC 和△AED 相似, 要分两种情况.每种情况又要讨论对应边的关系. 2.因为∠CAD 是直角,所以直角梯形存在两种情况.

满分解答
(1)如图 1,因为抛物线与 x 轴交于点 A(-1,0)和点 B(3, 0),设 y=a(x+1)(x-3). 将点 C(5, 6)代入 y=a(x+1)(x-3),得 12a=6.

1 1 1 3 .所以抛物线的解析式为 y ? ( x ? 1)( x ? 3) ? x 2 ? x ? . 2 2 2 2 1 3 1 (2)由 y ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? 2 ,得顶点 D 的坐标为(1,-2). 2 2 2
解得 a ? 由 A(-1,0)、 C(5, 6)、 D(1,-2), 得∠CAO=45°, ∠DAO=45°, AC= 6 2 , AD= 2 2 . 因此不论点 E 在点 A 的左侧还是右侧,都有∠CAE=∠DAE.

图2 如果△CAE∽△DAE,那么它们全等,这是不可能的.

图3

如图 2,图 3,如果△CAE∽△EAD,那么 AE2=AC?AD= 6 2 ? 2 2 ? 24 .

挑战压轴题

马学斌?编著

所以 AE= 2 6 .所以点 E 的坐标为 (?2 6 ?1,0) ,或 (2 6 ?1,0) . (3)因为∠CAD=90°,因此直角梯形存在两种情况. ①如图 4,当 DF//AC 时,由 S ?

1 1 ( DF ? AC ) ? AD ? 16 ,得 ( DF ? 6 2) ? 2 2 ? 16 . 2 2

解得 DF= 2 2 .此时 F、D 两点间的水平距离、竖直距离都是 2,所以 F(3,0).

1 1 (CF ? AD ) ? AC ? 16 ,得 (CF ? 2 2) ? 6 2 ? 16 . 2 2 2 2 17 16 解得 CF= 2 .此时 F、C 两点间的水平距离、竖直距离都是 ,所以 F ( , ) . 3 3 3 3
②如图 5,当 CF//AD 时,由 S ?

图4

图5

考点伸展
如果第(3)题改为:点 F 在抛物线上,点 F 和点 A、C、D 构成梯形,求点 F 的坐标, 那么就要分三种情况讨论了. 如图 4,当 DF//AC 时,点 F 就是点 B(3, 0). 如图 6,当 CF//AD 时,FH=CH.设 F ( x,

1 2 3 1 3 x ? x ? ) ,那么 ( x 2 ? x ? ) ? 6 ? 5 ? x . 2 2 2 2

解得 x=±5.此时点 F 的坐标为(-5,16).

1 ( x ? 1)( x ? 3) FM CN 8 如图 7,当 AF//CD 时, .所以 2 ? ? . AM DN x ?1 4
解得 x=7.此时点 F 的坐标为(7,16).

图6

图7

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年上海市金山区中考模拟第 24 题

如图 1,在平面直角坐标系中,直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A,点 B 是这条直线上第一 象限内的一个点,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 D,已知△ABD 的面积为 18. (1)求点 B 的坐标; (2)如果抛物线 y ? ?

1 2 x ? bx ? c 经过点 A 和点 B,求抛物线的解析式; 2

(3)已知(2)中的抛物线与 y 轴相交于点 C,该抛物线对称轴与 x 轴交于点 H,P 是 抛物线对称轴上的一点,过点 P 作 PQ//AC 交 x 轴于点 Q,如果点 Q 在线段 AH 上,且 AQ =CP,求点 P 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 金山 24” ,拖动点 P 运动,可以体验到,AQ=CP 有两种情 况,四边形 CAQP 为平行四边形或等腰梯形.

思路点拨
1.△ABD 是等腰直角三角形,根据面积可以求得直角边长,得到点 B 的坐标. 2.AQ=CP 有两种情况,四边形 CAQP 为平行四边形或等腰梯形. 平行四边形的情况很简单,等腰梯形求点 P 比较复杂,于是我们要想起这样一个经验: 平行于等腰三角形底边的直线截两腰,得到一个等腰梯形和一个等腰三角形.

满分解答
(1)直线 y=x+2 与 x 轴的夹角为 45°,点 A 的坐标为(-2, 0). 因为△ABD 是等腰直角三角形,面积为 18,所以直角边长为 6. 因此 OD=4.所以点 B 的坐标为(4, 6). (2)将 A(-2, 0)、B (4, 6)代入 y ? ? 得?

1 2 x ? bx ? c , 2

??2 ? 2b ? c ? 0, 解得 b=2,c=6. ??8 ? 4b ? c ? 6. 1 所以抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 6 . 2 1 2 (3)由 y ? ? x ? 2 x ? 6 ,得抛物线的对称轴为直线 x=2,点 C 的坐标为(0, 6). 2
如果 AQ=CP,那么有两种情况: ①如图 2,当四边形 CAQP 是平行四边形时,AQ//CP,此时点 P 的坐标为(2, 6). ②如图 3,当四边形 CAQP 是等腰梯形时,作 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 F,那么点

挑战压轴题

马学斌?编著

P 在 FC 上. 设点 F 的坐标为(x, 0),根据 FA2=FC2 列方程,得(x+2)2=x2+62. 解得 x=8.所以 OF=8,HF=6. 因此 PH ? HF ? tan ?F ? 6 ?

3 9 9 ? .此时点 P 的坐标为 (2, ) . 4 2 2

图2

图3

考点伸展
第(3)题等腰梯形 CAQP 时,求点 P 的坐标也可以这样思考: 过点 P 作 PE//x 轴交 AC 于 E,那么 PE=PC. 直线 AC 的解析式为 y=3x+6,设 E(m, 3m+6), 那么 P(2, 3m+6). 根据 PE2=PC2 列方程,得(2-m)2=22+(3m)2. 解得 m ? ?

1 9 .所以 P (2, ) . 2 2

图4 其实第(3)题还有一个“一石二鸟”的方法: 设 QH=n,那么 AQ=4-n,PH=3n,P(2, 3n ). 根据 AQ2=CP2,列方程,得.(4-n)2=22+(3n-6)2. 整理,得 2n2-7n-6=0.解得 n1=2, n2 ?

3 . 2

当 n1=2 时,P(2, 6),对应平行四边形 CAQP(如图 2) ; 当 n2 ?

3 9 时,P (2, ) ,对应等腰梯形 CAQP(如图 4) . 2 2

挑战压轴题

马学斌?编著

例3

2012 年上海市松江区中考模拟第 24 题

已知直线 y=3x-3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A,B,抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A,B. (1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶 点坐标; (2) 记该抛物线的对称轴为直线 l, 点 B 关于直线 l 的对称 点为 C,若点 D 在 y 轴的正半轴上,且四边形 ABCD 为梯形. ①求点 D 的坐标; ②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为 P, 其对称 3 轴与直线 y=3x-3 交于点 E, 若n 求四边形 BDEP a t ?D P E ? , 7 的面积. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 松江 24” ,拖动点 P 向右运动,可以体验到,D、P 间的垂 直距离等于 7 保持不变,∠DPE 与∠PDH 保持相等. 请打开超级画板文件名“12 松江 24” , 拖动点 P 向右运动,可以体验到,D、P 间的 垂直距离等于 7 保持不变,∠DPE 与∠PDH 保持相等,tan ?DPE ? 0.43 ,四边形 BDEP 的 面积为 24.

思路点拨
1.这道题的最大障碍是画图,A、B、C、D 四个点必须画准确,其实抛物线不必画出, 画出对称轴就可以了. 2. 抛物线向右平移, 不变的是顶点的纵坐标, 不变的是 D、 P 两点间的垂直距离等于 7. 3.已知∠DPE 的正切值中的 7 的几何意义就是 D、P 两点间的垂直距离等于 7,那么 点 P 向右平移到直线 x=3 时,就停止平移.

满分解答
(1)直线 y=3x-3 与 x 轴的交点为 A(1,0),与 y 轴的交点为 B(0,-3). 将 A(1,0)、B(0,-3)分别代入 y=ax2+2x+c, 得? ?
a ? 2 ? c ? 0, a ? 1, 解得 ? ? ?c ? ?3. ?c ? ?3.

所以抛物线的表达式为 y=x2+2x-3. 对称轴为直线 x=-1,顶点为(-1,-4). (2)①如图 2,点 B 关于直线 l 的对称点 C 的坐标为(-2,-3). 因为 CD//AB,设直线 CD 的解析式为 y=3x+b, 代入点 C(-2,-3),可得 b=3. 所以点 D 的坐标为(0,3) . ②过点 P 作 PH⊥y 轴,垂足为 H,那么∠PDH=∠DPE. 3 由 tan ?DPE ? ,得 tan ?PDH ? PH ? 3 . DH 7 7 而 DH=7,所以 PH=3. 因此点 E 的坐标为(3,6) . 1 所以 S梯形BDEP ? ( BD ? EP) ? PH ? 24 . 2

挑战压轴题

马学斌?编著

图2

图3

考点伸展
第(2)①用几何法求点 D 的坐标更简便: 因为 CD//AB,所以∠CDB=∠ABO. 因此 BC ? OA ? 1 .所以 BD=3BC=6,OD=3.因此 D(0,3) . BD OB 3

挑战压轴题

马学斌?编著

例4

2012 年衢州市中考第 24 题

如图 1,把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△COD 方别置于平面直角坐标系中,使直角边 OB、OD 在 x 轴上.已知点 A(1,2),过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F.抛 物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点. (1)求该抛物线的函数解析式; (2)点 P 为线段 OC 上的一个动点,过点 P 作 y 轴的 平行线交抛物线于点 M,交 x 轴于点 N,问是否存在这样的 点 P,使得四边形 ABPM 为等腰梯形?若存在,求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若△AOB 沿 AC 方向平移(点 A 始终在线段 AC 上,且不与点 C 重合) ,△AOB 在平移的过程中与△COD 重叠部分的面积记为 S. 试探究 S 是否存在最大值?若存在, 求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 衢州 24” , 拖动点 P 在线段 OC 上运动,可以体验到,在 AB 的左侧,存在等腰梯形 ABPM.拖动点 A′在线段 AC 上运动,可以体验到,Rt△A′OB′、 Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG 和 Rt△EHK 的两条直角边的比都为 1∶2. 请打开超级画板文件名“12 衢州 24” ,拖动点 P 在线段 OC 上运动,可以体验到,在 AB 的左侧,存在 AM=BP.拖动点 A′在线段 AC 上运动,发现 S 最大值为 0.375.

思路点拨
1.如果四边形 ABPM 是等腰梯形,那么 AB 为较长的底边,这个等腰梯形可以分割为 一个矩形和两个全等的直角三角形,AB 边分成的 3 小段,两侧的线段长线段. 2.△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH,可以通过割补得到,即△OFG 减去△OEH. 3.求△OEH 的面积时,如果构造底边 OH 上的高 EK,那么 Rt△EHK 的直角边的比为 1∶2. 4.设点 A′移动的水平距离为 m,那么所有的直角三角形的直角边都可以用 m 表示.

满分解答
(1)将 A(1,2)、O(0,0)、C(2,1)分别代入 y=ax2+bx+c, ? a ? b ? c ? 2, 7 3 7 3 得? 解得 a ? ? , b ? , c ? 0 . 所以 y ? ? x 2 ? x . ?c ? 0, 2 2 2 2 ? 4a ? 2b ? c ? 1. ? (2)如图 2,过点 P、M 分别作梯形 ABPM 的高 PP′、MM′,如果梯形 ABPM 是等腰 梯形,那么 AM′=BP′,因此 yA-y M′=yP′-yB. 直线 OC 的解析式为 y ?

1 x ,设点 P 的坐标为 ( x, 1 x) ,那么 M ( x, ? 3 x 2 ? 7 x) . 2 2 2 2

3 7 1 2 解方程 2 ? (? x 2 ? x) ? x ,得 x1 ? , x2 ? 2 . 2 2 2 3

2 1 x=2 的几何意义是 P 与 C 重合,此时梯形不存在.所以 P ( , ) . 3 3

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 图3 (3)如图 3,△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH,作 EK⊥OD 于 K. 设点 A′移动的水平距离为 m,那么 OG=1+m,GB′=m. 1 1 1 在 Rt△OFG 中, FG ? OG ? (1 ? m) .所以 S ?OFG ? (1 ? m) 2 . 2 2 4 1 1 1 在 Rt△A′HG 中,A′G=2-m,所以 HG ? A ' G ? (2 ? m) ? 1 ? m . 2 2 2 1 3 所以 OH ? OG ? HG ? (1 ? m) ? (1 ? m) ? m . 2 2 在 Rt△OEK 中,OK=2 EK;在 Rt△EHK 中,EK=2HK;所以 OK=4HK. 4 4 3 1 因此 OK ? OH ? ? m ? 2m .所以 EK ? OK ? m . 3 3 2 2 1 1 3 3 2 所以 S ?OEH ? OH ? EK ? ? m ? m ? m . 2 2 2 4 1 3 1 1 1 1 1 3 于是 S ? S?OFG ? S ?OEH ? (1 ? m) 2 ? m 2 ? ? m 2 ? m ? ? ? (m ? ) 2 ? . 4 4 2 2 4 2 2 8 1 3 因为 0<m<1,所以当 m ? 时,S 取得最大值,最大值为 . 8 2

考点伸展
第(3)题也可以这样来解:设点 A′的横坐标为 a. 由直线 AC:y=-x+3,可得 A′(a, -a+3). 1 1 由直线 OC: y ? x ,可得 F (a, a ) . 2 2 由直线 OA:y=2x 及 A′(a, -a+3),可得直线 O′A′:y=2x-3a+3, H ( 由直线 OC 和直线 O′A′可求得交点 E(2a-2,a-1). 由 E、F、G、H 4 个点的坐标,可得

3a ? 3 , 0) . 2

挑战压轴题

马学斌?编著

例5

2011 年义乌市中考第 24 题

已知二次函数的图象经过 A(2,0) 、C(0,12) 两点,且对称轴为直线 x=4,设顶点为 点 P,与 x 轴的另一交点为点 B. (1)求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标; (2)如图 1,在直线 y=2x 上是否存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形?若存在, 求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点(O、P 两点除外) ,以每秒 2 个单位长度 的速度由点 P 向点 O 运动,过点 M 作直线 MN//x 轴,交 PB 于点 N. 将△PMN 沿直线 MN 对折,得到△P1MN. 在动点 M 的运动过程中,设△P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面 积为 S,运动时间为 t 秒,求 S 关于 t 的函数关系式.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“11 义乌 24” ,拖动点 M 从 P 向 O 运动,可以体验到,M 在到 达 PO 的中点前,重叠部分是三角形;经过中点以后,重叠部分是梯形.

思路点拨
1.第(2)题可以根据对边相等列方程,也可以根据对角线相等列方程,但是方程的解 都要排除平行四边形的情况. 2.第(3)题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段,临界点是 PO 的中点.

满分解答
( 1 )设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 4) ? k ,代入 A ( 2 , 0 ) 、 C(0 , 12) 两点,得
2

?4a ? k ? 0, ?a ? 1, 解得 ? ? ?16a ? k ? 12. ?k ? ?4.
所以二次函数的解析式为 y ? ( x ? 4) ? 4 ? x ? 8x ? 12 ,顶点 P 的坐标为(4,-4) .
2 2

(2)由 y ? x ? 8x ? 12 ? ( x ? 2)( x ? 6) ,知点 B 的坐标为(6,0) . 假设在等腰梯形 OPBD,那么 DP=OB=6.设点 D 的坐标为(x,2x). 2 2 2 由两点间的距离公式,得 ( x ? 4) ? (2 x ? 4) ? 36 .解得 x ? 或 x=-2. 5 如图 3,当 x=-2 时,四边形 ODPB 是平行四边形.
2

所以,当点 D 的坐标为(

2 4 , )时,四边形 OPBD 为等腰梯形. 5 5

挑战压轴题

马学斌?编著

图3

图4

图5

(3)设△PMN 与△POB 的高分别为 PH、PG. 在 Rt△PMH 中, PM ? 2t , PH ? MH ? t .所以 P ' G ? 2t ? 4 . 1 1 3 在 Rt△PNH 中, PH ? t , NH ? PH ? t .所以 MN ? t . 2 2 2

1 3 3 ① 如图 4, 当 0<t≤2 时, 重叠部分的面积等于△PMN 的面积. 此时 S ? ? t ? t ? t 2 . 2 2 4 ②如图 5,当 2<t<4 时,重叠部分是梯形,面积等于△PMN 的面积减去△P′DC 的面
积.由于
S△P ' DC ? P ' G ? ? 2t ? 4 ? 3 2 3 2 ?? ? ,所以 S△P ' DC ? ? ? ? t ? (2t ? 4) . S△PMN ? PH ? 4 ? t ? 4 3 3 9 此时 S ? t 2 ? (2t ? 4) 2 ? ? t 2 ? 12t ? 12 . 4 4 4
2

2

考点伸展
第(2)题最好的解题策略就是拿起尺、规画图: 方法一,按照对角线相等画圆.以 P 为圆心,OB 长为半径画圆,与直线 y=2x 有两个 交点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点. 方法二,按照对边相等画圆.以 B 为圆心,OP 长为半径画圆,与直线 y=2x 有两个交 点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点.

挑战压轴题

马学斌?编著

1.6
例1

因动点产生的面积问题
2015 年河南省中考第 23 题

如图 1, 边长为 8 的正方形 ABCD 的两边在坐标轴上, 以点 C 为顶点的抛物线经过点 A, 点 P 是抛物线上 A、C 两点间的一个动点(含端点) ,过点 P 作 PF⊥BC 于点 F.点 D、E 的坐标分别为(0, 6)、(-4, 0),联结 PD、PE、DE. (1)直接写出抛物线的解析式; (2) 小明探究点 P 的位置发现: 当点 P 与点 A 或点 C 重合时, PD 与 PF 的差为定值. 进 而猜想:对于任意一点 P,PD 与 PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由; (3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE 的面积为整数” 的点 P 记作“好点” , 则存在多个“好点” ,且使△PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点” . 请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标.

图1

备用图

动感体验
请打开几何画板文件名“15 河南 23” ,拖动点 P 在 A、C 两点间的抛物线上运动,观察 S 随 P 变化的图像,可以体验到, “使△PDE 的面积为整数” 的点 P 共有 11 个.

思路点拨
1.第(2)题通过计算进行说理.设点 P 的坐标,用两点间的距离公式表示 PD、PF 的长. 2.第(3)题用第(2)题的结论,把△PDE 的周长最小值转化为求 PE+PF 的最小值.

满分解答
(1)抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 8 . (2)小明的判断正确,对于任意一点 P,PD-PF=2.说理如下: 设点 P 的坐标为 ( x, ? x 2 ? 8) ,那么 PF=yF-yP= x 2 . 而 FD2= x 2 +(? x 2 ? 8 ? 6) 2 ? x 2 +( x 2 ? 2) 2 ? ( x 2 ? 2) 2 ,所以 FD= x 2 ? 2 . 因此 PD-PF=2 为定值. (3) “好点”共有 11 个. 在△PDE 中,DE 为定值,因此周长的最小值取决于 FD+PE 的最小值. 而 PD+PE=(PF+2)+PE=(PF+PE)+2,因此当 P、E、F 三点共线时,△PDE 的周 长最小(如图 2) . 此时 EF⊥x 轴,点 P 的横坐标为-4. 所以△PDE 周长最小时, “好点”P 的坐标为(-4, 6).

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

挑战压轴题

马学斌?编著

图2

图3

考点伸展
第(3)题的 11 个“好点”是这样求的: 如图 3,联结 OP,那么 S△PDE=S△POD+S△POE-S△DOE. 因为 S△POD= OD ? (? xP ) ? ?3 x ,S△POE= OE ? yP ? ? S△PDE= ?3 x ?

1 2

1 2

1 2 x ? 16 ,S△DOE=12,所以 4

1 2 1 1 x ? 16 ? 12 = ? x 2 ? 3 x ? 4 = ? ( x ? 6) 2 ? 13 . 4 4 4

因此 S 是 x 的二次函数,抛物线的开口向下,对称轴为直线 x=-6. 如图 4,当-8≤x≤0 时,4≤S≤13.所以面积的值为整数的个数为 10. 当 S=12 时,方程 ? ( x ? 6) 2 ? 13 ? 12 的两个解-8, -4 都在-8≤x≤0 范围内. 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有 11 个.

1 4

图4

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年昆明市中考第 23 题

如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx-3(a≠0)与 x 轴交于 A(-2, 0)、 B(4, 0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 从点 A 出发,在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 B 运动,同时点 Q 从点 B 出发, 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动. 其中一个点到达终点 时,另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时,求运动多少秒时△PBQ 的面积最大,最大面 积是多少? (3)当△PBQ 的面积最大时,在 BC 下方的抛物线上存在点 K,使 S△CBK∶S△PBQ=5∶ 2,求点 K 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 昆明 23” ,拖动点 P 从 A 向 B 运动,可以体验到,当 P 运 动到 AB 的中点时,△PBQ 的面积最大.双击按钮“△PBQ 面积最大” ,再拖动点 K 在 BC 下方的抛物线上运动,观察度量值,可以体验到,有两个时刻面积比为 2.5.

思路点拨
1.△PBQ 的面积可以表示为 t 的二次函数,求二次函数的最小值. 2. △PBQ 与△PBC 是同高三角形, △PBC 与△CBK 是同底三角形, 把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比.

满分解答
(1)因为抛物线与 x 轴交于 A(-2, 0)、B(4, 0)两点,所以 y=a(x+2)(x-4). 3 所以-8a=-3.解得 a ? . 8 3 3 3 所以抛物线的解析式为 y ? ( x ? 2)( x ? 4) ? x2 ? x ? 3 . 8 8 4 (2)如图 2,过点 Q 作 QH⊥x 轴,垂足为 H. 3 在 Rt△BCO 中,OB=4,OC=3,所以 BC=5,sinB= . 5 3 在 Rt△BQH 中,BQ=t,所以 QH=BQsinB= t. 5 1 1 3 9 9 所以 S△PBQ= BP ? QH ? (6 ? 3t ) ? t ? ? (t ? 1)2 ? . 2 2 5 10 10 9 因为 0≤t≤2,所以当 t=1 时,△PBQ 的面积最大,最大面积是 。 10 (3)当△PBQ 的面积最大时,t=1,此时 P 是 AB 的中点,P(1, 0),BQ=1。 如图 3,因为△PBC 与△PBQ 是同高三角形,S△PBC∶S△PBQ=BC∶BQ=5∶1。 当 S△CBK∶S△PBQ=5∶2 时,S△PBC∶S△CBK=2∶1。 因为△PBC 与△CBK 是同底三角形,所以对应高的比为 2∶1。 如图 4,过 x 轴上的点 D 画 CB 的平行线交抛物线于 K,那么 PB∶DB=2∶1。

挑战压轴题

马学斌?编著

11 因为点 K 在 BC 的下方,所以点 D 在点 B 的右侧,点 D 的坐标为 ( ,0) . 2 3 过点 K 作 KE⊥x 轴于 E.设点 K 的坐标为 ( x, ( x ? 2)( x ? 4)) . 8 3 ( x ? 2)( x ? 4) 3 KE CO 8 由 ,得 ? .整理,得 x2-4x+3=0. ? 9 4 DE BO ?x 2 27 15 解得 x=1,或 x=3.所以点 K 的坐标为 (1, ? ) 或 (3, ? ) . 8 8

图2

图3

图4

考点伸展
第(3)题也可以这样思考: 由 S△CBK∶S△PBQ=5∶2,S△PBQ=

9 9 ,得 S△CBK= . 10 4

3 3 如图 5,过点 K 作 x 轴的垂线交 BC 于 F.设点 K 的坐标为 ( x, x2 ? x ? 3) . 8 4 3 3 由于点 F 在直线 BC: y ? x ? 3 上.所以点 F 的坐标为 ( x, x ? 3) . 4 4 3 3 2 3 3 2 3 所以 KF= ( x ? 3) ? ( x ? x ? 3) ? ? x ? x . 4 8 4 8 2 △CBK 被 KF 分割为△CKF 和△BKF,他们的高的和为 OB=4. 1 3 3 9 所以 S△CBK= ? 4(? x2 ? x) ? .解得 x=1,或 x=3. 2 8 2 4

图5

挑战压轴题

马学斌?编著

例3
如图 1,已知抛物线 y ?

2013 年苏州市中考第 29 题

1 2 x ? bx ? c (b、c 是常数,且 c<0)与 x 轴交于 A、B 两点 2

(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴的负半轴交于点 C,点 A 的坐标为(-1,0). (1)b=______,点 B 的横坐标为_______(上述结果均用含 c 的代数式表示) ; (2)连结 BC,过点 A 作直线 AE//BC,与抛物线交于点 E.点 D 是 x 轴上一点,坐标 为(2,0),当 C、D、E 三点在同一直线上时,求抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点,连结 PB、PC.设△PBC 的面积为 S. ①求 S 的取值范围; ②若△PBC 的面积 S 为正整数,则这样的△PBC 共有_____个.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 苏州 29” ,拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动,可以体验到, △EHA 与△COB 保持相似.点击按钮“C、D、E 三点共线” ,此时△EHD∽△COD.拖动 点 P 从 A 经过 C 到达 B,数一数面积的正整数值共有 11 个. 请打开超级画板文件名“13 苏州 29” ,拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动,可以体验到, △EHA 与△COB 保持相似.点击按钮“C、D、E 三点共线” ,此时△EHD∽△COD.拖动 点 P 从 A 经过 C 到达 B,数一数面积的正整数值共有 11 个.

思路点拨
1.用 c 表示 b 以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现 OB=2OC. 2.当 C、D、E 三点共线时,△EHA∽△COB,△EHD∽△COD. 3.求△PBC 面积的取值范围,要分两种情况计算,P 在 BC 上方或下方. 4. 求得了 S 的取值范围, 然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中, 面积的正整数值, 再数一数个数.注意排除点 A、C、B 三个时刻的值.

满分解答
1 ,点 B 的横坐标为-2c. 2 1 1 1 1 (2)由 y ? x 2 ? (c ? ) x ? c ? ( x ? 1)( x ? 2c) ,设 E ( x, ( x ? 1)( x ? 2c)) . 2 2 2 2
(1)b= c ? 过点 E 作 EH⊥x 轴于 H. 由于 OB=2OC,当 AE//BC 时,AH=2EH. 所以 x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 2c) .因此 x ? 1 ? 2c .所以 E (1 ? 2c,1 ? c) .

EH CO 1? c ?c .所以 . ? ? DH DO ?2c ? 1 2 1 整理,得 2c2+3c-2=0.解得 c=-2 或 c ? (舍去) . 2 1 3 所以抛物线的解析式为 y ? x 2 ? x ? 2 . 2 2
当 C、D、E 三点在同一直线上时,

挑战压轴题

马学斌?编著

(3)①当 P 在 BC 下方时,过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 F. 直线 BC 的解析式为 y ? 设 P (m, m 2 ?

1 x?2 . 2

3 1 1 m ? 2) ,那么 F (m, m ? 2) , FP ? ? m 2 ? 2m . 2 2 2 1 所以 S△PBC=S△PBF+S△PCF= FP( xB ? xC ) ? 2 FP ? ?m 2 ? 4m ? ?(m ? 2) 2 ? 4 . 2
因此当 P 在 BC 下方时,△PBC 的最大值为 4. 当 P 在 BC 上方时,因为 S△ABC=5,所以 S△PBC<5. 综上所述,0<S<5. ②若△PBC 的面积 S 为正整数,则这样的△PBC 共有 11 个.

1 2

考点伸展
点 P 沿抛物线从 A 经过 C 到达 B 的过程中,△PBC 的面积为整数,依次为(5) ,4,3, 2,1, (0) ,1,2,3,4,3,2,1, (0) . 当 P 在 BC 下方,S=4 时,点 P 在 BC 的中点的正下方,F 是 BC 的中点.

挑战压轴题

马学斌?编著

例4

2012 年菏泽市中考第 21 题

如图 1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0), 将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°,得到三角形 A′B′O. (1)一抛物线经过点 A′、B′、B,求该抛物线的解析式; (2)设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点 P,使四边形 PB′A′B 的面 积是△A′B′O 面积的 4 倍?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,试指出四边形 PB′A′B 是哪种形状的四边形?并写出它的两条 性质.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 菏泽 21” ,拖动点 P 在第一象限内的抛物线上运动,可以 体验到,当四边形 PB′A′B 是等腰梯形时,四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍. 请打开超级画板文件名“12 菏泽 21” ,拖动点 P 在第一象限内的抛物线上运动,可以 体验到,当四边形 PB′A′B 是等腰梯形时,四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍.

思路点拨
1.四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍,可以转化为四边形 PB′OB 的面积是 △A′B′O 面积的 3 倍. 2.联结 PO,四边形 PB′OB 可以分割为两个三角形. 3.过点向 x 轴作垂线,四边形 PB′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.

满分解答
(1)△AOB 绕着原点 O 逆时针旋转 90°,点 A′、B′的坐标分别为(-1, 0) 、(0, 2). 因为抛物线与 x 轴交于 A′(-1, 0)、B(2, 0),设解析式为 y=a(x+1)(x-2), 代入 B′(0, 2),得 a=1. 所以该抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-2) =-x2+x+2. (2)S△A′B′O=1. 如果 S 四边形 PB′A′B=4 S△A′B′O=4,那么 S 四边形 PB′OB=3 S△A′B′O=3. 如图 2,作 PD⊥OB,垂足为 D. 设点 P 的坐标为 (x,-x2+x+2). 1 1 1 1 S梯形PB 'OD ? DO( B ' O ? PD) ? x(2 ? x 2 ? x ? 2) ? ? x 3 ? x 2 ? 2 x . 2 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 S?PDB ? DB ? PD ? (2 ? x)(? x ? x ? 2) ? x ? x ? 2 . 2 2 2 2 所以 S四边形PB ' A' D ? S梯形PB 'OD ? S?PDB ? ?x2 ? 2x+2 . 解方程-x2+2x+2=3,得 x1=x2=1. 所以点 P 的坐标为(1,2).

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 图3 图4 (3)如图 3,四边形 PB′A′B 是等腰梯形,它的性质有:等腰梯形的对角线相等;等腰 梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.

考点伸展
第(2)题求四边形 PB′OB 的面积,也可以如图 4 那样分割图形,这样运算过程更简单. 1 1 S?PB 'O ? B ' O ? xP ? ? 2 x ? x . 2 2 1 1 S?PBO ? BO ? yP ? ? 2(? x 2 ? x ? 2) ? ? x 2 ? x ? 2 . 2 2 所以 S四边形PB ' A' D ? S?PB 'O ? S?PBO ? ?x2 ? 2x+2 . 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点 P: 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点 E 的坐标为(1,2). 而矩形 EB′OD 与△A′OB′、△BOP 是等底等高的,所以四边形 EB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍.因此点 E 就是要探求的点 P.

挑战压轴题

马学斌?编著

例 5

2012 年河南省中考第 23 题

1 2 B 两点, x ? 1 与抛物线 y=ax +bx-3 交于 A、 2 点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点(不与点 A、 B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C,作 PD⊥AB 于点 D. (1)求 a、b 及 sin∠ACP 的值; (2)设点 P 的横坐标为 m. ①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长,并求出线段 PD 长的最大值; ②连结 PB,线段 PC 把△PDB 分成两个三角形,是否存在适合的 m 的值,使这两个三 角形的面积比为 9∶10?若存在,直接写出 m 的值;若不存在,请说明理由.
如图 1, 在平面直角坐标系中, 直线 y ?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 河南 23” ,拖动点 P 在直线 AB 下方的抛物线上运动,可以 体验到,PD 随点 P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分,当 C 是 AB 的中点时,PD 达到最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是 9∶10, 也可以是 10∶9.

思路点拨
1.第(1)题由于 CP//y 轴,把∠ACP 转化为它的同位角. 2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫. 3.△PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比. 4.两个三角形的面积比为 9∶10,要分两种情况讨论.

满分解答
1 x ? 1 与 y 轴交于点 E,那么 A(-2,0),B(4,3),E(0,1). 2 2 5 在 Rt△AEO 中,OA=2,OE=1,所以 AE ? 5 .所以 sin ?AEO ? . 5 2 5 因为 PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此 sin ?ACP ? . 5 ?4a ? 2b ? 3 ? 0, 将 A(-2,0)、B(4,3)分别代入 y=ax2+bx-3,得 ? ?16a ? 4b ? 3 ? 3. 1 1 解得 a ? , b ? ? . 2 2 1 2 1 1 (2)由 P(m, m ? m ? 3) , C (m, m ? 1) , 2 2 2 1 1 2 1 1 2 得 PC ? ( m ? 1) ? ( m ? m ? 3) ? ? m ? m ? 4 . 2 2 2 2
(1)设直线 y ?

挑战压轴题

马学斌?编著

所以 PD ? PC sin ?ACP ? 所以 PD 的最大值为

2 5 2 5 1 2 5 9 5 . PC ? (? m ?m ? 4) ? ? (m ? 1)2 ? 5 5 2 5 5

9 5 . 5
5 ; 2

(3)当 S△PCD∶S△PCB=9∶10 时, m ? 当 S△PCD∶S△PCB=10∶9 时, m ?

32 . 9

图2

考点伸展
第(3)题的思路是:△PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比. 而 DN ? PD cos ?PDN ? PD cos ?ACP ? BM=4-m.

5 2 5 1 2 1 ? (? m ?m ? 4) ? ? (m ? 2)(m ? 4) , 5 5 2 5

1 9 5 ①当 S△PCD∶S△PCB=9∶10 时, ? (m ? 2)(m ? 4) ? (4 ? m) .解得 m ? . 5 10 2 1 10 32 ②当 S△PCD∶S△PCB=10∶9 时, ? (m ? 2)(m ? 4) ? (4 ? m) .解得 m ? . 5 9 9

挑战压轴题

马学斌?编著

例 6

2011 年南通市中考第 28 题

m (x>0)交于点 B(2, 1). 过点 P( p, p ?1) (p x m m >1)作 x 轴的平行线分别交曲线 y ? (x>0)和 y ? ? (x<0)于 M、N 两点. x x (1)求 m 的值及直线 l 的解析式; (2)若点 P 在直线 y=2 上,求证:△PMB∽△PNA; (3)是否存在实数 p,使得 S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的 p 的值; 若不存在,请说明理由.
如图 1, 直线 l 经过点 A(1, 0), 且与双曲线 y ?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 南通 28” ,拖动点 P 在射线 AB 上运动,可以体验到,当直 线 MN 经过(0,2)点时,图形中的三角形都是等腰直角三角形;△AMN 和△AMP 是两 个同高的三角形,MN=4MP 存在两种情况.

思路点拨
1.第(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中. 2.第(3)题把 S△AMN=4S△AMP 转化为 MN=4MP,按照点 M 与线段 NP 的位置关系分 两种情况讨论.

满分解答
m 上,所以 m=2.设直线 l 的解析式为 y ? kx ? b , x ?k ? b ? 0, 解得 ?k ? 1, 所以直线 l 的解析式为 代入点 A(1,0)和点 B(2,1),得 ? y ? x ?1. ? ?2k ? b ? 1. ?b ? ?1. (2)由点 P( p, p ?1) (p>1)的坐标可知,点 P 在直线 y ? x ? 1 上 x 轴的上方.如图 2, 当 y=2 时,点 P 的坐标为(3,2).此时点 M 的坐标为(1,2),点 N 的坐标为(-1,2). 由 P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB 为等腰直角三角形. 由 P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA 为等腰直角三角形. 所以△PMB∽△PNA.
(1)因为点 B(2,1)在双曲线 y ?

图2

图3

图4

挑战压轴题

马学斌?编著

(3)△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形,底边 MN 和 MP 在同一条直线上. 当 S△AMN=4S△AMP 时,MN=4MP. 2 2 ? 2? ? ①如图 3,当 M 在 NP 上时,xM-xN=4(xP-xM).因此 ? ? ? (? ) ? ? 4 ? ( x ? 1) ? ? .解 x ? x? ?x ? 1 ? 13 或 1 ? 13 (此时点 P 在 x 轴下方,舍去) 1 ? 13 . 得x? .此时 p ? x? 2 2 2 ② 如 图 4 , 当 M 在 NP 的 延 长 线 上 时 , xM - xN = 4(xM - xP) . 因 此

1? 5 或 1 ? 5 (此时点 P 在 x 轴下方,舍去) 2 ? ?2 ?2 ? .解得 .此 x? x? x( ? 1 ) ? ? ( ? )? ? 4? ? ? 2 2 x ? ?x ?x ? 1? 5 . 时p? 2

考点伸展
在本题情景下,△AMN 能否成为直角三角形? 情形一,如图 5,∠AMN=90°,此时点 M 的坐标为(1,2) ,点 P 的坐标为(3,2) . 情形二,如图 6,∠MAN=90°,此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半. 不存在∠ANM=90°的情况.

图5

图6

挑战压轴题

马学斌?编著

例7

2010 年广州市中考第 25 题
1 x ? b 交折线 OAB 于点 E. 2

如图 1,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为(3,0),(0,1).点 D 是线段 BC 上 的动点(与端点 B、C 不重合) ,过点 D 作直线 y ? ?

(1)记△ODE 的面积为 S,求 S 与 b 的函数关系式; (2) 当点 E 在线段 OA 上时, 若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1, 试探究四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠 部分的面积;若改变,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“10 广州 25” ,拖动点 D 由 C 向 B 运动,观察 S 随 b 变化的函 数图象,可以体验到,E 在 OA 上时,S 随 b 的增大而增大;E 在 AB 上时,S 随 b 的增大而 减小.双击按钮“第(3)题” ,拖动点 D 由 C 向 B 运动,可以观察到,E 在 OA 上时,重 叠部分的形状是菱形,面积不变.双击按钮“第(2)题”可以切换.

思路点拨
1.数形结合,用 b 表示线段 OE、CD、AE、BE 的长. 2.求△ODE 的面积,要分两种情况.当 E 在 OA 上时,OE 边对应的高等于 OC;当 E 在 AB 边上时,要利用割补法求△ODE 的面积. 3.第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形. 4.图形翻着、旋转等运动中,计算菱形的边长一般用勾股定理.

满分解答
(1)①如图 2, 当 E 在 OA 上时, 由y?? 时 S=S△ODE=

1 x ? b 可知, 点 E 的坐标为(2b,0), OE=2b. 此 2

1 1 OE ? OC ? ? 2b ?1 ? b . 2 2

1 x ? b 可知,点 D 的坐标为(2b-2,1), 2 1 3 CD=2b-2,BD=5-2b.把 x=3 代入 y ? ? x ? b 可知,点 E 的坐标为 (3, b ? ) ,AE 2 2 3 5 = b ? ,BE= ? b .此时 2 2
②如图 3,当 E 在 AB 上时,把 y=1 代入 y ? ? S=S 矩形 OABC-S△OAE- S△BDE -S△OCD =3?

1 3 1 5 1 ? 3(b ? ) ? ( ? b)(5 ? 2b) ? ?1? (2b ? 2) 2 2 2 2 2

挑战压轴题

马学斌?编著

5 ? ?b 2 ? b . 2
(2)如图 4,因为四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 关于直线 DE 对称,因此 DM=DN,那 么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形 DMEN 是菱形. 作 DH⊥OA,垂足为 H.由于 CD=2b-2,OE=2b,所以 EH=2. 设菱形 DMEN 的边长为 m.在 Rt△DEH 中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以 12+ (2-m)2=m2.解得 m ?

5 5 .所以重叠部分菱形 DMEN 的面积为 . 4 4

图2

图3

图4

考点伸展
把本题中的矩形 OABC 绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图 5) , 那么这个菱形的最小面积为 1,如图 6 所示;最大面积为

5 ,如图 7 所示. 3

图5

图6

图7

挑战压轴题

马学斌?编著

1.7
例 1

因动点产生的相切问题

2015 年上海市闵行区中考模拟第 24 题

如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2-2ax-4 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴 交于点 C,其中点 A 的坐标为(-3,0),点 D 在线段 AB 上,AD=AC. (1)求这条抛物线的解析式,并求出抛物线的对称轴; (2)如果以 DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切,求⊙C 的半径; (3)设点 M 在线段 AB 上,点 N 在线段 BC 上,如果线段 MN 被直线 CD 垂直平分, 求

BN 的值. CN

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“15 闵行 24” ,拖动点 N 在 BC 上运动,可以体验到,当 DC 垂 直平分 MN 时,∠NDC=∠ADC=∠ACD,此时 DN//AC.

思路点拨
1.准确描绘 A、B、C、D 的位置,把相等的角标注出来,利于寻找等量关系. 2.第(3)题在图形中模拟比划 MN 的位置,近似 DC 垂直平分 MN 时,把新产生的等 角与前面存在的等角对比,思路就有了.

满分解答
(1)将点 A(-3,0)代入 y=ax2-2ax-4,得 15a-4=0. 解得 a ?

4 4 2 8 .所以抛物线的解析式为 y ? x ? x?4. 15 15 15 4 2 8 4 x ? x ? 4 ? ( x ? 3)( x ? 5) ,得 B(5, 0),C(0,-4). 15 15 15

抛物线的对称轴为直线 x=1. (2)由 y ?

由 A(-3,0)、B(5, 0)、C(0,-4),得 AB=8,AC=5. 当 AD=AC=5 时,⊙D 的半径 DB=3. 由 D(2, 0)、C(0,-4),得 DC= 2 5 . 因此当⊙D 与⊙C 外切时,⊙C 的半径为 2 5 ? 3 (如图 2 所示) . (3)如图 3,因为 AD=AC,所以∠ACD=∠ADC. 如果线段 MN 被直线 CD 垂直平分,那么∠ADC=∠NDC. 这时∠ACD=∠NDC.所以 DN//AC. 于是

BN BD 3 ? ? . CN AD 5

挑战压轴题

马学斌?编著

图2

图3

考点伸展
解第(3)题画示意图的时候,容易误入歧途,以为 M 就是点 O.这是为什么呢? 我们反过来计算: 当 DN//AC,

BN 3 DN 3 3 15 ? 时, ? ,因此 DM=DN= AC ? . CN 5 AC 8 8 8

而 DO=2,你看 M、O 相距是多么的近啊. 放大还原事实的真相,如图 4 所示.

图4

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题
3 5

已知 OA=5,sin∠O= ,点 D 为线段 OA 上的动点, 以 A 为圆心、AD 为半径作⊙A. (1)如图 1,若⊙A 交∠O 于 B、C 两点,设 OD=x, BC=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)将⊙A 沿直线 OB 翻折后得到⊙A′. ①若⊙A′与直线 OA 相切,求 x 的值; ②若⊙A′与以 D 为圆心、DO 为半径的⊙D 相切,求 x 的值. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 徐汇 25” ,拖动点 D 运动,可以体验到,⊙A′可以与直线 OA 相切于点 H,⊙A′与⊙D 可以外切一次,不能内切.

思路点拨
1.把不变的量先标记出来,圆心 A 到直线 OB 的距离 AE=3,翻折以后的圆心 A′的位 置不变,AA′=2AE=6. 2.若⊙A′与直线 OA 相切,那么圆心 A′到直线 OA 的距离等于圆的半径,由此自然就构 造出垂线,以 AA′为斜边的直角三角形的三边长就是确定的. 3.探究两圆相切,在罗列三要素 R、r、d 的过程中,发现先要突破圆心距 A′D.

满分解答
(1)如图 2,作 AE⊥BC,垂足为 E,那么 E 是 BC 的中点. 在 Rt△OAE 中,OA=5,sin∠O= ,所以 AE=3. 在 Rt△BAE 中,AB=AD=5-x,AE=3,BE= 由勾股定理,得 (5 ? x) 2 ? 32 ? ( y ) 2 . 整理,得 y ? 2 x2 ? 10 x ? 16 .定义域是 0≤x<2.

3 5

1 1 BC ? y , 2 2

1 2

图2 图3 (2)①如图 3,将⊙A 沿直线 OB 翻折后得到⊙A′,AA′=2AE=6. 作 A′H⊥OA,垂足为 H. 在 Rt△A′AH 中,AA′=6,sin∠A′= ,所以 AH= 若⊙A′与直线 OA 相切,那么半径等于 A′H. 解方程 5 ? x ?

3 5

18 24 ,A′H= . 5 5

24 1 ,得 x ? . 5 5

挑战压轴题

马学斌?编著

②如图 4,在 Rt△A′DH 中, A ' D ? (

24 2 18 14 ) ? (5 ? x ? ) 2 ? x 2 ? x ? 25 . 5 5 5

对于⊙A′,R=5-x;对于⊙D,r=DO=x;圆心距 d=A′D.

14 14 . x ? 25 ? 5 ? x ? x .解得 x ? (如图 4) 5 5 14 如果两圆内切,由 d=|R-r|,得 x 2 ? x ? 25 ?| 5 ? x ? x | . 5 86 解得 x ? ? 5 .所以两圆不可能内切. 15
如果两圆外切,由 d=R+r,得 x 2 ?

图4

图5

考点伸展
当 D 为 OA 的中点时,⊙A′与以 D 为圆心、DA 为半径的⊙D 是什么位置关系?

5 ,两圆不可能内切. 2 18 5 11 当 D 为 OA 的中点时,DH=AH-AD= ? ? . 5 2 10 24 11 2425 此时 A ' D ? ( )2 ? ( )2 ? ? 25 ? 5 .因此两圆的半径和大于圆心距,此时 5 10 100
⊙A′和⊙D 等圆,R= 两圆是相交的(如图 5) .

挑战压轴题

马学斌?编著

例3

2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题

如图 1,已知⊙O 的半径长为 3,点 A 是⊙O 上一定点,点 P 为⊙O 上不同于点 A 的动 点. (1)当 tan A ? 1 时,求 AP 的长;
2

(2)如果⊙Q 过点 P、O,且点 Q 在直线 AP 上(如图 2) ,设 AP=x,QP=y,求 y 关 于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (3)在(2)的条件下,当 tan A ? 4 时(如图 3) ,存在⊙M 与⊙O 相内切,同时与⊙Q
3

相外切,且 OM⊥OQ,试求⊙M 的半径的长.

图1

图2

图3

动感体验
请打开几何画板文件名“13 杨浦 25” ,拖动点 P 在⊙O 上运动,可以体验到,等腰三角 形 QPO 与等腰三角形 OAP 保持相似,y 与 x 成反比例.⊙M、⊙O 和⊙Q 三个圆的圆心距 围成一个直角三角形. 请打开超级画板文件名“13 杨浦 25” ,拖动点 P 在⊙O 上运动,可以体验到, y 与 x 成反比例.拖动点 P 使得 QP ? 5 ,拖动点 M 使得⊙M 的半径约为 0.82,⊙M 与⊙O 相内切,
2

同时与⊙Q 相外切.拖动点 P 使得 QP ? 5 ,拖动点 M 使得⊙M 的半径约为 9,⊙M 与⊙O、
2

⊙Q 都内切.

思路点拨
1.第(1)题的计算用到垂径定理和勾股定理. 2.第(2)题中有一个典型的图,有公共底角的两个等腰三角形相似. 3.第(3)题先把三个圆心距罗列出来,三个圆心距围成一个直角三角形,根据勾股定 理列方程.

满分解答
(1)如图 4,过点 O 作 OH⊥AP,那么 AP=2AH. 在 Rt△OAH 中,OA=3, tan A ? 1 ,设 OH=m,AH=2m,那么 m2+(2m)2=32.
2 12 5 3 5 解得 m ? .所以 AP ? 2 AH ? 4m ? . 5 5

(2)如图 5,联结 OQ、OP,那么△QPO、△OAP 是等腰三角形. 又因为底角∠P 公用,所以△QPO∽△OAP. 因此 QP ? OP ,即 y ? 3 .
PO PA 3 x 9 由此得到 y ? .定义域是 0<x≤6. x

挑战压轴题

马学斌?编著

图4 图5 (3)如图 6,联结 OP,作 OP 的垂直平分线交 AP 于 Q,垂足为 D,那么 QP、QO 是 ⊙Q 的半径. 在 Rt△QPD 中, PD ? 1 PO ? 3 , tan P ? tan A ? 4 ,因此 QP ? 5 .
2 2 3

2

如图 7,设⊙M 的半径为 r. 由⊙M 与⊙O 内切, rO ? 3 ,可得圆心距 OM=3-r.
2 2 5 5 在 Rt△QOM 中, QO ? ,OM=3-r, QM ? ? r ,由勾股定理,得 2 2 5 5 9 ( ? r )2 ? (3 ? r )2 ? ( )2 .解得 r ? . 2 2 11

由⊙M 与⊙Q 外切, rQ ? QP ? 5 ,可得圆心距 QM ? 5 ? r .

图6

图7

图8

考点伸展
如图 8,在第(3)题情景下,如果⊙M 与⊙O、⊙Q 都内切,那么⊙M 的半径是多少? 同样的,设⊙M 的半径为 r. 由⊙M 与⊙O 内切, rO ? 3 ,可得圆心距 OM=r-3. 由⊙M 与⊙Q 内切, rQ ? QP ? 5 ,可得圆心距 QM ? r ? 5 .
2 2 5 2 5 在 Rt△QOM 中,由勾股定理,得 (r ? ) ? (r ? 3)2 ? ( )2 .解得 r=9. 2 2

挑战压轴题

马学斌?编著

1.8
例 1
2

因动点产生的线段和差问题
2015 年福州市中考第 26 题

如图 1,抛物线 y=x -4x 与 x 轴交于 O、A 两点,P 为抛物线上一点,过点 P 的直线 y=x+m 与抛物线的对称轴交于点 Q. (1)这条抛物线的对称轴是_________,直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数是______; (2)若两个三角形的面积满足 S△OQP= S△PAQ,求 m 的值; (3)当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时,过点 C(2, 2)的直线 AC 与直线 PQ 交于点 D,求: ①PD+DQ 的最大值;②PD?DQ 的最大值. 图

1 3

动感体验
请打开几何画板文件名“15 福州 26” ,拖动点 P 在抛物线上运动,可以体验到,OH∶ AH=1∶3 存在两种情况.点击屏幕左下角的按钮“第(3)题” ,拖动点 P 在 x 轴下方的抛 物线上运动,观察图像“+随 P”和“?随 P” ,可以体验到,当点 P 运动到抛物线的顶点 时,点 P 与点 Q 重合,此时 PD+QD 最大,PD?QD 也最大.

思路点拨
1.第(2)题△OQP 与△PAQ 是同底三角形,把面积比转化为对应高的比,进而确定 线段 OA 的分点的位置,从而得到直线 PQ 与 y 轴的交点坐标. 2.第(3)题中,△CQD 保持等腰直角三角形的形状.

满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线x=2,直线PQ与x轴的夹角为45°. (2)因为△OQP与△PAQ有公共边PQ,所以它们的面积比等于对应高的比. 如图2,作OM⊥PQ于M,AN⊥PQ于N.

OM 1 ? . AN 3 OH OM 1 设直线PQ与x轴交于点H,那么 ? ? . AH AN 3
当S△OQP= S△PAQ时, 由y=x2-4x=x(x-4),得A(4, 0).所以OA=4. ①如图2,当点H在线段OA上时,OH=1,H(1, 0).此时m=-1. ②如图3,当点H在AO的延长线上时,OH=2,H(-2, 0).此时m=2. (3)①如图 4,由 A(4, 0)、C(2, 2),得直线 AC 与 x 轴的夹角为 45°,点 C 在抛物线 的对称轴上. 又因为直线PQ与x轴的夹角为45°,所以△CDQ是等腰直角三角形. 作点Q关于直线AC的对称点Q′,那么△CQQ′是等腰直角三角形,CQ′//x轴. 所以DQ=DQ′.因此PD+DQ=PD+DQ′=PQ′. 作PP′⊥CQ′,垂足为P′,那么△PP′Q′是等腰直角三角形. 因此当PP′最大时,PQ′也最大. 当点P运动到抛物线的顶点(2,-4)时,PP′最大,最大值PP′=6. 此时PQ′的最大值为 6 2 ,即PD+DQ的最大值为 6 2 .

1 3

挑战压轴题

马学斌?编著

图2

图3

图4

②由于 PD+DQ≤ 6 2 ,设 PD=a,那么 DQ≤ 6 2 ? a . 因此 PD?QD≤ a(6 2 ? a) ? ?(a ? 3 2)2 ? 18 . 所以当 a= 3 2 时,PD?QD 的最大 值为 18.此时 PD=DQ= 3 2 ,P、Q 两点重合于抛物线的顶点.

考点伸展
第(3)①题可以用代数法来解: 因为点 P 在抛物线 y=x2-4x 上,设 P(n, n2-4n). 将 P(n, n2-4n)代入直线 y=x+m,可得 m=n2-5n. 所以直线 PQ 可以表示为 y=x+n2-5n,那么 Q(2, 2+n2-5n). 联立直线 AC:y=-x+4 和直线 PQ:y=x+n2-5n,可得 2xD=4-n2+5n. 于是 PD+DQ= 2( xD ? xP ) ? 2( xD ? xQ ) = 2(2 xD ? xP ? xQ ) = 2(4 ? n2 ? 5n ? 2 ? n) ? ? 2(n ? 2)2 ? 6 2 . 所以当 n=2 时,PD+DQ 的最大值为 6 2 .当 n=2 时点 P 在抛物线的顶点.

挑战压轴题

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例2

2014 年广州市中考第 24 题

已知平面直角坐标系中两定点 A(-1, 0)、 B(4, 0), 抛物线 y=ax2+bx-2 (a≠0) 过点 A、 B,顶点为 C,点 P(m, n)(n<0)为抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标; (2)当∠APB 为钝角时,求 m 的取值范围; 3 5 (3)若 m> ,当∠APB 为直角时,将该抛物线向左或向右平移 t(0<t< )个单位, 2 2 点 C、P 平移后对应的点分别记为 C′、P′,是否存在 t,使得顺次首尾连接 A、B、P′、C′所 构成的多边形的周长最短?若存在,求 t 的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明 理由.

动感体验
请打开几何画板文件名“14 广州 24” ,拖动点 C′左右移动,可以体验到,点 B′、B′′的 位置是确定不动的,这是因为点 P、C 是确定不动的,BB′、P′C′、PC 平行且相等.当点 C′ 落在线段 AB′′上时,四边形的周长最小.

思路点拨
1.要探求∠APB 为钝角时点 P 的范围,需要先找到∠APB 为直角时点 P 的位置. 2.直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形. 3.求两条线段的和最小,是典型的“牛喝水”问题.本题的四条线段中,有两条的长 是定值,把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来,就转化为“牛喝水”问题.

满分解答
(1)因为抛物线 y=ax2+bx-2 与 x 轴交于 A(-1, 0)、B(4, 0)两点, 所以 y=a(x+1)(x-4)=ax2-3ax-4a. 1 3 所以-4a=-2,b=-3a.所以 a ? , b ? ? . 2 2 1 2 3 1 3 2 25 所以 y ? x ? x ? 2 ? ( x ? ) ? 。 2 2 2 2 8 3 25 顶点为 C ( , ? ) . 2 8 (2)如图 1,设抛物线与 y 轴的交点为 D. OA OD 由 A(-1, 0)、B(4, 0)、D(0,-2),可知 . ? OD OB 所以△AOD∽△DOB.因此∠ADO=∠DBO. 由于∠DBO 与∠BDO 互余,所以∠ADO 与∠BDO 也互 余. 图1 于是可得∠ADB=90°.因此以 AB 为直径的圆经过点 D. 当点 P 在 x 轴下方圆的内部时,∠APB 为钝角,此时-1<m<0,或 3<m<4. 3 (3)若 m> ,当∠APB 为直角时,点 P 与点 D 关于抛物线的对称轴对称,因此点 P 2 的坐标为(3,-2). 如图 2,由于点 A、B、P、C 是确定的,BB′、P′C′、PC 平行且相等,所以 A、B、P′、 C′四点所构成的四边形中,AB 和 P′C′的长是确定的. 25 如图 3,以 P′C′、P′B 为邻边构造平行四边形 C′P′BB′,以直线 y ? ? 为对称轴作点 B′ 8 的对称点 B′′,联结 AB′′,那么 AC′+P′B 的长最小值就是线段 AB′′。 25 如图 4,线段 AB′′与直线 y ? ? 的交点,就是四边形周长最小时点 C′的位置. 8

挑战压轴题

马学斌?编著

3 9 3 25 个单位,再向下平移 个单位得到点 C ( , ? ) , 2 2 8 8 3 9 5 9 如图 3,点 B(4, 0) 先向左平移 个单位,再向下平移 个单位得到点 B '( , ? ) . 2 2 8 8 5 41 所以点 B′′的坐标为 ( , ? ) . 2 8 25 41 AE AF 93 8 如图 4,由 ,得 ? 8 .解得 xC ' ? . ? 5 xC ' ? 1 C ' E B '' F 82 ?1 2 3 93 15 15 由于 ? ? ,所以抛物线向左平移了 个单位. 2 82 41 41
如图 2,点 P(3,-2)先向左平移

图2

图3

图4

考点伸展
第(2)题不可回避要证明∠ADB=90°,也可以根据勾股定理的逆定理证明. 由 A(-1, 0)、B(4, 0)、D(0,-2),得 AB2=25,AD2=5, BD2=20. 所以 AB2=AD2+BD2.所以∠ADB=90°. 第(3)题的运算量实在是太大了,很容易折磨同学们的自信. 求点 B′的坐标,我们用了坐标平移的方法,比较简便. 求点 C′的坐标,我们用了相似比的方法,回避了待定系数法更为繁琐的计算过程.

挑战压轴题

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例3

2013 年天津市中考第 25 题

在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,0),B(0,4),点 E 在 OB 上,且∠OAE=∠OBA. (1)如图 1,求点 E 的坐标; (2)如图 2,将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△AE′O′,连结 A′B、BE′. ①设 AA′=m,其中 0<m<2,使用含 m 的式子表示 A′B2+BE′2,并求出使 A′B2+BE′2 取得最小值时点 E′的坐标; ②当 A′B+BE′取得最小值时,求点 E′的坐标(直接写出结果即可) .

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“13 天津 25” ,拖动点 A′在线段 AO 上运动,可以体验到,当 A′ 运动到 AO 的中点时,A′B2+BE′2 取得最小值.当 A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最 小值. 请打开超级画板文件名“13 天津 25” ,拖动点 A′在线段 AO 上运动,可以体验到,当 A′ 运动到 AO 的中点时,A′B2+BE′2 取得最小值.当 A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最 小值.

思路点拨
1.图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,EE′=AA′=m. 2.求 A′B2+BE′2 的最小值,第一感觉是用勾股定理列关于 m 的式子. 3.求 A′B+BE′的最小值,第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称,两点之间线 段最短.

满分解答
(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA. 所以

AO BO 2 4 .因此 ? ? . OE OA OE 2

解得 OE=1.所以 E(0,1). (2)①如图 3,在 Rt△A′OB 中,OB=4,OA′=2-m,所以 A′B2=16+(2-m)2. 在 Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以 BE′2=9+m2. 所以 A′B2+BE′2=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27. 所以当 m=1 时,A′B2+BE′2 取得最小值,最小值为 27. 此时点 A′是 AO 的中点,点 E′向右平移了 1 个单位,所以 E′(1,1). ②如图 4,当 A′B+BE′取得最小值时,求点 E′的坐标为 ( ,1) .

8 7

挑战压轴题

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图3

图4

考点伸展
第(2)②题这样解:如图 4,过点 B 作 y 轴的垂线 l,作点 E′关于直线 l 的对称点 E′′, 所以 A′B+BE′=A′B+BE′′. 当 A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′′取得最小值,最小值为线段 A′E′′. 在 Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以 A′E′′= 53 . 当 A′、B、E′′三点共线时, 解得 m ?

A 'O A 'O ' m 2 .所以 ? . ? BO E '' O ' 4 7

8 8 .此时 E '( ,1) . 7 7

挑战压轴题

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例4

2012 年滨州市中考第 24 题

如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-2, -4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点. (1)求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式; (2)若点 M 是该抛物线对称轴上的一点,求 AM+OM 的最小值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 滨州 24” ,拖动点 M 在抛物线的对称轴上运动(如图 2) , 可以体验到,当 M 落在线段 AB 上时,根据两点之间线段最短,可以知道此时 AM+OM 最 小(如图 3) . 请打开超级画板文件名“12 滨州 24” ,拖动点 M, M 落在线段 AB 上时, AM+OM 最小.

答案

1 (1) y ? ? x 2 ? x 。 (2)AM+OM 的最小值为 4 2 . 2

图2

图3

挑战压轴题

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第二部分
2.1
例1

函数图象中点的存在性问题

由比例线段产生的函数关系问题
2015 年呼和浩特市中考第 25 题

已知抛物线 y=x2+(2m-1)x+m2-1 经过坐标原点, 且当<0 时, y 随 x 的增大而减小。 (1)求抛物线的解析式,并写出 y < 0 时,对应 x 的取值范围; (2)设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点,过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线 于另一点 D,再作 AB⊥x 轴于点 B, DC⊥x 轴于点 C. ①当 BC=1 时,直接写出矩形 ABCD 的周长; ②设动点 A 的坐标为(a, b),将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取 值范围,判断周长是否存在最大值,如果存在,求出这个最大值,并求出此时点 A 的坐标; 如果不存在,请说明理由.

动感体验
请打开几何画板文件名“15 呼和浩特 25” ,拖动点 A 在 x 轴下方的抛物线上运动,观察 L 随 a 变化的图像,可以体验到,有两个时刻,L 取得最大值,这两个时刻的点 A 关于抛物 线的对称轴对称.

思路点拨
1.先用含 a 的式子表示线段 AB、AD 的长,再把 L 表示为 a 的函数关系式. 2.点 A 与点 D 关于抛物线的对称轴对称,根据对称性,点 A 的位置存在两个情况.

满分解答
(1)因为抛物线 y=x2+(2m-1)x+m2-1 经过原点,所以 m2-1=0.解得 m=±1。 如图 1,当 m=1 时,抛物线 y=x2+x 的对称轴在 y 轴左侧,不符合当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小。 当 m=-1 时,抛物线 y=x2-3x 符合条件。

图1 图2 (2)①当 BC=1 时,矩形 ABCD 的周长为 6。 ②如图 2,抛物线 y=x2-3x 的对称轴为直线 x ?

图3

3 ,如果点 A 在对称轴的左侧,那么 2

3 3 ? a ? xD ? 。 2 2 解得 xD ? 3 ? a 。所以 AD=3-2a。
当 x=a 时,y=x2-3x=a2-3a。所以 AB=3a-a2。 所以 L=矩形 ABCD 的周长=2(AB+AD)=2(3a-a2+3-2a)= ?2( a ? ) 2 ?

1 2

13 。 2

挑战压轴题

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1 13 1 5 时,L 的最大值为 。此时点 A 的坐标为 ( , ? ) 。 2 2 2 4 5 5 如图 3,根据对称性,点 A 的坐标也可以是 ( , ? ) 。 2 4
因此当 a ?

考点伸展
第(2)①题的思路是:如图 2,抛物线的对称轴是直线 x ? 坐标为(1, 0),此时点 A 的横坐标为 1,可以求得 AB=2。 第(2)②题中,L 随 a 变化的图像如图 4 所示。

3 ,当 BC=1 时,点 B 的 2

图4

挑战压轴题

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例2
1 3

2014 年上海市静安区中考模拟第 24 题

已知⊙O 的半径为 3,⊙P 与⊙O 相切于点 A,经过点 A 的直线与⊙O、⊙P 分别交于 点 B、C,cos∠BAO= .设⊙P 的半径为 x,线 段 OC 的长为 y. (1)求 AB 的长; (2)如图 1,当⊙P 与⊙O 外切时,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域; (3)当∠OCA=∠OPC 时,求⊙P 的半径.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 静安 24” ,拖动圆心 P 运动,可以体验到,△OAB 与△PAC 保持相似,∠OCA 的大小保持不变.两圆外切和内切,各存在一次∠OPC=∠OCA.从图 像中可以体验到,当两圆外切时,y 随 x 的增大而增大.

思路点拨
1.第(1)题求弦 AB 的长,自然想到垂径定理或三线合一. 2.第(2)题构造直角三角形,使得 y 成为斜边长,再用勾股定理. 3.第(3)题两圆外切可以直接用第(2)的结论,两圆内切再具体分析. 4.不论两圆外切还是内切,两个等腰△OAB 与△PAC 相似.

满分解答
(1)如图 2,作 OE⊥AB,垂足为 E,由垂径定理,得 AB=2AE. 在 Rt△AOE 中,cos∠BAO=

AE 1 ? ,AO=3,所以 AE=1.所以 AB=2. AO 3

(2)如图 2,作 CH⊥AP,垂足为 H.

AO AP 3 x 2 .所以 ? .所以 AC ? x . ? AB AC 2 AC 3 1 1 3 2 2 在 Rt△ACH 中,由 cos∠CAH= ,得 . ? ? 3 AH AC CH 1 2 2 2 4 2 所以 AH ? AC ? x , CH ? AC ? x. 3 9 3 9 4 2 2 2 在 Rt△OCH 中,由 OC2=OH2+CH2,得 y 2 ? ( x) ? (3 ? x)2 . 9 9 36 2 4 整理,得 y ? x ? x ? 9 .定义域为 x>0. 81 3
由△OAB∽△PAC,得

挑战压轴题

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图2 图3 (3)①如图 3,当⊙P 与⊙O 外切时,如果∠OCA=∠OPC,那么△OCA∽△OPC.

OA OC .所以 OC 2 ? OA ? OP . ? OC OP 36 2 4 15 15 解方程 x ? x ? 9 ? 3(3 ? x) ,得 x ? .此时⊙P 的半径为 . 81 3 4 4
因此 ②如图 4,图 5,当⊙P 与⊙O 内切时,同样的△OAB∽△PAC, AC ? 如图 5,图 6,如果∠OCA=∠OPC,那么△ACO∽△APC.

2 x. 3

AO AC .因此 AC 2 ? AO ? AP . ? AC AP 2 27 27 解方程 ( x) 2 ? 3x ,得 x ? .此时⊙P 的半径为 . 3 4 4
所以

图4

图5

图6

考点伸展
第(3)题②也可以这样思考: 如图 4,图 5,图 6,当∠OCA=∠OPC 时,3 个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO 都相似,每个三角形的三边比是 3∶3∶2. 这样,△CAO 的三边长为

9 9 27 27 9 、 、3.△PAC 的三边长为 、 、 . 2 2 4 4 2

挑战压轴题

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例3

2013 年宁波市中考第 26 题

如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(0,4),点 B 的坐标为(4,0), 点 C 的坐标为(-4,0),点 P 在射线 AB 上运动,连结 CP 与 y 轴交于点 D,连结 BD.过 P、 D、B 三点作⊙Q,与 y 轴的另一个交点为 E,延 长 DQ 交⊙Q 于 F,连结 EF、BF. (1)求直线 AB 的函数解析式; (2)当点 P 在线段 AB(不包括 A、B 两点) 上时. ①求证:∠BDE=∠ADP; ②设 DE=x,DF=y,请求出 y 关于 x 的函 数解析式; (3)请你探究:点 P 在运动过程中,是否 存在以 B、D、F 为顶点的直角三角形,满足两 条直角边之比为 2∶1?如果存在, 求出此时点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名 “13 宁波 26” , 拖动点 P 在射线 AB 上运动, 可以体验到, △DEF 保持等腰直角三角形的形状, y 是 x 的一次函数. 观察 BD∶BF 的度量值, 可以体验到, BD∶ BF 可以等于 2,也可以等于 0.5. 请打开超级画板文件名 “13 宁波 26” , 拖动点 P 在射线 AB 上运动, 可以体验到, △DEF 保持等腰直角三角形的形状.观察 BD∶BF 的度量值,可以体验到,BD∶BF 可以等于 2, 也可以等于 0.5.

答案
(1)直线 AB 的函数解析式为 y=-x+4. (2)①如图 2,∠BDE=∠CDE=∠ADP; ②如图 3,∠ADP=∠DEP+∠DPE,如图 4,∠BDE=∠DBP+∠A, 因为∠DEP=∠DBP,所以∠DPE=∠A=45°. 所以∠DFE=∠DPE=45°.因此△DEF 是等腰直角三角形.于是得到 y ? 2 x .

图2 图3 (3)①如图 5,当 BD∶BF=2∶1 时,P(2,2).思路如下: 由△DMB∽△BNF,知 BN ?

图4

1 DM ? 2 . 2 2 . 3

设 OD=2m,FN=m,由 DE=EF,可得 2m+2=4-m.解得 m ? 因此 D (0, ) .再由直线 CD 与直线 AB 求得交点 P(2,2). ②如图 6,当 BD∶BF=1∶2 时,P(8,-4).思路同上.

4 3

挑战压轴题

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图5

图6

挑战压轴题

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例4

2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题
3 ,⊙B 的半径长为 1,⊙B 交边 CB 于 5

在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6, sin B ?

点 P,点 O 是边 AB 上的动点. (1)如图 1,将⊙B 绕点 P 旋转 180°得到⊙M,请判断⊙M 与直线 AB 的位置关系; (2)如图 2,在(1)的条件下,当△OMP 是等腰三角形时,求 OA 的长; (3)如图 3,点 N 是边 BC 上的动点,如果以 NB 为半径的⊙N 和以 OA 为半径的⊙O 外切,设 NB=y,OA=x,求 y 关于 x 的函数关系式及定义域.

图1

图2

图3

动感体验
请打开几何画板文件名“12 徐汇 25” ,拖动点 O 在 AB 上运动,观察△OMP 的三个顶 点与对边的垂直平分线的位置关系,可以体验到,点 O 和点 P 可以落在对边的垂直平分线 上,点 M 不能. 请打开超级画板文件名“12 徐汇 25” , 分别点击“等腰”按钮的左部和中部,观察三 个角度的大小,可得两种等腰的情形.点击“相切”按钮,可得 y 关于 x 的函数关系.

思路点拨
1.∠B 的三角比反复用到,注意对应关系,防止错乱. 2.分三种情况探究等腰△OMP,各种情况都有各自特殊的位置关系,用几何说理的方 法比较简单. 3.探求 y 关于 x 的函数关系式,作△OBN 的边 OB 上的高,把△OBN 分割为两个具有 公共直角边的直角三角形.

满分解答
(1) 在 Rt△ABC 中,AC=6, sin B ? 所以 AB=10,BC=8. 过点 M 作 MD⊥AB,垂足为 D. 在 Rt△BMD 中,BM=2, sin B ? MD ? 3 ,所以 MD ? 6 .
BM 5 5

3 , 5

因此 MD>MP,⊙M 与直线 AB 相离. 图4 (2)①如图 4,MO≥MD>MP,因此不存在 MO=MP 的情况. ②如图 5,当 PM=PO 时,又因为 PB=PO,因此△BOM 是直角三角形. 在 Rt△BOM 中,BM=2, cos B ? BO ? 4 ,所以 BO ? 8 .此时 OA ? 42 .
BM 5 5 5

③如图 6,当 OM=OP 时,设底边 MP 对应的高为 OE. 在 Rt△BOE 中,BE= 3 , cos B ? BE ? 4 ,所以 BO ? 15 .此时 OA ? 65 .
2 BO 5 8 8

图5

图6

挑战压轴题

马学斌?编著

(3)如图 7,过点 N 作 NF⊥AB,垂足为 F.联结 ON. 当两圆外切时,半径和等于圆心距,所以 ON=x+y. 在 Rt△BNF 中,BN=y, sin B ? 3 , cos B ? 4 ,所以 NF ? 3 y , BF ? 4 y .
5 5 5 5 2 4 在 Rt△ONF 中, OF ? AB ? AO ? BF ? 10 ? x ? y ,由勾股定理得 ON =OF2+NF2. 5 4 3 2 2 2 于是得到 ( x ? y) ? (10 ? x ? y) ? ( y) . 5 5 250 ? 50 x 整理,得 y ? .定义域为 0<x<5. x ? 40

图7

图8

考点伸展
第(2)题也可以这样思考: 如图 8,在 Rt△BMF 中,BM=2, MF ? 6 , BF ? 8 .
5 5 8 42 在 Rt△OMF 中,OF= 10 ? x ? ? ? x ,所以 OM 2 ? ( 42 ? x)2 ? ( 6 )2 . 5 5 5 5 3 4 在 Rt△BPQ 中,BP=1, PQ ? , BQ ? . 5 5 4 46 在 Rt△OPQ 中,OF= 10 ? x ? ? ? x ,所以 OP2 ? ( 46 ? x)2 ? ( 3)2 . 5 5 5 5 42 6 2 2 ①当 MO=MP=1 时,方程 ( ? x) ? ( ) ? 1 没有实数根. 5 5 46 ②当 PO=PM=1 时,解方程 ( ? x)2 ? ( 3)2 ? 1,可得 x ? OA ? 42 5 5 5 42 6 46 3 2 2 2 2 ③当 OM=OP 时,解方程 ( ? x) ? ( ) ? ( ? x) ? ( ) ,可得 x ? OA ? 65 . 5 5 5 5 8

挑战压轴题

马学斌?编著

2.2
例1

由面积产生的函数关系问题

2015 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题
1 ,点 P 是边 AB 上的动点, 4

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,cosA=

以 PA 为半径作⊙P. (1)若⊙P 与 AC 边的另一个交点为 D,设 AP=x,△PCD 的面积为 y,求 y 关于 x 的 函数解析式,并直接写出函数的定义域; (2)若⊙P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等,求 AP 的长; (3)若⊙C 的半径等于 1,且⊙P 与⊙C 的公共弦长为 2 ,求 AP 的长.

图1

备用图

动感体验
请打开几何画板文件名“15 徐汇 25” ,拖动点 P 在 AB 上运动,观察 MN 的度量值,可 以体验到,MN≈1.41 的时刻只有一个,MN 与圆心距 CP 相交.

思路点拨
1.△PCD 的底边 CD 上的高,就是弦 AD 对应的弦心距. 2.若⊙P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等,那么对应的弦心距相等. 3.⊙C 的半径等于 1,公共弦 MN= 2 ,那么△CMN 是等腰直角三角形.在四边形 CMPN 中,利用勾股定理列关于 x(⊙P 的半径)的方程.

满分解答
(1)如图 2,在 Rt△ABC 中, AC=4,cosA= 设弦 AD 对应的弦心距为 PE,那么 AE= 所以 y=S△PCD= CD ? PE = (4 ?

1 ,所以 AB=16,BC= 4 15 . 4

1 1 15 15 AP= x,PE= AP= x. 4 4 4 4

1 2

1 2

1 15 15 2 15 x) ? x =? x ? x. 2 4 16 2

定义域是 0<x<8. (2)若⊙P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等,那么对应的弦心距 PF=PE. 因此四边形 AEPF 是正方形(如图 3) ,设正方形的边长为 m. 由 S△ABC=S△ACP+S△BCP,得 AC?BC=m(AC+BC).所以 m= 此时 AE= 4 ?

4 ? 4 15 30 ? 2 15 = . 7 4+4 15

30 ? 2 15 2 15 ? 2 8 15 ? 8 = ,AP=4AE= . 7 7 7

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 图3 (3)如图 4,设⊙C 与⊙P 的公共弦为 MN,MN 与 CP 交于点 G. 由于 CM=CN=1,MN= 2 ,所以△CMN 是等腰直角三角形,CG=NG= 如图 5,作 CH⊥AB 于 H,由 AC=4,那么 AH=1,CH2=15. 所以 CP= CH 2 ? PH 2 = 15 ? ( x ? 1) 2 .因此 PG= 15 ? ( x ? 1) 2 ? 如图 4,在 Rt△PNG 中,由勾股定理,得 x 2 ? ( 15 ? ( x ? 1) 2 ? 整理,得 2x2-64x+257=0.解得 x1 ?

2 . 2

2 (如图 4) . 2

2 2 2 ) ? ( )2 . 2 2

32 ? 510 32+ 510 , x2 ? (舍去) . 2 2

图4

图5

考点伸展
第(2)题也可以这样计算:由于 PF=

1 1 BP= (16 ? x) ,由 PE=PF,得 4 4

15 1 8 15 ? 8 . x ? (16 ? x) .解得 x ? 4 4 7

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年黄冈市中考第 25 题

如图 1,在四边形 OABC 中,AB//OC,BC⊥x 轴于点 C,A(1,-1),B(3,-1),动点 P 从 O 出发, 沿着 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度的速度移动. 过点 P 作 PQ 垂直于直线 OA, 垂足为 Q.设点 P 移动的时间为 t 秒(0<t<2) ,△OPQ 与四边形 OABC 重叠部分的面积为 S. (1)求经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式,并确定顶点 M 的坐标; (2)用含 t 的代数式表示点 P、Q 的坐标; (3)如果将△OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90°,是否存在 t,使得△OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛物线上?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (4)求出 S 与 t 的函数关系式.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 黄冈 25” ,拖动点 P 从 O 开始向右运动,可以体验到,重 叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形.点 O′和点 Q′各有一次机会落在 抛物线上.

思路点拨
1.△OPQ 在旋转前后保持等腰直角三角形的形状. 2.试探取不同位置的点 P,观察重叠部分的形状,要分三种情况讨论.

满分解答
(1)由 A(1,-1)、B(3,-1),可知抛物线的对称轴为直线 x=1,点 O 关于直线 x=1 的 对称点为(4,0). 于是可设抛物线的解析式为 y=ax(x-4),代入点 A(1,-1),得-3a=-1. 1 1 1 4 4 解得 a ? .所以 y ? x( x ? 4) ? ( x ? 2)2 ? .顶点 M 的坐标为 (2, ? ) . 3 3 3 3 3 (2)△OPQ 是等腰直角三角形,P(2t, 0),Q(t,-t). (3)旋转后,点 O′的坐标为(2t,-2t),点 Q′的坐标为(3t,-t). 1 1 1 将 O′(2t,-2t)代入 y ? x( x ? 4) ,得 ?2t ? ? 2t (2t ? 4) .解得 t ? . 3 3 2 1 1 将 Q′(3t,-t)代入 y ? x( x ? 4) ,得 ?t ? ? 3t (3t ? 4) .解得 t=1. 3 3 1 因此,当 t ? 时,点 O′落在抛物线上(如图 2) ;当 t=1 时,点 Q′落在抛物线上(如 2 图 3) .

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 图3 (4)①如图 4,当 0<t≤1 时,重叠部分是等腰直角三角形 OPQ.此时 S=t2. ②如图 5,当 1<t≤1.5 时,重叠部分是等腰梯形 OPFA.此时 AF=2t-2. 1 此时 S= (2t ? 2t ? 2) ?1 ? 2t ? 1 . 2

图4 图5 ③如图 6,当 1.5<t<2 时,重叠部分是五边形 OCEFA. 此时 CE=CP=2t-3.所以 BE=BF=1-(2t-3)=4-2t. 1 1 11 所以 S= (3 ? 2) ?1 ? (4 ? 2t )2 ? ?2t 2 ? 8t ? . 2 2 2

图6

考点伸展
在本题情景下,重叠部分的周长 l 与 t 之间有怎样的函数关系? 如图 4, l ? (2 ? 2 2)t .如图 5, l ? 4t ? 2 ? 2 2 . 如图 6, l ? (4 ? 2 2)t ? 5 2 ? 2 .

挑战压轴题

马学斌?编著

例3

2013 年菏泽市中考第 21 题
3 x ? 3的 4

如图 1, △ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形, 点 A、 C 分别是一次函数 y ? ? 图像与 y 轴、x 轴的交点,点 B 在二次函数 y ?

1 2 x ? bx ? c 的图像上,且该二次函数图像 8

上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形. (1)试求 b、c 的值,并写出该二次函数的解析式; (2)动点 P 从 A 到 D,同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动,问: ①当 P 运动到何处时,由 PQ⊥AC? ②当 P 运动到何处时,四边形 PDCQ 的面积最小?此时四边形 PDCQ 的面积是多少?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 菏泽 21” ,拖动点 P 由 A 向 D 运动,观察 S 随 P 变化的图 像,可以体验到,当 S 最小时,点 Q 恰好是 AC 的中点. 请打开超级画板文件名“13 菏泽 21” ,拖动点 P 由 A 向 D 运动,观察 S 随 P 变化的图 像,可以体验到,当 S 最小时,点 Q 恰好是 AC 的中点.

思路点拨
1.求抛物线的解析式需要代入 B、D 两点的坐标,点 B 的坐标由点 C 的坐标得到,点 D 的坐标由 AD=BC 可以得到. 2.设点 P、Q 运动的时间为 t,用含有 t 的式子把线段 AP、CQ、AQ 的长表示出来. 3.四边形 PDCQ 的面积最小,就是△APQ 的面积最大.

满分解答
(1)由 y ? ?

3 x ? 3 ,得 A(0,3),C(4,0). 4

由于 B、C 关于 OA 对称,所以 B(-4,0),BC=8. 因为 AD//BC,AD=BC,所以 D(8,3).

1 2 ?2 ? 4b ? c ? 0, x ? bx ? c ,得 ? 8 ?8 ? 8b ? c ? 3. 1 1 1 解得 b ? ? ,c=-3.所以该二次函数的解析式为 y ? x 2 ? x ? 3 . 4 8 4
将 B(-4,0)、D(8,3)分别代入 y ? (2)①设点 P、Q 运动的时间为 t. 如图 2,在△APQ 中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO= 当 PQ⊥AC 时,

AQ 4 5?t 4 25 . ? .所以 ? .解得 AP ? t ? AP 5 t 5 9

4 . 5

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 ②如图 3,过点 Q 作 QH⊥AD,垂足为 H. 由于 S△APQ=

图3

1 1 1 3 3 3 AP ? QH ? AP ? AQ sin ?PAQ ? t (5 ? t ) ? ? ? t 2 ? t , 2 2 2 5 10 2 1 1 S△ACD= AD ? OA ? ? 8 ? 3 ? 12 , 2 2 3 3 3 5 81 所以 S 四边形 PDCQ=S△ACD-S△APQ= 12 ? (? t 2 ? t ) ? (t ? ) 2 ? . 10 2 10 2 8 5 81 所以当 AP= 时,四边形 PDCQ 的最小值是 . 2 8

考点伸展
如果把第(2)①题改为“当 P 运动到何处时,△APQ 是直角三角形?” 除了 PQ⊥AC 这种情况,还有 QP⊥AD 的情况. 这时

t 4 20 AP 4 (如图 4 所示) . ? .解得 t ? ? ,所以 5?t 5 9 AQ 5

图4

挑战压轴题

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例4
如图 1,抛物线 y ?

2012 年广东省中考第 22 题

1 2 3 x ? x ? 9 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,联结 BC、 2 2

AC. (1)求 AB 和 OC 的长; (2)点 E 从点 A 出发,沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合) ,过点 E 作 BC 的 平行线交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m,△ADE 的面积为 s,求 s 关于 m 的函数关系式,并 写出自变量 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,联结 CE,求△CDE 面积的最大值;此时,求出以点 E 为圆心, 与 BC 相切的圆的面积(结果保留π ) .

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 广东 22” ,拖动点 E 由 A 向 B 运动,观察图象,可以体验 到,△ADE 的面积随 m 的增大而增大,△CDE 的面积随 m 变化的图象是开口向下的抛物线 的一部分,E 在 AB 的中点时,△CDE 的面积最大.

思路点拨
1.△ADE 与△ACB 相似,面积比等于对应边的比的平方. 2.△CDE 与△ADE 是同高三角形,面积比等于对应底边的比.

满分解答
1 2 3 1 x ? x ? 9 ? ( x ? 3)( x ? 6) ,得 A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9). 2 2 2 所以 AB=9,OC=9. (2)如图 2,因为 DE//CB,所以△ADE∽△ACB. S AE 2 . 所以 ?ADE ? ( ) S?ACB AB 1 81 而 S?ACB ? AB ? OC ? ,AE=m, 2 2 AE 2 m 81 1 所以 s ? S?ADE ? ( ) ? S?ACB ? ( ) 2 ? ? m 2 . AB 9 2 2 m 的取值范围是 0<m<9.
(1)由 y ?

挑战压轴题

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图2 (3)如图 2,因为 DE//CB,所以

图3

CD BE 9 ? m . ? ? AD AE m S CD 9 ? m . 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形,所以 ?CDE ? ? S?ADE AD m 9?m 1 2 1 9 1 9 81 所以 S?CDE ? ? m ? ? m 2 ? m ? ? (m ? ) 2 ? . m 2 2 2 2 2 8 9 81 当 m ? 时,△CDE 的面积最大,最大值为 . 8 2 9 此时 E 是 AB 的中点, BE ? . 2 如图 3,作 EH⊥CB,垂足为 H.

3 3 13 . ? 13 13 9 3 13 27 13 在 Rt△BEH 中, EH ? BE ? sin B ? ? . ? 2 13 26 729 当⊙E 与 BC 相切时, r ? EH .所以 S ? ? r 2 ? ?. 52
在 Rt△BOC 中,OB=6,OC=9,所以 sin B ?

考点伸展
在本题中,△CDE 与△BEC 能否相似? 如图 2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE 与△BEC 不能 相似.

挑战压轴题

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例5

2012 年河北省中考第 26 题

5 . 13 探究 如图 1,AH⊥BC 于点 H,则 AH=_____,AC=______,△ABC 的面积 S△ABC= ________. 拓展 如图 2,点 D 在 AC 上(可与点 A、C 重合) ,分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线, 垂足为 E、F.设 BD=x,AE=m,CF=n. (当点 D 与点 A 重合时,我们认为 S△ABD=0) (1)用含 x,m 或 n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD; (2)求(m+n)与 x 的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值; (3)对给定的一个 x 值,有时只能确定唯一的点 D,指出这样的 x 的取值范围. 发现 请你确定一条直线,使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小(不必写出 过程) ,并写出这个最小值.
如图 1,图 2,在△ABC 中,AB=13,BC=14, cos ?ABC ?

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“12 河北 26” ,拖动点 D 由 A 向 C 运动,观察(m+n)随 x 变化 的图象,可以体验到,D 到达 G 之前,(m+n)的值越来越大;D 经过 G 之后,(m+n)的值 越来越小.观察圆与线段 AC 的交点情况,可以体验到,当 D 运动到 G 时(如图 3) ,或者 点 A 在圆的内部时(如图 4) ,圆与线段 AC 只有唯一的交点 D.

图3

图4

答案

探究 AH=12,AC=15,S△ABC=84. 1 1 拓展 (1)S△ABD= mx ,S△CBD= nx . 2 2 1 1 168 (2)由 S△ABC=S△ABD+S△CBD,得 mx ? nx ? 84 .所以 m ? n ? . 2 2 x 56 56 由于 AC 边上的高 BG ? ,所以 x 的取值范围是 ≤x≤14. 5 5 所以(m+n)的最大值为 15,最小值为 12. 56 (3)x 的取值范围是 x= 或 13<x≤14. 5 56 发现 A、B、C 三点到直线 AC 的距离之和最小,最小值为 . 5

挑战压轴题

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例6

2011 年淮安市中考第 28 题

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点 P 在 AB 上,AP=2.点 E、 F 同时从点 P 出发,分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动,点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿 AB 向点 B 运动, 点 F 运动到点 B 时停止, 点 E 也随之停止. 在 点 E、F 运动过程中,以 EF 为边作正方形 EFGH,使它与△ABC 在线段 AB 的同侧.设 E、 F 运动的时间为 t 秒(t>0),正方形 EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为 S. (1)当 t=1 时,正方形 EFGH 的边长是________;当 t=3 时,正方形 EFGH 的边长 是________; (2)当 1<t≤2 时,求 S 与 t 的函数关系式; (3)直接答出:在整个运动过程中,当 t 为何值时,S 最大?最大面积是多少?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 淮安 28” ,拖动点 F 由 P 向 B 运动,可以体验到,点 E 在 向 A 运动时,正方形 EFGH 越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形; 点 E 折返以后,正方形 EFGH 的边长为定值 4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、 六边形、五边形.在整个运动过程中,S 的最大值在六边形这个时段. 请打开超级画板文件名“11 淮安 28” ,拖动点 F 由 P 向 B 运动,可以体验到,点 E 在 向 A 运动时,正方形 EFGH 越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形; 点 E 折返以后,正方形 EFGH 的边长为定值 4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、 六边形、五边形.在整个运动过程中,S 的最大值在六边形这个时段.

思路点拨
1.全程运动时间为 8 秒,最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画 8 个图形,这叫做 磨刀不误砍柴工. 2.这道题目的运算太繁琐了,如果你的思路是对的,就坚定地、仔细地运算,否则放 弃也是一种好的选择.

满分解答
(1)当 t=1 时,EF=2;当 t=3 时,EF=4. (2)①如图 1,当 0<t≤ ②如图 2,当

6 时, EF ? 2t .所以 S ? 4t 2 . 11

6 6 3 3 <t≤ 时, EF ? EH ? 2t , AE ? 2 ? t , NE ? AE ? (2 ? t ) . 11 5 4 4 3 11 3 于是 NH ? EH ? NE ? 2t ? (2 ? t ) ? t ? , 4 4 2

挑战压轴题

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2

S△NHQ ?

1 1 4 2 2 ? 11 3 ? NH ? QH ? NH ? NH ? NH 2 ? ? t ? ? . 2 2 3 3 3? 4 2?
2

11 3 ? 25 2 11 3 所以 S ? 4t 2 ? 2 ? ? t? ? ?? t ? t? . 3? 4 2? 24 2 2 6 ③如图 3,当 <t≤2 时, EF ? 4 , AE ? t ? 2 , AF ? t ? 2 . 5 3 3 所以 S ? S△AFM ? S△AEN ? AF 2 ? AE 2 ? 3t . 8 8

图2 图3 图4 (3)如图 4,图 5,图 6,图 7,重叠部分的最大面积是图 6 所示的六边形 EFNDQN, 1102 146 S 的最大值为 ,此时 t ? . 25 75

图5

图6

图7

考点伸展
第(2)题中 t 的临界时刻是这样求的:

2t 3 6 ? ,得 t ? . 2?t 4 11 2t 3 6 如图 9,当 G 落在 AC 上时, AF ? 2 ? t , GF ? EF ? 2t ,由 ? ,得 t ? . 2?t 4 5
如图 8,当 H 落在 AC 上时, AE ? 2 ? t , EH ? EF ? 2t ,由

图8

图9

挑战压轴题

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第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2015 年北京市中考第 29 题

在平面直角坐标系中,⊙C 的半径为 r,P 是与圆心 C 不重合的点,点 P 关于⊙C 的反 称点的定义如下:若在射线 CP 上存在一点 P′,满足 CP+CP′=2r,则称点 P′为点 P 关于⊙C 的反称点.如图 1 为点 P 及其关于⊙C 的反称点 P′的示意图. 特别地,当点 P′与圆心 C 重合时,规定 CP′=0. (1)当⊙O 的半径为 1 时, ①分别判断点 M(2, 1),N ( , 0) ,T (1, 3) 关于⊙O 的反称 点是否存在?若存在,求其坐标; ②点 P 在直线 y=-x+2 上, 若点 P 关于⊙O 的反称点 P′ 存在,且点 P′不在 x 轴上,求点 P 的横坐标的取值范围; 图 1 (2)⊙C 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线 y ? ?

3 2

3 x ? 2 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 3

A、B,若线段 AB 上存在点 P,使得点 P 关于⊙C 的反称点 P′在⊙C 的内部,求圆心 C 的 横坐标的取值范围.

动感体验
请打开几何画板文件名“15 北京 29” ,拖动点圆心 C 在 x 轴上运动,可以体验到,当 点 P′在圆内时,CP 的变化范围是 1<CP≤2.

思路点拨
1.反称点 P′是否存在,就是看 CP′是否大于或等于 0. 2.第(2)题反称点 P′在圆内,就是 0≤CP′<1,进一步转化为 0≤2-CP<1.

满分解答
(1)①对于 M(2, 1),OM= 5 .因为 OM′= 2 ? 5 <0,所以点 M 不存在反称点(如 图 2) . 如图 3,对于 N ( , 0) ,ON=

3 2

3 3 1 1 .因为 ON′= 2 ? ? ,所以点 N′的坐标为 ( , 0) . 2 2 2 2

如图 4,对于 T (1, 3) ,OT=2.因为 OT′=0,所以点 T 关于⊙O 的反称点 T′是(0,0).

图2

图3

图4

挑战压轴题

马学斌?编著

②如图 5,如果点 P′存在,那么 OP′=2-OP≥0.所以 OP≤2. 设直线 y=-x+2 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B,那么 OA=OB=2. 如果点 P 在线段 AB 上,那么 OP≤2. 所以满足 OP≤2 且点 P′不在 x 轴上的点 P 的横坐标的取值范围是 0≤x<2. (2)由 y ? ?

3 OB 3 . x ? 2 3 ,得 A(6, 0),B (0, 2 3) .所以 tan∠A= ? 3 OA 3

所以∠A=30°. 因为点 P′在⊙C 的内部,所以 0≤CP′<1. 解不等式组 0≤2-CP<1,得 1<CP≤2. 过点 C 作 CP⊥AB 于 P,那么 CP=

1 AC.所以 2<AC≤4. 2

所以 2≤OC<4.因此圆心 C 的横坐标的取值范围是 2≤x<4(如图 6,图 7 所示) .

图5

图6

图7

考点伸展
第(2)题如果把条件“反称点 P′在⊙C 的内部”改为“反称点 P′存在” ,那么圆心 C 的横坐标的取值范围是什么呢? 如果点 P′存在,那么 CP′≥0. 解不等式 2-CP≥0,得 CP≤2. 所以 AC≤4.因此圆心 C 的横坐标的取值范围是 2≤x<6.

挑战压轴题

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例2

2014 年福州市中考第 22 题

1 如图 1,抛物线 y ? ( x ? 3)2 ? 1 与 x 轴交于 2 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C, 顶点为 D. (1)求点 A、B、C 的坐标; (2)联结 CD,过原点 O 作 OE⊥CD,垂足为 H, OE 与抛物线的对称轴交于点 E,联结 AE、AD.求证: ∠AEO=∠ADC; (3)以(2)中的点 E 为圆心,1 为半径画圆,在 对称轴右侧的抛物线上有一动点 P, 过 P 作⊙E 的切线, 切点为 Q,当 PQ 的长最小时,求点 P 的坐标,并直接 写出点 Q 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 福州 22” ,拖动点 P 在抛物线上运动,可以体验到,当 PE 最小时,PQ 也最小.

思路点拨
1.计算点 E 的坐标是关键的一步,充分利用、挖掘等角(或同角)的余角相等. 2.求 PE 的最小值,设点 P 的坐标为(x, y),如果把 PE2 表示为 x 的四次函数,运算很 麻烦.如果把 PE2 转化为 y 的二次函数就比较简便了.

满分解答
1 1 7 7 (1)由 y ? ( x ? 3)2 ? 1 ? x2 ? 3x ? ,得 D(3, ?1) , C (0, ) . 2 2 2 2 1 1 1 2 2 由 y ? ( x ? 3) ? 1 ? [( x ? 3) ? 2] ? ( x ? 3 ? 2)( x ? 3 ? 2) , 2 2 2 得 A(3 ? 2,0) , B(3 ? 2,0) . (2)设 CD 与 AE 交于点 F,对称轴与 x 轴交于点 M,作 DN⊥y 轴于 N. 7 9 DN 2 如图 2,由 D(3, ?1) , C (0, ) ,得 DN=3, CN ? .因此 tan ?DCN ? ? . 2 2 CN 3 EM 2 如图 3,由 OE⊥CD,得∠EOM=∠DCN.因此 tan ?EOM ? ? . OM 3 所以 EM=2,E(3, 2). 由 A(3 ? 2,0) , M (3, 0) ,得 AM ? 2 .
AM 2 DM 1 2 ? ? ? , tan ?DAM ? . EM 2 AM 2 2 所以∠AEM=∠DAM.于是可得∠AED=90°. 如图 4,在 Rt△EHF 与 Rt△DAF 中,因为∠EFH=∠DFA, 所以∠HEF=∠ADF,即∠AEO=∠ADC.

因此 tan ?AEM ?

挑战压轴题

马学斌?编著

图2 图3 图4 (3)如图 5,在 Rt△EPQ 中,EQ 为定值,因此当 PE 最小时,PQ 也最小. 设点 P 的坐标为(x, y),那么 PE2=(x-3)2+(y-2)2. 1 已知 y ? ( x ? 3)2 ? 1 ,所以 ( x ? 3)2 ? 2 y ? 2 . 2 因此 PE 2 ? (2 y ? 2) ? ( y ? 2)2 ? y 2 ? 2 y ? 6 . 所以当 y=1 时,PE 取得最小值. 1 解方程 ( x ? 3)2 ? 1 ? 1,得 x=5,或 x=1(在对称轴左侧,舍去) . 2 19 13 因此点 P 的坐标为(5, 1).此时点 Q 的坐标为(3, 1)或 ( , ) (如图 6 所示) . 5 5

图5

图6

图7

考点伸展
第(3)题可以这样求点 Q 的坐标:设点 Q 的坐标为(m, n). 由 E(3, 2)、P(5, 1),可得 PE2=5.又已知 EQ2=1,所以 PQ2=4. 19 ? m ? , ?(m ? 3)2 ? (n ? 2)2 ? 1, ?m1 ? 3, ? ? 2 5 ? 列方程组 ? 解得 ? ? 2 2 ?(m ? 5) ? (n ? 1) ? 4, ?n1 ? 1, ? n ? 13 . ? 2 ? 5 ? 还可以如图 7 那样求点 Q 的坐标: m?3 n?2 1 对于 Q(m, n),根据两个阴影三角形相似,可以列方程组 ? ? . n ?1 5 ? m 2 m?3 2?n 1 同样地,对于 Q′(m, n),可以列方程组 ? ? . 1? n 5 ? m 2

挑战压轴题

马学斌?编著

例3

2013 年南京市中考第 26 题

已知二次函数 y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m 为常数,且 a≠0) . (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点; (2)设该函数的图像的顶点为 C,与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D. ①当△ABC 的面积等于 1 时,求 a 的值 ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求 m 的值.

动感体验
请打开几何画板文件名“13 南京 26” ,拖动 y 轴上表示实数 a 的点可以改变 a 的值,拖 动点 A 可以改变 m 的值.分别点击按钮“m1” 、 “m2” 、 “m3” ,再改变实数 a,可以体验到, 这 3 种情况下,点 C、D 到 x 轴的距离相等. 请打开超级画板文件名“13 南京 26” , 拖动点 A 可以改变 m 的值,竖直拖动点 C 可以 改变 a 的值.分别点击按钮,可得到△ABC 的面积与△ABD 的面积相等的三种情形。

思路点拨
1.第(1)题判断抛物线与 x 轴有两个交点,容易想到用判别式.事实上,抛物线与 x 轴的交点 A、B 的坐标分别为 (m,0)、 (m+1,0),AB=1. 2.当△ABC 的面积等于 1 时,点 C 到 x 轴的距离为 2. 3.当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,C、D 到 x 轴的距离相等. 4.本题大量的工作是代入计算,运算比较繁琐,一定要仔细.

满分解答
(1)由 y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)( x-m-1), 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(m,0)、B(m+1,0). 因此不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点. (2)①由 y=a(x-m)2-a(x-m) ? a ( x ? m ? ) 2 ? 得抛物线的顶点坐标为 C ( m ?

1 2

1 a, 4

1 1 , ? a) . 2 4 1 1 因为 AB=1,S△ABC= AB ? ? a ? 1 ,所以 a=±8. 2 4
②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,点 C 与点 D 到 x 轴的距离相等. 第一种情况:如图 1,C、D 重合,此时点 D 的坐标可以表示为 (0, ?

1 a) , 4

将 D(0, ? a) 代入 y ? a ( x ? m ? ) 2 ? 解得 m ? ?

1 4

1 2

1 1 1 1 a ,得 ? a ? a (m ? ) 2 ? a . 4 4 2 4

1 . 2

挑战压轴题

马学斌?编著

图1 第二种情况:如图 2,图 3,C、D 在 x 轴两侧,此时点 D 的坐标可以表示为 (0, a) , 将 D(0, a) 代入 y ? a ( x ? m ? ) 2 ? 解得 m ?

1 4

1 4

1 2

1 1 1 1 a ,得 a ? a (m ? ) 2 ? a . 4 4 2 4

?1 ? 2 . 2

图2

图3

考点伸展
第(1)题也可以这样说理: 由于由 y ? a ( x ? m ? ) 2 ?

1 2

1 1 1 a ,抛物线的顶点坐标为 C (m ? , ? a ) . 4 2 4

当 a>0 时,抛物线的开口向上,而顶点在 x 轴下方,所以抛物线与 x 轴由两个交点; 当 a<0 时,抛物线的开口向下,而顶点在 x 轴上方,所以抛物线与 x 轴由两个交点. 因此不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点. 第(1)题也可以用根的判别式Δ 说理: 由 y=a(x-m)2-a(x-m)=a[x2-(2m+1)x+m2+m], 得 ? ? a2 [(2m ? 1)2 ? 4(m2 ? m)] ? a2 >0. 因此不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点. 这种方法是同学们最容易想到的,但是这种方法的运算量很大,一定要仔细.

挑战压轴题

马学斌?编著

3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1
(1)若

2015 年杭州市中考第 22 题

如图 1,在△ABC 中,BC>AC,∠ACB=90°,点 D 在 AB 边上,DE⊥AC 于点 E.

AD 1 ? ,AE=2,求 EC 的长; DB 3

(2)设点 F 在线段 EC 上,点 G 在射线 CB 上,以 F、C、G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等,FG 交 CD 于点 P.问:线段 CP 可能是△CFG 的高还是中线?或两者都 有可能?请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“15 杭州 22” ,拖动点 D 在 AB 上运动,可以体验到,CP 既可 以是△CFG 的高,也可以是△CFG 的中线.

思路点拨
1.△CFG 与△EDC 都是直角三角形,有一个锐角相等,分两种情况. 2.高和中线是直角三角形的两条典型线,各自联系着典型的定理,一个是直角三角形 的两锐角互余,一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.根据等角的余角相等,把图形中相等的角都标记出来.

满分解答
(1)由∠ACB=90°,DE⊥AC,得 DE//BC. 所以

AE AD 1 2 1 ? ? .所以 ? .解得 EC=6. EC DB 3 EC 3

(2)△CFG 与△EDC 都是直角三角形,有一个锐角相等,分两种情况: ①如图 2,当∠1=∠2 时,由于∠2 与∠3 互余,所以∠2 与∠3 也互余. 因此∠CPF=90°.所以 CP 是△CFG 的高. ②如图 3,当∠1=∠3 时,PF=PC. 又因为∠1 与∠4 互余,∠3 与∠2 互余,所以∠4=∠2.所以 PC=PG. 所以 PF=PC=PG.所以 CP 是△CFG 的中线. 综合①、②,当 CD 是∠ACB 的平分线时,CP 既是△CFG 的高,也是中线(如图 4) .

图2

图 3

图4

考点伸展
这道条件变换的题目,不由得勾起了我们的记忆:

挑战压轴题

马学斌?编著

如图 5,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的一个动点,DE//BC 交 AC 于 E,DF//AC 交 BC 于 F,那么四边形 CEDF 是平行四边形. 如图 6,当 CD 平分∠ACB 时,四边形 CEDF 是菱形.

图5 图6 如图 7,当∠ACB=90°,四边形 CEDF 是矩形. 如图 8,当∠ACB=90°,CD 平分∠ACB 时,四边形 CEDF 是正方形.

图7

图8

例2

2014 年安徽省中考第 23 题

如图 1,正六边形 ABCDEF 的边长为 a,P 是 BC 边上的一动点,过 P 作 PM//AB 交 AF 于 M,作 PN//CD 交 DE 于 N. (1)①∠MPN=_______°; ②求证:PM+PN=3a; (2)如图 2,点 O 是 AD 的中点,联结 OM、ON.求证:OM=ON. (3)如图 3,点 O 是 AD 的中点,OG 平分∠MON,判断四边形 OMGN 是否为特殊的 四边形,并说明理由.

图1

图2

图3

动感体验
请打开几何画板文件名“14 安徽 23” ,拖动点 P 运动,可以体验到,PM+PN 等于正六 边形的 3 条边长.△AOM≌△BOP,△COP≌△DON,所以 OM=OP=ON.还可以体验到, △MOG 与△NOG 是两个全等的等边三角形,四边形 OMGN 是菱形.

挑战压轴题

马学斌?编著

思路点拨
1.第(1)题的思路是,把 PM+PN 转化到同一条直线上. 2.第(2)题的思路是,以 O 为圆心,OM 为半径画圆,这个圆经过点 N、P.于是想 到联结 OP,这样就出现了两对全等三角形. 3.第(3)题直觉告诉我们,四边形 OMGN 是菱形.如果你直觉△MOG 与△NOG 是 等边三角形,那么矛盾就是如何证明∠MON=120°.

满分解答
(1)①∠MPN=60°. ②如图 4,延长 FA、ED 交直线 BC 与 M′、N′,那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、 △EPN′都是等边三角形. 所以 PM+PN=M′N′=M′B+BC+CN′=3a.

图4

图5

图6

(2)如图 5,联结 OP. 由(1)知,AM=BP,DN=CP. 由 AM=BP,∠OAM=∠OBP=60°,OA=OB, 得△AOM≌△BOP.所以 OM=OP. 同理△COP≌△DON,得 ON=OP. 所以 OM=ON. (3)四边形 OMGN 是菱形.说理如下: 由(2)知,∠AOM=∠BOP,∠DON=∠COP(如图 5) . 所以∠AOM+∠DON=∠BOP+∠COP=60°.所以∠MON=120°. 如图 6,当 OG 平分∠MON 时,∠MOG=∠NOG=60°. 又因为∠AOF=∠FOE=∠EOD=60°,于是可得∠AOM=∠FOG=∠EON. 于是可得△AOM≌△FOG≌△EON. 所以 OM=OG=ON. 所以△MOG 与△NOG 是两个全等的等边三角形. 所以四边形 OMGN 的四条边都相等,四边形 OMGN 是菱形.

考点伸展
在本题情景下,菱形 OMGN 的面积的最大值和最小值各是多少? 因为△MOG 与△NOG 是全等的等边三角形,所以 OG 最大时菱形的面积最大,OG 最 小时菱形的面积最小. 3 2 a . OG 的最大值等于 OA,此时正三角形的边长为 a,菱形的最大面积为 2 3 3 3 2 a ,菱形的最小面积为 a . OG 与 EF 垂直时最小,此时正三角形的边长为 2 8

挑战压轴题

马学斌?编著

例3

2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题

已知二次函数 y=-x2+bx+c 的图像经过点 P(0, 1)与 Q(2, -3). (1)求此二次函数的解析式; (2)若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点,过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数 图像于点 B,分别过点 B、A 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D,且所得四边形 ABCD 恰为 正方形. ①求正方形的 ABCD 的面积; ②联结 PA、PD,PD 交 AB 于点 E,求证:△PAD∽△PEA.

动感体验
请打开几何画板文件名“13 黄浦 24” ,拖动点 A 在第一象限内的抛物线上运动,可以 体验到,∠PAE 与∠PDA 总保持相等,△PAD 与△PEA 保持相似. 请打开超级画板文件名“13 黄浦 24” ,拖动点 A 在第一象限内的抛物线上运动,可以 体验到,∠PAE 与∠PDA 总保持相等,△PAD 与△PEA 保持相似.

思路点拨
1.数形结合,用抛物线的解析式表示点 A 的坐标,用点 A 的坐标表示 AD、AB 的长, 当四边形 ABCD 是正方形时,AD=AB. 2. 通过计算∠PAE 与∠DPO 的正切值, 得到∠PAE=∠DPO=∠PDA, 从而证明△PAD ∽△PEA.

满分解答
(1)将点 P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入 y=-x2+bx+c,得

?c ? 1, ? ??4 ? 2b ? 1 ? ?3.

解得 ?

所以该二次函数的解析式为 y=-x2+1. (2) ①如图 1, 设点 A 的坐标为(x, -x2+1), 当四边形 ABCD 恰为正方形时, AD=AB. 此时 yA=2xA. 解方程-x2+1=2x,得 x ? ?1 ? 2 . 所以点 A 的横坐标为 2 ? 1 . 因此正方形 ABCD 的面积等于 [2( 2 ?1)]2 ? 12 ? 8 2 . ②设 OP 与 AB 交于点 F,那么 PF ? OP ? OF ? 1 ? 2( 2 ?1) ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ?1)2 .

?b ? 0, ?c ? 1.

PF ( 2 ? 1)2 ? ? 2 ?1. AF 2 ?1 OD 又因为 tan ?PDA ? tan ?DPO ? ? 2 ?1, OP
所以 tan ?PAE ? 所以∠PAE=∠PDA. 又因为∠P 公用,所以△PAD∽△PEA.

挑战压轴题

马学斌?编著

图1

图2

考点伸展
事实上,对于矩形 ABCD,总有结论△PAD∽△PEA.证明如下: 如图 2,设点 A 的坐标为(x, -x2+1),那么 PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2. 所以 tan ?PAE ?

PF x 2 ? ? x. AF x
OD ? x, OP

又因为 tan ?PDA ? tan ?DPO ?

所以∠PAE=∠PDA.因此△PAD∽△PEA.

挑战压轴题

马学斌?编著

第四部分

图形的平移翻折与旋转
4.1 图形的平移

例1

2015 年泰安市中考第 15 题

如图 1,在平面直角坐标系中,正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为(2, 0) ,点 A 在第一 象限内,将△OAB 沿直线 OA 的方向平移至△O′B′A′的位置,此时点 A′的横坐标为 3,则点 B′的坐标为( ) . A. (4, 2 3 ) B. (3, 3 3 ) C. (4, 3 3 ) D. (3, 2 3 )

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“15 泰安 15” ,拖动点 A'运动的过程中,可以体验到,△A′OC 保持等边三角形的形状.

答案

A.思路如下:

如图 2,当点 B 的坐标为(2, 0) ,点 A 的横坐标为 1. 当点 A'的横坐标为 3 时,等边三角形 A′OC 的边长为 6. 在 Rt△B′CD 中,B′C=4,所以 DC=2,B′D= 2 3 .此时 B′ (4, 2 3) .

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年江西省中考第 11 题

如图,在△ABC 中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC 沿射线 BC 方向平移 2 个 单位后,得到△A′B′C′,联结 A′C,则△A′B′C 的周长为_______.

动感体验
请打开几何画板文件名“14 江西 11” ,拖动点 B′运动,可以体验到,△A′B′C′向右移动 2 个单位后,△A′B′C 是等边三角形.

答案

12.

挑战压轴题

马学斌?编著

4.2 图形的翻折 例1 2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 18 题

如图 1,在矩形 ABCD 中,AD=15,点 E 在边 DC 上,联结 AE,△ADE 沿直线 AE 翻 折后点 D 落到点 F,过点 F 作 FG⊥AD,垂足为 G.如果 AD=3GD,那么 DE=_____.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“15 宝山嘉定 18” ,拖动点 E 在 DC 上运动,可以体验到, △ADE 与△AFE 保持全等,△AMF 与△FNE 保持相似(如图 2 所示) .

答案

3 5 .思路如下:

如图 2,过点 F 作 AD 的平行线交 AB 于 M,交 DC 于 N. 因为 AD=15,当 AD=3GD 时,MF=AG=10,FN=GD=5. 在 Rt△AMF 中,AF=AD=15,MF=10,所以 AM= 5 5 . 设 DE=m,那么 NE= 5 5 ? m . 由△AMF∽△FNE,得

AM FN 5 5 5 ? ,即 .解得 m= 3 5 . ? MF NE 10 5 5 ?m

图2

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年上海市中考第 18 题

如图,已知在矩形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,BE=2CE,将矩形沿着过点 E 的直线 翻折后,点 C、D 分别落在边 BC 下方的点 C′、D′处,且点 C′、D′、B 在同一条直线上,折 痕与边 AD 交于点 F,D′F 与 BE 交于点 G.设 AB=t,那么△EFG 的周长为______________ (用含 t 的代数式表示) .

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 福州 10” ,拖动点 F 在 AD 上运动,可以体验到,当点 C′、 D′、B 在同一条直线上时,直角三角形 BCE 的斜边 BE 等于直角边 C′E 的 2 倍,△BCE 是 30°角的直角三角形,此时△EFG 是等边三角形(如图 2) . 答案 2 3t .思路如下:如图 2,等边三角形 EFG 的高=AB=t,计算得边长为 2 3 t . 3

图2

挑战压轴题

马学斌?编著

4.3 图形的旋转 例1 2015 年扬州市中考第 17 题

如图 1,已知 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AC=6,BC=4,将△ABC 绕直角顶点 C 顺 时针旋转 90°得到△DEC,若点 F 是 DE 的中点,连接 AF,则 AF= .

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“15 扬州 17” ,拖动点 D 绕着点 C 旋转,可以体验到,当旋转 角为 90°时,FH 是△ECD 的中位线,AF 是直角三角形 AHF 的斜边.

答案

5.思路如下:

如图 2,作 FH⊥AC 于 H. 由于 F 是 ED 的中点,所以 HF 是△ECD 的中位线,所以 HF=3. 由于 AE=AC-EC=6-4=2,EH=2,所以 AH=4.所以 AF=5.

挑战压轴题

马学斌?编著

例2

2014 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题

如图 1,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=4,D 为边 AC 上一点,且 AD=3,如果△ABD 绕点 A 逆时针旋转,使点 B 与点 C 重合,点 D 旋转至 D',那么线段 DD'的长为 .

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14 黄浦 18” ,拖动点 B'绕点 A 逆时针旋转,可以体验到,两 个等腰三角形 ABB'与等腰三角形 ADD'

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