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离散数学习题答案

离散数学习题答案
王强与刘威都学过法语

习题一及答案:

(P14-15) 14、将下列命题符号化: (5)李辛与李末是兄弟 解:设 p:李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是 p (6) 解:设 p:王强学过法语;q:

刘威学过法语;则命题符号化的结果是

(9)只有天下大雨,

他才乘班车上班 q

p 解:设 p:天下大雨;q:他乘班车

上班;则命题符号化的结果是 (11)下雪路滑,他迟到了 解: 设 p:下雪; q:路滑; r:他迟到了;则命题符号化的结果是 15、设 p:2+3=5. 太 阳 从 西 方 升 起 . q:大熊猫产在中国. r:

求 下 列 复 合 命 题 的 真 值 : (4) 解:p=1,q=1,r=0, ,

19、用真 值表判断下列公式的类型: 式的真值表,如下所示: 001111 011010 100101 11 0 0 0 1 由真值表可以看出公式有 3 个成真赋值,故公式是非重 言式的可满足式。 20、求下列公式的成真赋值: (2) 解:列出公

(4)
值的条件是:

解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋

成真赋值有:01,

10,11。

所以公式的

习题二及答案: (P38)

5、求下列公式的主 解:原式

析取范式,并求成真赋值: (2)

,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为 011,111。 *6、 求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: ( 2 ) 解:原式,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为 100。 取 范 式 : ( 1 ) 7、 求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合 解 : 原 式 ,此即主 析取范式。 主析取范式中没出现的极 9、用 小项为, , ,所以主合取范式中含有三个极大项, ,
MMmmm02024

,故原式的主合取范式。

真值表法求下面公式的主析取范式: (1) 解:公式的真值表如下:

0011011 0101101 0111111 1000101 10 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 由真值表可以看出 成真赋值的情况有 7 种,此 7 种成真赋值所对应的 极小项的析取即为主析取范式,故主析取范式 567 习题三及答

案: (P52-54) 11、填充下面推理证明中没有写出的 推理规则。 前提: 明: ① p 前提引入 ② ④ 前提引入 前提引入 前提引入 ⑦ s ⑤⑥ ①② 析取三段论 ③④析取三段论 假言推理 证 明 下 面 推 理 : 加前提证明法。 ① p ② ④ ④化简 ⑥ ⑧u (1)前提: , , 归谬法 ① p ③ ⑤ 提引入 ⑦ r ①②假言推理 ③④析取三段论 ⑥化简 ⑧ ⑤附加 ①附加 结论:s 证

15、在自然推理系统 P 中用附加前提法 ( 2 ) 前 提 : 结论: 证明:用附 前提引入 前提引入 附加前提引入 ③ ⑦ ②③假言推理 ⑤ s ⑥⑦假言推理 故推理正确。 16、 结论: 结论的否定引入 ② ④ ⑤⑦合取
p 证明:用

在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面推理: 前提引入 前提引入 ⑥ 前 由

于,所以推理正确。

17、在自然推理系统 P

中构造下面推理的证明: 只要 A 曾到过受害者房间 并且 11 点以前没离开,A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过

受害者房间。如果 A 在 11 点以前离开,看门人会看 见他。看门人没有看见他。所以, A 是谋杀嫌犯。 解:设 p:A 到过受害者房间,q:A 在 11 点以前离 开,r:A 是谋杀嫌犯,s:看门人看见过 A。 前提: , , , 前提引入 取式 ⑤ ④ ② 前提引入 p ⑥ 前提引入 ⑦ 5、在一阶逻辑中 前提引入 ③ 则 结论: r 证明: ① ①②拒

③④合取引入

⑤⑥假言推理 r

习题四及答案: (P65-67)

将下列命题符号化: (2)有的火车比有的汽车快。 解:设 F(x):x 是火车,G(y):y 是汽车,H(x,y):x 比 y 快;则命题符号化的结果是: (3)不存在比所有火车都快的汽车。 解:方法一: 设 F(x):x 是汽车,G(y):y 是火车,H(x,y):x 比 y 快 ; 则 命 题 符 号 化 的 结 果 是 :
或 方法二:

设 F(x):x 是

火车,G(y):y 是汽车,H(x,y):x 比 y 快;则命题符 号化的结果是:
给定解释 I 如下: (a) 个体域为实数集合 R。 (c) 函数。 的真值: (b) 特定元素。 谓词。 给出以下公式在 I 下的解释,并指出它们 或 9、

(2)

解:解释是: ,含义是: 该公式在 I 解释下的真值为假。

对于任意的实数 x,y,若 x-y=0 则 x<y。

14、证明

下面公式既不是永真式也不是矛盾式:

(1)
F(x)H(x,y)G(y):x 是兔子, :y 是乌龟, :x ''IIH(x,y)取解释如下: :x

I

解:取解释如下:个体域为全总个体域,

比 y 跑得快,则该公式在解释 I 下真值是 1;

比 y 跑得慢,其它同上,则该公式在解释下真值是 0;

故公式( 1)既不是永真式也不是矛盾式。 此题答案不唯一, 只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。

习题五及答案: (P79-81) 5、给定解释 I 如下: (a) 个 体 域 D={3,4} (1) 去 存 在 量 (b) (c) 试求下列公式在 I 下的真值: 方 法 一 : 先 消 解: 词

15、在自然推理系统中,构造下面推理的证明: N (3)前提: , 证明: ① ③ ⑤ ③⑤析取三段论 F(c)⑦ 前提引入 ②UI 规则 ② ④ ⑥EG 规则 ④UI 规则 结论: ①置换 前提引入 ⑥

*22 、在自然推理系统中,构造下面推理的证明: ( 2 )凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所 以王晓山不是大学生。 解:设 F(x):x 为大学生, G(x) : x 是 勤 奋 的 , c : 王 晓 山 则前提: ,

结论: 引入 前提引入 ④ ②

证明: ① ①UI 规则 ②③拒取式

前提 ③ 25、 每个

在自然推理系统中,构造下面推理的证明:

科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪 明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学 工作者,并且是聪明的。所以,王大海在他的事业 中将获得成功。 (个体域为人类集合) 解:设 F(x):x 是科学工作者,G(x):x 是刻苦钻研的,H(x):x 是聪 明的,I(x):x 在他的事业中获得成功,c:王大海 则 前提: , , 结论: I(c)证明: ① ①化简 F(c)③ ⑤ ②⑤假言推理 G(c)⑦ ⑧ 前提引入 ⑨ ⑧UI 规 则 ⑩ 前提引入 ①化简 H(c)④ ④UI 规则 ② 前提引入 ⑥

③⑥合取引入

⑦⑨ 假言推理

I(c) 习题六及答案( P99-

100 )

28 、 化 简 下 述 集 合 公 式 :



3







30、设 A,B,C 代 表任意集合,试判断下面命题的真假。如果为真, 给 出 证 明 ; 如 果 为 假 , 给 出 反 例 。 ( 6 ) , 如 果 , 则 解 : 该 命 题 为 假 ,, 否 则 , 故 为 假 。

举反例如下:则



(8)

一定成立,解:该命题为假,举 反例如下:如果 B,C 都是 A 的子集,则

但不一定成立,例如: ,则,,





。 33 、 证 明 集 合 恒 等 式 : ( 证 明 1 ) :

习题七及答案: (P132-135)

1,2,3,4,5,6

26
23

设,R 为 A 上的关系,R 的关系图如图 7.13 所示: 合表达式。

(1)求的集合表达式; R,R(2)求 r(R), s(R), t(R)的集 解: (1)由 R 的关系图可得 所 可得; ( 2 ) ,
1,5




当 n>=2



41、设 A={1,2,3,4}, R为
上的二元关系, , (1)

证明 R 为等价关系; (2)求 R 导出的划分。

(1)只需证明 R 具有自反

性、对称性和传递性即可,证明过程如下:
(a)任取,有, ,所以 R 具有自反性; ( b ) 任 取 R , 若 ,

则 有 ,,, 所 以

具 有 对 称 性 ;

( c ) 任 取 , 若 且 ,

则有且, , ,所以 R 具有传递性, 合(a) (b) (c)可知:R 为集合上的等价关系;



(2)先求出集合的结果:

再分别求集合各元素的等价类,结果如下:

RRR RRRR RRR RR 。 RA/RA/R 等价关系 R 导出的划分就是集合 A 关于 R 的商集, 而集合 A 关于 R 的商集是由 R 的所有等 价类作为元素构成的集合,所以等价关 系 R 导 出 的 划 分 是 :

A,R46、分别画出下 列各偏序集的哈斯图,并找出 A 的极大 元、极小元、最大元和最小元。 (1)

解:哈斯图如下: e b c d f a A 的 极大元为 e、f,极小元为 a、f; A 的最 大元和最小元都不存在。 *22 、 给 定 , A 上 的 关 系 , 试 (1)画出 R 的关系 图; (2)说明 R 的性质。 解: (1) 1 2● ● ● ● 34 (2)R 的关系图中每个顶点都没有自环, 所以 R 是反自反的,不是自反的; R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都 是单向边,故 R 是反对称的,不是对
称的; R 的关系图中没有发生顶点 x 到顶点 y 有
A,R 和 B,S*48、设为偏

边、顶点 y 到顶点 z 有边,但顶点 x 到顶点 z 没有边 的情况,故 R 是传递的。 序集,在集合上定义关系 T 如下: 证 明 T 为上的偏序关系。
任取

证明: (1)自反性:
11

,则: 11R 为偏序关系,具有自反性, 为偏序关系,具有自反性, 又

, 11221212 任

,故 T 具有自反性 1111(2)反对称性: 取

, 若 a,bTa,b 且 a,bTa,b , 则 有 :

(1)

( 2 ) 2121

,又 R 为偏序关系,具有反对称性,所以 ,又 S 为偏序关系,具有反对称 性,所以 1122 ( 3 )传递性: a,bTa,b 且 ,故 T 具有反对称性 任取 a,b,a,b , ,若

a,bTa,b , 则 有 : 11223311222233

又 R 为偏序关系, 具有传递性,所以 aRa 关 系 , 具 有 传 递 性 , 所 以 又 S 为偏序 bSb122313

,故 T 具有传递性。13131133 综合

(1) (2) (3)知 T 具有自反性、反对称性和传递性, 故 T 为上的偏序关系。

习 题 九 及 答 案 :( P179-180 ) 8 、 为有理数集,为 上的二元 运算, S有 ( 1) 运算在 S 上是否可交换、可结合? 是否为幂等的?(2) 。 运算是否有单位 元、零元?如果有,请指出,并求出 S 中 所 有 可 逆 元 素 的 逆 元 解 :( 1 ) 运算不具有交换律



运算有结合律 任取 , 则 有 : 2 运算无幂等律 (2) 令 对 均成立 则有: 对 均成立 对 成 立 必 定 有 运算的右单位元 为 1,0,可验证 1,0 也为 运算的左单 位元, 运算的单位元为 1,0
令 ,若存在 x,y 使得对 上述等 由 式均成立,则存在零元,否则不存在零元。

由于 可能对 均 成 立 , 故 a,b* 均成立,故不存在零元;

不 不可能对 设元素 a,b 的逆

元 为

x,y , 则 令 (当 当 )



时,a,b 的逆元不存在; 1b 当 aa11、 设

时,

a,b 的逆元是

, ,...,10,问下面 如果能构成代

的运算能否与 S 构成代数系统 S, 数系统则说明

运算是否满足交换律、结合律,并求 大于等于 x 和 y 的最

运算的单位元和零元。 (3) ;

小整数解: ( 3 )由 * 运算的定义可知: , 有 ,故 运算在 S 上满足封闭性,所以 任取 有

运算与非空集合 S 能构成代数系统; 所以 任 取

运算满足交换律; 有

所以

运算满足结合律; x, 所以

任取

,有

运算的单位元是 , 所以 有

1







运算的零

元是 10;

设 其中 表示取 x 和 y 之中较大的数。 ,12 其中 表示取 x 和 y 之中较小的数。求出 V 和 V 的所有的
16 、

子代数。 12 指出哪些是平凡的子代数, 哪些是真子代数。解: (1)V 中 运算 的单位元是 1 , V 的 所 有 的 子 代 数 是 : ; 1 V 的 平 凡 的 子 代 数 是 : ; V 的 真子代数是: ;1 (2)V 中 运算的单位元是 6, V 的所有的子代数是: , ;2 V 的平凡 的子代数是: , ; V 的真子代数是: 。2 习题十一及 答案: (P218-219) 1、图 11.11 给出了 6 个偏
序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,

解: ( a) 、 ( c) 、 (f)是格;因为 任意两个元素构成的集合都有最小上界 和最大下界; (b)不是格,因为{d,e} 的最大下界不存在; (d)不是格,因 为{b,c}的最小上界不存在; (e)不是 格,因为{a,b}的最大下界不存在。 2、 下列各集合低于整除关系都构成偏序集,
说明理由

判断哪些偏序集是格。 (1)L={1,2, 3,4,5}; (2)L={1,2,3,6,12}; 解:画出哈斯图即可判断出: ( 1)不是 格, (2)是格。 4、设 L 是格,求以下 公 式 的 对 偶 式 : ) ( 2 ) 解:对偶式 为 :, 参 见 P208 页 定 义 11.2 。 、设 L 为 格, ,且,证明。 证 明 :
9、针对图 11.11 中的每个格,如果格中的元素存在补元,则 求出这些补元。 解: (a)图:a,d 互为补元,其中 a 为全下界, d 为全上界,b 和 c 都没有补元; (c)图:a,f 互为补元,其中 a 为全下界,f 为全上界,c 和 d 的补元都是 b 和 e,b 和 e 的 补元都是 c 和 d; (f)图:a,f 互为补元,其中 a 为全下界,f 为全上界,b 和 e 互为补元,c 和 d 都没有补元。 10、说明图 11.11 中每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。 解: (a)图:是一条链,所以是分配格,b 和 c 都没有补元, 所以不是有补格,所以不是布尔格; (c)图:a,f 互为补元,c 和 d 的补元都是 b 和 e,b 和 e 的补元都是 c 和 d,所以任何元















有补格; ,所以

对运算不满足

分配律,所以不是分配格,所以不是布尔格; (f)图:经过分 析 知 图 ( f ) 对 应 的 格 只 有 2 个 五 元 子 格 : L1={a,c,d,e,f}, L2={a,b,c,d,f}。画出 L1 和 L2 的哈斯图可知 L1 和 L2 均不同构于 钻石格和五角格,根据分配格的充分必要条件(见 P213 页的定 理 11.5)得图(f)对应的格是分配格;c 和 d 都没有补元,所 以不是有补格,所以不是布尔格。



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