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2013年广东省东莞市(高中)数学老师教学论文(19份)


高中数学“曲线与方程”教学缺失的深度分析? 广东省东莞市东莞中学赵银仓?
1 问题的提出 先看看近两年关于“曲线与方程”的两道高考试题,了解学生答卷情况. 第一题: 已知一条双曲线 x2 ? y 2 = 1 的左、 右顶点分别为 A1 , A2 , P( x1 , y1 ) , 点 2

Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点.? (1) 求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程;? (2)? ? 若过点 H (0, h) ( h > 1 ) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, (本题为 2010 年高考数学广东卷理科第 20 题)? 且 l1 ⊥ l2 ,求 h 的值. 从高考阅卷的情况来看,绝大多数考生在解答(1)时分析条件不仔细,运 算中推理不严谨,没能发现的曲线的限制条件,找出方程中变量的取值范围,造 成所求的轨迹不具备完备性,也就不能排出椭圆的四个顶点,也就引起(2)解 题失误.从高考阅卷的统计结果来看,该题得分率不足 0.08,而且只有两个考生 全对, 不足十万之一. 从对优生学生的访谈来看也因没有正确地求得曲线的范围, 引起了(2)的失误.由此可见,在教学中只注重求轨迹方程的解题技巧,而不 重视对本质的揭示是一个普遍存在的严重问题,必须引起我们的警示和反思.? 第二题:在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x = ?2 交 x 轴于点 A ,设 P 是 l 上 一点, M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足 ∠MPO = ∠AOP .? (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程;? (2)已知 T (1,?1) .设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时 点 H 的坐标;? (3) 过点 T (1,?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的斜率 k 的取值范围. (本题为 2011 年高考数学广东卷文科第 21 题)? 题目的所有条件都是以几何方式呈现的,自然就要利用几何直观进行分析, 画出图形后,容易由平面几何知识转化条件得到轨迹的方程,但观察要全面,不 小心会漏掉射线部分而使得求得轨迹方程缺少纯粹性; 只要观察到 O 恰为抛物线 的焦点, (2)的解答便是水到渠成,利用几何直观, (3)则更是显而易见.可见 这个问题并不难,但阅卷的结果出人意外,得分率不足 0.05,最高分 8 分,全 省只有两人,看到这一严酷的现实后来反思教学现状,则又在情理之中.这是一 道原生态的轨迹问题,需要考生能够从几何条件出发,分析出等量关系化简得轨 迹方程,在平时多于题型练习,少于基本原理的理解,遇到这类问题教学的缺陷 就暴露无遗了.?
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从这现两年的高考答卷中可以看出, 对同一类型的问题都发生了全省性的普 遍错误,反映出了一个严重的问题, “曲线与方程”的教学存在严重的缺失.? 2? ? 答卷错误及原因分析? 对于第一题,笔者参加了 2010 年广东省的高考评卷,了解考生该题的答卷 情况: (1)出现了大量的空白卷; (2)有不少考生虽有作答,但不明确轨迹方程 的本质是什么,因而不知道求轨迹方法要解决什么问题,表现在卷面上就是列出 直线 A1 P 与 A2Q 方程,不明确所得两条直线与所求轨迹的关系,因而没有设去消 参得动点的坐标之间的关系; (3)有部分考生虽然知道消参,但推理运算能力太 差,不能正确地消去参数求普通方程; (4)能够求出轨迹方程的考生中,大多不 清楚轨迹方程包括方程和范围两部分,表现在答卷上就是虽然消去了参数,但不 能求出限制条件,即曲线的范围. (5)只有极少数考生,明确求轨迹方程的准确 含义, 但在推理的过程中不注意分析曲线与方程的等价性, 不注意运算的严谨性, 因而不能正确地求得曲线的范围.? 答卷案例:在能够较完整解答的考生中,下面解法具有代表性(根据考生答 卷整理) .? 解: (1)由题设知 A1 ( ? 2, 0 ) , A2 ( 2, 0 ) ,则直线 A1 P 和 A2Q 的方程分别 为:? y= y1 ( x + 2 )? ? ? ? ? ? ? x1 + 2 ? y1 (x? 2) x1 ? 2 ①?

y=



①与②相乘得 y 2 =

? y12 ( x2 ? 2 ) ? ? ? ③ 2 x1 ? 2

x2 x2 ? y 2 = 1 上 , 所 以 1 ? y12 = 1 , 且 由 于 点 P ( x1 , y1 ) 在 双 曲 线 2 2
x1 > 2

将③代入得轨迹 E 的方程为

x2 + y2 = 1 , x < 2

2 .?

错误剖析: 从这份答卷可以看出, (1)写出直线方程时, 没有写出参数的范围, 导致后续范围的缺失;(2)整体消参,看似运算简洁,但掩盖了已知动点和未知动 点坐标之间的依存关系,即参数与坐标之间的对应关系,因而没有找出曲线的范 围.事实上用这种方法很从运算过程看出范围,须结合图形利用双曲线的渐近线 进行分析才能得出,这对于学生在考场上利用短暂的时间几乎无法完成;(3) 设
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点的坐标为参数,其实是设了两个参数,应该找出坐标与参数之间的二元对应关 系,由于知道动点的范围,即知道参数的取值范围,根据对应关系才能确定变量 范围,这样做的学生极少,不少参考资料的解法也是错误的,可见求方程忽视范 也要设出其坐标 ( x, y ) , 围是常见的事; 4) ( 即使用交迹法求动点 M 的轨迹方程, 这就明确了问题的答案应该是什么. 对于第二题,据阅卷组在试卷分析报告中所讲,卷面情况是(1)出现了超 过一半的空白卷, (2)不少考生有作答但不能有效将问题中的几何条件分析转化 代数条件,因而不得分, (3)在转化时,从几何入手时,考虑不全面,造成遗漏 了一种情况,致使方程与曲线不等价.? 答卷案例:下面是 2011 年高考数学分析会展示的一个错解答卷.? 解: (1)由题意得, A 点为直线 l : x = ?2 与 x 轴的交点,所以 A 点的坐标为 y 因为 所以设 P 为 ( ?2, y0 ) . 的中点为 N , PO 因此 k PO = ? 0 ,? ( ?2, 0 ) , P 为 l 上的点, 2 直线 l2 的方程为:y ?

y0 2 , ? = ? ( x + 1)(1) Q ∠MPO = ∠AOP , ∴ 2 y0

直线 PM 的方程为:y = y0(2) 将 , (2) (1) 代入 得,y0 2 = 4( x + 1) , 所以点 M 的轨迹 E 的方程为 y 2 = 4( x + 1) .? 错误剖析: (1)求动点 M 的轨迹首先要设出其坐标 ( x, y ) ,这 (2)本解法中 样就为后面的推理指明了方向:找坐标 x, y 间的数量关系即方程; 选择了动点设 P 的纵坐标 y0 为参数来描述线段 PO 的垂直平分线和直线 PM 的 方程,通过消去参数 y0 来求得点 M 的轨迹 E 的方程,但条件 ∠MPO = ∠AOP 与 直线 PM 的方程为: y = y0 不等价,后者只是前者的一种情况,因而引起了不全 面; (3)当 y0 =0 时,线段 PO 的垂直平分线的斜率不存在,故要另行考虑,因而 不严谨; (4)轨迹即为曲线,问题要求的是轨迹方程,即曲线方程,首先要考虑 曲线的几何属性,特别是本题的条件均以几何的方式呈现,就可由利用线段垂直 平分线的性质,简化运算,同时在容易发现角相等的两种情形. 由前面的分析可以看出, 学生的问题主要聚集在没有理解求轨迹方程的本质
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含义,反映在试卷上就是不设动点坐标,消参不考虑取值范围,不讨论曲线与方 程的对应关系,表现为缺少范围,或范围有错,或方程不完整.大面积出现这样 的现象,说明并非是个别学生对知识理解掌握不好,而是课堂教学有缺失,必须 回到课堂中去发现问题,寻找原因. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 反思教学缺失? ? 先看下面的教学片断(求轨迹方程): ( ) 问题:设圆 C 的方程为 x ? 1 2 + y 2 = 1 ,过原点 O 做圆的任意弦,求所做弦的 中点 M 轨迹方程.? 教师一共总结了四种了解法.? 解? 1(直接法):设 OP 为过 O 点的一条弦,M(x,y)为其中点, 圆心 C(1,0) ,则 CM⊥OP.? y y 所以,当 kOM ≠ 0 时, kCM ? kOM = ?1 ,即 = ?1( x ≠ 1) ,? x x ?1 当 kOM =0 时,M(1,0)? 综上所述,M? 轨迹方程为 x 2 ? x + y 2 = 0 ( 0 < x ≤ 1) .? 解 2(代入法) :设所作弦 OP 的中点 M ( x, y ),P ( x0 , y0 ) ,?

y? P M

o?

C

x

? ?x = ? 则? ?y = ? ?


x0 2 ,即 ? x0 =2 x ,? 又 Q 点P x , y 在圆C 上,∴ x ? 1 2 + y 2 = 1 . ? ? ( 0 ) ? ( 0 0) ? 0 y0 ? y0 = 2 y 2
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( 2 x ? 1)

+ ( 2 y ) = 1 , 即:x 2 ? x + y 2 = 0 ( 0 < x ≤ 1) . ?
2

解 3(参数法) :由已知动弦 OP 的斜率存在,? 设直线 OP 的方程为 y = kx , 代入圆的方程得? , ( x ? 1) + k 2 x 2 = 1 ,? ? 即 (1+k 2 ) x 2 ? 2 x = 0 ? ,? ? ?
2

x1 + x2 1 k ? , y = kx = ,? = 2 1+ k 2 2 1+ k 1 y 2 2 把x= 代入 k = 消去 k ,可得: ( 2 x ? 1) + ( 2 y ) = 1 ,? 2 x 1+ k
∴x= 所以 x 2 ? x + y 2 = 0 ( 0 < x ≤ 1) .? 解 4: (定义法)Q ∠OMC =90o , 设OC的中点为N,则 MN =

1 1 OC = ? ? 2 2

1 ?1 ? 0 ∴ 动点M 在以OC为直径的圆上, 圆心为 ? ,?,半径为 , ? 2 ?2 ?
1? 1 ? 因此动点M 的轨迹方程为:x ? ? + y 2 = ( 0 < x ≤ 1) ? 2? 4 ?
4
2

小结:(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐 标化, 列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一 基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.(3)相关 点法(代入法) 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法 若动点的坐标( x , y )中的分别随另一变量的变化而变化,我们可以 以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹 性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 3.1 重视知识记忆与题型训练,缺失“思”时间与“悟”的空间 这个教学片断在高三复习课上随处可见, 教师教学设计的出发点是给学生总 结穷举求轨迹方程的所有方法,揭示求曲线方程的规律,给学生提供一种思维的 范式,让学生自己在做题时只要按教师所讲的范式对号入座就可,遇到同类问题 学生就可以依葫芦画瓢,这种“记题型、套类型、练技巧”的学习方法,导致学 生思维能力的下降和弱化,面对新情境就不知所措,唯一办法就是照着做,全是 凭着感觉走,对错全然不知,这就是为什么在考试中频繁出现的“会而不对、对 而不全”这种奇怪而教师又不能理解的现象,考试后当问学生做的怎样,学生总 回答感觉可以,具体说不清.正是由于这种穷举填鸭式的教学方式,没有从学生 的认知出发,设计合理的问题串,留给学生充分的时间去思考问题中涉及的概念 内涵,知识间的联系,解决问题应选择的方法,没有留给学生空间去感悟探究问 题解决的关键,寻找解决问题的途径,理清什么是解决问题的通法,其它方法与 通法的关联,换句话没能让知识能够融会贯通.在教学片断中,解法 1 是基础, 直接法是体现 “曲线与方程”这一核心概念解法,在这一基础上教师若能引导 学生并给学生充分的时间在解法 1 中,去思考“动点为弦的中点这一几何条件怎 样转化为可以坐标化的条件” ,如“动点与圆心的连线与弦垂直”等, “这两个条 件是否等价” ,有了这些设问引导,学生经过思考自然会感悟到求曲线方程就是 将几何关系化为代数关系,但要确保两者等价,有了这样感悟,也就明白了为什 么要求范围,怎样求范围,这就是在高考答卷中学生范围出错的根本原因.在教 学片断中,解 1 中将几何条件“弦 OP 的中点 M ”等价于条件“CM⊥OP”是不 严谨的,这里有前提 P 点不能在 x 轴上,有了这样的分析学生才会明白为什么后 面讨论,经常进行这样分析,学生才能养成好的习惯,在解题时自觉地考虑条件 转化是否等价, 因而会不会多解或漏解, 在高考答卷中第 2 题就是源于没有考虑 等价性而引起的.? 由此可见,正是由于这种“思”与“悟”的缺失,导致学生虽然知道多解方 法,但没有掌握方法要领,实施解题时就错误百出. 3.2 重视解题方法的总结,缺失用核心思想对解题的指导 求轨迹方程的方法总体来说分类两大类, 分别是教材中所讲的直接法和参数 法,直接方法紧密联系“曲线与方程”的概念,而参数法就是曲线方程另一表示 形式, 当不易的找到曲线坐标之间的关系, 或已知动点的形成受其它参量的影响, 如物理运动中时间因素,几何运动中长度、角度,一个或多个点的运动生成新的 轨迹等,掌握这两种表示方法的基本形式及使用方法时的要点,其它方程都是由 两种方法衍生而来,因而就不难掌握了.轨迹是形,方程是数(式) ,求轨迹方程 的核心思想是坐标化思想, 将形中的点所适合的几何条件等价转化为点的坐标所 适合的代数的条件,转化方法的不同就产生了不同解题方法,但这些方法的本质 是相同的, 即揭示动点坐标之间的关系, 其本质是: 设动点坐标, 列出几何条件,
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化为代数条件,包括等式和不等式.由于学生对本质含义不清楚,造成高考答卷 中每年有大量空白.在考前教师做给学生叮嘱过抢分策略,在最后时刻先做每个 题会做的再简单的部分,但对求轨迹方程不知道应该写点什么. 在教学片断中,没有说明直接法是通法,是基础,若用其它方法来表示动点 的变化规律,这样就能揭示出其它解法,在这一过程中,让学生领会到求轨迹的 本质是求动点之间的关系,问题解决始终围绕这一目标进行,因而也就明确方法 之间的联系,知识也就融会贯通了.有了直接法这一通法的分析,也就能揭示其 它解法的由来与关联.事实上,教学片断中的后三种方法是用不同的方法来表示 动点所适合的几何条件.在教学片断中没有揭示出其它方法与直接法之间的关联. 而津津乐道于这些方法总结,而学生会面对求轨迹的问题依然无所适从,特别在 对参数中,没有揭示出由几何条件要找出参数的范围,再参数与坐标的之间的函 数关系去说明坐标的范围,正是这种造成高考答卷中学生整体消参后,误认为非 常巧妙,没有去发现参数的限制条件,由于在整体消参中掩盖了参数与坐标之间 的函数关系,因而没有求得坐标范围. 可见由于缺失核心思想去指导分析问题, 因而造成学生不知道从何下手出现 空白,也是“会而不对,对而不全”的主要原因. 3.3 重视解题技巧的演练,缺失对核心概念的理解 解析几何的两大基本问题一是用方程来表示曲线, 二是用通过方程的特征来 发现曲线的性质,求曲线的方程是解析几何中的基本问题.深刻理解曲线与方程 的关系是解析几何的基础,即要准确理解(1)曲线上点的坐标都适合方程(纯 粹性)(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上(完备性) , ,二者缺一不可.关于 解析几何的教学, 《普通高中数学课程标准(实验) 》明确指出: “教师应帮助学 生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关 系, 进而将几何问题转化为代数问题; 处理代数问题; 分析代数结果的几何含义, 最终解决几何问题.”关于“曲线与方程”的教学“应以学习过的曲线为主,注 重使学生体会曲线与方程的对应关系,感受数形结合的基本思想.”这就要求解 析几何教学必须让学生学会遵循“从几何问题到代数问题,再回到几何问题”的 循环过程,实现用代数方法来研究图形的几何性质的目的,从中体验数形结合的 思想,而曲线与方程的等价性是实现这一目标根本保障.? 目前教学的现状与课标的要求却大相径庭,相去甚远,脱离了在“曲线与方 程”一节中课标所要求的基本教学目标.教学中较多的关注了求曲线轨迹方程的 方法,设元消参的技巧与策略,对各类题型的大量训练,唯恐挂一漏万,而忽视 了对概念本质的深入分析与探究,对概念的内涵教学没有充分展开,只让学生记 住一些条款结论,对概念的理解变成求曲线轨迹方程的方法总结,更甚的有的教 师解释一下曲线与方程的关系中的两个条件就一带而过.正是由于对“曲线与方 程”概念教学的这种舍本逐本的做法,造成了概念本质内涵理解不到位的教学缺 失,带来的后果是在求曲线方程问题的解题过程中只追求结果,缺少对过程的分 析,没有遵循“从几何问题到代数问题,再回到几何问题”的循环过程,导致在 解题中经常出现缺乏考虑曲线的范围,致使不满足完备性;或考虑问题不全面, 求得的轨迹方程漏了一部分,造成不满足纯粹性.因为这两种情形都使得曲线与 方程不等价,不能用方程来描述曲线,也不能用曲线代表方程,因而用方程研究 曲线的性质而会出现错误. 最典型的例证就是前述的广东省 2010 年和 2011 年这 两年的高考答卷,得分率之低令人难以置信,这就是充分说明“曲线与方程”的 教学,必须按照课标的要求进行,走出单一的题型训练与代数演算的教学误区,
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根除教学缺失. 4? ? 教学启示? 4.1 树立“曲线与方程”是这一部分的核心概念的认识? 高中解析几何不仅要学习具体曲线如直线、圆、圆锥曲线,通过这些曲线的 有关性质来解决一些问题,还应深刻理解更一般的曲线与方程的关系,体验数形 结合的思想,认识解析几何的基本思想方法,体会解决坐标法的精髓.这也是课 标对解析几何教学的要求. 因此可见曲线与方程的概念是这部分的一个核心概念, 是对具体曲线与相应的方程之间的能够互相表示这种关系的抽象概括, 为研究一 般曲线提供了一种解决方法,即用坐标法建立曲线与方程的对应关系.在教学的 实践中,之所以出现忽视对概念的本质的探究,内涵的挖掘,致使在解题中不重 视曲线与方程对应关系的讨论,因而就出现忽视范围、遗漏曲线上的点等现象, 这就是由于认识不到位,没有用“曲线与方程”这一解析几何中的核心概念去指 导分析问题而产生了错误.只有认识到位,才有行动到位,曲线与方程的教学才 能落到实处,也才能真正用于指导问题解决.? 4.2 循序渐进地加深概念的理解 在人教 A 版教材中,曲线与方程有关的内容分布在《数学 2·必修》和《数 学·选修 1‐1》及《数学·选修 2‐1》中.在《数学 2·必修》学习直线的部分时, 就应让学生充分体会直线与二元一次方程(变量系数不全为零)之间能建立起一 一对应关系的根本原因是直线上的点与二元一次方程的解之间的存在着一一对 应关系.学习圆的部分时,通过圆与其标准方程的关系,进一步强化对这种对应 关系的认识,为曲线与方程概念的形成奠定基础.理科学生在学习《数学·选修 2‐1》圆锥曲线模块时,第一节就讲曲线与方程的概念,在教学中应从前两个特 例入手,进一步揭示一般曲线与方程所适合的关系.这种循序渐进的教学安排, 符合学生认知规律,有利于学生概念的形成、知识的建构和能力的发展.应注意 文科学生在学习《数学·选修 1‐1》圆锥曲线模块时,没有曲线与方程关系的教 学安排,学生要从直线、圆及三种圆锥曲线的学习中逐渐领悟和体会曲线与方程 之间的这种关系. 教材的编写是为了降低文科学生在理解曲线与方程的抽象关系 带来的困难,防止文科学生因此而对解析几何出现惧怕的心理,以至可能产生对 这一模块厌学的情绪.从近年教学的实践来看,教师在教学中要适时地引导学生 分析曲线与方程的关系,揭示其本质内涵,领悟曲线与方程的关系中的两个条件 不可或缺,有了这两个条件才能保障两者之间的一一对应关系,从而才可以用方 程来研究曲线.? 4.3 从概念的内涵中揭示求曲线方程的步骤 在平面上建立直角坐标系以后,点便与坐标之间建立起一一对应,进而发展 为曲线与方程建立一一对应关系, 就是通过曲线上的点组成的集合与方程的所有 解所组成的集合存在着一一对应关系,来建立了曲线与方程建立一一对应关 系.曲线与方程的概念形成过程,就规定了曲线与方程的关系的概念内涵,也就 告诉了我们求曲线方程的一般步骤: 1)建系设点,设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ; ( (2)写出集合,P = {M
p ( M )} ;? (3)写出方程,根据 p ( M ) 写出 f ( x, y ) = 0 ;

( (4)化简方程,将 f ( x, y ) = 0 化为最简形式; 5)验证结论,解为坐标的点在 曲线上.从定义可以看出,步骤中的第 5 个环节必不可以,通过验证保障曲线上
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点的集合与方程的解的集合的等价性,从而保证方程可以表示曲线.在解题中, 由于忽略了验证可能出现曲线与方程的不对应, 这就是为什么学生错了却不清楚 缘何而错的根本原因.? 4.4 在方程的推导过程中加强推理与运算能力 解析几何的本质是使用坐标法,用代数的方法研究几何,其过程把曲线的几 何特征转化为代数的数量关系,通过代数运算的手段研究数量间关系,由此获得 曲线的几何性质.由此可看,代数运算对于研究的是非常重要的,运算是手段和 工具.在求曲线方程的过程中,一定保证运算过程中实施的每一个变换必须是等 价的,这样才能确保方程可以代表曲线.但实际运算中,有时要进行一些非恒等 变换,这样要通过分析找出所有可能的增解或所有可能的遗漏,从而保证曲线上 点的集合与方程的解的集合的等价性.这就要求在教学中,重视对运算过程的分 析,运算结论的验证,避免为了求得结果的盲目运算,养成严谨的推理习惯,才 能有效地提高运算能力,从而保证化简所得方程为所求曲线的方程.? 4.5 重视数形结合思想的渗透 笛卡尔创立了坐标法,就是为了将几何问题转化代数问题,同时对代数问题 进行几何解释,实现几何与代数的统一,这就是数形结合的思想.而曲线与方程 就是坐标法的体现与应用, 因此在曲线与方程的教学中就应参透数形结合的思想, 用数形结合的思想指导问题的探究.如在推导圆的方程时,在建立坐标系的基础 上,将圆上的点到定点(圆心)距离恒等于半径这一几何特征转化为圆的标准方 程,反之利用直观解释就能证明适合标准方程的解作为坐标的点都在圆上,这就 说明了圆这个几何图形与所得代数方程的等价性, 因此就能用圆的标准方程来代 表几何图形圆.从方程的推导到等价性的说明都离不开数形结合,方程的推导是 由几何到代数的过程,而方程表示曲线的证明则是由代数到几何的过程,所以求 曲线方程的过程就是数形结合的过程.为了使运算过程不发生错误,就要对运算 的结果进行几何解释,来说明其结果的正确性.? 透过高考答卷中出现的大面积的错误这一现象, 研究目前的教学现状就可以 发现我们在曲线与方程的关系的教学中存在着缺失.没有按课标的要求,有效地 渗透数形结合的思想,循序渐进地让学生体会并理解曲线与方程的涵义,深刻领 会完备性和纯粹性二者缺一不可.在求曲线的方程时,要保证几何条件与代数条 件的等价转换,也就是使点的集合与解的集合的一一对应,才能实现曲线与方程 的统一.这也体现了矛盾的对立统一规律,反映了解析几何的基本思想和研究方 法,揭示了解析几何解题的基本规律.? ? 参考文献? 1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人 民教育出版社,2003 2 李洪玉、何一粟.学习能力发展心理学[M].安徽:安徽教育出版社,2004 3? ? 郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].中学数学教学参考(上旬) 2011,5/6? , ? ?

对高中数学概念教学中情境设置的思考
东莞市教育局教研室 况国平
【摘要】? ? 不少同学进入高中阶段以后,感觉数学比较难学,尤其是觉得数学概念比较

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抽象,如何解决这个问题呢?我们说数学是自然的,数学是有用的,在概念教学中,合理地 设置一些教学情境,让学生体验数学概念的实际背景及形成过程,感悟到数学概念是水到渠 成、浑然天成的产物,是非常有必要的.? 【关键词】? ? 高中数学? ? 概念教学? ? 情境设置?

0? ? 问题的提出?
目前,有相当一部分学生,尤其是基础相对弱一点的学生,感觉数学是一门抽象、深奥 的学科,是教材编好的、老师教给我的,接受就行,会用就行,于是数学学习就成了一种机 械的行为动作,数学概念枯燥乏味,抽象费解,遇到一些过程繁琐、思想方法要求较高的数 学问题,就会束手无策,常常选择打退堂鼓.究其原因,除了数学学科本身具有较强的抽象 性和逻辑性的特点、学生已有的学习习惯与方法,教师的教学是一个重要的方面,有时甚至 起决定性的作用.下面我就对在高中数学概念教学中进行情境设置谈谈自己的几点思考.? 我们都知道,概念是数学知识的基础,是数学思想与方法的载体.在高中数学概念的教 学中,设置适当的情境,让学生体验数学概念的实际背景及形成过程,感悟到数学概念是水 到渠成、浑然天成的产物,不仅合理合理,甚至很有人情味,对提高学生学习数学的兴趣, 提高教学的效率具有重大意义.?

1? ? 重视基础,引导学生结合已有知识准确理解新的数学概念?
课程标准下的教材采用的是螺旋式上升的编排方式,很多高中的数学概念在初中、甚至 小学阶段就已经出现.教学中,如何使得学生在对数学概念的理解上有着合理的衔接,是开 展有效教学的基础. 因此, 在概念教学之前, 了解学生已有的基础知识, 合理编排教学情境, 促进学生对数学概念的准确理解很有必要.? 案例1? ? 切线的概念? 在初中,学生已经学习了圆的切线,对圆的切线有了一个准确的认识.到了高中,在导 数的几何意义一节中, 出现了曲线的切线概念. 由初中的圆的切线过渡到高中的曲线的切线, 有一个认识上的转变,而且是有一定困难的,教师应科学设计问题情境,引导学生准确领悟 高中的曲线的切线定义.? “切线的概念”设计片段一 问题 1:当 ?x → 0 的过程中,割线 PQ 的变化情况你能描述一下吗?请在函数图象中 画出来.? 预设:如图 3,借助几何画板,当 ? x → 0 时,?

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Q( x0 + ?x, f ( x0 + ?x)) → P ( x0 , f ( x0 )), 即当 ? x → 0 ?
时,割线 PQ 有一个无限趋近的确定位置,这个确定位置? 上的直线叫做曲线在 x = x 0 处的切线.即 ? x → 0 ,割? 线 PQ → 切线 PT . 问题 2:初中平面几何中圆的切线的定义:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相 切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.那么,现在定义的切线与之前的切线 的定义有什么不同?? “切线的概念”设计片段二 问题1:平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线(图1)? 问题2:如图直线 l1 是曲线C的切线吗? l2 能叫做过点P的曲线的切线吗(图2)?

l2
y P? o 图1 图2 P

l1
P

y = f (x)
x

问题3:观察下面的演示,当动点 Pn ( xn , f ( xn ))

n = 1,2,3,4,L 沿着曲线 f (x) 趋近于点 P ( x0 , f ( x0 ))
时,割线 PPn 的变化趋势是什么? 问题 4:请根据曲线在其上某点处的切线的定义解释圆的切线.? 相比设计一,设计二通过问题 1 和问题 2,引导学生从初中圆的切线的判定出发,形成 直线与曲线的位置关系中相切概念的认知冲突,带着问题,在问题 3 中观察演示,领悟割线

PPn 的变化趋势,这种带着认知冲突的体验,对学生理解曲线的切线概念更加有效.?
2? ? 合理定位,结合学生的实际水平设置适当的问题情境?
问题情境的选择首先要考虑的是它能否准确揭示数学概念的本质. 应该说, 教材上概念 教学的范例是编写专家经过精挑细选、仔细斟酌、甚至千锤百炼选取的,在准确揭示数学概 念的本质方面是没有问题的. 但一个概念可能有多个实际背景, 针对不同基础的学生选择不 同的实际背景显然是合理的, 因此, 学生的实际水平也是设置教学情境时必须考虑的一个重 要方面.?
10

案例 2

基本不等式

基本不等式是一个主要的知识点. 不同版本的教材设置了不同的情境引入概念, 比如北 师大版直接利用“ ( x ? y ) ≥ 0 ”引出基本不等式;苏教版则设置不精确的天平称重问题阐
2

述算术平均数与几何平均数,进而证明基本不等式,这些编排体现编者不同的教学理念,但 总体上说,都采取了简单直接的策略,这是非常重要的.下面的两个设计值得我们思考.? “基本不等式”设计片段一 问题 1:如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车.我们把“风车”造型抽象成下 图,是一个含有 4 个全等直角三角形的正方形 ABCD .若设直角三角形的两直角边的长为 a、 b.请问:该图中蕴涵了什么样的不等式?

预设学生 1:由于正方形 ABCD 的边长为 a + b ,所以正方形 ABCD 的面积为
2 2

1 a 2 + b 2 ,而四个全等的直角三角形的面积之和为 4 × ab = 2ab .显然,正方形的面积大 2
于或等于四个直角三角形的面积之和,所以 a + b > 2ab ,当且仅当 a = b 时,正方形缩
2 2

为一个点,这时有: a + b = 2ab .
2 2

问题 2:通过上面这个问题我们得到一个不等式: a + b ≥ 2ab ,在这个不等式中,
2 2

如果将 a 和 b 换成 a 和 b 我们得到什么不等式呢? 预设学生 2: a + b ≥ 2 ab

2

2

LL
“基本不等式”设计片段二 问题 1: 如图, 腰分别为 a 和 b 的等腰直角 ?ABC 和等腰直角 ?ADE , 等腰直角 ?ABC 的腰 AB = b ,等腰直角 ?ADE 的腰 AD = a ,将 ?ABC 的 AC 边与 ?ADE 的 AE 重合,延 长 BC ,交 ED 于 G .设 S1= S矩形ABGD , S 2=

S ?ABC+S ?ADE .

11

求: S1 与 S 2 的值,并根据图形比较 S1 与 S 2 的大 小.从中你能得出什么结论呢? 预设学生 1:由平面几何知识可知

S1 = ab ,

1 2 1 2 a + b . 2 2 由 图 可 知 : 矩 形 ABGD 的 面 积 小 于 ?ABC 和 ?ADE 的 面 积 之 和 , 所 以 1 1 1 1 ab < a 2 + b 2 .当 a = b 时, B 与 F 重合、 C 与 E 重合, a 2 + b 2 = ab . 2 2 2 2 S2 =
故 a + b ≥ 2ab .
2 2

问题 2:某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动,拟两次降价.现有两种方案:甲方 案是第一次降价 a % ,第二次降价 b% ;乙方案是两次都降价 价较多?

a+b % .请问哪一种方案降 2

a+b 2 ) %, 2 a+b 2 a+b 2 要知道哪种方案降价更多, 就要比较 ab% 与 ( 为此要作差 ab ?( ) % 的大小了. ) , 2 2
预设学生 2: 由已知可得, 甲方案降价幅度为 ab% , 乙方案的降价幅度为 ( 为了判断这个式子的符号,我们先整理上式:

ab ?(

a+b 2 a 2 ? 2ab + b 2 ?(a ? b) 2 = ≤0 ) =? 2 4 4

为此我们知道当 a = b 时,甲方案与乙方案降价的幅度一样;当 a ≠ b 时,甲方案的降 价幅度比乙方案的降价幅度更小. 归纳:从上面两个有实际生活意义的问题我们可以得到两个重要的不等式:

a 2 + b 2 ≥ 2ab 和
……

a+b ≥ ab .请谈谈它们之间的联系. 2

设计一是人教A版教材上的案例,选用了风车会标为背景,将直观的几何问题直接转化 为代数问题,简洁、直观地刻画了 a + b 和 2ab 的关系,是一个非常成功的问题情境,对
2 2

基础一般的学生来说,比较容易接受.而设计二选用了两个难度较大的实际问题作为背景, 分别得到 a + b ≥ 2ab 和
2 2

a+b ≥ ab ,更加强调数学来自于生活,对于基础较好的学生 2

来说,这样的设计更具挑战性,对培养学生的应用意识是一种有意的尝试.?

3? ? 体验过程,让学生深化对数学概念的理解?
12

我们经常发现学生对学过的概念容易遗忘,在应用时出现概念混淆等现象.究其原因, 是学生在学习概念的时候,没有深刻体验数学概念的形成过程,悟不透数学概念的本质,对 概念的内涵与外延的认识不准确.因此,概念教学不但要设置相应的问题情境,而且应该要 让学生有印象深刻的思考、探究等体验过程.? 案例3? ? 余弦定理? 设计意图:我们熟知直角三角形的勾股定理,如图 1,? 在 Rt?ABC 中,直角所对的斜边长的平方等于两直角边长? 的平方和,即 c = a + b .那么在一般的三角形中,没有?
2 2 2

A

b? 4
C

5c ?

了直角这样的特殊角,该如何表达边长呢?教材通过探究?
3a?

已知三角形的两边及其夹角,计算它的另一边和另外两个 夹角的问题,运用向量的知识得到余弦定理.下面的这个 设计注重引导学生运用已有知识自主体验数学概念的形成过程.? 问题 1? ? 如果我们让 ∠C 分别等于 θ ,那么 c 应该等于多少呢??
2

B

图 1

预设 1:学生甲采用向量法(课本解法) .? 利用 AB = CB ? CA ? AB ? AB = CB ? CA ? CB ? CA ,? 根据数量积的定义和性质求出 AB ,即 c .? 预设 2:学生乙转化为直角三角形.如图:?
C

A

uuu r

uuu uuu r r

uuu uuu r r

(

uuu uuu r r
2

)(

uuu uuu r r

)

uuu 2 r

b4 a
3

c

B

A

A
?

?4 b?

c

c
?b

4

C

? 60°

? 120°

a 3?D ?

B

D

C

?3

a

B
?
2

作 BC 边上的高 AD, Rt△ACD 中求出 AD, 在 CD, 再在 Rt△ABD 中利用勾股定理求出 c .? 预设 3:学生丙运用解析法.如图建立平面直角坐标系?

13

y

y A (4sin60 ?
?
°,4cos60 °)

A
(4sin120 °,4cos120 °)

?

b 4 ?
?

c 3

4b ?

c

C

C

a

a? 3
?

B

x
?

B
2

x

利用两点间的距离公式求出 c .? 预设 4:让学生比较以上三种解法的优劣.? 学生 1 使用了课本介绍的向量法,获得很好的解答,而且不论∠C 是锐角还是钝角,比 较简洁.? 学生 2 使用了化归方法,把问题化归为解直角三角形的问题;? 学生 3 的解析法是解决几何度量问题的通法.? 这三种方法都是运用所学知识来解决具体问题,通过学生的自主探究,并对不同解法进 行对比,对于学生领悟余弦定理的含义起到了很好的作用.? ? 在实际的科学研究中,多数的定义、概念并不是事先想好的,而是观察、体验、分析、推 理的结果.学生应该有这个权利,让他们自己发现判断,这样既直观又自然,又可以让学生 体会到概念的必要性和合理性.在进行概念教学时,根据概念本身的特点,结合学生的实际 和自身的教学风格,设置合理的问题情境,让学生分析观察,产生疑问,用非形式化的方式 体验、感悟,从而归纳出概念,能够提高概念教学的有效性.?

参考文献
1.喻再平,龚辉斌.追求数学概念教学价值的最大化[J].中学数学教学参考:2013(1‐2) ? ? ? ? 2.王华民,朱翠.让概念在问题驱动下形成[J].? 中学数学教学参考:2011(8)?

浅谈高一新生的数学不良思维习惯及矫正?
东莞市大岭山中学高中部陈朝晖?

【摘要】:

许多高一新生不适应数学学习,原因之一是学生在初中数学学习中

形成的一些不良思维习惯不太适应高中数学学习的要求。 本文结合自己的教学实 践,谈谈在矫正高一新生数学不良思维习惯方面的一点做法。

14

【关键词】:

数学不良思维习惯;表现;矫正?

许多高一新生不适应数学学习, 笔者任教的高中属市 C 类层次, 数学差生面 大,这一现象更加突出。究其原因,我想一方面是高中学习任务重、难度大、节 奏快致使学生不适应; 另一方面是学生过去的数学思维可能不太适应高中数学学 习。如果不能使这些学生尽快跨过这道“坎” ,他们中就会有越来越多的人逐步 从害怕恐惧高中数学演变为放弃数学。 本文结合自己的教学实践谈谈高一新生的 数学不良思维习惯的常见表现及矫正的几点做法,以期与各位同仁交流。?
1. 数学不良思维习惯的表现 1.1 思维的静态化

所谓“静态化”是指学生习惯于孤立地、静止地看问题,满足于求问题的特 解,不能从整体上把握数学对象,尤其是缺乏用运动、发展、变化的眼光全面地 认识事物。 案例 1 已知二次函数 y = 3 x 2 + 2(a ? 1) x + 1 在区间 (?∞,1] 上是减函数, ( 那么 A、 a = ?2 B、 a = 2 C、 a ≤ ?2 D、 a ≥ 2 )

这是我校高一第一次学段考试时的一道试题,结果选择正确答案“C“的学 生只占极少数,绝大部分学生都选择”A”,这一错误的出现不是偶然的,它表明 学生的思维确实出了问题:认为对称轴就是直线 x = 1 。 在高中数学中,诸如最大、最小、最远、最近等问题,无不与某个变量的连 续变化或某点的连续运动有关,所以,克服思维的静态化,学会用连续、运动、 变化的观点观察处理问题,成为学好高中数学的一个关键。
1.2 思维的形象化

所谓“形象化”主要是指用直观形象和表象解决问题的思维,其特点是具体 形象性、 完整性和跳跃性。 而数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学, 内容的抽象性是其最本质的特征。进入高中后,数学的抽象性特征明显加大,体 现为大量的抽象的数学概念以及符号语言的广泛使用。就学生而言,对概念的理 解和应用的考察要求较之初中明显提高。 案例 2

{ x ∈ R 3 x + 1 = 0} 、{( x, y ), x ∈ R, y ∈ R

y = 3 x + 1}

、{ x ∈ R y = 3x + 1} 、

? ? y = 3 x + 1? ? ? ?( x, y ), x ∈ R, y ∈ R ? ? ? ? ?x + y = 1 ? ?



“其中的每个字母、 {y | y = 3x 2 + 1} 都是用集合符号表达的具体事物,很多学生说:

15

每个符号我都认识,但组合在一起,就不知道是什么了。 ”这体现了其对抽象符 号的认识存在很大困难,主要原因就在于学生在初中大多注重形象思维,而抽象 思维明显“滞后” 。
1.3 思维的表面化

所谓“表面化”是指学生沿袭初中的学习习惯,习惯于对书上性质、结论、 公式、定理、例题的套用和模仿,而对教师精心组织的探求知识发生、发展的过 程, 普遍持听不懂就不听, 迫不及待等下文 (结论) 的心态。 这种思维的表面化, 造成了头脑中知识发生“过程”与“结论”的割裂,这不仅增加了学生的记忆负 担,而且还严重制约了知识的迁移和能力的发展。 《普通高中数学课程标准》中指出“形式化是数学的基本特征之一,在数学 教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,但是不能只限于形式化的表达,要 强调对数学本质的认识, 否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋 里” 。数学的现代发展也表明,全盘形式化是不可能的。因此,高中数学课程应 该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,使学生理解数 学概念、数学结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的数学思想和方法。 案例 3 (1)求 y = x 2 + 2 x + 2 的定义域
3 (2)已知函数 f ( x) 是区间 (0,+∞) 上的减函数,比较 f (a 2 ? a + 1) 与 f ( ) 的大 4

小 学生在初中学习了配方法,并用它推导出了“一元二次方程求根公式”和“二 次函数图象的顶点坐标公式”,但大部分学生对这几道题都束手无策,反映出学 生对配方法的实质没有理解到位,可谓“知其然而不知其所以然” ? 。
2. 矫正数学不良思维习惯的做法

认知发展理论表明高一学生的思维水平处于发展的“转折点”, 其抽象思维 水平开始从经验型占主导向理论型占主导转变,并且将迅速进入理论型发展的 “关键期”。在这一过程中,学生在学习数学时表现出明显的不良思维习惯。若 能抓住这一机遇,利用好高一数学素材,设计好教学过程和情境,矫正学生的不 良思维习惯,就能促进学生的思维水平“爬上一个陡坡”。
2.1 强化运动变化、分类讨论的观点以矫正思维的“静态化”

在高中数学中,研究点的运动和量的变化无处不在,但对于习惯于研究常量
16

求特解的高一新生来说,让他们用运动变化的观点去审视问题及解决问题,却是 一个思维方法的飞跃。教师必须紧扣教材,适时创设问题情境,提前渗透“参数 思想” 把运动变化的观点引进数学教学, , 让学生置身其间, 逐步摆脱思维的 “静 态化” 。 例如在讲完集合的交集和并集后,我给出如下问题: 案例 4 设 A = {x | ?1 ≤ x < 2}, B = {x | x ≤ a}, 根据下列条件, 求实数 a 的取值范围: ( 1 ) A∩ B ≠φ (2) A ∩ B = {?1} (3)

A ∩ B = {x | ?1 ≤ x ≤ a}
(4) A ∩ B = A (5) A ∪ B = {x | x < 2}

该题只需把实数 a 对应的点,在数轴上从左至右运动,再加上细心观察就可 解决各个小题,但关键是“让 a 动起来” ,思维就活起来了。 又如在学习了函数的单调性后,我结合二次函数给出下面的问题: 案例 5 设 f ( x) = x 2 + 2 x ? 1, t ∈ R ,在区间 [t , t + 1] 上讨论 f (t ) 和 f (t + 1) 的大小。 该题如果想到由 t 的变化引发区间 [t , t + 1] 在 x 轴上从左至右运动,再根据区 间与对称轴的相对位置分类讨论即可迅速求解,解题关键还是在于让思维“动起 来” 。 在函数的概念及性质教学中,渗透运动变化的观点,更要贯穿始终。如函数 y = f ( x) 中, x 在定义域内“运动”地取遍每一个值,函数 y 也随之“运动”地 得到每一个函数值;函数 y = f ( x) 在区间 D 上,如果 x 从小到大变化,函数 y 也 从小到大(或从大到小)变化,这就体现了函数 y = f ( x) 在区间 D 上的单调性。 有了这样的运动观念作基础, 在解决函数的最值及值域等问题时, 就会得心应手, 也有助于对函数概念的本质理解。
2.2 提升抽象思维以助推思维的“形象化”

初中代数学习较多的是模仿训练, 推理能力主要是通过平面几何的论证来实 现,其推理的过程多数依赖直观的几何图形。而高中则较多地增加了代数推理, 训练学生对抽象概念的理解和具体运用。 由于对这种形式化的推理与证明缺乏必

17

要的思维训练和心理准备,缺乏符号化及数学化的能力,大多数学生会觉得高中 数学非常抽象,从而出现学习困难。
2.2.1 通过语言转化,加深对符号语言的理解

数学信息表达通常有三种形式:文字信息、图形信息、符号信息。各种信息 各有其特点,并发挥着不同的功能。但表达的数学对象的本质属性都是一样的, 可以相互转换。 因此, 新概念的学习可以借助已有的数学背景和直观的图形语言, 通过三种语言的相互转化,加深对符号语言的理解。 集合是学生进入高中学习后接触的第一个抽象的数学符号, 在上述的 “案例 2”中,教师要善于借用已有的一次函数及二次函数知识背景,从数和形两个方 面分别认识集合中的元素,帮助学生理解和掌握集合语言表达的内涵,克服抽象 符号学习与使用中的困难,提升对抽象的集合符号的理解能力,从而建立学好高 中数学的信心。 案例 6 序号是 ( 设 m, n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则正确命题的 ) ②若 α // β , β / /γ , m⊥α ,则 m⊥γ ④若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α // β C、③和④ D、①和④

①若 m⊥α , n / /α ,则 m ⊥ n ③若 m / /α , n / /α ,则 m // n A、①和② B、②和③

此类问题是学生初学立体几何的老大难问题, 老师也大都认为出现错误是学 生空间想象能力差所导致,我却觉得实际情况并不一定尽然如此。如果学生能够 先“识别”这些抽象的符号语言,尝试“抽象问题直观化” ,即把它们转化为图 形语言和文字语言,再插上空间想象的翅膀也许就能正确获解。? 在学习立体几何时, 学生觉得一些概念、 公理、 定理、 结论很抽象难以理解, 如果我们在教学时多让学生进行“三种语言”的转换,再通过实物模型、多媒体 动画演示,使形象思维转化为抽象思维,同时使抽象思维在适当的时候转化为形 象思维,就能有效提高学生的空间思维能力。? 2.2.2 重视“过程教学” ,提升运用抽象语言进行代数形式化的能力

数学中的概念都是实物的共性的数学描述。 从具体的事例中抽取实物的共性, 其本身就是数学抽象过程。在高一数学教学中,要重视由具体形象抽象到数学表

18

述的概念教学,切不可错过这一提升学生归纳、抽象的机会。通过创设情境,让 学生主动参与事物共性的发现与抽象过程,而后形成概念,再将其本质属性逐步 用符号语言准确的表述,这就是数学的“形式化”过程。 案例 7 在讲“函数单调性”的概念时,我设计了如下的问题情境:

【问题 1】观察以下函数,并归纳共性:

学生:在定义域范围内,x 增大,y 增大。 【问题 2】已学过的函数中,哪些具有这种特征?如何判断?对于熟悉的如一 次、二次函数,可以通过画图判断,但不熟悉的函数,如 f ( x) = x 3 如何判断呢? 方法 1:取自变量的值,猜想 f (?1) < f (0) < f (1) < f (2) 质疑:取特殊值时,如何保证一般性? 方法 2:证明 f ( x + m) < f ( x), m > 0 质 疑 : f ( x + m)总比f ( x)大m个单位 , 如 何 保 证 不 管 大 多 少 , 都 有
x增大,y增大 呢?

























,这样就逐步建构了“增函数 “ 任意x1、x2 ∈ [a, b], x1 < x2 , f ( x1 ) < f ( x2 )恒成立 ” 的概念” 。再让学生类比上述思想及方法,就可以自主建构“减函数的概念” 。 随着这些问题的探索、思考、讨论、比较和总结,学生的思维逐步由感性走 向理性,由浅显走向深入,由模糊走向精确,并将形象的思考逐步抽象为准确的 数学表达。由于学生参与了事物共性的抽取和具体图像性质的准确代数化过程, 对这一概念的本质特征的理解以及代数抽象表述都能较好地接受, 同时也提升了 学生的数学思维能力。 2.2.3 构建知识网络,发展抽象思维能力。

19

数学教学离不开抽象的概念、定理及公式,有的教师在教学时喜欢直接给出 这些以节约时间多做练习。但这样做其实是非常“短视”的行为,试想如果我们 在教学中引导学生从形象逐步过渡从而上升到抽象,再到最后形成系统的理论, 这样学生在获取知识的同时,不也发展提高了抽象思维的能力吗? 数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间的深刻的内在联系, 包括各 部分知识之间的横向联系和知识在各自发展过程中的纵向联系。 对于函数这章中 的几个重要概念,如单调性和奇偶性,虽研究的角度各不相同,但其共性在于都 是研究自变量和函数值的变化关系。又如函数、方程、不等式三个重要的数学概 念,学生从初中开始接触,到高一才可能形成一个整体的认识,究竟如何理解它 们内在的紧密联系呢?秘诀就是 “方程和不等式都是函数在特殊数学条件下的变 化形式,是典型的事物一般性特征和特殊性特征的关系” 。 在教学过程中,我们一方面要关注各个数学概念的特殊特征,另一方面更要 重视知识体系的建立。 要强调概念之间的共性与联系, 使学生既能准确理解概念, 同时又能构建完善的知识网络,在更全面的知识体系内灵活运用概念,逐渐形成 自觉地从不同角度分析研究事物的思维能力,从而使数学抽象为我所用,促成学 生思维水平的不断提高,为高二的学习与提高和高三阶段的综合复习打好基础。
2.3 强调数学本质以矫正思维的“表面化”

数学是思维活动的过程,因此,数学思维训练尤其应重视充分展现数学的思 维过程,即揭示数学知识的形成和发展过程。这样才有利于学生认知结构的形成 和发展,有利于学生思维水平的提高。在教学实践中,教师的教学过程设计,应 充分展现数学基本概念的抽象和概括过程,基本原理的归纳和推导过程,解题思 路的探索和分析过程,基本规律的发现和总结过程,数学模型的建立、求解和解 释过程,要把“过程”与“结论”设计得浑然一体,使“过程”以达成结论为目的,过 程中油然而生“结论”。? 案例 8 必修①第一章中概念多, 学生往往理解不到位甚至没有真正理解 (有

的学生只会背书上的 “文字语言”。 ) 因此一个新概念出现后, 教师必须善于设问、 启发,带领学生挖掘概念的内涵与外延。例如在学习奇偶函数的概念时,我设计 如下问题: (1)等式 f (? x) = ? f ( x) 及 f (? x) = f ( x) 中,x 与 ? x 的值应当在什么范围内取?

20

(2)自变量 x 与 ? x 在数轴上的位置有什么特点? (3)如果函数 f ( x) 的定义域关于原点不成中心对称,它能是奇(偶)函数吗? 弄清楚了上面三个问题,学生就明确了 f ( x) 是奇(偶)函数的前提条件是 “定义域关于原点成中心对称” ,也真正理解了在判断函数的奇偶性时为什么一 定要首先“检查定义域” (如果没给出定义域,要先自己求出定义域) 。后来就很 少有学生再把 y = x 2 ( x ≥ 0), y =| x | ?1(?1 ≤ x < 1) 这样的函数误认为偶函数了。
3. 结束语

高一新生在数学学习上的不适应是一个很普遍的现象, 如果教师一方面设法 尽可能缓解学生的焦虑和紧张,提高自己的数学课堂对学生的吸引力,从而让学 生喜欢学数学;另一方面在教学中抓住“时机”逐步矫正学生在初中形成的不良 思维习惯, 进而形成学习高中数学必须具备的数学思维习惯和能力。 我想这样 “双 管齐下” ,也许可以帮助学生尽快适应高中数学学习。
? ?

【参考文献】? [1]? ? 普通高中数学课程标准(实验) [2]? ? 连春兴.高一学生数学思维缺陷及矫正.数学通报.2002,3

一道数列高考题引出的思考与探究
类比、猜想是解题的金钥匙 东莞市第十高级中学? ? 邓振江
【摘要】 本文从分析类比猜想法的定义着手,探索类比与猜想在数学中的应用

及其优缺点。文中运用典型的例题总结类比猜想对数学学习中的重要性。由于类 比是从特殊到特殊的一种猜测、推理,从一个已知的领域去探索另一个领域,这 正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理,也可以极大地激发出学生的兴趣, 从而主动地探索、研究新的知识。我认为,教师在数学教学中不仅要鼓励学生进 行大胆猜想,使学生养成敢于猜想,勇于探索的思维习惯,更要教给他们一些猜 想的规律和方法,使他们的猜想,猜之有“理” ,猜之有“据” 。

21

【关键词】

类比;猜想;探究;思考?

1.引言
鼓励学生大胆猜想,是培养学生数学素养的一种重要举措.但猜想并非胡乱 猜测,必须有一定的道理作支撑.其中类比就是获得猜想的一种重要途径.类比 是根据两个对象之间的相似性,把信息从一个对象转移到另一个对象.类比的实 质就是信息从模型向原型的转移.G·波利亚说: “类比是一个伟大的引路人. ” 数学解题与数学发现一样,通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的 基础上, 获得对有关问题的结论或解决方法的猜想, 然后再设法证明或否定猜想, 进而达到解决问题的目的.类比、猜想的解题模式可由下列框图表示:
原问题? 猜想? 类比题解法? 类比? 类比题?

2.高考题引入
(2009 年浙江省文科 16)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S 4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , 16 ? S12 成等差数列. S 类比以上结论有: 设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn , 则 T4 ,
【解析】





T16 成等比数列. T12

审题?

观察等差数列 {a n } 前 n 项和 S n 的特点?

类比?

由等差数列之和 S n“ S 4 , 8 ? S 4 , 12 ? S 8 , 16 ? S12 , S S S ” 中的“差” ,类比到等比数列之积中的“商”?

结论?

T4 ,

T8 T4



T12 T16 , ,成等比数列? T8 T12

反思?

类比推理是以比较为基础的,它是根据两个或两类不 同对象的某些特殊属性的比较,而做出有关另一类特 殊属性的结论,是从特殊到特殊的推理,利用这类推 理所得到的结论需要进行严格的证明?
22

3.问题的拓展与探究
运用类比方法求解数学问题的关键是善于引入“辅助问题”,通过与“辅助 问题”的类比,形成猜想,发现解题思路,预见可能答案,从而解决面临的问题。

3.1 高维与低维类比
几何中类比猜想比较广泛, 常常将三维空间的对象与二维平面中的对象进行 类比;二维平面中的对象与一维的对象进行类比.例如:平面与直线类比;线分 面与点分线类比; 空间角与平面角类比; 多面体与多边形类比; 球和圆类比等等. 例1 如图 1, 过四面体 V-ABC 的底面上任一点 O 分别作 OA1∥VA, 1∥VB, OB

OC1∥VC,A1,B1,C1 分别是所作直线与侧面交点.求证: 值,并求出此定值。 分析

OA1 OB1 OC1 + + 为定 VA VB VC

证明与求值要么一起得出,要么先猜想定值,

再证明。但在空间中考虑都相当困难。我们不妨进行类比 思考,即降维到二维平面中。 点 O 在四面体的一个底面 ABC 上,类比为 O 在△ABC 的某一边上(如 AB) ;过点 O 作 OA1、OB1、OC1 分别与相应 的侧棱平行,类比为过点 O 作 OA1、OB1 分别与相应的边平 行,如图 3。这样空间中的命题类比为平面上的命题: “过△ABC(底)边 AB 上任一点 O 分别作 OA1∥AC, OB1∥BC,分别交 BC、AC 于 A1、B1,求证
图 1

OA1 OB1 + 为定值” . AC BC

这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值 1.另外,过 A、O 分别作 BC 垂线,过 B、O 分别作 AC 垂线,则用面积法也不难证明定值为 1.于是类比到空 间图形,猜想

OA1 OB1 OC1 + + =1,同时,证题方法也进行类 VA VB VC
比。 简证 如图 2,设平面 OA1VA∩BC=M,平面 OB1VB
23

图 2

∩AC=N,平面 OC1VC∩AB=L,则有△MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1 ∽△ LCV.得

OA1 OB1 OC1 OM ON OL + + = + + . VA VB VC AM BN CL
在底面△ABC 中,由于 AM、BN、CL 交于一点 O, 用面积法易证得: ∴
OM ON OL + + =1. AM BN CL
图 3

OA1 OB1 OC1 + + =1. VA VB VC

点评 立体几何的舞台是三维空间, 它是由二维空间(平面几何)发展(增维) 得到的,因而两者有着密切的联系.为此,我们可通过联想、类比思想让二维空 间与三维空间接轨,即三维空间问题难解可类比到二维平面中研究;二维平面中 问题可增维推广到三维甚至 n 维.

3.2 多元与少元类比
从多元问题去类比少元问题,目的在于寻求解决复杂问题的思考途径;从少 元问题去类比多元问题,可以得到问题的推广.这种类比本质在于借鉴方法. 例2 ,且 xl+x2+…+xn=1.求证:1≤ x 1 + x 2 已知 xi≥0(i=1,2,…,n)

+…+ x n ≤ n . 分析 我们可先把它类比为一个简单的二元问题: “已知 xl≥0,x2≥0,且 .本类比题的证明思路为:∵2 x 1 x 2 ≤ xl+x2 =1,求证:1≤ x 1 + x 2 ≤ 2 ” xl+x2=l, ∴0≤2 x 1 x 2 ≤1, 1≤xl+x2+2 x 1 x 2 ≤2, 1≤( x 1 + x 2 )2≤2, 则 即 ∴1≤ x 1 + x 2 ≤ 2 .这一证明过程中用到了基本不等式和配方法.这正是要 寻找的证明原命题的思路和方法. 证明 ,则 0≤2 x i x j ≤xi+xj, 由 xi≥0(i=1,2,…,n)
1≤ i < j ≤ n

∴0≤ 2



x i x j ≤(n-1)( xl+x2+…+xn)=n-1

∴1≤xl+x2+…+xn+ 2

1≤i < j ≤ n



xi x j ≤n,即 1≤( x 1 + x 2 +…+ x n )2≤n

24

∴1≤ x 1 + x 2 +…+ x n ≤ n .

3.3 有限与无限类比
数学中有限与无限之间有着本质的区别. 我们要善于借助有限与无限的类比 来对无限性问题的研究,突破知识难点,勾通数学知识间的联系. 例 3 (2006 年福建卷) 如图 3, 连结 ?ABC 的各边中点得到一个新的 ?A1 B1C1 , 又连结 ?A1 B1C1 的各边中点得到 ?A2 B2C2 , 如此无限继续下去, 得到一系列三角形: ?ABC , ?A1 B1C1 , ?A2 B2C2 , ... ,这一 系列三角形趋向于一个点 M.已知 A(0, 0), B (3, 0), C (2, 2), 则 点 M 的坐标是 .
图 4

分析 本题一般常规的思路是用数列知识解决, 即先求 得第 n 个三角形的坐标,再求极限,这样很麻烦,也不值得在一道填空上花这么 多时间。
5 2 其实, 不难发现 ?ABC , A1 B1C1 , A2 B2C2 的重心是同一点, ? ? 坐标均为 ( , ) , 3 3

当三角形无限作下去,即这一系列三角形趋向于一个点 M 时,类比猜想这些三角
5 2 形的重心也是同一点,因此 M 的坐标为 ( , ) . 3 3

点评 同时也要注意在类比过程中,在有限情形下才成立的定理、法则、定 律等不能毫无顾忌地类比到无限情形的问题中来.如数列极限的运算法则,即存 在极限的二个数列的和的极限等于极限的和,不能类比为: “ lim ( a1 + a 2 + ... + a n ) = lim a1 + lim a 2 + ... + lim a n ” (左边是无限项之和) .
n→∞ n→∞ n →∞ n →∞

3.4 一般与特殊类比
如果问题的一般情形比较难解,可以类比到特殊情形去考虑;从特殊情形可 以类比到一般情形,使结论更一般化. 例 4 (2001 年上海高考)已知两个圆: x 2 + y 2 = 1(1)与 x 2 + ( y ? 3) 2 = 1 (2) ,则由(1)式减去(2)式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线 仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,已知命题应成为所推 广 命 题 的 一 个 特 殊 . 推 广 的 命 题
25

为: 分析

. 本题是由特殊圆到一般圆之间的类比,即从特例中抽象出共同的特

性.由题意知,两个圆的圆心不同,但半径相等,所以类比以“圆心不同但半径 相等”为基准,类比命题为: 已知两个不同心的圆:( x ? a) 2 + ( y ? b) 2 = R 2 (3)与 ( x ? c) 2 + ( y ? d ) 2 = R 2 (4)则由 , (3) (4) 减去 可得两圆的对称轴方程: 2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d2=0. 点评 很多学生没有抓住半径相等的特点,把圆心与半径都改变了,导致类 比错误,所以类比要抓住问题的本质.

3.5 抽象与具体类比
特别地,对一些抽象函数用常规的方法较难解时,如果已知它的性质与具体 函数的性质相似, 将其类比, 即利用 “具体函数” 帮助思考, 常可化抽象为具体, 使问题的求解变得简单. 例5 已知定义在 N+上的函数 f(x),恒有 f(x+y)=f(x)f(y).若 f(x)>0,且

f(2)=4.求满足条件的函数 f(x)的一个解析式. 分析 由 f(x+y)=f(x) f(y),可联想到指数函数 f(x)=ax(0<a ≠ 1),又 f(2)

=4,可得 a=2.故猜测函数 f(x)=2x, x∈N+.用数学归纳法证明. ①当 x=1 时, f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=[f(1)]2=4, ∵f(x)>0, ∴f(1)=2=21, ∴当 x=1 时,结论正确. ②假设当 x=k(k ≥ 1 ,且 k ∈ N+)时,有 f(k)=2 k ,则当 x=k+1 时, f(k+1)=f(k)f(1)=2 k × 2=2k+1.∴当 x=k+1 时,结论正确. 综上所述,f(x)=2x, x∈N+.

点评

中学价段,抽象型函数的性质类比到具体函数的模型有: 抽象函数 f(x)具有性质 具体函数模型 指数函数 对数函数 f(x)=ax(0<a ≠ 1) f(x)=logax(0<a

f(x1+x2)=f(x1)f(x2),或 f(x1-x2)=f(x1) ÷ f(x2) f(x1x2)=f(x1)+f(x2) x2)=f(x1)-f(x2) f(x1 ± x2)=f(x1)g(x2) ± g(x1)f(x2) , 或 f(x1
÷

≠ 1)
正弦函数 f(x)=sinx
26

f(x1 ± x2)=f(x1)f(x2) m g(x1)g(x2) …

余弦函数

f(x)=cosx …

利用具体函数模型解决抽象函数问题对解选择题、填空题特别有效,但对解 答题仅仅是提供一种猜想、一种思路,要注意严密论证。

3.6 陌生与熟悉类比
数学中的某些问题的情境比较陌生,或者是学生还未接触到的生产、经济等 领域中的实际问题,若加以类比,往往可以化生为熟. 例6 如图 4,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相

联连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息. 现从结点 A 向 结点 B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最 大信息量为( A.26 解 ) B.24 C.20 D.19
3 4 7 6 6 6 8 5 12 A 12

该题是线性规划问题,有很多高中生“看不懂”这

个信息传递问题,其实只要类比成“水流量”的最大值问题 B 即可.就是取每两条路线的最小值之和,也就是(从上到 下)3+4+6+6=19,(3+4<12,6+6=12 符合题意)故选 D.

图 5

3.7 相似结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,凭借结构上的相似性 等寻找类比问题,然后可通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决.运 用联想、 类比, 实现命题的转换, 把难以直接入手的问题转化为简单的数学问题。 例7 任意给 7 个数,求证:至少有两数 xi , x j (i,j ∈ {1,2,…7})使 0



xi ? x j 1 + xi x j



3 . 3

分析 若任给 7 个实数中有某两个相等, 结论显然成立. 7 个实数互不相 若 等,则难以下手.但仔细观察可发现:
xi ? x j 1 + xi x j

与两角差的正切公式在结构上极

为相似, 故可选后者为类比物, 并通过适当的代换将其转化为类比问题. 作代换: x k = tan α k (k =l,2,…,7) ,证明必存在 α i , α j ,满足不等式 0≤tan( α i ? α j )

27



1 3

· 设 x k = tan α k . α k ∈ (?

证明

π π

把区间 ( -

π π

, ) 2 2

(k=1 , 2,…,7),

, ) 平均分成 6 个子区间,则必有两个角 α i , α j 的终边落在同 2 2

一个子区间内, 如果 α i > α j , 则一定存在 0 ≤ α i ? α j ≤ 即 0≤

π
6

,∴ 0 ≤ tan(α i ? α j ) ≤ tan

π
6



xi ? x j 1 + xi x j



3 . 3

4.教学反思
4.1 类比猜想的不足
应用类比推理应当注意:只有本质上相同或相似的事物才能进行类比.如果 把仅仅形式上相似而本质上都不相同的事物不分青红皂白的乱用类比,就会造成 错误。 例如,把 a (a + b) 与 log a ( x + y ) 或 sin( x + y ) 类比,把 (ab) n 与 (a + b) n 类比,常造 成下列错误: log a ( x + y ) = log a x + log a y ,
sin( x + y ) = sin x + sin y,

(a + b) n = a n + b n 等等。 在数学教学中要注意防止这种形式主义的类比,其方法主

要是使学生对于符号所表示的内容做到深刻理解.类比与归纳一样,也是一种合 情推理,是一种发现的方法而不是论证的方法,其结论正确与否,必须经过严格证 明。

4.2 类比猜想过程中的几点建议
第一、要善于观察事物的特点.注意从不同事物身上发现它们的共同或相似 之处,并追究造成这种共同或相似的原因.要大胆放宽眼界,不受自己的研究对 象与学科的限制。 第二、要善于联想.从一事物联想到与它性质相似的其他事物;从一种方式 方法联想到与其作用类似的其他方式方法; 从一个概念或定理联想到与它关系比 较密切的一串概念或定理。

28

第三、类比常与归纳、演绎综合运用,另外它也离不开分析.归纳、类比和 探索性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的,因此必须自觉 掌握创造性思维等特征,并运用到实际工作中去。 第四、不能将两个或两类本质不同的事物,按其表面的相似来机械地加以比 较而得出某种结论,否则就要犯机械类比的错误。 第五、强调数学的严密性.类比法本质是发现的方法,而非严格的推理,它 在科学探索过程中走了捷径.学生容易接受和喜欢这种方法,自觉和不自觉地进 行类比,其结论有时不一定具有可靠性,因此对类比推出的结论要给以证明.同 时要对学生中不正确的类比及时给予纠正,防止知识的负迁移,形成正确的知识 体系。

5.结束语
在研究数学问题过程中,离不开类比与猜想,它是一种重要的数学思想方 法.为了说明问题的方便起见,将类比方法进行了分类,其实它们是相互联系, 相互影响的.在教学过程中我们应自觉渗透类比、猜想思想,有利于提高学生的 研究数学的兴趣,有利于培养他们的创造性能力和创新思维能力。
【参考文献】
[1]杨文佳.探究 x0 x + y 0 y = r 与 x + y = r 的关系.中学数学研究[J],2011,(8)33.34.
2
2 2 2

[2]吴志雄.培养高中生数学应用意识的策略与思考.中学数学研究[J],2010,(5)11.13. [3]林锦荣.数学解题思维策略探究.中学数学研究[J],2010,(2)14.16. [4]王朝银.合情推理与演绎推理.创新设计 高考总复习[M],山东金榜苑文化传媒有限责任 公司:陕西人民出版社 2012,(2)185.186. [5]张惠良.提出数学猜想的一些途径.数学教学研究[J],2005,(3)

高一学生立体几何学习障碍的调查研究
东莞市第八高级中学
【摘

蒋美衡

要】 本文以东莞市第八高级中学的高一学生为研究对象, 通过问卷

调查法和个案访谈法, 对高一学生在立体几何学习时存在的学习障碍 (图形障碍、

29

思维能力障碍、语言障碍等)进行了调查分析,并就如何消除障碍进行了探究。 【关键词】 高一学生;立体几何;学习障碍;调查研究

一、问题的提出 较初中平面几何而言, 高一开设的立体几何课, 几何体系中的基本元素由 “点、 线”增加为“点、线、面” ,从平面图形上升为空间图形,从“二维空间”变为 “三堆空间” 知识点难度大、方法新,对学生的空间想象能力、逻辑思维能力 。 等各方面的能力都提出了较高的要求。笔者在一次关于立体几何学习的调查中, 有约 70%的同学觉得立体几何的学习 “难”或“很难” ,即可以说高一学生在立 体几何学习时感到困难、存在障碍已经成为一个普遍性的问题。 本文通过对 238 名高一学生的问卷调查,结合个案访谈,对高一学生立体几 何学习障碍这一问题进行了探讨。 二、高一学生立体几何学习的主要障碍 通过调查发现,学生在立几学习中遇到的障碍是多 方面的,有知识性的、能力性的、心理性的、环境性的 障碍等。其中,图形障碍(空间想象能力)和数学思维 能力欠缺(定理多,不知道怎么使用定理) 、以及数学 语言障碍成为了学习的主要障碍(图 1) 。 (一)图形障碍 图形语言是立体几何学习过程中进行交流的工 图 1?
11% 25% 11% 27%

你觉得立体几何学习难在哪些方面 (多选)
空间想象力不够 定理多,记不住 不知道么使用定理 初中几何没学好

26%

其他原因

具,是现实对象的空间关系的载体,学生只有完成了从对象到图形的飞跃,才有 可能顺利进行后续的学习。学生在立体几何的学习过程中,由于空间想象力的缺 乏,对图形语言的建立存在着以下障碍。

1. 识图障碍 平面几何图形反映形体的真实情况, 但在立体几何中图形往往不能反映形体 的真实结构和全部特点,学生初学时容易从平面几何的角 度看立体图形,从而产生了与学生原有知识结构的认知冲
立体几何图形中的所见与所想 不一致给你造成的困惑大吗 29% 3% 25%
30
很大 大 不大 几乎没有

43%

突。主要表现在“看到的与想到的不一样” 。例如在“水平放置的平面图形的直 观图画法”中,正方形、矩形在水平放置后呈平行四边形,以及在图中看上去明 显不垂直的两条线段事实上却是互相垂直,明显是锐角的实际却是一个钝角等。 在调查中有 68%的同学对此感到困惑或是很困惑,学生对此的适应需要一定的时 间(图 2) 。 2.作图障碍 由于空间想象能力不够,学生往往不易建立空间概念,在头 脑中难以形成较为准确、直观的几何模型,从而反映在做题 时不会画图或画出图来也不易辨认, 甚至作出错误的图形来, 误导解题且不易查错,从而影响解题。在调查中对于“你能 很好的根据题目作出符合要求的立体几何图形吗?” 这一问 题的回答时, 43%的同学选择了 有 “很难” “难” 而另外, 或 。 还有超过 80%的同学认为,在求解立体几何问题时,有没有图 形对解题影响很大(图 3) ? 。 例如,对于人教版A必修二教材P64 习题2.2 A组第2题。 2.填空题 (1)已知平面 α , β 和直线 a, b, c ,且 a // b // c, a ? α , b, c ? β ,则 α与 β 的 关系是_______ (2)平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是 ___________ 此题两问, (1)是以符号语言的形式出现, (2)是以文字语言的形式出现, 学生解决问题的最大障碍,则是必须把这两种语言均转化为图形语言,如无法突 破此障碍,则无法解题。 又比如:棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、M、N分别是棱AD、AB、 C1D1、C1B1的中点。判断过点E、F、M、N四点的截面的形状。学生在作图时就有 如下两种情形,图一由于空间想象力不够和对“截面”基本概念的理解不透而出 错。 图 3?

31

图一 (二)思维能力障碍

图二

数学思维是对数学对象(空间形式、数量关系、结构关系等)的本质属性和 内部规律的间接反映,并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。思维能力 应该包括以下几个方面:①会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概 括;②会用归纳、演绎和类比进行推理;③会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思 想和观点;④能运用数学概念、思想和方法,辨明数学关系,形成良好的思维品 质。学生思维能力是否深刻、是否具有逻辑性将直接影响其解题。 1. 概念理解不透,思维过程混乱 理解与掌握数学概念是学好数学、提高数学能力的关键。但由于部分教师的 教学原因或学生的学习习惯,学生对基本概念的理解仅仅停留在机械的识记上, 不注意概念的内涵和外延以及易混概念间的区别和联系, 以为记住了概念就掌握 了概念。在调查中发现,对于如正三棱锥与正四面体、长方体与平行六面体、球 面与球等这几个基本概念,有 44%的同学选择了“很难理解”或“几乎不理解” 。 又比如, 例:在空间四边形中,互相垂直的边最多有( A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 )

D. 4 对

此题学生易错,其原因就是误将空间四边形理解成四面体,对空间四边形理 解不够深刻。 还有,如“异面直线所成的角”“线面所成的角”“二面角的平面角”三定 、 、 义,以及它们各自的取值范围。学生本身理解就不透彻(有学生就难以明白为什 么二面角不是“角”,容易混乱。就算有同学们死记硬背记住了,但是也不会灵 ) 活运用, 具体操作。 尤其是线面角、 二面角的相关计算, 学生往往连角都找不到!
32

在解题时出现障碍也就在所难免了。

2. 定理理解不深,思维过程肤浅 对数学的公理、定理的理解和应用,突出反映在题目 的证明和计算上。学生在具体的证明中常常出现逻辑推理 不严密,运用定理、公理、法则时没有依据,或以主观臆 断代替严密的科学论证等,在解题时,经常的想当然。在 调查中发现,有 47%的同学在证明问题时“比较严谨,偶 尔会遗漏书写定理成立的条件” ,23%的同学在证明问题时 “表达很不严谨,经常遗漏定理成立的条件。 (图 4)。如在使用“线面 ” 图 4?

平行判定定理”时,就经常漏掉“ a ? α ”这一条件;在使用“面面垂直的判定 定理”时,就经常漏掉“ a ? α ”这一条件;在使用“面面垂直的性质定理”时, 。 就经常错误表述成“ α ⊥ β , a ? α ? a ⊥ β ” 再如,在添加辅助图形时,学生中经常出现逻辑性不严密,以致作法错误的 现象。有学生根据“ 平面α // 平面β ” ,就作出“ 在平面α内作直线l // 平面β ” , ,就作出“ 在平面α内作直线l ⊥ 平面β ”等等,这些都 根据“ 平面 α ∩ 平面 β ” 是概念、定理理解不到位,从而导致混乱。 3. 平面几何的负迁移导致思维转换障碍 许多几何概念和性质在二维空间内成立,在三维空间内已经发生了变化。学 生在学习立休几何时, 未能摆脱二维空间的束缚, 在前提条件相同或部分相似时, 把平面几何中的概念和性质错误地迁移到立体几何中来, 这又促使了学生又一思 维障碍的形成。 例如,学生把平面几何中“互相垂直的两条直线一定相交” 迁移到立体儿 何学习中来, 得出“ 经过一点作已知直线的垂线只有一条” 的错误结论。再 如,把平面几何中“ 垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质错误地在 立体几何中使用,并由此类推出“ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行”的 错误结论。这种随意类推、臆造定理的现象在立体几何学习中屡见不鲜。尤其在 学习立体几何的起始阶段,把对平面图形的识图迁移到立体几何识图中来,是导
33

致学生思维障碍的重要因素。 (三) 语言障碍 平面几何主要以形象、通俗的语言方式进行表示,而立体几何一开始就借用 集合符号来表示空间中的点、 面之间的关系, 线、 使用符号语言进行推理、 论证。 由于符号本身具有抽象性,易造成学习障碍。如面面垂直的判定定理: “l ⊥ α,l ? β,? α ⊥ β ” ,用自然语言学生背诵的非常好,但如果让学生用自然 语言来描述这一段符号语言,却有很多学生难以迅速准确的描述。 语言障碍的另一个表现在书面表达。在教学过程中,可以发现学生对解题过 程的表达非常混乱。也可经常听到学生说: “这个题我会做,但是就是不知道怎 么写! 在调查中发现,有 62%的同学在证明立体几何问题时“偶尔有不知道如 ” 何表达” ,而有 30%的同学在证明时“经常不知道如何表达。(图 5)可能在很多 ” 数学题的解答过程中都存在这个问题,但在立体几何 中表现得更为突出。因为立体几何解答表述的精准是 建立在学生对题目充分理解后, “翻译”出准确、有效 的图形语言的基础上的,而且还要求学生对概念、定 理等理解透彻、运用自如。 三、 高一学生立体几何学习障碍的消除策略探究
62% 在解立体几何问题时是否有过不 知如何表达(书写)的情况? 8% 30%
经常有 偶尔有 几乎没有

图 5?

针对以上学生学习过程中的障碍, 教师可以如何帮助学生克服和消除呢?笔 者认为有以下几个方面可以努力。 (一)恰当使用实物或模型,丰富学生感性认知,培养学生空间想象力。 看实物可对空间概念进行原始积累。在日常教学时,引导学生从客观事物中 观察分析,有助于他们建立空间概念。如教学“直线与平面的位置关系”时,让 学生观察教室里墙角线(直线),墙面(平面)的关系,讲桌、讲台、黑板所拥有的 线、 面关系等等。 又例如在讲两条直线的位置关系时, 让学生根据教师的天花板, 地面与四墙壁的关系,黑板边等实物研究两直线的各种不同的位置关系。当学生 研究到既不平行也不相交这一新的位置关系时,情绪高涨,一种学习新知识的愿 望表露出来。此时,教师适时指出这两条线叫异面直线,再结合定义,异面直线

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这一重要概念便迎刃而解了,从而有利于学生顺利跨入立体几何的大门了。 看模型可实现空间概念的初步抽象。例如在学习线与线、线与面、面与面关 系时,可以利用长方体这一模型进行演示教学。 (事实上,教材在整个点、线、 面的位置关系这一节中,长方体模型也是反复使用。 ) 利用课本、笔、桌面等动手“摆”出立体图形也能帮助学生提高认识。如异 面直线所成的角、判断空间中线与面、线与线的位置关系时,这种方法简单、直 观、 准确。 有时候, 制作简单模型, 如折叠纸片等也是一种有效的直观教学手段。 如用长方形的纸片折出空间四面体、用等腰三角形折出二面角等。 当然, 还可以利用多媒体课件展示空间三维效果, 展示空间图形的形成过程。 尤其可以用几何画板多角度、多方位的展示空间图形的形成过程或是内部结构, 将更有利于学生空间概念的形成。 在调查过程中,有 55%的同学认为在上课时,老师借助几何模型进行讲解时, 对自己知识的理解和掌握的帮助比较大,其中有 11%的同学认为帮助非常大。 而认为几乎没有帮助的只有 9 名同学,占了不到 4%。充分的也反映了学生们对 教师使用实物模型或多媒体课件的需求和认可。 (二) 练好学生三项素质 1. 练好识图和正确作图的基本功。 练好识图基本功,让学生能正确观察和认识几何图形,做到既能识别表示各 个概念的简单图形,又能在复杂图形中识别表示某个概念的图形。 要培养学生的识图、 作图基本功, 教师必须高度重视, 规范作图, 言传身教, 在教与学过程中引导学生掌握画图的一些基本规律。 教学时教师可以借助投影仪 等工具,将表示平面、直线与平面、平面与平面的位置关系等模型(投影图)播放 出来,让学生观察、认知。通过观察,使学生认识到:平行的直线或线段的投影 图形仍保持平行,但线段的大小一般随投影的角度不同而改变,长方形的投影图 是平行四边形;相交两平面的投影图形中有关线、面的一部分能看见,一部分被 遮住无法看见等等。最后可以归纳出“虚线看不见,实线看得见;平行能保持, 垂直不保持”等作图的基本原则。 如画平面,在学生对长方形(平面)的投影有了初步的感性认识后,可以引导 学生动手画长方形的各种投影图(平行四边形),并进行比较、鉴别, 以使学生
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体会到:把平行四边形的一条边画成水平线,锐角画成 45。 ,水平的边长和原长 相等,另一条边是长的一半,这样画平面比较方便,图形也比较逼真。 又如,画空间中两条异面直线,可以先让学生自己画,老师也可以在黑板上 画出以下四个图形。引导学生发现,通过平面的衬托,异面直线的空间立体感就 更明显的了。并由此告诉学生增强图形立体感的方法。

2. 掌握三种语言间的相互转化。 几何语言是专用语言, 它包括文字语言 图形语言与符号语言, 要想学好它, 关键是把图形语言与文字语言相联系,切实掌握文字语言、符号语言和图形语言 的互译技能。教师在立体几何教学中,务必 对每个定义、定理、公理都要求学生会用三 种语言表达,对例题、习题也同样的要求。 在调查中,在回答“假如让你重新学习一次 立体几何,你觉得以下哪个方面最需要学习 好”时,有超过一半的同学选择了“掌握好 图 6? 三种语言的相互转化” (图 6) ,这也是同学们在学完后回头看时的最深、最真切 的感受! 山东青岛第二中学的杨冠夏老师对此曾提出“两个凡是” ,有很好的借鉴意 义。杨老师总结出,凡是纸上写的,就要求学生一字不差地口述出来,并把清晰 规范的图形画出来,反之,学生口头陈述的语言,写在纸上,不必改动,就应当 是书面语言; 第二,凡是学到公理、定义、 定理,就应当 “三对照” ,有文字 (语言)、有图形(语言)、 有符号(语言) ,三者对照翻译。这两个“凡是” ,教 师身先士卒,学生紧随其后,在一个阶段内要坚持做下去。学生的识图、作图能 力提高了,而且也加深了对定义、定理的理解。 3. 养成“言必有据”的推理习惯
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数学推理必须严谨、规范。在立体几何中,推理就必须结合图形,用符号语 言规范的、有据有理的进行。所谓 “言必有据” ,就是指每一个证明的根据(即 逻辑三段论的大前提) 必须是我们教科书给出的公理、 定义、定理(包括推论和 以黑体字出现的习题结论),不可以自己生理由,不可以随意把一道习题的结论 作为根据(这样将没有一个公认的标准),不可以望图生义,不可以把平面几何结 论在非平面条件下不加证明任意搬用,不能说“大家都说对”就当成一个证明依 据。 要做到这一点,在起始阶段,在使用定理时,规范好“几推一” 。如:

a // b ? ? 线 面 平 行 判 定 : b ? α ? ? a // α a ? α? ?
? ? ? ? ? ? α // β (五推一) b ?α ? ? a ∩ b = P? ? a // β b // β a ?α

(三推一)

面面平行判定:

开始使用时,题题规范“几推一” ,段段追问“言出何据” ,抓住典型错误, 反复强化,让学生养成习惯,培养学生逻辑思维能力!

【参考文献】 [1] 杨冠夏,从立体几何入门教学看数学语言[J] .中学数学月刊,2007, (2). [2] 杜红全,立体几何入门教学之我见[J] .数学教育,2010,(3). [3] 武 楠,影响立体几何学习的几个因素[J] .黑龙江教育,2006,(3).

从中小学几何教学衔接的角度谈高中立体几何教学
东莞市万江中学 谭玉燕 摘要:高中立体几何比起初中小学几何知识更加抽象、理论性更强,高中立体几何的思 维方法更多地向理论层次跃进,需要学生多角度多方面进行思考,解题过程更加复杂.高中

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的立体几何学习,几何体系中的基本元素由平面的“点、线”增加为“点、线、面” ,从平 面图形上升为空间图形,从“二维空间”变为“三维空间” ,由平面向空间跃进.这些知识变 化使学生产生了与原有的几何知识结构的认知冲突,使教学进程不顺,增加学生学习难度. 注重中小学几何教学的衔接,可以提高立体几何教学的有效性. 关键词:教学衔接 立体几何

新知识是以原有知识体系为依托开展学习得来的,而原有的知识体系是通过学习得来的, 因此学生的立体几何中各方面能力具有习得性.皮亚杰的认知发展理论告诉我们:学生认知 结构的发展是在认识新知识的过程中,伴随着同化和顺应的认识结构,不断再构的过程,是 在新水平上对原有认识活动来激活大脑中原有的认知结构实现内化中的再建构.学生最原始 的知识体系来自于初中小学甚至幼儿园时期, 因此, 充分了解学生原有的知识体系能进一步 更好地开展高中阶段立体几何的教学. 高中立体几何比起初中小学来更加抽象、 理论性更强, 高中立体几何的思维方法更多地 向理论层次跃进,解题过程更加复杂,需要学生多角度多方面进行思考.高中的立体几何学 习,几何体系中的基本元素由“点、线”增加为“点、线、面” ,从平面图形上升为空间图 形,从“二维空间”变为“三维空间”.这些知识变化使学生产生了与原有知识结构的认知 冲突,使得教学进程不顺,提高教师教学水平难度,同时增加学生学习难度.那如何高效地 进行高中几何的教学,如何推动学生对立体几何的高效学习?

一、学情与教材分析 (一)学情分析 学生在很小的时候就开始接触各种形状的物体, 他们具有较多的关于形状的感知方面的 早期经验.小学期间,学生空间观念是在经验活动的过程中逐步建立起来的,经验是发展空 间观念的基础,所以小学开始接触空间几何时,是通过观察实物初步建立几何观念的.小学 生已经认识长方体、正方体、圆柱和球等简单几何体,并能分类区别,但是至于简单几何体 的具体结构特征,小学没有就此进一步具体地研究学习,因此,小学生更加没有几何体结构 特征系统的知识点网络. 到了初中,大纲对几何的要求是:能够由形状简单的实物想像出几何图形,由几何图形 想像出实物的形状;能够由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形;能够在基本的图 形中找出基本元素及其关系;能够根据条件作出或画出图形.与高中数学知识相比,初中数 学知识的范围小,知识层次低,知识面窄,对实际问题的思维受到了局限,就几何来说,高 中接触的三维空间更为深入,但初中仅仅学了平面几何和初步了解简单立体几何体.

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高中几何能力要求则提高为:直观认识和理解空间点、线、面的位置关系,能用数学语 言对某些结论进行论证, 了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法; 培养和发展学生 的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力. 高中不仅数学知识的多元化和广泛性, 而且数学语言更加抽象化, 数学思维方法向理性 层次跃迁,将会使学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题,也将培养学生高素质思 维,提高学生的思维递进性.高中初级阶段,学生依然保持平面几何的知识结构,几何思维 方式没有从平面几何过渡到立体几何, 因此对初升高中的学生来说不能对三维空间进行严格 的逻辑思维和判断. (二)高中教材分析 了解高中立体几何基本内容、 要求与义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分的内容、 要求的联系与区别,做好衔接教学,教学时便可以在学习过的知识基础上,加深一步讲授新 知识.从《普通高中数学课程标准》和高中整套教材看,不难发现:在“立体几何”中对于 推理论证的要求不是一步到位,而是循序渐进,分阶段、分层次、多角度的.现分章节整体 分析高中立体几何内容教材结构,大致可分为以下四方面: 1.对空间几何体的认识,先直观感受、操作确认,不做任何推理论证的要求. 必修 2 该部分在初中基础上发展而来的,因而从初中知识(衔接点)出发,提出新问题,可以研究 得到新知识.由于数学知识间的联系非常紧密,运用联系的观点提示新知,使学生不仅能顺 利接受新知,而且能够认识到新、旧知识间的联系与区别,使知识条理化、系统化,可顺利 进行几何知识的衔接教学. 2.以长方体为载体,包括其他的实物模型、身边的实际例子等,对图形、模型进行观 察、实验和说理,引入合情推理. 必修 2 中关于该部分要求一定的空间想象能力,抽象出 立体模型,并需要加强推理能力解决问题,是从平面几何思维向立体几何思维的过渡.必修 阶段的立体几何初步的教学只是帮助学生今后更好的学习立体几何知识打下基础. 3.严格的推理论证,这除了对推理能力要求,更需要空间处理能力解决论证问题,如 选修课程必修 2 中关于直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理的证明.应用初中平 面几何中基础元素点线面引入空间中点线面的位置关系, 进一步挖掘空间几何中的定理并加 以证明,空间处理能力进一步加强. 4.在选修课程系列 2·选修 2-1 中的“空间向量与立体几何”中引入空间向量,用空 间向量处理平行、垂直、距离和夹角等问题.本章节的向量与初中没有直接的衔接点,引入 空间向量可类比平面向量,空间直角坐标系可类比平面直角坐标系,可以借助平移概念、数 的加减乘法类比向量运算等进行比较学习. 在讲授新知识时,教师要引导学生联系旧知识,找准立体几何知识的衔接点,复习和区 别旧知识,并运用多媒体技术进行演示.特别注重对那些易错易混的知识加以分析、比较, 从而达到温故而知新的效果.因此,通过中小学立体几何的衔接,期望能让每个学生都轻松
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过度学习高中立体几何!

二、重视平面几何与立体几何的差异 数学上,平面几何、立体几何同属几何学.立体几何是三维欧氏空间的几何的传统名称 — 因为实践上这大致上就是我们生活的空间,一般作为平面几何的后续课程,它们之间当 然有较为密切的联系.学习立体几何要用到平面几何里的一些知识,这一点没有什么疑问, 但倘若认为学习平面几何就是为了学习立体几何打基础则是片面的,甚至可以说是不正确 的. 初中平面几何,是在平面内研究图形的性质,主要是培养推理能力;高中立体几何是在 三维空间中研究图形、物体的性质.衔接重要任务是如何从初中平面几何考查的思维进行转 化,使学生提高高中立体几何考查平面几何和空间想象能力.教学过程中,要强调对于初中 的平面知识不能原封不动离套用于高中的立体几何中.如: 1.平面中,不共线的三点可确定一个圆; 空间中,不共面的四点可确定一个球. 2.平面中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 空间中,过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 3.平面中, 三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积比等于对应 边的平方比; 空间中, 棱锥被平行于它低面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于对应边 的立方比. 平面几何与立体几何有区别,同时又密不可分的联系.如空间两条直线的位置关系:相 交、平行、异面,两直线相交、平行的位置关系在平面几何与立体几何同时成立,而两直线 异面的位置关系从平面直线相交、 平行延生到立体几何中, 异面直线是指不同在任何一个平 面内的两条直线. 然而随着教学的向前推进,思想方法要用越来越新的内容展开、丰富和充实.立体几何 初步中, 化归思想体现得非常突出.如空间问题化归为平面问题, 面面问题化归为线面问题, 线面问题化归为线线问题.如异面直线所成的角、线面所成的角、二面角这三种空间角都是 用平面角定义的,在解决有关空间角的问题时,一般是将它们转化为平面角来处理,最终化 归为解三角形. 另外,等体积法、图形语言与符号语言、文字语言的互译等也都体现了转化 思想的应用.又如在讨论平行与垂直关系时, 应注意用 “线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行” 与“线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直”进行转化. 例1 且 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, F 分别是 AD1、BD 上的点, AE = DF , E、

求证: EF ∥平面BCC1 B1 . 分析:证明直线和平面平行的方法有:

B1

C1
D1
40

A1
E
A
B

F

C

①利用定义采用反证法; ②判定定理:利用线线平行,证线面平行; ③利用面面平行,证线面平行. 其中主要方法是②、③两法,确定出面内 的与面外直线平行的直线后再使用判定定理进行证明.? 证法一: (线线平行→线面平行→面面平行→线面平行)

作FH ∥ AD交AB于H,连接HE,分别证明FH、EH ∥ 平面BCC1 B1, 可得平面EFH ∥ 平面BCC1 B1,从而EF ∥ 平面BCC1 B1得证.
证法二:(线线平行→线面平行)

连结AF延长BC于M,连结B1 M , 由三角形AFD、MFB相似可得 DF = AE,可证得EF ∥ B1 M, 进而可得EF ∥ 平面BCC1 B1 .
线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行,体现 了数学中的转化思想,也体现了立体几何中的

B1

C1
D1

A1
E
A
B

F
D

C

M

“降维”与“升维”的思想方法,从平面图形上升为空间图形,使得解决立体几何问题方法 游走在“二维空间”与“三堆空间”之间.由此可见,平面几何与立体几何有联系又有区别.

三、培养空间感知,提高空间想象能力 空间想象能力是人们对客观事物空间形式进行抽象思维的能力.立体几何中概念的掌握, 需要空间想象能力做基础,同时概念的掌握又能促进空间想象能力的发展.空间想象依赖于 空间感知,只有学生对几何形体特征有了充分的认识,空间想象能力才能得到提高.因此, 在教学中, 我们要注意虚实结合, 有意识地培养空间想象能力.例如: 正是借助于空间想像, 小学生在平面图上数堆积的小正方体.平面几何主要是培养推理能力,立体几何主要是培养 空间想像能力,这两种能力对以后学好数学都是至关重要的,从某种意义上说,这两门课程 的具体内容倒在其次, 这两种能力是否能通过这两门课程的学习得到培养, 也许决定一个人 今后学习数学的前景. 1.教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形 立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力.为理解和掌握图形几何性 质(包括证明)的教学提供形象的支持,提高学生的几何直观能力.立体几何初级阶段,教 师应利用计算机软件呈现的空间几何体,在讲授必修二的《空间几何体的结构》时,通过实 物投影分析几何体, 就此帮助学生认识空间几何体的结构特征, 并能运用这些特征描述现实 生活中简单物体的结构; 借助投影仪投影实物能更容易让学生体会空间几何体的三视图和直 观图, 并能形象具体地巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解, 并帮助学生运用

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平行投影与中心投影,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能. 2.运用教学模具培养学生的观察想象能力 提供丰富的实物模型, 在教学的初级阶段可指导学生制作几何教具模型、 折叠空间图形, 培养学生的操作能力、直观感知.教学中通过对模型、实物的观察、分析,使学生在头脑中 建立起空间的感性认识,形成空间的整体形象,树立空间骨架,进而抽象为空间形体的平面 图形.在讲授空间几何体的三视图时,可以信手借助生活物品让学生思考几何体的三视图, 加强学生对模型的认知, 使学生更多地在思维中储存的立体信息, 那么学生提取的立体形象 更加轻而易举,从而加强空间思维能力.这样既丰富了感性认识,增强了学生的空间思维能 力,又可激发学生的学习兴趣. 3.学生主动设计、制作立体图形 学生通过自己动手设计和制作立体图形, 既能发展学生的空间想象能力, 又能提高学生 参与与学习的积极性,一举两得.对于初升高中的学生来说,几乎没有什么空间概念,但他 们能凭借自己的直觉识别一些简单的立体图,如长方体、正方体、圆柱体等.因为存在知识 结构的差距,针对这一特点,在学习必修二《空间几何体的表面积与体积》时带领学生画基 本体的立体图,进而制作棱柱体、圆锥体等基本体,从而研究几何体的表面积与体积,这样 不仅初步树立了空间概念,而且实践操作使学生对此有更好地直观感知.例如学习圆台的表 面积与体积公式,学生通过制作模型会更容易推导和理解.在此基础上逐步深入,引导学生 画一些复杂的图形,为学习如何建立空间直角坐标系打下基础. 4.逐步脱离模型,加强对立体图形理解 初学者只有不断练习,不断实践、联想,注意观察事物,联系实际,才能具备强的空间 想象能力.然而学生对直观的依赖程度是衡量空间想象能力的标志之一.当空间想象能力提 升后就要逐步摆脱模型, 利用空间想象力解决立体几何问题, 即学生要不断减轻对直观的依 赖程度. 在学习必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》时,起初可以鼓励学生利用三角形纸 片的折痕制作与平面垂直的实验,通过观察,让学生发现折痕如何与平面垂直.在学生通过 观察后总结定理后,要学会运用定理处理几何问题,这时需要摈弃模型,做到在头脑中形成 清晰的空间图形,才能正确分析、思考、想象各元素之间的关系,进而演绎和计算各种空间 度量,提高观察能力、作图能力和想象能力是学好立体几何的关键.

四、充分运用数形结合思想,把几何问题代数化 文字语言、图形语言、符号语言是数学的三种基本语言,培养和发展学生运用三种语言 进行交流是高中新课程数学课程的基本要求.数学语言是科学语言,它的符号与图形都是用 来表示数量与空间形式及其关系的,是认识量与空间形式及其关系的有力工具. 《全日制义务教育数学课程标准》 指出:“数学是人们对客观世界定性把握与定量刻画、
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逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程.”初中数学语言能力分析:初升 高中学生已经掌握了一定的数学符号语言表达能力, 学生会用数学语言准确、 简洁地表达自 己的观点和思想.学生已经能够进行各种数学语言的转化,但是转化能力比较薄弱. 语言转换要从基础开始慢慢过渡,如直线与平面位置关系学生要把三种语言掌握到位, 这样才有能力对相应定理进行三种语言之间的转化. 如:直线与平面的位置关系

图形语言

文字语言 符号语言

直线a在平面α内

直线a与平面α相交 a∩α=A

直线a与平面α平行 a//α

a ?α

语言基础学习后,直线和平面平行的判定定理进行三种语言描述更容易被学生掌握.直 线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一 图形语言 条直线平行, 那么这条直线和这个平面平 行. 文字语言 ? 符号语言
α

?

? 注意获得文字语言的自然性、培养图形语言能力的不可替代性及符号语言的准确性.掌 握几何语言是提高学生数学素养的重要任务,对初升高中学生来说,做到文字、图形与符号 相结合的方式,灵活运用概念、定理就显得比较困难,因为学生习惯性地用文字语言背诵概 念、定理.根据这种情况,教学过程中要重视几何语言的基础教学,铺设阶梯,减小难度, 坐到“三维一体,图形先行”.几何学本身有些词语概括性、抽象性较强,对于那些难以理 解的几何术语, 在教学过程中要求教师认真点拨.如“两点确定一条直线”, 需解释“确定” 是存在性和唯一性的概括说法, 即“有且只有”的意思; 又如“任意”、 “至少”、 “或”、 “且”等,要特别指出它们在几何中的内在含义. 图形语言有符号语言所不能及的优越性, 根据心理学的理论, 人脑信息的储存主要有语 言和形象两种,但形象的容量应是语言的上百倍.在数学教学中,在抓好形译数的同时,更

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要抓好数化形,使学生能将大量的符号语言迅速正确地转化成图形语言,若题目本有图形, 借助图形的直观形象的特点,进行观察、记忆、联想和分析,来解决问题.比如讲解一元高 次不等式的解法时, 除了用分类讨论法外还在平面数轴上用序轴标根法向学生讲解, 并且学 生对序轴标根法掌握的很牢.至于立体几何中,以向量做为基底空间可以建立空间直角坐标 系,利用实数与数轴上的点的对应关系,把立体几何问题转化为代数语言进行代数运算,将 问题简单化处理. 立体几何一般是用基本定理, 而更多地用向量计算和证明相关问题, 常常涉及到三大问 题:一、位置问题,如是线面垂直问题、面面垂直,线线平行,线面平行;二、角度问题, 线线角、 线面角、 面面角, 主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化; 三是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离等. 例2 (2009 广东高考)如图6,已知正方体

点E是正方形 BCC1 B1 的中 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为2, 心,点F、G分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点 E1, ,G1 分别 是点E,G在平面 DCC1 D1 内的正投影. (1) 求以E为顶点, 以四边形 FGAE 在平面 D C C 1 D1 内 的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG1 ⊥ 平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正切值. 分析: (1)考察棱柱、棱锥、棱台的体积,同时考察了投影问题,通过空间想象,跟棱锥的 体积公式拆分成求棱锥的底面积和高的问题,轻而易举地转化成代数式进行预算. (2)直线与平面垂直的判定,把证“线面垂直”转化为证“线线垂直”即在平面 FEE1 内找两条相交直线与 FG1 垂直,线面垂直→线线垂直→化为代数运算(建立坐标系,利用空 间向量的数量积证明)→线线垂直→线面垂直得证. (3)解决异面直线及其所成的角,快捷方式是将立体几何角度问题通过空间角度问题 通过建立坐标系,运用向量夹角公式进行代数运算,从而解出所求. 在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法. 将几何问题用代数的语言描述几何要素及其关系, 即将几何问题转化为代数问题; 接着进行 代数处理,用代数知识解决代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.就此 加强学生数学语言之间的转化能力,同时要注意符号语言的准确性与规范性,文字语言、图 形语言、符号语言三种语言能否灵活互译是决定立体几何问题成败的关键因素. 高中立体几何教学应注意引导学生通过对实际几何模型的认识, 学会将自然语言转化为

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图形语言和符号语言.例如:教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体,使学 生在直观感知的基础上, 认识空间中一般的点、 面之间的位置关系; 线、 通过对图形的观察、 实验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用 数学语言表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题.通过这样经 常性的数学语言“互译” ,一定能够使数学语言转化能力得到训练和提高,必将取得良好的 教学效果.? ?

参考文献: 【l】中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M】.北京:人民教育出 版社,2003 【2】数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准(实验)解读【M】.南京:江苏教育 出版社,2004. 【3】 中华人民共和国教育部.全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版) .北 京:人民教育出版社,2000. 【4】王建明.高中几何课程标准之我见【J】.数学教育学报,2001,10(4). 【5】克鲁捷茨基. 中小学数学能力心理学【M】李伯忝等译,上海教育出版社,1983. 【6】皱清林等.高中数学思想方法与能力培养.四川:四川教育出版社,1995.

基于教材深加工 源于思想巧升华 东莞市第四高级中学万岳
【提要】 本文以 2011 年全国高考广东卷理科数学第 20 题的数列题为案例,通过
探析该试题背景及解题思想方法,认识到高考备考要基于教材,善于对教材进行 纵深加工,以提炼数学思想方法为课堂教学的宗旨,源于数学思想予以升华,从 而提高学生的数学学习能力和应用能力。

【关键词】 教材;加工;思想;升华
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数列是高中数学非常重要的知识模块,在历年的高考中占有较突出的地位, 其考查思想方法的力度和考查知识能力的深度以及综合运用知识的广度, 都彰显 了其在高考选拔人才的强大作用.同时因其具有较好的试题素材,往往会有精彩 绝伦的佳题呈现给广大的考生. 以下谈谈 2011 年全国高考广东卷理科第 20 题数 列问题的探析过程和几点思考.

1

试题呈现
nban?1 ( n ≥ 2) . an ?1 + 2n ? 2

设 b>0,数列 {a n } 满足 a1 = b, an = (1)求数列 {a n } 的通项公式;

(2)证明:对于一切正整数 n, a n ≤

b n +1 +1. 2 n +1

这道理科数列试题曾让许多考生心碎,考生认为这道数列题的形式结构很陌 生,在递推关系式中,既有项数 n,又有参数 b,还以分工形式呈现;在复习备 考训练和学习中未碰到过如此“复杂”的数列题,一时感觉无从下手;心理上受 到极大的“刺激” ,情感上很挫败.为了让后来的考生增强学习的信心,改变对 这道高考数列试题的 “偏见” 下面对此题进行细细解剖, , 还原其 “庐山真面目” .

2 试题探析
2.1 探析数列通项的背景

初看此题,有种“无可奈何花落去”的感觉.然细细品味,竟有“似曾相识 燕归来”的亲切,韵味悠远.通过对试题的解剖分析,在教材中竟找到几处其熟 悉的背影,试题考查的知识框架和思想方法之本源竟蕴含于教材之中,验证了命 题专家源于教材又高于教材, 加工教材, 驾驭教材的神奇, 又符合考纲所言用 “教 材教” ,而不要“教教材”的指导思想. 背景 1: (人教版必修 5 教材第 30 页) 已知 a1=1, 数列{an}满足 a n = 2a n ?1 + 1 , 其中 n ≥ 2 ,求数列通项 an; 分析: 教材引入此例的教学目的是为了说明一个重要的数列概念——递推关 系,并强调由递推关系可求出数列的任意一项,但未对此递推数列通项公式的求

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解方法进行后续解读, 教材如此处理手段的意图何在呢?通盘解读教材对数列部 分的处理意图不难发现其教学暗示和深远用意: 既然可以用这个递推关系求出我 们所需要的某一项,言外之意就是能由递推关系求出数列的通项公式 an,这理应 引发广大师生对此问题的深入思考.让学生多角度、自主探究其通项公式.相信 只要认真思考并处理过这类线性递推数列的同学都能顺利得到正确答案, 而且方 法多样:迭代法,构造等比数列法,作差法等等都耳熟能详,其中迭代法是最基 本的方法,即通性通法. 拓展 1、已知 a1=1,数列{a n}满足 a n = 4a n ?1 + 2 n (n ≥ 2) ,求数列通项公式 an; 拓展 2、已知 a1=1,数列{a n}满足 a n =
a n ?1 (n ≥ 2) ,求数列通项公式 an; a n ?1 + 2

背景 1 及两道拓展题的解题思想和解题方案有着较高的教学价值、 探究价值 和学习价值,并且试题条件和结构模型与高考试题在本质上是相似的:将上述数 列通过变形推理可得到递推关系的一般形式为: a n = xa n?1 + y (n ≥ 2) 若 x = 1 ,则此数列为等差数列;若 y = 0, x ≠ 0 ,则此数列为等比数列. 解析拓展 1:如果通过变形将等式右边不含 a n ?1 的部分变为常数,那么数列 的形式将会简洁自然,故考虑等式两边同时除以 2 n ,得 元令 bn =
a n 2a n ?1 = n ?1 + 1(n ≥ 2) ,再换 2n 2

(*)

an ,则有 bn = 2bn ?1 + 1 ;拓展 2 的分式结构使得直接推理变得复杂,如果 2n

分式化整式,则不能将数列的相邻两项剥离,故需再回到化分式形式的思路上 来. 经分析, 数列每一项都不为 0, 若将两边同取倒数, 则有: 1 = 2 + 1(n ≥ 2) ,
an a n ?1

换元得 c n = 2c n ?1 + 1 . 总结反思:对条件经过变形而得到“新线性递推关系”是解决问题环节中极 为重要的突破口,它明晰了解题方向,理顺了数列的“新递推关系” 起到了画 , 龙点睛的作用.这些经验将引领学生独立解决非线性数列,教学价值和思维价值 突现,为学生找到解决问题的合理方案起到较好的铺垫.

2.2

探究数列的通项公式

为了有效利用上述线性递推数列模型的通项公式求解思路方案和经验储备,

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可在教学中设定如下分步走的探究流程, 以期使探究达到自然地水到渠成的效果. 流程一:运用特值,理清思路 令 b = 1 , 则 试 题 为 a1 = 1, a n =
na n ?1 ( n ≥ 2) , 结 合 变 式 2 可 得 : + 2(n ? 1)

a n ?1

? n ?1 ? n ,通过换元可得(*)式数列模型,从而开启了通往正确道路之门. = 2? ? ? a ? +1 an ? n ?1 ?

流程二:回顾反思,抓住本质 反思流程一的解题思想本质,构建同类数列模型,可推广至对任意实数 b>0 的情形,故按照取倒数、裂项、整理的思路轻松得到(*)式数列模型:
n 2 n ?1 1 n 2 1 = ? + ; cn = 令 , 换元则将问题化归为: 已知 c1 = 1 ,c n = c n ?1 + (其 a n b a n ?1 b an b b

中 b>0) ,求数列的通项公式 c n .显然当 b = 2 时,数列 {c n } 为等差数列;当 b ≠ 2 时,可按教材中的背景题递推迭代法、构造等比数列法等顺利解决. 至此,曾引无数考生竞折腰的一道数列难题揭开了神秘面纱,露出了美丽可 爱的笑脸. 事实上, 将数列递推关系通过推理变形为某种新的数列模型求解数列通项的 高 考 试 题 早 有 先 例 , 如 2009 全 国 卷 I 理 科 第 20 题 , 在 数 列 {an } 中 ,
a 1 n +1 a1 = 1, a n +1 = (1 + )a n + n ;(Ⅰ)设 bn = n ,求数列 {bn } 的通项公式; n 2 n

(Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 此题第 I 问与上述变式题在数学解题思想上如出一辙.通过变形得到
a n +1 a n 1 1 = + n ,换元即得 bn +1 = bn + n ,再用累加法、迭代法、构造法等可求出 2 n +1 n 2

数列 {bn } 的通项公式.这些都可作为解决 2011 年高考数列题的思想方法背景, 只可惜效果并不令人满意.

2.3 探析数列不等式证明及思想方法背景
2.3.1 试题背景探析

试题的第(2)问证明:对于一切正整数 n, a n ≤

b n +1 +1. 2 n +1
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分析:此题综合考查学生的数列通项及求和,基本不等式,二项式因式分解 等知识,考查学生分类讨论思想,数学转化与化归思想,不等式证明思想方法及 恒成立问题,能力考查的力度较大,符合新课程标准对学生的能力考查要求.以 下就该题的知识考查及数学思想方法背景予以探析. 解析:根据第(1)问结论知需讨论参数 b 的取值情况;
b n +1 + 1 = 2 ,不等式显然成立; 2 n +1 nb n (b ? 2 ) b n +1 ②若 b ≠ 2 ,可先用分析法,欲证 a n = n ≤ n +1 + 1 , 2 b ? 2n n n b ?2 需证明: nb n 2 n +1 ≤ (b n +1 + 2 n +1 ) ; **) ( b?2 bn ? 2n 对右式 的处理成为解题的关键,也是这道试题的难点之一;为了更 b?2

①若 b = 2 ,则 a n =

好地找到解题的理论依据,给学生奉献厚重的解题宝典,我引导学生查阅教材, 从源头上找寻答案,让学生自己感受高考试题的魅力.解决问题的方法竟存在于 教材之中,请看: 背景 2: (人教版教材必修 5 第 62 页 B 组第 1 题)利用等比数列的前 n 项和 的公式证明: 如果 a ≠ b, ab ≠ 0 ,则 a n + a n ?1b + a n ? 2 b 2 + L + ab n ?1 + b n = 不难发现背景 2 中,等式右边与分式
a n +1 ? b n +1 ( n∈ N *) . a?b

bn ? 2n 在形式上有惊人的相似,找到了 b?2

问题的背景,进一步明朗了解题的方向,理顺了解题思路.后续的解题动作就成 为自然地水到渠成的套路.
2.3.2 试题解法探析

借鉴背景 2 的结论有, (2 n +1 + b n +1 )

bn ? 2n = (2 n +1 + b n +1 )(b n ?1 + 2b n ? 2 + L + 2 n ?1 ) , b?2

对此多项式处理的基本思路是展开多项式、提取公因式、再分组整理、最后运用 基本不等式,问题便迎刃而解.详细如下.上接(**)式,
= 2 n +1 b n ?1 + 2 n + 2 b n ? 2 + L + 22 n + b 2 n + 2b 2 n ?1 + L + 2 n ?1 b n +1 (展开多项式)
2 22 2n b n b n ?1 b = 2 n b n [( + 2 + L + n ) + ( n + n ?1 + L + )] (提取公因式) 2 2 2 b b b

2 b 22 b2 2n bn = 2 n b n [( + ) + ( 2 + 2 ) + L + ( n + n )] (分组整理) b 2 2 2 b b

49

> 2 n b n ( 2 + 2 + L + 2) = 2n ? 2 n b n = n ? 2 n +1 b n . (运用基本不等式)

故(**)式得证,从而 a n =

nb n (b ? 2 ) b n +1 < n +1 + 1 ; 2 bn ? 2n b n +1 + 1 ,得证. 2 n +1

综合①②,对于一切正整数 n, a n ≤

上述证明过程中,通过数学推理,用基本不等式方法得证;那么,能否直接 运用基本不等式更简洁地证明呢?为此再做如下一番证明尝试: ①当b=2 时, a n = 2 ,不等式显然成立; ②当 b ≠ 2 时, a n =
nb n (b ? 2 ) nb n = n ?1 bn ? 2n b + 2b n ? 2 + ... + 2 n ?1

<

nb n n n 2 n ?1 ? 2 n ? 2 b ? L ? 2b n ? 2 ? b n ?1
bn (2b) n ?1 = 2 b n +1 ? 2 n +1 2 n +1

=

<

b n +1 + 2 n +1 b n +1 = n +1 + 1 . 2 n +1 2
b n +1 + 1 ,得证. 2 n +1

综上所述,对于一切正整数 n,都有 a n ≤

反思:试题设计的巧妙之处在于将人教版数学必修 5 第 62 页 B 组第 1 题中 的等比数列求和习题别出心裁地拟合,而解题的巧妙在于对多项式的整合加工, 解题的关键在于对多项式 b n ? 2 n 因式分解,成功化简多项式;两次应用基本不等 式是解题的难点. 综观证明过程, 利用多项式结构特征, 结合不等式证明的方向, 综合应用高中数学主干知识和重点知识,突出了数学能力的驾驭和考查.而善于 发现代数式的内在规律,领悟数学代数式的特征,善于挖掘教材,加工教材,升 华数学思想方法是高中数学教师教学的必修课.

3 几点思考
3.1 对试题的思考

这道精妙的数列高考试题由教材中的两处经典习题加工而成, 相信这道试题 的产生过程一定凝结了命题专家的智慧, 专家的过人之处在于 “于平淡中出惊奇! ”

50

综观两个问题的解析过程,试题主要考查学生对高中数学思想的领悟力,考查学 生对数学知识运用的洞察力. 从实际考查情况看, 若将求通项公式进行分解处理或许更能达到考查学生数 学素养的目的.例如第(1)问设置为:若 b ≠ 2 ,证明数列{
n 1 }为等比 ? an b ? 2

数列;再增设(2)问试求数列的通项公式 a n;如此一来,既保留了试题应有的 一定难度,同样又考查学生分类讨论思想,检测学生对数列知识的学习情况. 一道蕴含深广知识背景、方法背景和思想背景的好试题,因为问题设置过于 生猛,缺少一定的梯度,很大程度上失去了考查数列知识的功能,从实际效果来 看,未达到命题人的期望值.不禁让人扼腕叹息.
3.2 对数学教学及高考备考的思考

教师在复习备考中应加强对教材知识综合运用加工的力度, 在数学思想方法 的教学上多做功课,培养学生的数学思想意识,弱化照搬照套的模式教学;多关 注真正提高学生数学能力的前瞻性教学,淡化精简程序、多快好省式的功利性教 学;在陈旧试题的使用和加工上做文章,在多个简单试题的综合性功能设置与考 查上下功夫,让数学“动”起来,日常复习训练题用静态数学巩固知识,用动态 数学提高思维,用综合数学强化能力. 文[1]指出,数学教师的三项基本功与数学教育的三维目标被看成是中国数 学教育在当前的重要生长点, 直接关系到如何进一步落实与发扬新一轮数学课程 改革所取得的成绩.事实上,让我们的学生在数学思维、数学意识、数学素质和 数学能力上得到全方位的发展一直是中学数学教师们不懈的追求. 从这道高考数 列题的考查结果来看,我们离这个目标还相距甚远,我们要做的功课还很多,值 得思考的地方更多. 【参考文献】 1 郑毓信.中国数学教育的重要生长点[J].中学数学教学参考(上旬),2012.3

搭建脚手架? 沟通根与桃?
——2011 年一道广东文科数学高考试题的教学设计反 思?

51

东莞市塘厦中学梁 芹?
【摘要】 高考题具有典型性、示范性,利用好高考试题能把握好复习方向和提 高教学效率。 通过对课本习题的再加工, 为学生搭建脚手架, “最近发展区” 根据 理论,让学生面高考题而不惊,做高考题而尽兴。让学生思维的浪花在问题的解 决过程中跌宕起伏;让学生的数学能力在自己力所能及的天地里尽情舒展。

【关键词】? 最近发展区 思维 认知规律 分类讨论 2012 年的高考即将拉开帷幕。2011 年的高考试题对今年的高考具有很好的 引导作用。高考试题是我们教学的典型例题,充分挖掘高考试题所蕴含的价值, 重视高考试题的教学示范作用,是提高高三复习效率的最佳“捷径”。如果教师 能够抓住学生的“最近发展区” ,在根(课本习题)与桃(高考试题)之间搭建 脚手架, 发挥学生的主观能动性, 最大限度的挖掘学生的潜能, 激发学生的能力, 就能使高三的复习事半功倍使学生的数学能力得到迅速的发展。 “最近发展区”是前苏联心理学家维果茨基提出来的,认为学生的发展有两 种水平:一种是学生的现有水平,指独立活动时所能达到的解决问题的水平;另 一种是学生可能的发展水平,也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就 是最近发展区。教学应着眼于学生的“最近发展区” ,为学生提供带有难度的内 容,调动学生的积极性,发挥其潜能,超越其最近发展区而达到下一发展阶段的 水平,然后在此基础上进行下一个发展区的发展。 接下来我以 2011 广东高考数学文科第 19 题为例,谈谈如何利用“最近发展 区”理论指导高考复习。

1 考情分析
设 a > 0 ,讨论函数 f ( x) = Inx + a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x 的单调性。 本小题考察的知识点是导数及其应用、函数与方程,体现基础性和综合性。 试题情景为讨论含参数的函数的单调性问题, 考察学生对二次函数与自然对数的 求导公式、利用函数研究函数及求函数的单调区间等基础知识的掌握程度,考察 学生的运算求解和推理论证能力,以及考生对函数与方程、数形结合、分类与整 合数学思想的理解、 应用程度。 试题考察内容是该知识点的基础知识及重点内容。 考生出现的问题或错误主要是(1)未能求出定义域; 2)未能对参数进行完整 (

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的分类讨论; 3)运算出错。本小题难度系数为 0.21。? (

2 教学启示
这是一道求函数单调性的题目,是高考常规题型,所用方法也是最基本的方 法。但是全省的平均分才 2.94 分,足以见学生掌握得并不好。原因主要有以下 几个方面: (1)学生对最后三道大题谈题色变。一般老师都会强调,把选填题和前面三道 大题做好,后面三道就尽量的拿分。就是这个尽量,让学生觉得后面的三道大题 太难了,老师都对我们没有信心,我们干脆放弃好了。所以每次评讲试卷不管老 师讲得再激情澎湃,我心依旧。 (2)高三课堂经常是老师一言堂。高三的复习时间紧,任务重,而且各种模拟 题铺天盖地。老师很多时候为了能够让学生掌握更多的知识,每节课都想把自己 精心准备的知识一股脑灌输给学生。 不再像高一高二新课教学那样注意知识的发 生发展过程,以至于学生在课堂中不停地听不停地做笔记,而没有自己思考的空 间。缺少了思考,数学就如无水之山,缺少那么一点灵性。不利于学生对知识的 掌握以及思维能力的培养。 (3)学生思维的灵活性不够以及分类论思想掌握不充分。该题主要是涉及到对 参数 a 进行讨论。然而如何对 a 进行分类,分类后又如何结合定义域写出函数的 单调区间,对学生而言都有一定难度。 (4) 题目编写不够合理, 以往的高考中函数与导数的题目都会设置两到三小问, 给学生搭建了一个螺旋上升的平台。然而该题只有一问,没有一个阶梯,学生没 有思路,很是茫然。 导数是研究函数性质的重要工具所以也是高考命题的热点。 导数是研究函数 的工具。研究函数方面,核心是单调性。所以,我们在高考复习时,要把求函数 的单调性的基本方法作为重点。基于以上分析,我在教学过程中注意培养学生的 自信心,尽量把课堂还给学生,让学生在思考中逐渐地懂得为什么要对参数 a 分 类,何时开始分类,分类后如何结合定义域进行讨论。 加涅学习理论中蕴含的一个重要的观点就是学习具有层次性, 知识的认知过 程是循序渐进和逐渐积累的过程。有些高考题是源于课本习题的改编。所以,我 们要从课本中找到试题的出处,要对教材内容进行再加工,按照学习内容的层次

53

性教学,让学生体会知识从简到难、从简到繁、从具体到抽象的过程;同时,也 要充分结合学生的认知特点,根据学生的思考能力,适当地设置一些脚手架,让 学生慢慢的爬到自己可以企及的高度。

3 教学超链接
3.1 回归课本,重拾信心 教材中的例题和习题一般是教材编写者精心挑选或设计出来的, 具有典型性、 示范性和明确的针对性,而且是学生十分熟悉的。上述高考题来源于课本习题的 变式。基于此,我们找到该习题,并对习题进行变式。这就能在学生的“最近发 展区”产生认知冲突,从而构建知识体系,能够让学生认识到教材才是“最好的 教科书” 。所以在高三复习课中,让学生找到知识的本源,并且让学生能够通过 自己动手来掌握, 不仅使学生对学好数学充满信心而且有助于对学生开放性思维 的培养。 例 1(课本 93 页,练习 1(4) )求函数 f ( x) = x 3 ? x 2 ? x 的单调区间. 学生很快就做出正确答案,此时,学生归纳出求函数单调区间的方法: 2 确定函数的定义域; ; 3 求导函数 f / ( x) ,解不等式 f / ( x) > 0 (或 f / ( x) < 0 ) 4 下结论: f / ( x) > 0 的解集为 f ( x) 的单调增区间; f / ( x) < 0 的解集为 f ( x) 的 单调减区间。 变式 1:求函数 f ( x) = x 3 - ax 2 ? x 的单调区间 .

多了一个参数 a , 如何求函数的单调区间?学生纷纷动笔希望找到 f / ( x) = 0 的解, 却发现没有解。那怎么办呢?原来是 f / ( x) > 0 恒成立,所以函数 f ( x) 在 R 上单 调递增。 学生对于这个也能够很好的理解。 变式 2:求函数 f ( x) = ax 3 - x 2 ? x 的单调区间 对函数求导, f / ( x) = 3ax 2 ? 2 x ? 1 , 求导后学生就激烈讨论开了,往下该如何对 a 进行分类?

54

学生很快就发现了 f / ( x) 有可能是二次函数也有可能不是,所以先分为这两类。 当 a ≠ 0 时,f / ( x) 是二次函数, 接下来就是求根然后根据根的分布求单调区间了, 可是 f / ( x) 不一定有解,所以又要对 a 根据 ? 进行分类。
?a = 0 ? a? ?? ≤ 0 a ≠ 0? ? ?? > 0 ?

所以对于如何分类学生就比较明了了。分类讨论正应了“不是不讨,时候未到! 时候一到,立即讨论”这句话。 选题目的:例一是不含参数的函数求单调区间问题,学生一般都可以自行解 决,目的是掌握求单调性的基本方法。而变式 1 和变式 2 则是在例一的基础上, 要对参数进行讨论,主要为培养学生分类讨论的思想以及数形结合的思想。这是 学生的弱点也是高考的热点,这类题目一般学生初次遇到都不易独立完成解答。 但是有了例一的铺垫以及教师的适时点拨, 学生便可以熟悉并掌握这类问题的基 本方法,能较好地切入学生的“最近发展区” 。 例 2(选修 1-1,93 页,练习 3)讨论二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的单 调区间. 有了前面的铺垫,学生都跃跃欲试,并且对于如何分类也了然于胸。 (或 最后得出讨论函数 (含参数) 的单调性, 其实就是讨论含参数不等式 f / ( x) > 0 f / ( x) < 0 ) 的解集。 主要讨论有三个方面: ①讨论方程 f / ( x) = 0 是否有实数根; ②讨论实数根是否在定义域内;③讨论实数根的大小关系。 选题目的:例二是在变式 1、2 的基础上进一步一般化,从一个参数到三个 参数,但是基本的分类思想是样的。这不就是上述高考题的一般解法吗?符合学 生认知规律, 使学生掌握了求函数单调区间的基本方法及如何对参数进行分类讨 论。运用从特殊到一般的方法引导学生全面去分析问题,让学生深入自身的“最 近发展区”激活学生的思维。
3.2 掌握方法,实现飞跃

例 3(2011 湖南文 22)设函数 f ( x ) = x ?

1 ? a ln x ( a ∈ R ) x

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(1) 讨论函数 f ( x) 的单调性(2)略 学生运用例一的方法可以分类讨论,此时,问学生有没有更好的方法,也就是充 分利用二次函数的图象性质进行分类呢?在教师的引导下,学生结合二次函数图 象,有如下解: 解:函数 f (x) 的定义域为 (0,+∞ ) , f / ( x) = x 2 ? ax + 1 x2 a 。 2

令 g ( x) = x 2 ? ax + 1 , g ( x) 的图象开口向上, 则 并且过定点 (0,1) 对称轴为 x = , 结合图象,只需要讨论下面三种情况: 对称轴在 x 轴、左边或者右边 (ⅰ) a ≤ 0, a ≤ 0 2

此时 f ( x) 在 (0,+∞) 内为单调递增函数
?a ? >0 (ⅱ) ? 2 ,a ≥ 2 2 ?? = a ? 4 ≤ 0 ?

f ( x) 在 (0,+∞) 内为单调递增函数

?a ? >0 ,0 < a < 2 (ⅲ) ? 2 2 ?? = a ? 4 a > 0 ?
a ? a2 ? 4 a + a2 ? 4 x1 = , x2 = 2 2

( , 且 0 < x1 < x 2 ,f ( x) 在 0,x1)( x 2 ,+∞) 内为单调递增函数,

在 ( x1 , x 2 ) 内为单调递减函数 选题目的:学生已经初步掌握了求函数单调性的基本方法,而教师如果只是 用基本方法详细讲解,偏重于思维定势,必将不利于培养学生思维的灵活性,这 样培养出的学生只会是机械化的学生。 学生在初中已经初步掌握了二次函数的图 象,而在高中阶段更是进一步研究了二次函数的图象性质。所以该题如果能够结
56

合图像运用数形结合的方法进行解题,则将思维提升了一个层次,提高了学生的 解题能力和灵活性思维能力。学生的深层次“最近发展区”得以拓展。
3.3 伸手摘桃,直面考题

有了前面的脚手架,学生顺着脚手架,一步一步往上爬,慢慢地,就能够摘 到树顶上的桃子,就能顺利解决那道高考题了。
2a (1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a ) x + 1 解法一:函数 f (x) 的定义域为 (0,+∞ ) 。 f ( x) = , x
/

1 当 a ≠ 1 时,方程 2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a) x + 1 = 0 的判别式 ? = 12(a ? 1)(a ? ) 。 3 1 3 当 0 < a < 时, ? > 0 , f / ( x) 有两个零点, 3

x1 =

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? > 0 , x2 = , + 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

且当 0 < x < x1 或 x > x 2 时, f / ( x) > 0 , f ( x) 在 (0, x1 ) 和 (x 2 ,+∞ ) 内为单调递增函 数; 当 x1 < x < x 2 时, f / ( x) < 0 , f ( x) 在 ( x1 , x 2 ) 内为单调递减函数;
1 4 当 ≤ a < 1 时, ? ≤ 0 , f / ( x) ≥ 0 ,所以 f ( x) 在 (0,+∞) 内为单调递增函数; 3 1 5 当 a = 1 时, f / ( x) = > 0( x > 0) , f ( x) 在 (0,+∞) 内为单调递增函数; x 6 当 a > 1 时, > 0 , 1 = ? x (a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? > 0, 2 = + < 0, x 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

所以 f / ( x) 在定义域内有唯一的零点 x1 , 且当 0 < x < x1 时, f / ( x) > 0 , f ( x) 在 (0, x1 ) 内为单调递增函数; 当 x > x1 时, f / ( x) < 0 , f ( x) 在 ( x1 ,+∞) 内为单调递减函数。 f ( x) 的单调区间如下表:

0<a<

1 3

1 ≤ a ≤1 3

a >1

57

(0, x1 )

( x1 , x 2 )

(x 2 ,+∞ )
↗ ↗

(0,+∞)

(0, x1 )

( x1 ,+∞)









解法二:函数 f (x) 的定义域为 (0,+∞ ) 。 f / ( x) = 令 g (x) = 2a (1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a ) x + 1 。 ① 当 a = 1 时,g ( x) = 1, f / ( x) =

2a (1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a ) x + 1 x

1 > 0( x > 0) ,f (x) 在 (0,+∞) 内为单调递增函数; x

当 a ≠ 1 时, g (x) = 2a (1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x + 1 为二次函数,且过定点(0,1) ,对 称轴 为x =
1 > 0(a > 0) ? 2a

② (ⅰ)图象开口向上,与 x 轴无交点或一个交点
?2a (1 ? a ) > 0 1 , ≤ a < 1, ? ?? = 4(a ? 1)(3a ? 1) ≤ 0 3

此时 g(x) 0 在定义域内恒成立,所以 f (x) 在 ≥
(0,+∞) 内为单调递增函数;

(ⅱ)图象开口向上,与 x 轴有两个交点
?2a (1 ? a ) > 0 1 ,0<a< ? 3 ?? = 4(a ? 1)(3a ? 1) > 0

此时方程 g ( x) = 0 有两个不等实根,
x1 = (a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? + , x2 = , 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a(1 ? a)

且 0 < x1 < x 2 ,此时 f (x) 在 (0, x1 ) 和 (x 2 ,+∞ ) 内为 单调递增函数; f (x) 在 ( x1 , x 2 ) 内为单调递减函数; (ⅲ)图象开口向下
2a (1 ? a) < 0 , 解得 a > 1 , 此时方程一定有两根 x1 和 x 2 ,

58

且 x 2 < 0 < x1 ,此时 f (x) 在 (0, x1 ) 内为单调递增函数;
f (x) 在 ( x1 ,+∞) 内为单调递减函数。

综上, (略)

评析:解法一是处理函数与导数问题的基本方法:求定义域求导求根求单调 区间。对于参数的分类以及计算能力要求较高。解法二则充分利用了二次函数的 图象特征(定点和对称轴)使得对参数的分类更明确,思路更为清晰,充分体现 了数形结合的优越性。有了例二的铺垫、基本方法的掌握以及开放性的思考,学 生面高考题而不惊,做高考题而尽兴。 经过对课本题目的加工处理,给学生搭建了脚手架,让学生伸伸手掂掂脚就 可以摘到高考试题这个硕大的桃子。在高三的复习课教学中,学生不在于做了多 少道题,而在于掌握了几种方法,能不能举一反三,触类旁通。所以在本节课的 教学中,除了侧重于学生对通法的理解掌握,更侧重于对数形结合、分类讨论等 思想的应用以及学生数学能力的培养。变学生的被动接受为主动学习,很好的实 现了生生互动和师生互动。我当灯塔,学生掌舵,让学生思维的浪花在问题的解 决过程中跌宕起伏;让学生的数学能力在自己力所能及的天地里尽情舒展。
【参考文献】 [1]人民教育出版社编著。普通高中课程标准实验教科书·数学选修 1-1[M].北 京:人民教育出版社,2007,2 [2] 冯 爱 银 .2011 一 道 高 考 题 的 分 析 和 教 学 超 链 接 [J] 。 中 学 数 学 教 学 参 考.2012,2 [3]维果茨基.维果茨基教育论著选[J].北京,人民教育出版社,2006,7

基于学生发展的高中数学课堂教学策略的研究
──以高中数学三角函数的教学为例?

东莞市塘厦中学陈名树?
【摘要】 本文以高中数学三角函数的教学为例, 从课堂教学策略着手探索培养 学生的发展

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【关键词】

教学策略;发展?

促进学生发展, 是教育的永恒主题, 也是我们的教育理想.这一理想的实现, 在高中阶段就要落实到各学科,落实到每一学科的每一节课上.学生发展的内涵 体现在教学目标上,可细化为“三维目标” :即知识与技能、过程与方法、情感 态度与价值观.作为“思维的体操”的数学,在促进学生发展方面起着举足轻重 的作用,它可以很好的培养学生能力、厚实学养根基、培养优良个性品质.在高 中数学课堂教学中,如何根据不同的教学内容,选择合适的教学策略,促进学生 的发展,成为广大教师所关心的热点问题之一,笔者以高中数学三角函数的教学 实践,谈点粗浅的认识和体会,不妥之处,敬请同行指正.

1

注重知识衔接,奠定学生发展的基础
同一知识模块或相关知识,在不同学段有着不同的要求.“螺旋式上升、循

序渐进”便成为了新教材编写的重要原则.因此,在课堂教学中,要充分体现这 一原则,充分注重知识的衔接,遵循学生的认知规律,为学生的发展奠定坚实的 基础. 案例 1 初、高中三角函数各自内容怎样?两者是如何衔接的? 众所周知,三角函数是中学数学的重要内容,在初中阶段,学生已初步学习 了三角函数知识, 但只要求学生在了解的基础上会进行一些特殊角的三角函数的 计算和化简.在高一教材中则花了三个章节系统介绍了三角函数知识,并且角的 范围扩大到任意角,教学要求明显提高,偏重于三角函数图象和性质的研究及应 用,内容丰富、抽象、概括性很强,它不是初中内容的简单重复,而是延伸、拓 展和提高.因此,我们说三角函数是初、高中数学教学的一个重要衔接内容,正 确处理好初、高中三角函数的教学衔接,深入研究彼此潜在的联系和区别,做好 新旧知识的串连和沟通,不仅可以帮助学生深化理解三角函数概念,而且更有助 于提高学生的思维能力,分析问题和解决问题的能力. 案例 2 高中三角函数两章的内容如何分布?又是怎样衔接的? 高中数学三角函数在人教版普通高中课程标准实验教材?数学(A 版)中, 安排在必修 4 的第一章《三角函数》和第三章《三角恒等变换》共两章,知识脉 络大体为: 角的推广→任意角的三角函数定义→诱导公式→图象与性质→图象变 换→简单应用; 两角和与差的公式→倍角公式→简单三角恒等变换.一环扣一环,

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前面的基础没打好,后续知识就会难以为继.比如:由三角函数定义,我们不难 得出各个函数在每个象限的符号, 而懂得这个符号规律是我们掌握诱导公式的前 提. 在课堂教学中,至于这两章如何衔接,具体处理方式无处乎两种,第一种就 按教材顺序进行; 第二种第一、 三章连着上, 然后再上第二章.笔者建议不用 “创 新”就按教材这种“螺旋式上升”这种方式就行了,先学了《三角函数》之后接 着讲《平面向量》 ,学生先有一种新鲜感,尔后学《三角恒等变换》 ,再通过三角 与向量的简单结合,进一步加深、强化、巩固.这样,更符合学生的认知特点. 我们要深刻理解新教材编写的良苦用心,注重同一知识不同章节的衔接,打好知 识基础并在此基础上呈阶梯状上升.

2? ? 注重知识生成,提升学生发展的品质
长期以来,高中学生普遍反映数学难、数学枯燥乏味,究其原因是教师在教 学中过分重视结论的应用而忽视结论的生成造成的. 数学教学是学生在教师的 正确引导下通过动手实践、自主探索、合作交流的方式获得广泛数学活动经验的 过程,并在这个过程中,逐步提升学生发展的品质,包括主动发展的意识、思维 能力、创新行为与成果等. 案例 1 三角函数的定义是怎样炼成的? 初中锐角的三角函数的定义→用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定 义锐角三角函数→用单位圆上的点来定义锐角三角函数→利用单位圆定义任意 角的三角函数. 四个过程,循序渐进,不断深化,通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规 律, 体现了数学知识的产生、 发展过程, 从而激发学生主动探求事物 “来龙去脉” 的原始欲望,强化主动发展的意识. 案例 2 余弦函数 y = cos x 的图象如何得到? 设问 1:用描点法可以作出 y = cos x 的图象吗? 设问 2:用类似于求作 y = sin x 的方法可以作出 y = cos x 的图象吗? 设问 3:由诱导公式六 y = cos x = sin( + x) ,你能找到 y = sin x 和 y = cos x 2 的图象之间的联系吗?
61

π

三个设问的设计,从思维的角度出发沿着先易后难的方向,从自主探究的 过程出发则是先难后易,在课堂教学当中,引导学生先独立思考,后合作交流, 还让他们知道正余弦函 这样从正反两个方面不仅让学生得到了 y = cos x 的图象, 数图象之间的区别和联系,图象生成之际即为思维能力提升之时.

3? ? 注重学科辩证思想,培养学生发展的素养
“辩证法”作为“放之四海皆准”的通法,会渗透到各个学科各个领域.数 学学科亦不例外.三角函数内部之间存在着唯物辨证的关系,在学习三角函数关 系中要注意渗透辨证思想,例如常量与变量、运动与静止、特殊与一般、具体与 抽象,有助于帮助学生理解和掌握三角函数的知识内容和相互联系,同时通过学 习数学知识培养唯物辩证思想, 感受数学的美学价值, 学习做人做事的基本原则, 将来成为社会发展需要的高素质人才. 案例 1 利用单位圆中的三角函数线、三角函数图像求三角函数的基本性质 (定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等) 、解简单的三角不等式、 讨论方程实根的个数、比较大小.这时,往往通过由“数”想“形” ,化抽象于具 体,所谓“一切尽在图中” ! 案例 2 把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按下面步骤进行: 用公式 任意负角的三角函数 三或一
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 用公? 式一? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 用公式?

任意正角的三角函数

锐角三角函数
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二或四?

0

2π 的角的三角函数

上述步骤体现了由未知转化为已知的化归思想 . 反映的是特殊与一般的关 系.?
1 11 案例 3? ? 已知 α , β 都是锐角, cos α = , cos(α + β ) = ? ,求 cos β 的值. 7 14

观察分析时,只充分注意到 β = (α + β ) ? α ,这个问题便不难解决.这种“凑

62

角” 技巧的获得就是典型的化归: “未知” “已知” 用哲学的观点来分析, 化 为 ! 化归是一种运动,只有在不断的运动中,矛盾才能解决,美国著名数学家波利亚 在《怎样解题》一书中指出: “解题过程就是不断变更题目的过程.”这里反映的 是运动与静止的关系. 案例 4? ? 函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象,从简单到复杂、从特殊到一般,分别 观察、体验三个参数 A 、 ω 、 φ 对函数 y = A sin(ω x + ? ) 图象变化的影响,最后, 归纳出三角函数图象变换的规律. 再者,当这三个常数一定时,函数的值域,周 期和相位随之而定,一旦三个常数 A 、 ω 、φ 改变时,函数的值域、周期和相位 相应改变.这里充分体现了特殊到一般,变量与常量之间相互依存,相伴而生, 相互制约,常量是相对的,变量是绝对的.

4

注重实际应用,培养学生分析解决问题的能力
一个人发展的能力主要包括分析解决实际问题的能力以及与之相关的良好

的个性品质.注重数学与实际的应用联系,强化应用已逐渐成为人们的共识,数 学应用教学能有效地培养学生发展的能力. 案例 1 《三角函数出动,计算安全距离》这是《广州日报》2012 年 5 月 8 日星期二 A3 版的一个报道:浙江公安微博称,近日发现在很多公交站有猥琐男 偷拍裙女, “气温升高,女性穿得越来越火爆,办公场所、公交车上都易发生针 对女性的骚扰事件.”因此,特意制作了“夏季女性防走光秘笈”.秘笈中图文并 茂地列出了包括坐、站、上楼梯等五个最容易走光的情况,并且给出对应招数. 有意思的是,秘笈更是结合三角函数,通过一系列计算公式,力求给出一个最精 确的防范招数. 此案例一出,学生研究兴趣大增,自觉动用三角函数相关知识,自发讨论, 场面可谓壮观.由此可见,数学与生活越贴近,学生学习动力越足,分析解决问 题的能力便会得到极大的促进. 案例 2 三角函数是描述周期现象的函数,其应用极广:人体是一个包含各 种周期运动的生物体;声音中也包含着正弦函数;周期函数产生了美妙的音 乐…… 这是一个开放的小课题,让学生课后去查资料,研究性学习,然后在班上进

63

行小讲座,相互交流,力求培养学生理论联系实际,强化自主探究、合作交流的 学习方式,让他们共同提高,共同发展. 案例 3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为
Φ-δ

θ

θ , δ 为此时太阳直射纬度, ? 为该地的纬度值,那么
φ δ

太阳光

这三个量之间的关系是 θ = 90° ? ? ? δ .当地夏半年 δ 取 (纬度数约为北 正值, 冬半年 δ 取负值.如果在北京地区 纬 40° )的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被 前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 这是人教版必修 4 的§1.6 的一个例题.从实际问题中抽象出三角函数模型 的过程中,由于陌生的背景、复杂的数据处理等,学生会感到困难,望而生畏. 大部分学生读完这个题,第一感觉就是:晕!看不懂或没信心看下去.字母多, 图形复杂,要根据上图来建立函数模型,确实有一定困难.充分利用这一难得的 教育契机,逐步累积,帮助学生树立对数学的情感,引起积极的探索态度,培养 迎难而上的勇气,锻炼坚强的意志力,这是摆在我们教师面前的课题.本题攻克 难关的关键是根据相关地理知识, 可以通过几何画板等技术由上图画出如右的图 示,即完成由实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所 得函数模型解决问题.为了激发学生的兴趣, “学以致用” ,教学中,教师可以在 这道题的基础上再提出一些问题, 例如, “如果前面的楼房距你家要买的楼房 15 米,两幢楼的高都是 21 米,每层楼 高 3 米, 为了使正午的太阳全年不被遮 挡,你应该挑选哪几层的房子?” 通过这样层层剖析,数形结合,辅 之以适度变式,让数学和生活紧密相连,注重知识传授的同时,学生的个性品质 也在悄然形成. 知识、能力与个性品质构成了一个三维空间,这个三维结构简要地展示了一 个人发展构成的核心要素.那么,如何在数学课堂教学中建构这个三维空间,需 要我们切实注重知识的衔接、知识的生成、学科思想方法的渗透等,有意识的实

64

施这些课堂教学策略,让我们的学生在“数学学习过程中逐步形成严谨的思维方 式、分析解决问题的能力、创新精神、主动发展的个性品质.”从而,为学生的 可持续性发展奠定坚实的基础. 【参考文献】?
[1]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书?数学必修 4.北京: 人民教育出版社,2011,12? [2]? 孟胜奇.高中数学发展性教学探索.课程教学研究,2012.4? [3]谭本远.获取数学知识的过程分析及其能力培养.数学教育学报,2009,5? [4]? 艾东升.三角函数学习中蕴含的哲理. 理科爱好者,2009,9? [5]季永德.层层递进,深化思维.中学数学研究,2012,2 ?

附件二:????????

2013 年广东省中学数学教育优秀论文评选报名表
(以下内容必须全部填满,打印或用正楷填写,以免造成识别错误)

论文题目 姓 名

放眼高考探究三次函数的全貌 李俊水 性别 男 出生年月 单位电话 邮 编 移动电话 字数 1982 年 9 月 076923382338 523420 18928280060 3792

作者单位 通讯地址 E-mail 初中

东莞市第六高级中学 东莞市寮步镇文昌路 6 号 983576115@qq.com □ 高中

会员编号 论文内容摘要(200 字以内):

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二次函数是高中数学新教材新课标中最重要的一个初等函数,它不 管是在代数中,还是在解析几何中都有广泛的应用,同时各种数学思想 利用二次函数作为载体展现得最为充分。由于三次函数的导函数是二次 函数,因此以三次函数为载体进而考查函数的图像与性质和数学思想方 法等问题已经成为近几年高考命题的热点和亮点。本文将从高考的角度 探究三次函数的全貌,希望能给广大师生全面了解三次函数提供点滴帮 助。

关键词:三次函数、单调性、根与系数关系、零点、图像切线

放眼高考探究三次函数的全貌
广东省东莞市第六高级中学 李俊水 【摘要】 二次函数是高中数学新教材新课标中最重要的一个初等函数, 它不管是 在代数中,还是在解析几何中都有广泛的应用,同时各种数学思想利用二次函数 作为载体展现得最为充分。由于三次函数的导函数是二次函数,因此以三次函数 为载体进而考查函数的图像与性质和数学思想方法等问题已经成为近几年高考 命题的热点和亮点。本文将从高考的角度探究三次函数的全貌,希望能给广大师 生全面了解三次函数提供点滴帮助。 【关键词】三次函数、单调性、根与系数关系、零点、图像切线 二次函数是高中数学新教材新课标中最重要的一个初等函数,它不管是在代 数中,还是在解析几何中都有广泛的应用,同时各种数学思想利用二次函数作为 载体展现得最为充分。由于三次函数的导函数是二次函数,因此以三次函数为载 体进而考查函数的图像与性质和数学思想方法等问题已经成为近几年高考命题
66

的热点和亮点。所以,我们很有必要对三次函数做一个全面的探究与揭秘。 一、三次函数的定义 定义 1:形如 y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) 的函数,称为三次函数(从函数解析 式的结构上命名) 。 把 定义 2: 三次函数的导函数 y′ = 3ax 2 + 2bx + c(a ≠ 0) , ? =4b 2 -12ac =4(b 2 -3ac) 叫做三次函数导函数的判别式。 二、三次函数的图像与性质的探究 (一) 单调性及极值 三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a > 0) , 1、若 b 2 ? 3ac ≤ 0 ,则 f (x ) 在 (?∞,+∞) 上为增函数; 2、 b 2 ? 3ac > 0 , f (x ) 在 (?∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上为增函数, f (x ) 在 ( x1 , x 2 ) 若 则 上为减函数,其中 x1 =
? b ? b 2 ? 3ac ? b + b 2 ? 3ac . , x2 = 3a 3a

证明: f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c , △= 4b 2 ? 12ac = 4(b 2 ? 3ac) , 1、 ? ≤ 0 当 为增函数. 2、当 ? > 0 得 x1 = 即 b 2 ? 3ac > 0 时,解方程 f ' ( x ) = 0 , 即 b 2 ? 3ac ≤ 0 时,f ' ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立,即 f (x ) 在 (?∞,+∞)

? b ? b 2 ? 3ac ? b + b 2 ? 3ac , x2 = 3a 3a

f ' ( x) > 0 ? x < x1 或 x > x 2 ? f (x ) 在 (?∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上为增函数. f ' ( x ) < 0 ? x1 < x < x 2 ? f (x ) 在 ( x1 , x 2 ) 上为减函数.

由上易知以下结论: 三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a > 0) , 1、若 b 2 ? 3ac ≤ 0 ,则 f (x ) 在 R 上无极值; 2、若 b 2 ? 3ac > 0 ,则 f (x ) 在 R 上有两个极值;且 f (x ) 在 x = x1 处取得极大 值,在 x = x 2 处取得极小值.
67

同理易知以下结论: 三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a < 0) , 1、若 b 2 ? 3ac ≤ 0 ,则 f (x ) 在 R 上无极值; 2、若 b 2 ? 3ac > 0 ,则 f (x ) 在 R 上有两个极值;且 f (x ) 在 x = x 2 处取得极大 值,在 x = x1 处取得极小值. 例 1(2012 年肇庆二模) 设函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx( x > 0) 的图象与直线 y = 4 相切于 M (1, 4) . (1)求 y = f ( x) 在区间 ( 0, 4] 上的最大值与最小值; (2) 是否存在两个不等正数 s, t ( s < t ) , s ≤ x ≤ t 时, 当 函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx 的值域是 [ s, t ] ,若存在,求出所有这样的正数 s, t ;若不存在,请说明理由;
2 解: (1) f ′( x ) = 3 x + 2 ax + b ,

? f ′(1) = 0 ?3 + 2a + b = 0, 依题意则有: ? ,即 ? ? f (1) = 4 ?1 + a + b = 4,
3 2 ∴ f ( x) = x ? 6 x + 9 x

解得 ?

? a = ?6 ?b = 9

2 令 f ′( x ) = 3 x ? 12 x + 9 = 0 ,解得 x = 1 或 x = 3

当 x 变化时, f ′( x), f ( x) 在区间 ( 0, 4] 上的变化情况如下表:
x
( 0 ,1)

1 0 4

(1, 3 )

3 0 0

(3, 4 )

4

f ′( x)

+ 单调递增

- 单调递减 ↓

+ 单调递增


f ( x)



4

所以函数 f ( x) = x 3 ? 6 x 2 + 9 x 在区间 ( 0, 4] 上的最大值是 4,最小值是 0. (2)由函数的定义域是正数知, s > 0 ,故极值点 x = 3 不在区间 [ s, t ] 上; ①若极值点 x = 1 在区间 [ s, t ] , 此时 0 < s ≤ 1 ≤ t < 3 , 在此区间上 f ( x) 的最大值是 4,不可能等于 t ;故在区间 [ s, t ] 上没有极值点; ②若 f ( x) = x3 ? 6 x 2 + 9 x 在 [ s, t ] 上单调增,即 0 < s < t ≤ 1 或 3 < s < t ,
68

= ? s = 2或s 4 ? s 3 ? 6s 2 + 9s = s ? f ( s) = s ? 则? ,即 ? 3 ,解得 ? 不合要求; 2 = ?t = 4或t 4 ?t ? 6t + 9t = t ? f (t ) = t ?
? f ( s) = t , ③若 f ( x) = x3 ? 6 x 2 + 9 x 在 [ s, t ] 上单调减,即 1<s<t<3,则 ? ? f (t ) = s

两式相减并除 s ? t 得: ( s + t ) 2 ? 6( s + t ) ? st + 10 = 0 ,



两式相除可得 [ s( s ? 3)]2 = [t (t ? 3)]2 ,即 s ( 3 ? s ) = t ( 3 ? t ) , 整理并除以 s ? t 得: s + t = 3 ②

?s + t = 3 2 由①、②可得 ? ,即 s , t 是方程 x ? 3 x + 1 = 0 的两根, ?st = 1
即存在 s =
3? 5 3+ 5 ,t = 不合要求. 2 2

综上可得不存在满足条件的 s、t. (二) 对称性及其推广和应用
b b , f (? )) 对称, 3a 3a b b 并且导函数 f ' ( x ) 在 x = ? 处取得最小值,其图象关于直线 x = ? 对称. 3a 3a

三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a > 0) 的图象关于点 (?

证明一: f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = a( x +

b 3 b2 b b ) + (c ? )( x + ) + f (? ) 3a 3a 3a 3a

b2 易 知 g ( x) = ax + (c ? ) x 是 奇 函 数 , 图 象 关 于 原 点 对 称 , 则 f (x ) 关 于 点 3a
3

(?

b b , f (? )) 对称. 3a 3a
∴当 x = ?

f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c , Q a > 0
y = f ' ( x ) 图象关于 x = ?

b 时 , f ' ( x) 取 得 最 小 值 , 显 然 3a

b 对称. 3a

证明二:设 y = f (x) 的图象关于点 (m, n) 对称,任取 y = f (x) 图象上点
A( x, y ) ,则 A 关于 (m, n) 的对称点 A' ( 2m ? x,2n ? y ) 也在 y = f (x) 图象上

2n ? y = a ( 2m ? x ) 3 + b( 2m ? x ) 2 + c ( 2m ? x ) + d ,
∴ y = ax 3 ? (6ma + b) x 2 + (12 m 2 a + 4mb + c ) x ? (8m 3 a + 4m 2 b + 2mc + d ? 2m)
69

b ? ?b = ?6ma ? b ?m = ? 3a ? ? ?? ∴ ?c = 12m 2 a + 4mb + c ?d = ?(8m 3 a + 4m 2 b + 2mb + d ? 2n) ?n = f (? b ) ? ? 3a ?

由上又可推广得到以下结论: 推论一 函数 y=f (x) 图象的对称中心在导函数图象的对称轴上,若其有两个极 值点,对称中心为两个极值点的中点.

推论二 函数 y = f (x ) 是可导函数,若函数 y = f (x ) 的图象关于点 ( m, n) 对称, 则函数 y = f ' ( x ) 图象关于直线 x

= m 对称.

证明:函数 y = f (x) 的图象关于 (m, n) 对称,则 f ( x) + f (2m ? x) = 2n,
f ( x + ?x ) ? f ( x ) ?x f ( 2 m ? x + ?x ) ? f ( 2 m ? x ) 2 n ? f ( x ? ?x ) ? 2 n + f ( x ) ∴ f ' (2m ? x) = lim = lim ?x → 0 ?x → 0 ?x ?x f ( x ) ? f ( x ? ?x ) = f ' ( x) = lim ?x → 0 ?x
Q

f ' ( x) = lim

?x → 0

∴ y = f ' ( x ) 图象关于直线 x = m 对称.

推论三 函数 y = f (x ) 是可导函数, 若函数 y = f (x ) 图象关于直线 x 则函数 y = f ' ( x ) 图象关于点 (m,0) 对称. 证明: y = f (x) 图象关于直线 x = m 对称,则 f ( x ) = f (2m ? x ) ,
f ( x + ?x ) ? f ( x ) ?x → 0 ?x f ( 2 m ? x + ?x ) ? f ( 2 m ? x ) ∴ f ' (2m ? x ) = lim ?x → 0 ?x
Q f ' ( x ) = lim

= m 对称,

 

= lim

?x →0

f ( x ? ?x) ? f ( x) = ? f ' ( x) , ?x

∴ f ' (2m ? x) + f ' ( x) = 0 ,

即函数 y = f ' ( x ) 图象关于点 (m,0) 对称.

例 2 (2010 韶关模拟)已知 f ( x) = 2 x 3 ? 3x 2 + x + 1
1 (Ⅰ)证明: y = f ( x) 的图象关于点 A( ,1) 对称 2
70

(Ⅱ)设 an = f (

n 1 1 2 n < 1. )+ f ( ) +L + f ( ) n ∈ N + ,求证: ∑ n +1 n+2 n +1 i =1 ai ai +1

3 2 解: (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ) 是 y = f ( x) 图象上任意一点,则 y0 = 2 x0 ? 3 x0 + x0 + 1

1 又Q P( x0 , y0 ) 关于点 A( ,1) 的对称点为 P′(1 ? x0 , 2 ? y0 ) 2

把 P′(1 ? x0 , 2 ? y0 ) 代入 y = f ( x) 得
3 左边= 2 ? y0 = ?2 x0 + 3 x0 ? x0 + 1

右边= f (1 ? x0 ) = 2(1 ? x0 )3 ? 3(1 ? x0 ) 2 + (1 ? x0 ) + 1
3 = ?2 x0 + 3 x0 ? x0 + 1

左边=右边

∴ 点 P′(1 ? x0 , 2 ? y0 ) 满足 y = f ( x)

故点 P ′ 是 y = f ( x) 图象上一点,∴ y = f ( x) 图象关于 A 对称。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 2 ? y0 = f (1 ? x0 ) 即 f (1 ? x0 ) + y0 = 2 ,又 f ( x0 ) = y0
∴ f ( x0 ) + f (1 ? x0 ) = 2

由 an = f (

1 2 n )+ f ( ) +L + f ( ) ………………① n +1 n +1 n +1 n n ?1 1 得 an = f ( )+ f ( ) +L + f ( ) ………………② n +1 n +1 n +1

①+②得
1 n 2 n ?1 n 1 )+ f ( )] + [ f ( )+ f ( )] + L[ f ( )+ f ( )] n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 = 2 +4+ L + 2 = 2n ,∴ an = n 2 14244 3 2 an = [ f (
n个 2

∴∑
i =1

n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + +L + = ( ? ) + ( ? ) +L+ ( + ) ai ai +1 1× 2 2 × 3 n(n + 1) 1 2 n n +1 2 3

=

1?

1 <1 n +1

例 3 (2011 年重庆)设的导数为错误!未找到引用源。 ,若函数错误!未找到引
1 用源。的图象关于直线 x = ? 错误!未找到引用源。对称,且 f / (1) = 0 错误!未找 2

到引用源。.](Ⅰ)求实数 a,b 的值;(Ⅱ)求函数错误!未找到引用源。的极值

71

a a2 解法一:(Ⅰ) f / ( x) = 6 x 2 + 2ax + b = 6( x + ) 2 + b ? ,函数 y=f ′( x) 错误!未 6 6

找到引用源。的图象关于直线 x=?
f / (1) = 0 ? 6 + 2a + b = 0 ? b = ?12 ;

a a 1 对称,所以 ? =? ?a=3 ,又 6 6 2

解法二:(Ⅰ) 函数错误!未找到引用源。的图象关于直线错误!未找到引用
1 源。 x = ? 对称, 2
1 1 所以的图像关于点 - , f (- )) 对称,又由三次函数的性质可知:三次函数 ( 2 2 a a 图像关于点 - , f(- )) 对称, ( 6 6 a 1 所以 ? = ? ? a = 3 ,又 f / (1) = 0 ? 6 + 2a + b = 0 ? b = ?12 ; 6 2

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ )
f / ( x ) = 0 ? x1 = ?2, x2 = 1 ;

f ( x) = 2 x3 + 3x2 ? 12 x + 1, f / ( x) = 6 x2 + 6 x ? 12 , 令

函数 f ( x ) 在 ( ?∞, ?2) 上递增,在 ( ?2,1) 上递减,在 (1, +∞) 上递增,所以函数 f ( x ) 在 x = ?2 处取得极大值 f ( ?2) = 21 ,在 x = 1 处取得极大值 f (1) = ?6 。 根据以上的探究,我们可以得到三次函数的图像和性质如下:

类型
y

a>0
y?

a<0

类型Ⅰ
? = b ? 3ac > 0
2

图象
o x1

x2

x

o

x1? x2?

x

有一个极大值点 x1 与一个极 有一个极小值点 x1 与一个极 极值 小值点 x2 大值点 x2

72

x1 =

?b ? b 2 ? 3ac 3a

x2 =

?b ? b 2 ? 3ac 3a

?b + b 2 ? 3ac x2 = 3a

?b + b 2 ? 3ac x1 = 3a

增区间 (?∞, x1 ), ( x2 + ∞) 单调性 减区间 ( x1 , x2 ) 对称性 关于点 p (?
b b , f (? )) 对称 3a 3a

增区间 ( x1 , x2 ) 减区间 (?∞, x1 ), ( x2 + ∞) 关于点 p (?
b b , f (? )) 对称 3a 3a

b、d 都为零时,奇函数;

b、d 都为零时,奇函数;

奇偶性 b、d 有一个不为零时,非奇 b、d 有一个不为零时,非奇 非偶函数 非偶函数

y

y?

图象

x o o x

类型Ⅱ
? = b 2 ? 3ac ≤ 0

极值 单调性

无极值 单调增区间 ( ?∞, +∞ )
b b , f (? )) 对称 3a 3a

无极值 单调减区间 ( ?∞, +∞ ) 关于点 p (?
b b , f (? )) 对称 3a 3a

对称性 关于点 p (?

b、d 都为零时,奇函数;
奇偶性 b、d 有一个不为零时,非奇 非偶函数 三、 三次函数零点分布的探究及拓展 (一) 三次函数零点分布 根据三次函数的图象知:

b、d 都为零时,奇函数; b、d 都不为零时,偶函数

1、三次函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d 在 R 上至少有一个零点.

73

2、 ? = b 2 ? 3ac ≤ 0 时,y = f ( x) 有且仅有一个零点, ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 当 即 只有唯一实数解. 3 、 当 ? = b 2 ? 3ac > 0 时 , 设 f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 两 个 解 为 x1 , x2 , 且
x1 < x2 .

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 时, y = f ( x) 有三个零点,即 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 有三个 不同解.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 0 时, y = f ( x) 有两个零点,即 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 有两个不

同解.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 时, y = f ( x) 只有唯一零点,即 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 只有唯

一实数解. (二) 三次方程根与系数关系 设 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0) 有三个根 x1 , x2 , x3 。 则有 x1 + x2 + x3 = ?
b c d , x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = , x1 x2 x3 = ? a a a

证明:Q 方程 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0) 的三个根分别 x1 , x2 , x3 ,
∴ 可设 ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 )

= ax 3 ? a ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + a ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x ? ax1 x2 x3

b ? ? x1 + x2 + x3 = ? a ??a ( x1 + x2 + x3 ) = b ? c ? ? ∴ ?a ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = c ,即 ? x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a ? ??ax x x = d ? 1 2 3 d ? ? x1 x2 x3 = ? a ?

(三) 任意连续可导函数 y = f ( x) 的零点个数判断方法: 1、求 f ′( x) = 0 的解 x1 , x2 ,L , xn ( x1 < x2 < L < xn ) 。 2、判断 f ( x1 ), f ( x2 ),L f ( xn ) 的符号。 3、结论:

74

①若 f ( xi ) 与 f ( xi +1 ) 同号,则在 ( xi , xi +1 ) 上无零点。 ②若 f ( xi ) 与 f ( xi +1 ) 异号,则在 ( xi , xi +1 ) 上有唯一零点。 ③若 f ( xi ) = 0 ,则在 f ( xi ?1 , xi +1 ) 上有唯一零点 xi 。 例 4 (2011 年天津)已知函数 f ( x ) = ax3 ?
3 2 x + 1 ( x ∈ R ) ,其中 a > 0 . 2

(Ⅰ)若 a = 1 ,求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 ) ) 处的切线方程;
? 1 1? (Ⅱ)若在区间 ? ? , ? 上, f ( x ) > 0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2?

(Ⅲ) (补充)若 y = f ( x) 在 R 上有且仅有两个不同的零点,求 a 的值。
3 解: (Ⅰ)当 a = 1 时, f ( x ) = x3 ? x 2 + 1 , f ( 2 ) = 3 . f ′ ( x ) = 3x 2 ? 3x , 2

f ′ ( 2) = 6 .
所 以 曲 线 y = f ( x ) 在 点 ( 2, f ( 2 ) ) 处 的 切 线 方 程 为 y ? 3 = 6 ( x ? 2 ) , 即
y = 6x ? 9 .

(Ⅱ) f ′ ( x ) = 3ax 2 ? 3 x = 3 x ( ax ? 1) . 令 f ′ ( x ) = 0 ,解得 x = 0 或 x = (1) 若 0 < a ≤ 2 ,则
1 1 ≥ . a 2 1 ? 1 1? .针对区间 ? ? , ? ,需分两种情况讨论: a ? 2 2?

当 x 变化时, f ′ ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?

0

? 1? ? 0, ? ? 2?

f ′( x) f ( x)

+
单调递增


0
极大 值

?
单调递减


? 1 1? 所以 f ( x ) 在 区 间 ? ? , ? 上的最小值在区间的端点得到.因此在区间 ? 2 2?

75

? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? ?

? ? 1? ? f ? ? 2 ? > 0, ? ? ? 上 , f ( x) > 0 恒 成 立 , 等 价 于 ? ? f ? 1 ? > 0, ? ?2? ? ? ?

?5 ? a ? 8 > 0, ? 即? 解得 ? 5 + a > 0, ? 8 ?

?5 < a < 5 ,又因为 0 < a ≤ 2 ,所以 0 < a ≤ 2 .
(2) 若 a > 2 ,则 0 <
1 1 < . a 2

当 x 变化时, f ′ ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?

x
f ′( x)

0

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 1? ? , ? ?a 2?

+
单调递增


0
极大 值

?
单调递减


0
极小值

+
单调递增


f ( x)

1 ? 1 1? 所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 上的最小值在区间的端点或 x = 处得到. a ? 2 2?

? 1 1? 因 此 在 区 间 ?? , ? 上 , f ( x ) > 0 恒 成 立 , 等 价 于 ? 2 2?

? ? 1? ? f ? ? 2 ? > 0, ? ? ? ? ? f ? 1 ? > 0, ? ?a? ? ? ?



? 5?a ? 8 > 0, ? ? ?1 ? 1 > 0, ? 2a 2 ?

解得

2 2 ,又因为 a > 2 ,所以 2 < a < 5 . < a < 5或a < ? 2 2

综合(1),(2), a 的取值范围为 0 < a < 5 . (Ⅲ) f ′ ( x ) = 3ax 2 ? 3 x = 3 x ( ax ? 1) .令 f ′ ( x ) = 0 ,解得 x = 0 或 x = 当 x 变化时, f ′ ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
1 . a

( ?∞, 0 )
x
0

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 ? ? , +∞ ? ?a ?

76

f ′( x)

+
单调递增


0
极大 值

?
单调递减


0
极小值

+
单调递增


f ( x)

1 1 所以函数 y = f ( x) 的极大值 f (0) = 1 ,极小值为 f ( ) = 1- 2 , a 2a 1 若 y = f ( x) 恰有两个不同零点,则 f (0) ? f ( ) = 0 . a 1 2 . = 0 ,即 a = 2 2a 2

即 1-

例 5 (2008 江西) 设函数 f ( x) = (1 + x) 2 ? 2 ln(1 + x) . (1)求 f ( x ) 的单调区间;
1 ,不等式 f ( x) < m 恒成立, (2)若当 x ∈[ ? 1, e ? 1] 时(其中 e = 2.71282L ) e

求实数 m 的取值范围; (3) 若关于 x 的方程 f ( x) = x 2 + x + a 在区间 [0, 2] 上恰好有两个相异的实根, 求实数 a 的取值范围. 解: (1)函数的实义域为 (?1, +∞) ,因为 f ′( x) = 2[( x + 1) ? 由于 f ′( x) 的递增区间是 (0, +∞) ,递减区间是 (?1, 0) .
1 (2)由 f ′( x) = 0 得 x = 0 ,由(1)知 f ( x ) 在 [ ? 1, 0] 上递减,在 [0, e ? 1] 上 e 1 2 x( x + 2) , ]= x +1 x +1

递增,
1 1 1 又 f ( ? 1) = 2 + 2, f (e ? 1) = e 2 ? 2 ,且. e 2 ? 2 > 2 + 2 , e e e 1 所以当 x ∈[ ? 1, e ? 1] 时 [ f ( x )]max = e 2 ? 2 e

故要使 f ( x ) < m 恒成立,只要 m > [ f ( x )]max = e 2 ? 2 . 所以 m 的取值范围是 (e 2 ? 2, +∞) . (3)方程 f ( x) = x 2 + x + a ,即 x ? a + 1 ? 2 ln(1 + x) = 0 设 g ( x ) = x ? a + 1 ? 2 ln(1 + x) ,则

77

g ′( x) = 1 ?

2 x ?1 , = 1+ x x +1

由 g ′( x) > 0 得 x > 0 ; 由 g ′( x) < 0 ,得: ?1 < x < 1 , 所以 g ( x ) 在 [0,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增. 为使方程 f ( x) = x 2 + x + a 在 [0, 2] 上恰好有两个相异实根,只需 g ( x ) = 0 在 [0,1) 和 (1, 2] 上各有一个实根,故有:
? g (0) ≥ 0 ?a ≤ 1 ? ? ? g (1) < 0 即 ?a > 2 ? 2 ln 2 ? g (2) ≥ 0 ?a ≤ 3 ? 2 ln 3 ? ?

所以 2 ? 2ln 2 < a ≤ 3 ? 2ln 3 , 所以所求实数 a 的范围是: (2 ? 2 ln 2, 3 ? 2 ln 3] . 四、三次函数图象切线问题的探究 (一) 过 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 图象上任一点 P( x0 , y0 ) 做 y = f ( x) 的图象切 线问题 1、若 x0 = ?
b 1 b b ,则只能做一条切线,即为 l : y ? f (? ) = f ′(? )( x + ) , 3a 3a 3a 3a b ,则可做出 y = f ( x) 的两条或三条切线,其中第一条为以 3a

此切线常称为三次函数图象凹凸分界线。 2、若 x0 ≠ ?

P( x0 , y0 ) 为切点的切线 l1 : y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) 。

设另外的切线为 l2 ,设其切点为 Q (m, n) 。
? n ? y0 2 ? m ? x = f ′(m) = 3am + 2bm + c ,求出 m,n。 由? 0 ?n = am3 + bm 2 + cm + d ?

得另外的切线 l2 : y ? n = f ′(m)( x ? m) 。 (二) 过 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 的图象外一点 P( x0 , y0 ) 作 y = f ( x) 的图象的 切线,可作一条或两条或三条,即最少可做一条最多可做三条。 设所做切线的切点为 Q (m, n) ,

78

? n ? y0 2 ? m ? x = f ′(m) = 3am + 2bm + c 则? 0 ?n = am3 + bm 2 + cm + d ?

(Ⅰ)

由方程组(Ⅰ)求解 m,n, 若(Ⅰ)只有一组 m,n 的解,则只能做一条切线; 若(Ⅰ)有二组 m,n 的不同解,则能做两条不同切线; 若(Ⅰ)有三组 m,n 的不同解,则能做三条不同切线。 (三) 从图象上了解三次函数图象的切线分布 一般情况下,设 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d (a > 0) 的凹凸分界线为 l0 ,经过极大 值点且垂直 x 轴的单调图象分界线为 l1 ,经过极 小值点且垂直 x 轴的单调图象分办线为 l2 ,如图, 设 l0 , l1 , l2 与 y = f ( x) 围成的封闭区域叫做区域Ⅱ,
l1 的左侧且在 y = f ( x ) 图象上方与 l2 的右侧区域
o ? Ⅰ? Ⅱ Ⅲ x Ⅲ Ⅱ y?

Ⅰ?

?

且在 y = f ( x ) 图象下方区域叫做区域Ⅲ,其余部 分叫做区域Ⅰ。 1、当点 P( x0 , y0 ) 落在区域Ⅰ内时, 只能做一条切线; 2、当点 P( x0 , y0 ) 落在区域Ⅱ内时, 能做两条切线; 3、当点 P( x0 , y0 ) 落在区域Ⅲ内时, 能做三条切线。

l1

l2?

l0

1 a 例 6 (10 年湖北文数)设函数 f(x)= x 3 - x 2 +bx +c ,其中 a >0 ,曲线 y=f(x) 3 2

在点 P(0,f(0)) 处的切线方程为 y=1 (Ⅰ)确定 b、c 的值 (Ⅱ)设曲线 y=f(x) 在点 P(x1 ,f(x1 )) 及 P(x 2 ,f(x 2 )) 处的切线都过点(0,2)证 明:当 x1 ≠ x 2 时, f ′(x1 ) ≠ f ′(x 2 ) .
79

(Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线 y=f(x) 的三条不同切线,求 a 的取值范围。
1 a 解: (Ⅰ)由 f(x)= x 3 - x 2 +bx +c 3 2

得: f (0)=c , f ′(x)=x 2 -ax+b , f ′(0)=b . 又由曲线 y=f(x) 在点 P(0,f(0)) 处的切线方程为 y=1 , 得到 f (0)=1 , f ′(0)=0 .故 b=0,c=1 .
1 a (Ⅱ) f(x)= x 3 - x 2 +1 , f ′(x)=x 2 -ax 3 2

由于点 (t,f(t)) 处的切线方程为 y-f(t)=f ′(t)(x-t) ,而点(0,2)在切线上,所以
2-f(t)=f ′(t)(-t) ,

2 a 2 a 化简得 t 3 ? t 2 + 1 = 0 ,即 t 满足的方程为 t 3 ? t 2 + 1 = 0 。 3 2 3 2

下面用反证法证明。 假设 f ′(x1 )=f ′(x 2 ) , 由于曲线 y=f(x) 在点 ( x1 ,f(x1 )) 及 ( x2 ,f(x2 )) 处的切线都过点(0,2) , 则下列等式成立:
?2 3 a 2 ? 3 x1 ? 2 x1 + 1 = 0LL (1) ? ?2 3 a 2 ? x2 ? x2 + 1 = 0LL (2) 2 ?32 ? x1 ? ax1 = x2 2 ? ax2 LL (3) ? ?

由(3)得 x1 + x2 = a 由(1)-(2)得 x12 + x1 x2 + x2 2 = 又
a 2 3a 2 3a 2 3a 2 2 2 2 2 = x1 + x1 x2 + x2 = ( x1 + x2 ) ? x1 x2 = a ? x1 (a ? x1 ) = ( x1 ? ) + ≥ 4 2 4 4 3a 2 LL (4) 4

∴ x1 =

a a ,此时 x2 = ,与 x1 ≠ x2 矛盾,所以 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) 。 2 2

80

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,过点(0,2)可作 y = f ( x) 的三条切线,等价于方程
2 a 2 ? f (t ) = f ′(t )(0 ? t ) 有三个相异的实根,即等价于方程 t 3 ? t 2 + 1 = 0 有三个相 3 2

异的实根。
2 a 设 g (t ) = t 3 ? t 2 + 1 ,则 g ′(t ) = 2t 2 ? at 。 3 2 a 令 g ′(t ) = 2t 2 ? at =0 得 x = 0, x = ( a > 0) 2

列表如下:
t
g ′(t ) ( ?∞.0)

0 0 极大值 1

a (0, ) 2

a 2

a ( , +∞ ) 2



- 极 ↘
1?

0 小
a3 24

+ 值 ↗

g (t )



2 a 2 a 由 g (t ) = t 3 ? t 2 + 1 的单调性知, 要使 g (t ) = t 3 ? t 2 + 1 =0 有三个相异的实 3 2 3 2

根,当且仅当 1 ?

a3 < 0 ,即 a > 2 3 3 。 24

∴a 的取值范围是 (2 3 3, +∞) 。 纵观以上事例,无论是在广东的高考模拟试题中,还是在全国各地的高考试 题中, 以三次函数为载体从而进一步考查函数图像与性质以及数学思想方法的题 型已经屡见不鲜。本文仅以重庆、天津、湖北等省份的高考题为例,再结合本人 平时的一些教学所得对三次函数的定义、图像与性质、零点、图像的切线等问题 作了一个全面的探究与揭秘, 希望能给广大师生全面了解三次函数提供点滴帮助, 不到之处恳请指教。

一道题的错解引发关于线性回归方程教学的思考
东莞常平中学闻雷
【摘要】 本文由学生试卷中一道关于线性回归方程问题的错解, : 通过问卷调查, 了解学生做题时掌握知识和运用知识的状况。结合学生的状况,反思出自己“掐 头去尾,烧中段”式的教学虽收到了学生会按规范步骤答题的眼前效益,却因忽
81

略学生的参与与思考而没有促进学生的真正掌握和提高。 最后提出从培养学生学 习兴趣、体现学生主体地位、培养学生多种能力(包括分析理解、正确运算、实 践拓展等能力)三个方面的针对性改进教学的措施。 【关键词】 :线性回归方程;反思教学;培养能力

高中数学人教版教材《必修 3》《选修 1-2》 、 (文科)和《选修 2-3》 (理科) 中都有由最小二乘法求线性回归方程的内容。 在近期的教学中,学生们对于一道题目的错解给了我很大的触动。了解学生 们的心理,反思自己的教学,有了些思考。不妥之处,敬请同行指正。

3 一道题目的错解 1.1 错误率高的一题 1.1 例 下图提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产 量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对应数据,根据右表提供 数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.7x+0.35 ,那么表中 t 的值为 ( ).

x y
A. 3

3 2.5 B. 15 3.

4 t

5 4 C. 5 3.

6 4.5 D. 4.5

本以为这道题目很简单。改完试卷后,发现这道题目的得分率很低。问题出 在哪里? 1.2 错误原因的反馈 学生在做这道题目时是如何想的, 他们掌握到了哪种程度?我把学生反馈的 情况大致分为以下几类: (1) 、题目看起来复杂,其实就是考查样本点中心,很快算出了正确结果(约 占 26%) ; (2) 、知道考查样本点中心,但计算出错(约占 14%) ; (3) 、知道直接代入肯定不对,但不知道怎么做(约占 9%) ; (4) 、一看到题目,就直接把 x=4 代入回归方程(约占 37%) ;

82

(5) 、题目太长,肯定难,直接凭感觉选个答案(约占 10%) ; (6) 、其他(约占 4%) 。 从反馈的结果看:只有 26%的学生理解并算出正确结果,这些学生不仅掌握 了基本知识点能很好的转换题意,还能准确计算。直接代入求结果,犯这类错误 的学生占到 37%,是比例最大的。看到直线方程就直接代入求解,思维还停留在 普通直线方程上, 根本就没想这题到底是考什么。 由于计算出错的同学占到 14%, 说明整体上的计算能力还是有待加强。畏惧、怕难不去做的占到 10%。 畏惧放弃、 计算能力弱、 不解题意、 靠直觉, 是造成错误最主要的几个原因。 这种结果跟实际教学有没有关系?回顾、反思教学,发现还是有很多不足。

2.教学过程的反思 2.1 教学过程 首先,带着学生一起理解、辨析了函数关系、相关关系、散点图、正相关、 负相关、回归直线方程。 然后进入本节课的重点,由最小二乘法求线性回归方程。简单的说明一下 最小二乘法的基本思想,让学生在课本上记下两点:第一,最小二乘法求出来的 是预测值;第二:求出来的线性回归方程恒过样本点中心。 最后在黑板上写下本节的计算公式,并以广东省 2007 年高考文科卷第 18 题(如下,2.1 例)为例板书讲解,让学生模仿练习。 2.1例 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量

x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据。 x y
3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图;

? ? (2)请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= bx + a
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出 的线性回归方程, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准 煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 2.2 教学反思
83

这个例题是本节的代表性题目。直接针对本节常规题型教学,严格规范步 骤,之后让学生大量练习。这样可以让学生在短时间内掌握考试内容。 但这种典型的“掐头去尾,烧中段”式的教学忽略学生的思考,看似提高 了课堂效率,其实只是收到了眼前的效益。整节课下来,学生就像机器一样的计 算,虽然会做了题目,却不知道什么是最小二乘法思想,更不清楚为什么所求的 结果为预测值为什么回归方程恒过样本点。 所以才会出现 1.1 例中那么多的错误。 在本节教学的定位中只是套公式计算应对常考题型,对其他教学内容一带 而过,忽略了在本节教学中对学生能力的培养。

3.改进教学的思考 3.1 学习兴趣的激发 兴趣是最好的老师。本节课作为新课标的内容,跟生活生产联系紧密。例如 “身高和体重的相关关系”“班里同学数学成绩与物理成绩的相关关系”能引起 、 学生们很大的兴趣。 回归直线恒过样本点中心是本节的重点,每年的高考题都都会有涉及(比如 2011 年高考陕西卷、山东卷、江西卷等) 。在本节的教学中,同学们求出线性回 归方程和样本点中心后,代入验证发现这个结论。学生会觉得很神奇,自然能留 下深刻的印象。他们也不会觉得这节课是枯燥的记公式机械的做题目。 3.2 主体地位的体现 “老师是课堂的主导者,学生是课堂的主体者” ,可在实际的教学中老师包 办一切,学生只是机械记忆、重复练习。教学应让多学生更多的参与进来,主动 获取知识。 这节的课的学习中学生只是被动接受,无聊无趣。新课程标准中提到“通 过经历用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程, 学会用回归方程 来描述现实中的相关关系,并知道最小二乘法的思想,会利用科学的计算器等工 具求线性回归直线。 [1]在教学中,教师应该针对性的引导学生参与进来,与学 ” 生们一起分析感受整个学习过程。 3.3 多种能力的培养 教学不只是传授知识,更重要的是在教学过程中培养学生的能力。教是为了

84

不教,授人以鱼不如授之以渔。 3.3.1 分析理解能力 如果说,哲学是自然科学和社会科学的概括,那么,数学则是这两大科学 在数量上的抽象概括。[2]数学的语言总是内涵丰富的,在教学中应有意识培养学 生的分析理解能力,找出其内部关系。 本节教学中,可以有意识的让学生们来自学,培养理解能力。在讲一些题 目时, 不要怕耽误时间, 要停下来让学生来读题目找已知、 未知, 分析考查目的。 这样就不会出现了本文问题背景中所提的那么多错解。再如 2011 年广东高考理 科卷第 13 题(如下 3.1 例) : 3.1 例 某数学老师身高 176cm,他爷爷,父亲,儿子的身高分别为 173cm, 170cm,182cm,因为儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方 法预测他孙子的身高是____cm. 这道题是一道很优质的高考试题,可得分率很低,几乎没有同学做出正确 结果。很多学生完全没有读懂题目,没有体会题目中关键句“儿子的身高与父亲 的身高有关”“用线性回归分析预测” 、 ,更难理解题目中的几组父子的身高构成 已知相关量。可见在教学中加强学生的分析、理解能力多重要。 3.3.2 运算能力 学生运算能力是指学生在有目的的数学运算活动中,能合理、灵活、正确 地完成数学运算影响运算活动效率的个性心理特征。[3]作为传统的数学三大能力 之一,运算能力在数学教育教学中一直都受重视。 本文 1.1 例中有 14%的同学因为计算错误而丢失分数。 一些同学理解了 3.1 例的题意,却因为数据过大,计算出错。在平时教学或测试中经常会发现学生会 犯一些低级的计算错误。 本节的教学,我选择的例题和练习都是由几组简单数据构成。这样在教学 中便于计算,节省时间,不利于培养学生的计算能力。 在计算能力的培养中,并不是机械的大量计算,应在常规计算的同时尽力 去寻求一些对数据的处理方法。 2011 年安徽高考文科卷 20 题 如 (如下 3.2 例) : 3.2 例 某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 2002 2004 2006 2008 2010

85

需求量(万吨) 236

246

257

276

286

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y = bx + a ; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 解: (I) 由数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升, 数据预处理如下: 年份—2006 -4 -2 -11 0 0 2 19 4 29

需 求 量 — -21 257

对预处理后的数据,容易算得

x = 0, y = 3.2, (?4) × (?21) + (?2) × (?11) + 2 × 19 + 4 × 29 260 b= = = 6.5, 40 42 + 22 + 22 + 42 a = y ? b x = 3.2.
所求回归直线方程为:

y ? 257 = b( x ? 2006) + a = 6.5( x ? 2006) + 3.2, 即 y = 6.5( x ? 2006) + 260.2.
这道题目如果直接计算求解是很麻烦的,对数据处理后就简单很多。这样 处理的原因在教学中要给学生说明白的。如果学生懂得这样处理计算,本文 3.1 例也很容易计算。在教学中也可以指导学生利用信息技术手段来解决问题。本节 课本(人教版必修 3P89)中“以 Excel 为例,用散点图来建立人体的脂肪含量 与年龄相关关系的线性回归方程”给了很好的范例。 3.3.3 实践拓展能力 “没有人能教会学生,数学素质是在数学活动中获得的。 [4]数学已走进人 ” 们的生活,用数学解决实际问题显得那么的迫切与需要。在数学教学中,有意识 的拓展内容,培养学生的动手实践能力。 本节之后的实习作业中有这样的一个题目: 2、中学生物理成绩与数学成绩之间的相关关系。 (1)要研究的问题是什么? (2)如何设计抽样方案? (3)如何分析数据? (4)从中能够得出什么数据?





86

(5)你能给同门提出哪些建议?[5] 在教学中,可以指导学生自愿结成数学兴趣小组动手来做,找出期间相关 关系。在老师的指导下,对数据进行处理,求出其线性回归直线方程。在动手实 践中学习数学,用数学解决实际问题。 在平时的教学中多反馈勤反思,以求改进。在教学中培养学生们的多种能 力,切实提高课堂教学效率。 【参考文献】 : [1]王尚志. 数学教学研究与案例.北京:高等教育出版社,2008,5 [2]张奠宙 宋乃庆.数学教学概论.北京:高等教育出版社,2007,11 [3]吴宪芳. 中学数学教学概论.武汉:湖北教育出版社,2004,8 [4]张奠宙 李士锜 李俊. 数学教育学导论.北京:高等教育出版社,2005,11 [5]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书·数学必修 3.北 京:人民教育出版社,2010,12

应用变式教学提高数学课堂有效性
东莞实验中学蔡瑞卿

【摘

要】在数学教学中,恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围,能开

拓学生的视野,激发学生的思维,有助于培养学生的探索精神与创新意识。文章探讨了变式 教学的含义及作用, 并介绍了如何应用变式教学提高数学课堂效率及在应用变式教学时需注 意的问题。

【关键词】变式教学 提高 有效性 实践

著名心理学家和教育学家布卢姆说: “有效的教学始于准确地知道需要达到 的目标是什么。 ”因此教学目标是课堂教学的灵魂。变式教学符合学生的认知规 律,通过对变式教学,使得课堂教学始终围绕着教学目标有层次的推进,为学生 提供一个求异、思变的空间,让学生把学到的概念、公式、定理、法则等运用到 各种情况中去,使基础知识、基本技能、基本方法和基本思想,在题组中重复出 现, 又向提高和深化推进, 使学生灵活多变的思维品质, 数学素养得到有效培养。 1 变式与数学变式教学 1.1 对变式教学的理解
87

“变式”《中国教育百科全书》中说: , “变式”--掌握概念的方法之一;是 从各个不同的角度抓住事物的主要特殊属性, 概括出事物的一般属性的思维方式。 那么什么是变式教学?在教学中,变式教学指从一道题目出发,通过改变题目的 条件、问题或改变题目设计的情景,重新进行讨论的一种教学方法;也可以是指 对例习题进行变通推广,重新认识。 1.2 数学变式教学 所谓数学变式教学就是将数学中各种知识点有效地结合起来, 从最简单的命 题入手,不断交换问题的条件和结论,层层推进,从不断的变化中寻找数学的规 律和本质。数学变式教学可以充分调动和展示学生的思维过程,让学生积极大胆 地参加教学的全过程,通过对数学问题多角度、多层次、多方位的讨论和思考, 引导学生从 “变” 的现象中发现 “不变” 的本质, “不变” 从 的本质中探索出 “变” 的规律,从而培养学生大胆参与、勇于探索、敢于创新的精神。 2 变式教学的理论基础 2.1 马登变异理论 学习就是鉴别,鉴别依赖于对差异的认识,教师应当通过变异维数的扩展引 导学生去认识对象的各个方面。变式教学是利用变式的方式进行教学,这一系列 的变式就构成了一个变异空间,引导学生积极思考,主动探索,体会变式所要反 映的实质意义,这就产生了学习。通过变式教学,在教学过程中指导学生体验和 辨别学习对象的关键方面, 构建适当的变异空间, 这对学生的学习是至关重要的。 2.2 建构主义的学习理论 建构主义认为知识不是通过教师传授得到,而是学生主动建构获得的。学生 以自己原有的知识经验为基础,对外部信息进行主动地选择、加工和处理,建构 自己的理解。教师通过变式教学引导学生建构事物的本质属性,成为主动的信息 加工者。通过变式教学,提供一定的学习情境,提出能激发学生思考的问题,创 设平等自由的学习气氛, 开展师生、 生生之间的交流与合作学习; 通过变式教学, 指导学生不断思考,不断对各种信息进行加工和转换,进行归纳总结,发现各种 变式的实质联系,培养学生的观察、分析和概括的能力;通过变式教学,一题多 解,一法多用,鼓励学生自己变题,在问题解决的过程中使学生对概念、原理形 成深刻理解,建立良好的知识结构。

88

2.3 脚手架理论 在教育活动中,学生可以凭借由父母、教师、同伴以及他人提供的辅助物完 成原本自己无法独立完成的任务。随着学生的能力逐步提升,一旦学生能独立完 成任务,这种辅助物“脚手架”就会被逐渐撤离。设置脚手架的目的是为了促进 儿童智力的发展、思维能力的发展、创造力及批判精神的发展,最终使儿童成为 有创造性思维的开拓者、探索者和学习者,而不仅仅是掌握和储备现成知识。在 变式教学的角度看,在学生的最近发展区域中以学生熟悉


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