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高三数学一轮单元测试卷18套答案


?高三数学?单元测试卷参考答案
第一单元 集合与简易逻辑
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题次 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 D 6 A 7 C 8 D 9 B 10 A

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) π π 3π 11.? ,-1?∪(0,1)∪? ,3?;12.3800;13. ;14. (-∞?1)∪(3,+∞);15.x+6 或 4 ?2 ? ?2 ? 2x+6 或 3x+6 或 4x+6 或 5x+6 三、解答题(共 80 分) 16.解: (1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以 ?
?2a ? 2 ?a ? 1 ,? ? ,∴f(x)=x2-x+1. a?b ? 0 b ? ?1 ? ?

(2)由题意得 x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 设 g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= 3 ,所以 g(x) 在[-1,1]上递减. 2

故只需 g(1)>0,即 12-3× 1+1-m>0,解得 m<-1. 17. 解: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A ? B=(4,5) . (2)∵ B=(2a,a2+1) , 当 a<
1 3

时,A=(3a+1,2)
? 2 a ? 3a ? 1 ?a ? 1 ? 2
2

要使 B ? A,必须 ?
1 3 1 3

,此时 a=-1;

当 a= 当 a>

时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在; 时,A=(2,3a+1)
?2a ? 2 ? a ? 1 ? 3a ? 1
2

要使 B ? A,必须 ?

,此时 1≤a≤3.

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1} 18.
解 :由 a x
2 2

? a x ? 2 ? 0, 得 ( a x ? 2 )( a x ? 1) ? 0, 2 a 或x ? 1 a 1 a
2

显然a ? 0? x ? ? ? x ? ? ? 1,1 ? , 故 | ? 2 a

|? 1或 |

|? 1,?| a |? 1
2

“只有一个实数满足x 一 个 交 点 , ? ? 4a ?
2

? 2 a x ? 2 a ? 0” 抛 物 线 y ? x .即

? 2 a x ? 2 a与 x轴 只 有

? 8 a ? 0 .? a ? 0或 2 ,

? 命 题 " p 或 q 为 真 命 题 " 时 " | a |? 1或 a ? 0 " ? 命 题 " P或 Q "为 假 命 题 ? a的 取 值 范 围 为 ? a | ? 1 ? a ? 0 或 0 ? a ? 1?

19.解: (1)设任意实数 x1<x2,则 f(x1)- f(x2)= ( 2 ? a ? 2
x1 ? x1 ? x2

? x1

? 1) ? ( 2

x2

? a ?2

? x2

? 1)

= (2 ? 2 ) ? a (2
x1 x2

?2

) = (2

x1

? 2 2)?
x

2

x1 ? x 2

?a

2
? x1 ? x 2 , ? 2
x1

x1 ? x 2

? 2 2 ,? 2
x

x1

?2

x2

? 0; ? a ? 0,? 2

x1 ? x 2

?a ? 0.

又2

x1 ? x 2

? 0 ,∴f(x1)- f(x2)<0,所以 f(x)是增函数.

(2)当 a=0 时,y=f(x)=2x-1,∴2x=y+1, ∴x=log2(y+1), y=g(x)= log2(x+1). 20.解: (1)显然函数 y ? f ( x ) 的值域为 [ 2 2 , ? ? ) ; ( 2 ) 若 函 数 y ? f ( x ) 在 定 义 域 上 是 减 函 数 , 则 任 取 x 1 , x 2 ? ( 0 .1 ] 且 x 1 ? x 2 都 有
a f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 即 ( x1 ? x 2 )( 2 ? x x ) ? 0 1 2

只要 a ? ? 2 x1 x 2 即可, 由 x 1 , x 2 ? ( 0 .1 ] ,故 ? 2 x1 x 2 ? ( ? 2 , 0 ) ,所以 a ? ? 2 , 故 a 的取值范围是 ( ?? , ? 2 ] ; (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0 .1 ] 上单调增,无最小值, 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ; 由(2)得当 a ? ? 2 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0 .1 ] 上单调减,无最大值, 当 x=1 时取得最小值 2-a; 当 ? 2 ? a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0 . ?22 a ] 上单调减,在 [ ?22 a , 1 ] 上单调增,无最大值, 当x
?
?2 a 2

时取得最小值 2
2

? 2a



21.解? f ( x ) ? ax

? ( b ? 1) x ? b ? 2 ( a ? 0 ), f ( x) ? 2 x ? x ? 4.
2

(1)当 a=2,b=-2 时,
2

设 x 为其不动点,即 2 x ? x ? 4 ? x . 则 2 x ? 2 x ? 4 ? 0.
2

? x 1 ? ? 1, x 2 ? 2 .即 f ( x ) 的不动点是-1,2.
2

(2)由 f ( x ) ? x 得: ax
2

? bx ? b ? 2 ? 0 .
2

由已知,此方程有相异二实根,

? x ? 0 恒成立,即 b ? 4 a ( b ? 2 ) ? 0 . 即 b ? 4 ab ? 8 a ? 0 对任意 b ? R 恒成立.

? ? b ? 0.

? 16 a

2

? 32 a ? 0

? 0 ? a ? 2.

(3)设 A ( x 1 , x 1 ), B ( x 2 , x 2 ) , 直线 y ? kx ?
2a 1
2

?1

是线段 AB 的垂直平分线,
b 2a
1 2a
1 2 2a ? 1 a
2

? k ? ?1

记 AB 的中点 M ( x 0 , x 0 ). 由(2)知 x 0 ? ?
? M 在 y ? kx ? 2a 1
2

,
.
2 4 2 2

?1

上 ,? ?
1 2a ?

b 2a

?

b 2a

?

?1

化简得: b

? ? 2a

a
2

?1

? ?

1 a

? ?

? ?

(当 a ?

时,等号成立) .即 b ? ?

2 4

.

高三数学?单元测试卷参考答案
第二单元 函数
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题次 答案 1 D 2 ; 2 2 A 3 A 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 A 10 D

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. 12.x≥2; 13. (2,+∞) ; 14. 2.5 ; 15 (1) (3) (4)

三、解答题(共 80 分) 16.略 17. 解:(Ⅰ)∵ f ( x ) ? 2 ? 1
x

∴f

?1

( x ) ? log 2 ( x ? 1) (x>-1)

由f

?1

( x ) ≤g(x)

∴?

? x ? 1? 0 ? ( x ? 1)
2

? 3x ? 1

解得 0≤x≤1 ∴D=[0,1] (Ⅱ)H(x)=g(x)-
1 2 f
?1

(x) ? 2 x ?1

1 2

log

3x ? 1
2

x ?1

?

1 2

log 2 ( 3 ?

2 x ?1

)

∵0≤x≤1 ∴1≤3- ∴0≤H(x)≤
1 2

≤2
1 2

∴H(x)的值域为[0,


? x ? x0 ? 2a ? y ? ? y0
1 x?a

18.解:(Ⅰ)设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上点,Q(x,y),则 ?
? x0 ? x ? 2a ? y0 ? ? y
? x ? 3a ? 0 ?x ? a ? 0



∴?

∴-y=loga(x+2a-3a),∴y=loga

(x>a)

(Ⅱ) ?

∴x>3a ∵f(x)与 g(x)在[a+2,a+3]上有意义. ∴3a<a+2 ∴0<a<1 6 分 ∵|f(x)-g(x)|≤1 恒成立 ? |loga(x-3a)(x-a)|≤1 恒成立.
? ? 1 ? log a [( x ? 2 a ) 2 ? a 2 ] ? 1 1 2 2 ? ? ? a ? (x ? 2a) ? a ? a ?0 ? a ? 1

对 x∈[a+2,a+3]上恒成立,令 h(x)=(x-2a)2-a2 其对称轴 x=2a,2a<2,2<a+2 ∴当 x∈[a+2,a+3]

hmin(x)=h(a+2),hmax=h(a+3)
? a ? h min ( x ) ? ∴原问题等价 ? 1 ? ? h max ( x ) ?a ?a ? 4 ? 4a 9 ? 57 ? ? ?1 ? 0? a ? 12 ? ? 9 ? 6a ?a

19.解:(Ⅰ)由题意: 3 ? x ?

k t ?1

将 t ? 0 , x ? 1代入 k ? 2 ,? x ? 3 ?

2 t ?1 2 t ?1

当年生产 x(万件)时, 年生产成本=年生产费用+固定费用=32x+3=32(3- x(万件)时,年销售收入=150%[32(3-
2 t ?1

)+3, 当销售

+3]+

1 2

t

由题意,生产 x 万件化妆品正好销完 ∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费 即y ?
?t
2

? 98 t ? 35 2 ( t ? 1)
t ?1 2 32 t ?1

(t≥0)
32 t ?1

(Ⅱ)∵ y ? 50 ? ( 当且仅当
t ?1 2 ?

?

) ≤50- 2 16 =42 万件

即 t=7 时,ymax=42

∴当促销费定在 7 万元时,利润增大. 20.(Ⅰ)证明:令 x=y=0,∴2f(0)=f(0),∴f(0)=0 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数 4 分 (Ⅱ)解:f(x1)=f(
1 2

)=-1,f(xn+1)=f(

2 xn 1 ? xn
2

)=f(

xn ? xn 1 ? x n ?x n

)=f(xn)+f(xn)=2f(xn)



f ( x n ?1 ) f (xn )

=2 即{f(xn)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列
-1

∴f(xn)=-2n (Ⅲ)解:
1
1

?

1 f (x2 )

?? ?

1 f (xn )

? (1 ?

1 2

?

1 2
2

?? ? 2

1
n ?1

)

f ( x1 )

1? ? ? 1?

2 ? ? (2 ? 1 ) ? ?2 ? 1 ? ?2 n ?1 n ?1 1 2 2
n

2

而?

2n ? 5 n?2

? ? (2 ?

1 n?2

) ? ?2 ?

1 n?2

? ?2



1 f ( x1 )

?

1 f (x2 )

?? ?

1 f (xn )

? ?

2n ? 5 n?2

21.(Ⅰ)证明:g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1 ?且 a>0 ∵x1<1<x2<2 ∴(x1-1)(x2-1)<0 即 x1x2<(x1+x2)-1 于是 x ? m ? ? >
1 2 ( x1 ? x 2 ) ? b 2a 1 2 ? 1 2 (? b ?1 a ? 1 a 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) ? 1 2 ( x1 ? x 2 ) ? 1 2 x1 x 2

[(x1+x2)-1]=

又∵x1<1<x2<2 ∴x1x2>x1 于是有m=
1 2

(x1+x2)-

x1x2<

(x1+x2)-

x1=

x2<1 ∴

<m<1 (Ⅱ)解:由方程 g ( x ) ? ax
2

? ( b ? 1) x ? 1 ? 0 , 可知 x 1 x 2 ?

1 a

>0,∴x1x2 同号

(ⅰ)若 0<x1<2 则 x2-x1=2 ∴x2=x1+2>2 ∴g(2)<0 即 4a+2b-1<0 ① 又(x2-x1)2=
( b ? 1) a
2 2

?

4 a

? 4

∴ 2a ? 1 ?
2

( b ? 1) ? 1 ,(∵a>0)代入①式得
2

2 ( b ? 1) ? 1 <3-2b,解之得:b<

1 4

(ⅱ)若-2<x1<0,则 x2=-2+x1<-2 ∴g(-2)<0,即 4a-2b+3<0 ② 又 2a ? 1 ?
( b ? 1) ? 1 代入②得 2 ( b ? 1) ? 1 <2b-1 解之得 b>
2 2

7 4

综上可知 b 的取值范围为 ? b b ? 或 b ?
? 4

?

1

7? ? 4?

高三数学?单元测试卷参考答案
第三单元 数列
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题次 答案 1 D 2 D 3 B 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 B 10 B

提示: 2.∵Sn=324 Sn-6=144,∴Sn-Sn-6=an+5+an-4+?+an=180 又∵S6=a1+a2+?+a6=36 a1+an = a2 + an - 1 = ? = a6 + an - 5 , ∴ 6(a1 + an) = 36 + 180 = 216 ? a1 + an = 36 , 由
Sn ? ( a1 ? a n ) n 2 ? 18 n ? 324

,有:n=18 ∴选 D

3.∵S4=1 S8=3 ∴S8-S4=2,而等比数列依次 K 项和为等比数列,a17+a18+a19+a10=(a1+a2+ - a3+a4)?25 1=16,故选 B. 4.∵ a 2 ? a 1 ?
1 3 [ ? 1 ? ( ? 9 )] ? 8 3
? ?8 ? 选 B

8 2 2 b 2 ? ( ? 1)( ? 9 ) ? 9 , 而 b 2 ? ? 9 ? q ? 0 ,? b 2 ? ? 3 , 故 b 2 ( a 2 ? a 1 ) ? ( ? 3 ) ? ( ). 3

7.∵

Sn ?

b (1 ? a )
n

1? a

S n ?1 ?

b (1 ? a

n ?1

)

1? a

∴ aS n ? b ?

b (1 ? a ) a
n

1? a

?

b (1 ? a ) 1? a

?

b (1 ? a

n ?1

)

1? a

? S n ?1

故点 ( S n , S n ? 1 ) 在直线 y=ax+b 上,选 D. 9.设现在总台数为 b,2003 年更新 a 台,则:b=a+a(1+10%)+??+a(1+10%)4. ∴b ? a ?
1 ? (1 ? 10 %) 1 ? (1 ? 10 %)
5

,

a b

? 16 . 5 %.

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.∵ a 1 a 2 ? ? a n ? log 2 3 ? log 3 4 ? ? log
n ?1

( n ? 2 ) ? log 2 ( n ? 2 ) ? k 时 ,n+2=2 ,由 n=2 -2∈(1,
4 (1 ? 2 )
9

k

k

2004)有 2≤k≤10(k∈Z). 故所有劣数的和为 2+23+??+210) (2 -2?9= 12 . 令 n = 6 得
6 7

1? 2

-18=2026.

2 ? x ? 2 ,? 64 ? x ? 128 .由 64 ? 7 m ? 1 ? 128 , m ? N ? 有 10 ? m ? 18 .

故各元素之和为 S ? 9 ? 71 ?

9?8 2

? 7 ? 891 .

13.设抽取的是第 n 项.∵S11=55,S11-an=40,∴an=15,又∵S11=11a6 a6=5.由 a1=-5, 得 d=
a 6 ? a1 6 ?1 ? 2

,令 15=-5+(n-1)?2,∴n=11

14.设 x=a+b+c,则 b+c-a=xq,c+a-b=xq2,a+b-c=xq3,∴xq+xq2+xq3=x(x≠0) ∴q3 +q2+q=1. 15. n
C 1C 2 C 3 ? C n

三、解答题(共 80 分) - 16.⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得 d=2,∴an=2n-1,bn=3n 1.

⑵当 n=1 时,c1=3 当 n≥2 时,∵

cn bn
2

? a n ?1 ? a n , ∴ c n ? ?

? 3 ( n ? 1) ?2 ? 3
n ?1

(n ? 2)

故 c n ? 2 ? 3 n ?1

? c1 ? c 2 ? ? ? c 2004 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 3

2003

?3

2004

17.⑴∵f(x+1)=(x+1-1)2-4,∴f(x)=(x-1)2-4 ∴a1=f(x-1)=(x-2)2-4,a3=(x-1)2-4. 又 a1+a3=2a2,∴x=0,或 x=3. 3 3 (2)由(1)知 a1,a2,a3 分别是 0,- ,-3 或-3,- ,0. 2 2 ∴ an ? ?
3 2 ( n ? 1) 或 a n ? 3 2 3 2 ( n ? 3)

(3)当 a n ? ?

( n ? 1) 时,

a 2 ? a 5 ? a 8 ? ? ? a 26 ?

9 2

( a 2 ? a 26 ) ?

9 2

[?

3 2

?

3 2

? ( 26 ? 1)] ? ?
9 2 ( a 2 ? a 26 ) ?

351 2
9 2 (? 3 2 ? 9 2 ? 39 ) ? 297 2 .

当 an ?

3 2

( n ? 3)

时, a 2 ? a 5 ? a 8 ? ? ? a 26 ?

18. (1)∵an>0, 2
2 2

S n ? a n ? 1 ,∴ 4 S n

? ( a n ? 1) , 4 S n ?1 ? ( a n ?1 ? 1) ,则当 n≥2 时,
2 2

4 a n ? a n ? 2 a n ? a n ? 1 ? 2 a n ?1 , 即 ( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ?1 ? 2 ) ? 0

,而 an>0,∴ a n ? a n ?1 ? 2 ( n ? 2 )

又2

S 1 ? a 1 ? 1,? a 1 ? 1, 则 a n ? 2 n ? 1

(2) b n ?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

?

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 1

), ? T n ?

1 2

(1 ?

1 2n ? 1

)?

1 2

19. (1)令 x=y=0,则 f(0)=0,再令 x=0,得 f(0)-f(y)=f(-y), ∴f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),∴f(x)在(-1,1)上为奇函数. (2)? f ( a 1 ) ? f ( ) ? ? 1,由 (1) 知 f ( x ) ? f ( y ) ? f (
2
an ? an 1 ? an ? an

1

x? y 1 ? xy

),

? f ( a n ?1 ) ? f (

2an 1? a
2 n

)? f(

) ? f ( a n ) ? f ( a n ) ? 2 f ( a n ) ,即


f ( a n ?1 ) f (an )

? 2

∴{f(an)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,∴f(an)=-2n 1. (3)? b n ? ? (1 ?
1 2 ? 1 2
2

?? ? 2

1

1? 1?

1 2 ? ?2 ? 1 . n ?1 1 2
n

)? ? n ?1

2

若 bn ?

m ?8 4

恒成立(n∈N+) ,则 ? 2 ?
2
4 2
n ?1

1
n ?1

?

m 4

? 2, 即 m ? 2

4
n ?1

.

∵n∈N+,∴当 n=1 时,

有最大值 4,故 m>4.又∵m∈N,∴存在 m=5,使得对任意

n∈N+,有 b n ?

m ?8 4



20. (2005 年湖南高考题 20 题) 解: (I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
cx n , 因此 x n ? 1 ? x n ? ax n ? bx n ? cx n , n ? N * .(*)
2 2

即 x n ? 1 ? x n ( a ? b ? 1 ? cx n ), n ? N * .(**)

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得
x n ( a ? b ? cx n ) 恒等于 0 , n ? N *, 所以 a ? b ? cx 1 ? 0 .即 x 1 ? a?b c .

因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x 1 ?
a?b c

时,每年年初鱼群的总量保持不变.

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? ( 0 ,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1. 21. (1)x=y=0 得 f(0)= -1,x=y=-1 得 f(-2)=2f(-1)+2,而 f(-2)= -2,∴f(-1)=-2, x=1,y= -1 得 f(0)=f(1)+f(-1),∴f(1)=1 (2)x=n,y=1 得 f(n+1)=f(n)+f(1)+n+1=f(n)+n+2,∴f(n+1)-f(n)=n+2, ∴当 n∈N+时,f(n)=f(1)+[3+4+?+(n+1)]=
1 2 ( n ? 3 n ? 2 )则 f ( n ) ? n ?
2

1 2

( n ? n ? 2 ) ,而当 n∈N+,且 n>1 时,n +n-2>0,
2

2

∴f(n)>n,则对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t. (3)∵y= -x 时 f(x-x)=f(x)+f(-x)+1-x2,∴f(x)=x2-2-f(-x),∵当 x∈N+时由(2)知
f (x) ? 1 2 ( x ? 3 x ? 2 ) ,当 x=0 时,f(0)= -1=
2

1 2

[ 0 ? 3 ? 0 ? 2 ] .适合
2

当 x 为负整数时,-x∈N+,则
f (? x) ? 1 2 ( x ? 3 x ? 2 ), ? f ( x ) ? x ? 2 ?
2 2

1 2

( x ? 3 x ? 2) ?
2

1 2

( x ? 3 x ? 2)
2

故对一切 x∈Z 时,有 f ( x ) ?

1 2

( x ? 3 x ? 2 ) , ∴当 t∈Z 时,由 f(t)=t 得 t2+t-2=0,即 t=1
2

或 t=2.满足 f(t)=t 的整数 t 有两个.

高三数学?单元测试卷参考答案
第四单元 [三角函数]通,性质大集中
一、选择题(5 分?10=50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 B 10 A

二、填空题(4 分?5=20 分) 3 11.- 4 12. ? ? sin 1 ?
? ?

?
2

,

sin 1 ?

? ?
? 2?

13.- 2 14.2(-1)n

4 2 15. ;π+ 。 3 3

三、解答题(共 80 分) ? ? ? ? ? 2? ) 16.解:由 sin( ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? cos(
4 ? 1 2 sin( 4 1 2 cos 4? ? 1 4 , 4 4

?
2

? 4? ) ?

得 于是

c o s4? ?
2

1 2

.

又? ? (

? ?
, 4 2

), 所以 ? ?

5? 12

.

新疆

王新敞
奎屯

2 s i n ? ? t a n? ? c o t? ? 1 ? ? c o s2 ? ?

sin ? ? cos ?
2 2

s i n? c o s?

? ? c o s2 ? ?

? 2 c o s2 ? s i n2 ?

5? 5? 3 5 ? ? ( c o s2? ? 2 c o t2? ) ? ? ( c o s ? 2cot ) ? ? (? ? 2 3) ? 6 6 2 2

3.

17.解: ∵ tanα 是方程 x 2 ? 2 x sec ? ? 1 ? 0 的较小根, ∴ 方程的较大根是 cotα. ∵ tanα+cotα= ? 2 sec ? ,即 ∴ sin ? ? ?
1 2 1 sin ? cos ? ? ? 2 cos ?


7? 6

?? 5 分 ,或 ? ? 2 k ? ? 时, tg ? ?
?
6
3 3

解得 ? ? 2 k ? ? 当? ? 2 k? ? 当? ? 2 k? ?
7? 6

,

k?Z


3

?? 8 分 ;

(k ? Z )

, ctg ? ?

?
6

( k ? Z ) 时, tg ? ? ? 7? 6 k?Z

3 3

, ctg ? ? ? 3 ,不合题意. ?? 12 分

∴ ? ? 2 k? ?

,



18.解法一 由 sin A (sin B ? cos B ) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0 . 所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0 . 即 sin B (sin A ? cos A ) ? 0 . 因为 B ? ( 0 , ? ), 所以 sin B ? 0 ,从而 cos A ? sin A . 由 A ? ( 0 , ? ), 知 A ?
?
4 . 从而 B ? C ? 3 4

? .

由 sin B ? cos 2 C ? 0 得 sin B ? cos 2 ( ? ? B ) ? 0 .
4

3

即 sin B ? sin 2 B ? 0 .亦即 sin B ? 2 sin B cos B ? 0 . 由此得 cos B ?
1 2 ,B ?

?
3

,C ?

5? 12

. 所以 A ?

?
4

, B ?

?
3 3? 2

,C ?

5? 12

.

解法二:由 sin B ? cos 2 C ? 0 得 sin B ? ? cos 2 C ? sin( 由 0 ? B 、 c ? ? ,所以 B ?
3? 2 ? 2C 或 B ? 2C ?

? 2 C ). 3? 2 或 2C ? B ?

?
2

. 即 B ? 2C ?

?
2

.

由 sin A (sin B ? cos B ) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0 . 所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0 . 即 sin B (sin A ? cos A ) ? 0 . 由 A ? ( 0 , ? ), 知 A ? 再由 2 C ? B ?
1 2

因为 sin B ? 0 ,所以 cos A ? sin A .
3 4 5? 12

?
4

. 从而 B ? C ?

? ,知 B+2C=
.

3? 2

不合要求.
?
3 ,C ? 5? 12 .

? ,得 B ?
? 3

?
3

,C ?

所以 A ?
? 3

?
4

, B ?

19.解: f ( x ) ? cos( 2 k ? ?
? 2 cos( ? 3

? 2 x ) ? cos( 2 k ? ? ? 3 ? 2 x)

? 2 x ) ? 2 3 sin(

? 3

? 2 x)

? 2 x ) ? 2 3 sin(

? 4 cos 2 x

所以函数 f(x)的值域为 ?? 4 , 4 ? ,最小正周期 T ?

2?

?

?? 。

20.解:如图所示,建立平面直角坐标系,则 A ( 200 , 0 ) , B ( 0 , 220 ) , C ( 0 , 300 ) . 直线 l 的方程为 y ? ( x ? 200 ) tan ? ,即 y ? 设点 P 的坐标为 ( x , y ) ,则 P ( x ,
x ? 200 2 x ? 200 2 ) ( x ? 200 )


y C B

x ? 200

? 300 ?

由经过两点的直线的斜率公式 k PC ?
x ? 200 k PB ? 2 x
PC

2 x

x ? 800 2x


l P x

? 220 ?

x ? 640 2x


PB
160

O A

?

由 直 线

到 直 线

的 角 的 公 式 得

tan BPC ?

k PB ? k PC 1 ? k PB k PC

?

64 x 2x ? 2 x ? 800 x ? 640 x ? 288 x ? 160 ? 640 1? ? 2x 2x

? x?

64 160 ? 640 x ? 288

( x ? 200 )

要使 tan BPC 达到最大,只须 x ? 由均值不等式 x ?
160 ? 640 x

160 ? 640 x

? 288 达到最小. 160 ? 640 x 320 ? 200 2 ? 60 .

? 288 ? 2 160 ? 640 ? 288 .当且仅当 x ?

时上式取等

号.故当 x ? 320 时 tan BPC 最大.这时,点 P 的纵坐标 y 为 y ? 由此实际问题知, 0 ? ? BPC ?
?
2

,所以 tan BPC 最大时, ? BPC 最大.故当此人距水平地面 60

米高时,观看铁塔的视角 ? BPC 最大. a a2 21.(1)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)=2(cosx- )2- -2a-1。 2 2 当 a≥2 时,则 cosx=1 时,f(x)取最小值,即 f(a)=1-4a; a a2 当-2<a<2 时,则 cosx= 时,f(x)取最小值,即 f(a)=- -2a-1; 2 2 当 a≤-2 时,则 cosx=-1 时,f(x)取最小值,即 f(a)=1;
?1, a ? ? 2, ? ? 1 综合上述,有 f(a)= ? ? a 2 ? 2 a ? 1, ? 2 ? a ? 2, ? 2 ?1 ? 4 a , a ? 2 . ?

1 (2)若 f(a)= ,a 只能在[-2,2]内。 2 a2 1 解方程- -2a-1= ,得 a=-1,和 a=-3。因-1∈[-2,2],故 a=-1 为所求,此时 2 2 1 1 f(x)=2(cosx+ )2+ ;当 cosx=1 时,f(x)有最大值 5。 2 2

高三数学?单元测试卷参考答案
第五单元 [向量]作运算,图形见奇观
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 B 6 B 7 D 8 C 9 C 10 D

1 10 3 10 2 二、填空题 11.- ;12.1;13.(- , );14.- ;15.②④ 2 5 5 3 三、解答题 16. 解 :? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0 . ? AP ? ? AQ , BP ? AP ? AB , CQ ? AQ ? AC
? BP ? CQ ? ( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC ) ? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ? a ? ?a
2
2

? AP ? AC ? AB ? AP
2

? AP ? ( AB ? AC ) ? ? a

2

?

1 2

PQ ? BC ? ? a ? a cos ? .
2

故当 cos ? ? 1, 即 ? ? 0 ( PQ 与 BC 方向相同 )时 , BP ? CQ 最大 .其最大值为
?? ? ?? ? A A A A 1 17.解: (1)∵ m =(-cos ,sin ), n =(cos ,sin ),且 m ? n = , 2 2 2 2 2

0.

A A 1 ∴-cos2 +sin2 = ,??????????????????2 分 2 2 2 1 2 即-cosA= ,又 A∈(0,?),∴A= ?????????????5 分 2 3 1 1 2 (2)S△ABC= bc· sinA= b· sin ?= 3错误!未找到引用源。,∴bc=4 ???????7 分 c· 2 2 3 又由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc· cos120° 2+c2+bc ??????10 分 =b 2 ∴16=(b+c) ,故 b+c=4.?????????????????12 分 1 3 18.解:⑴ OC =( (t+1),- (t+1)),??????????????????2 分 2 2 1 1 3 AC ,又 OA =( , ), ∵ BC =t AE ,∴ DC =t AD , AD = 1+t 2 2
AC = OC - OA =( t,-

1 2

3 t 3(t+2) (t+2));∴ AD =( ,- ),??????5 分 2 2(t+1) 2(t+1)

2t+1 3 ∴ OD ? OA ? AD =( ,- )??????????????????7 分 2(t+1) 2(t+1) t-1 3(t+1) ⑵(理)∵ EC ? OC ? OE =( ,- ), 2 2 ∴ OD ? EC = 2t+1 t-1 3 3(t+1) t2+t+1 ? + ? = ????????????9 分 2(t+1) 2 2(t+1) 2 2(t+1)

(t-1)2+3(t+1)2 t2+t+1 (2t+1)2+1 又∵| OD |?| EC |= ? = ??????????11 分 2(t+1) 2 t+1

OD ? EC 1 ∴cos< OD , EC >= = ,∴向量 OD 与 EC 的夹角为 60°.??14 分 | OD |?| EC | 2

1 2 3 1 3 3 (文)由已知 t= ,∴ OD =( ,- ), EC =(- ,- ) 2 3 3 4 4 1 3 7 ∴ OD ? EC =- + = ???????????????????????9 分 6 4 12 又∵| OD |= 7 2 7 7 ,| EC |= = ??????????????????11 分 3 4 2

7 12 1 ∴cos< OD , EC >= = ,∴向量 OD 与 EC 的夹角为 60°.??????14 分 7 2 6
? ?

19.解:⑴由 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ),
? ? ? ?

得 a ? b ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) , a ? b ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ),
? ? ? ?

又 ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? (cos ? ? cos ? )(cos ? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? )(sin ? ? sin ? )

? cos

2

? ? cos

2

? ? sin ? ? sin
2

2

? ? 0.

? ? ? ? ? ( a ? b ) ? ( a ? b ).

(2)? k a ? b ? ( k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ),
? ? ? ka ? b ? ? ?

?

?

k

2

? 2 k cos( ? ? ? ) ? 1 ,

同理? a ? k b ?

1 ? 2 k cos( ? ? ? ) ? k ,
2

由 k a ? b ? a ? k b 得 2 k cos( ? ? ? ) ? ? 2 k cos( ? ? ? ) 又 k ? 0 , 所以 cos( ? ? ? ) ? 0 , 因 0 ? ? ? ? ? ? , 所以 ? ? ? ?
? ?

?

?

?

?

?
2

.

20.解:⑴ OD ? OA ? OB ? a ? b , OH ? OC ? OD ? a ? b ? c .
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

⑵ AH ? OH ? OA ? ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c , BC ? OC ? OB ? c ? b .
? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? AH ? BC ? ( c ? b ) ? ( c ? b ) ? c ? b ? c ? 2 ? b . ∴O 为△ABC 的外心.

2

? 即 ? OA ? OB ? OC , a ? b ? c , AH ? BC ? 0 .故 AH ? BC .

?

?

?

⑶在△ABC 中,∠A=60°,∠B=45°,O 为△ABC 的外心,则∠BOC=2∠A=120°, ∠AOC=2∠B=90°,∴∠AOB=150°。
2

OH

? ? ? ? ? ? ? ? OH ? OH ? ( a ? b ? c ) ? ( a ? b ? c ) ? a

2

? ? b

2

? ? c

2

? ? ? ? ? ? ? 2 a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a

=a

?

2

? ? b

2

? ? c

2

? ? ? 2 a ? b cos 150

0

? ? ? 2 b ? c cos 120

0

? ? ? 2 c ? a cos 90

0

? R

2

? R

2

? R

2

?

3R

2

? R

2

? 0 ? (2 ?

3)R .

2

? OH ?

2?

3R ?

6 ? 2

2

R.

21.解:由已知得 ( 2 R ) (sin

2

2

A ? sin

2

C ) ? 2 R sin B ( 2 a ? b ) ,即 a

2

?c

2

?

2 ab ? b .
2

? cos C ?

a

2

?b

2

?c

2

?

2 2

,? C ?

?
4



2 ab

S ?

1 2

ab sin C ?

2 4

ab ?

2 4

? 4 R sin A sin B ?
2

2 R sin A sin(

2

3? 4

? A)

?

2 R sin A (

2

2 2

cos A ?

2 2

sin A ) ? R (sin A cos A ? sin
2

2

A)

? R (
2

1 2

sin 2 A ?

1 ? cos 2 A 2

) ? R [
2

2 2

sin( 2 A ?

?
4

)?

1 2

]?

1? 2

2

R

2

?当A ?

3? 8

时 ,面积 S 有最大值

1? 2

2

R .

2

高三数学?单元测试卷参考答案
第六单元 [不等]符号定,比较技巧深
一、选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C
3 2

8 C

9 B
3 2 4

10 A ; 15.②④

二、填空题 11.x≤0 或 x≥2; 12.155;13. ( ?? , ] ; 14. 三、解答题 3 16.解:由于 y=2x 是增函数,f(x)≥2 2等价于|x+1|-|x-1|≥ , 2 (i)当 x≥1 时,|x+1|-|x-1|=2。∴①式恒成立



??2 分 ??5 分 ??8 分

3 3 (ii)当-1<x<1 时,|x+1|-|x-1|=2x。①式化为 2x≥ ,即 ≤x<1 2 4 (i)当 x≤-1 时,|x+1|-|x-1|=-2。∴①式无解 综上,x 的取值范围是[ 3 ,+∞)。 4

??12 分

17.解:∵ f ( x ) ? 1 ? co s 2 x ? sin 2 x ?????????????????2 分
? 1? 2 sin ( 2 x ?

?
4

) ??????????????????4 分 2 sin ( 2 x ?

? f (x) ? 0 ? 1 ?

?
4

)?0

? sin ( 2 x ?

?
4

)? ?

2 2

????????????????6 分
5? 4 ? 2 k ? ???????????8 分

? ?

?
4

? 2k? ? 2 x ? 3? 4

?
4

?

? k? ? x ?

? k ? ??????????????????10 分

又 x ? [0, 2 ? ]. ∴ x ? (0,
3? 4 ) ? (? , 7? 4 ) ??????????????????12 分

18.解: (1)应用二元均值不等式,得
( a
2

?

b

2

)( x ? y ) ? a ? b ? a
2 2

2

y x

?b

2

x y

? a ?b ?2 a
2 2

2

y x

b

2

x y

? (a ? b) ,
2

x

y



a

2

?

b

2

?

(a ? b) x? y
b y

2



x
y x x y

y
a x

当且仅当 a

2

?b

2

,即

?

时上式取等号.??????????????8 分

(2)由(1) f ( x ) ?
2 2x 3 1? 2x

2

2

?

3

2

2x

1? 2x
1 5

?

( 2 ? 3)

2

2 x ? (1 ? 2 x )

? 25 .

当且仅当

?

,即 x ?

时上式取最小值,即 [ f ( x )] m in ? 2 5 .??14 分

点评:给你一种解题工具,让你应用它来解答某一问题,这是近年考试命题的一种新颖的题型 之一,很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质.
?(1-m)x<m 19.解: (1)由 f(x)<0 得,|x-m|<mx,得-mx<x-m<mx,即? ??2 分 ? (1+m)x>m

①当 m=-1 时, ?

?2 x ? ?1 ?0 ? ?1

? x<- ???????????????????3 分

1 2

m ? x? ? m m ? 1? m ②当-1< m<0 时, ? <x< ??????????????5 分 ? 1+m 1-m m ?x ? ? 1? m ? m ? x? ? m ? 1? m ③当 m<-1 时, ? ??????????????????7 分 ? x< 1-m ?x ? m ? 1? m ?

综上所述,当 m<-1 时,不等式解集为{x|x<

m } 1-m

1 当 m=-1 时,不等式解集为{x|x<- } 2 m m 当-1<m<0 时,不等式解集为{x| <x< }?????????8 分 1+m 1-m (2)f(x)= ?
? (1 ? m ) x ? m , x ? m ? ? (1 ? m ) x ? m , x ? m

∵m<0,∴1-m>0,f(x)在[m,+∞)上单调递增,要使函数 f(x)存在最小值,则 f(x)在(-∞,m) 上是减函数或常数,∴-(1+m)≤0 即 m≥-1,又 m<0,∴-1≤m<0. 故 f(x)存在最小值的充要条件是-1≤m<0,且 f(x)min= f(m)=-m2. ???14 分 20.解:⑴对已知二次函数应用配方法,得 f ( x ) ? ? b ( x ?
a 2b a
2

) ?
2

a

2

4b

,当 x∈R 时,f(x) max =

a

2



4b

于是,对任意 x∈R 都有 f(x) ? 1 ? f(x) max =

? 1?

a ? 2 b .???4 分

4b

⑵用 f(x) max 、f(x) min 表示 f(x)在[0,1]上的最大值、最小值,则对任意 x∈[0,1],都有|f(x)| ? 1 当且仅当 ?
? f ( x ) m ax ? 1, ? f ( x ) m in ? ? 1,

(*)



f(x)=-b(x-

a 2b

) +

2

a

2

,(x ? [0,1])

4b a
2

当 2b ? a 时,0<

a 2b

? 1,f(x) max =

4b

,f(x) min =f(0)或 f(1);

当 2b<a 时,

a 2b

>1, f(x) max = f(1),f(x) min =f(0).

? b ? 1且 2 b ? a , ? 2 ? a ? 1, ? 于是(*) ? ? 4 b ? f (0 ) ? 0 ? ? 1, ? ? f (1) ? a ? b ? ? 1, ?
? b-1 ? a ? 2

? b ? 1且 2 b ? a , ? 或 ? f (1) ? a ? b ? 1, ? f (0 ) ? 0 ? ? 1 . ?

b 或 x ? ? ? b-1 ? a ? 2 b .

故对任意 x ? [0,1],都有|f(x)| ? 1 的充要条件是 b-1 ? a ? 2 b .?????9 分 (3) 由(2)的解答知,对任意 x∈[0,1],都有|f(x)| ? 1 当且仅当
? 2 b ? a ? 0 且 0 ? b ? 1, ? 2 ? a ? 1, ? ? 4b ? f (0 ) ? 0 ? ? 1, ? ? f (1) ? a ? b ? ? 1, ?

? 2 b ? a 且 0 ? b ? 1, ? 或 ? f (1) ? a ? b ? 1, ? f (0 ) ? 0 ? ? 1 . ?

? 0<a ? 2b 或 2b<a ? b+1 ? 0<a ? b+1.

故当 0<b ? 1 时,对任意 x ? [0,1],都有|f(x)| ? 1 的充要条件为 0<a ? b+1.…14 分 点评:含参数的二次函数与绝对值不等式相综合,这是历年高考命题的热点之一.读者在备考复 习时,应当重视这类题型的解题技巧,掌握一些解题的套路,领悟当中的变化技能,反复思考参 数的处理艺术. 21.解:对函数 f ( x ) 求导数: f ? ( x ) ? ( x log
? log x ? log 1 (1 ? x ) ? 1 ln 2 ? 1 ln 2
2

x ) ? ? [( 1 ? x ) log 2 (1 ? x ) ] ? x ? log 2 (1 ? x ).

2

2

. ? log

2

于是 f ? ( ) ? 0 .
2

当x ? 当x ?

1 2 1 2

时 , f ? ( x ) ? lo g 2 x ? lo g 2 (1 ? x ) ? 0, f ( x ) 在区间 ( 0 , 时 , f ? ( x ) ? lo g 2 x ? lo g 2 (1 ? x ) ? 0, f ( x ) 在区间 (

1 2

) 是减函数,

1 2

,1) 是增函数.

所以 f ( x ) 在 x ?

1 2

时取得最小值, f ( ) ? ? 1 ,
2

1

(Ⅱ)证法一:用数学归纳法证明. (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立. (ii)假定当 n ? k 时命题成立,即若正数 p 1 , p 2 , ? , p 2 满足 p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 ? 1 ,
k k

则 p 1 log

2

p 1 ? p 2 log

2

p 2 ? ? ? p 2 k log
k ?1

2

p 2k ? ? k .
k ?1

当 n ? k ? 1 时,若正数 p 1 , p 2 , ? , p 2 满足 p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 令 x ? p1 ? p 2 ? ? ? p 2 , q1 ?
k

? 1,

p1 x

,q2 ?

p2 x

,? , q 2k ?

p 2k x

.

则 q 1 , q 2 , ? , q 2 为正数,且 q 1 ? q 2 ? ? ? q 2 ? 1 .
k k

由归纳假定知 q 1 log
p 1 log
2

2

p 1 ? p 2 log

2

p 2 ? ? ? q 2 k log
p 2 k ? x ( q 1 log

2

q 2k ? ? k .
q 1 ? q 2 log q 2 ? ? ? q 2 k log q 2k

p 1 ? p 2 log

2

p 2 ? ? ? p 2 k log

2

2

2

2

? l o g2 x ) ? x ( ? k ) ? x l o g2 x ,


p 2 k ? 1 ? ? ? p 2 k ? 1 log p 2 k ?1

同理,由 p 2

k

?1

? p 2 k ? 2 ? ? ? p 2 k ? 1 ? 1 ? x 可得 p 2 k ? 1 log

2

2

? (1 ? x )( ? k ) ? (1 ? x ) log 2 (1 ? x ).


p 2 ? ? ? p 2 k ? 1 log p 2 k ?1

综合①、②两式 p 1 log

2

p 1 ? p 2 log

2

2

? [ x ? (1 ? x )]( ? k ) ? x log

2

x ? (1 ? x ) log 2 (1 ? x ) ? ? ( k ? 1).

即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 根据(i)(ii)可知对一切正整数 n 命题成立. 、 证法二: 令函数 g ( x ) ? x log
g ( x ) ? c[ x c log x
2
2

x ? ( c ? x ) log 2 ( c ? x )( 常数 c ? 0 , x ? ( 0 , c )), 那么

? (1 ?
x c ? 1 2

x c

) log

c

2

(1 ?

x c

) ? log

2

c ],

利用(Ⅰ)知,当

(即 x ?

c 2

)时 , 函 数 g ( x ) 取 得 最 小 值 .

对任意 x 1 ? 0 , x 2 ? 0 , 都有
x 1 ? x 2 log x2 ? 2 ? x1 ? x 2 2 x1 ? x 2
2

x 1 log

2

2

log

2

? ( x 1 ? x 2 )[log

2

( x 1 ? x 2 ) ? 1] .



下面用数学归纳法证明结论.

(i)当 n=1 时,由(I)知命题成立. (ii)设当 n=k 时命题成立,即若正数 p 1 , p 2 , ? , p 2 满足 p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 ? 1, 有
k k

p 1 lo g 2 p 1 ? p 2 lo g 2 p 2 ? ? ? p 2 k lo g 2 p 2 k ? ? k . 当 n ? k ? 1时 , p 1 , p 2 , ? , p 2 k ?1 满 足 p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 k ?1 ? 1 . 令 H ? p 1 lo g 2 p 1 ? p 2 lo g 2 p 2 ? ? ? p 2 k ?1 ? 1 lo g 2 p 2 k ?1 ? 1 ? p 2 k ?1 lo g 2 p 2 k ?1

由①得到
H ? ( p 1 ? p 2 )[lo g 2 ( p 1 ? p 2 ) ? 1] ? ? ? ( p 2 k ?1 ? 1 ? p 2 k ?1 )[lo g 2 ( p 2 k ?1 ? 1 ? p 2 k ?1 ) ? 1], 因 为 ( p 1 ? p 2 ) ? ? ? ( p 2 k ?1 ? 1 ? p 2 k ?1 ) ? 1,

由归纳法假设
( p1 ? p 2 ) l o g p ? (1 2 p2 ?? ? )
2
k ?1

p ? 1? (

2

k ?1

p

) l 2 gkp1 (?1 o 2? ?

k ?1

p? ? 2

得k ) 到

,

H ? ? k ? ( p1 ? p 2 ? ? ? p 2 k ?1 ? 1 ? p 2 k ?1 ) ? ? ( k ? 1).

即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 所以对一切正整数 n 命题成立.

高三数学?单元测试卷参考答案
第七单元 直线与圆
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) : 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 C 5 A 6 A 7 A 8 B 9 A 10 A

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.36; 12. ( a ) ? ( 2 ), ( b ) ? (1), ( c ) ? ( 3 ) 9 ; 14.
2x ? 4y ? 8 2 ? 0

13. z≤-2或 z≥1;

15. 4

3

三、解答题(共 80 分,按步骤得分) 16.解:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1, 它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。 设光线 L 所在直线方程是:y-3=k(x+3)。 由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2)到这条直线的距离等于 1,即 d ?
3 4 4 3 4 3 ( x ? 3) ,

| 5k ? 5 | 1? k
2

?1.

整理得 12 k ? 25 k ? 12 ? 0 ,
2

解得 k ? ?
3 4

或k ? ?



故所求的直线方程是 y ? 3 ? ?

( x ? 3 ) ,或 y ? 3 ? ?

即 3x+4y-3=0,或 4x+3y+3=0.
? x ? 2 y ? 400 ? 17. 解:设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y 件,约束条件是 ? 2 x ? y ? 5 0 0 ? x ? 0, y ? 0, ?

目标函数是 f ? 3 x ? 2 y ,要求出适当的 x,y,使 f ? 3 x ? 2 y 取得最大值。 作出可行域,如图。 设 3 x ? 2 y ? a , a 是参数, 将它变形为 y ? ? 这是斜率为 ?
3 2 3 2 x? a 2

y 500

, 200 O
? x ? 200 ? y ? 100

,随 a 变化的一族直线。
a 2

(200, 100) 250 , 400 x

当直线与可行域相交且截距

最大时,
? x ? 2 y ? 400 ?2 x ? y ? 500

目标函数 f 取得最大值。由 ?

得?

因此,甲、乙两种产品的每月产品分别为 200,100 件时,可得最大 收入 800 千元。 18. 解:如图建立平面直角坐标系,由题意可设 A、B 两人速度分别为 3v 千米/小时 ,v 千米/小时,再设出发 x0 小时,在点 P 改变方向,又经

过 y0 小时,在点 Q 处与 B 相遇. 则 P、Q 两点坐标为(3vx0, 0)(0,vx0+vy0) , . 由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2 知,………………3 分 (3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2, 即 ( x 0 ? y 0 )( 5 x 0 ? 4 y 0 ) ? 0 .
? x 0 ? y 0 ? 0, ? 5 x 0 ? 4 y 0 ……①

将①代入 k PQ ? ?

x0 ? y0 3x0

, 得 k PQ ? ?

3 4

.

又已知 PQ 与圆 O 相切,直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线 y ? ? 则有
| 4b | 3 ? 4
2 2

3 4

x ? b 与圆 O : x

2

? y

2

? 9 相切,

? 3,

?b ?

15 4

.
3 4

答:A、B 相遇点在离村中心正北 3

千米处

19.解: (1)∵|PM1|-5=|PM2|-1,∴|PM1| - |PM2|=4 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支。 c=4,a=2,b2=12, 故所求轨迹方程为
x
2



y

2

=1(x≥2) 。
?
2

4

12

(2)当过 M2 的直线倾斜角不等于

时,设其斜率为 k,

直线方程为 y=k(x-4) 与双曲线 3x2-y2-12=0 联立,消去 y 化简得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 又设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0
2 ? 8k x1 ? x 2 ? 2 ? 0 ? k ?3 ? 2 ? 16 k ? 12 由 ? x1 x 2 ? 解得 ? 0 2 k ?3 ? ? △ ? 64 k 4 ? 16 ( 3 ? k 2 )( 4 k 2 ? 3 ) ? 0 ? ?

k2>3。

由双曲线左准线方程 +1] =4(
16 k k
2 2

x=-1 且 e=2,有|AM1|?|BM1|=e|x1+1|?e|x2+1|=4[x1x2+(x1+x2)
2

? 12 ?3


k

8k
2

?3

+1)=100+
k

336
2

?3

∵k2-3>0,∴|AM1|?|BM1|>100 ? 又当直线倾斜角等于 时,A(4,y1),B(4,y2),|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10
2

|AM1|?|BM1|=100



|AM1|?|BM1|≥100。

20.解:设 ? ACB ? ? , ? BCO ? ? ,再设 A ( 0 , a ) 、B(0,b) 、 C(x,0) .

则 tan( ? ? ? ) ?

a x

,

t a n? ?

b x

. 图一 图二

tan ? ? tan[( ? ? ? ) ? ? ]

a ? tan( ? ? ? ) ? tan ? 1 ? tan( ? ? ? ) ? tan ? ? x 1?

?

b

x ab x
2

?

a?b x? ab x

? 2

a?b x? ab x

?

a?b 2 ab



当且仅当 x ?

ab x

, ∵ x

2

? ab , , ∴ x ?

ab 时 , t a n? 有 最 大 值 , 最 大 值 为

a?b 2 ab



∴ y ? tan x 在 ( 0 ,

?
2

) 内为增函数.

∴ 角α 的最大值为 arctan

a?b 2 ab

.此时 C 点的做标为 ( ab , 0 ).

21. 解: (1)设 M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0)。 则|OM|=a 1 ? k
2

,|ON|=b 1 ? k 。
2

由动点 P 在∠AOx 的内部,得 0<y<kx。 ∴|PM|=
| kx ? y | 1? k
2



kx ? y 1? k
2

,|PN |=
1 2

| kx ? y | 1? k
2



kx ? y 1? k
2

∴S 四边形 ONPM=S△ONP+S△OPM= =
1 2

(|OM|?|PM|+|ON|?|PN|)

[a(kx-y)+b(kx+y)]=
y ? ka

1 2

[k(a+b)x - (a-b)y]=k ①
y ? kb x?b

∴k(a+b)x-(a-b)y=2k 又由 kPM= - 分别解得 a=
1 k x?a x ? ky x ? ky
2



, kPN=

1 k





1? k

,b=
2

1? k

2

,代入①式消 a、b,并化简得 x2-y2=k2+1。

∵y>0,∴y= x ? k ? 1
2

(2)由 0<y<kx,得 0< x ? k ? 1 <kx
2 2

?x2 ? k ? ? ? ?x2 ? k ?

2

?1 ? 0 ?1? k x
2 2

2

?x ? k 2 ? 1 ? ? ? ? (1 ? k 2 ) x 2 ? k ?

2

? 1   ②

(*)

当 k=1 时,不等式②为 0<2 恒成立,∴(*) ? x> 2 。 当 0<k<1 时,由不等式②得 x2< 当 k>1 时,由不等式②得 x2>
k
2

k

2

?1
2

1? k ?1
2

,x<
k
2

1? k 1? k
?1
2
2

4

,∴(*) ?

k

2

? 1 <x<

1? k 1? k
2

4



1? k
2

,且

1? k

<0,∴(*) ? x> k ? 1
2

但垂足 N 必须在射线 OB 上,否则 O、N、P、M 四点不能组成四边形,所以还必须满足条件: y<
1 k

x,将它代入函数解析式,得 x ? k ? 1 <
2

1 k

x

解得 k ? 1 <x<
2

k k

k
2

4

?1

?1

(k>1), x∈k 或 (0<k≤1) 综上: k=1 时, . 当 定义域为{x|x> 2 };
k
2

当 0<k<1 时, 定义域为{x|

? 1 <x<

1? k 1? k
2

4

}; k>1 时, 当 定义域{x|

k

2

? 1 <x<

k k

k
2

4

?1

?1

}

高三数学?单元测试卷参考答案
第八单元 圆锥曲线
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) : 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 B 6 C 7 D 8 D 9 D 10 C

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.60°12.
16 5

13. [

2 2

,1)

14. (

2 2

a,

2 2

b)

15. 5

三、解答题(共 80 分) 16.解:由已知,AB 的方程为 y=x-5,将其代入
x
2

?

y

2

9

16

? 1得 7 x ? 9 0 x ? 3 6 9 ? 0 .设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?
2

90 7

.

AB 的中点 C 的坐标为 ( ?

45 7

,?

80 7

) ,于是 | C F | ?

(?

45 7

) ? (?
2

80 7

? 0) ?
2

80 2 7

17.解:依题意,F(2,0) ,l: x ?

3 2

. 设所求方程为

( x ? 2) ? y
2

2

|x?

3 2

? e , 0 ? e ? 1, 即 (1 ? e ) x ? ( 4 ? 3 e ) x ? y ? 4 ?
2 2 2 2

9 4

e ? 0,
2

|

其中心为 A (

4 ? 3e

2 2

2 (1 ? e ) 3 2

, 0 ). ∵A 与 A’关于直线 y=2x 对称, ∴A’的坐标为 ( ?

3( 4 ? 3 e )
2

1 0 (1 ? e )
2

,

2 ( 4 ? 3e )
2

5(1 ? e )
2

)

又 A’在直线 x ? ?

上 ,? ?

3( 4 ? e )
2

1 0 (1 ? e )
2

? ?

3 2

,解 之 得 e ?
2

1 2



于是所求方程为

1 2

x ?
2

5 2

x? y ?
2

23 8

(x ? ? 0,即 1 2

5 2

)

2

?

y

2

1 4

? 1.

18.解: (1)以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,则 A(-2,0) ,B(2,0) , C(2, 3 ) ,D(-2,3) .依题意,曲线段 DE 是以 A、B 为焦点的椭圆的一部分.
?a ? 1 2 (| A D | ? | B D |) ? 4, c ? 2, b ? 1 2,? 所 求 方 程 为
2

x

2

?

y

2

? 1( ? 2 ? x ? 4, 0 ? y ? 2 3 ).

16

12

(2)设这样的弦存在,其方程 y ?

3 ? k ( x ? 2 ), 即 y ? k ( x ? 2 ) ?

3,将 其 代 入

x

2

?

y

2

?1

16

12

得 (3 ? 4 k 2 ) x 2 ? (8 3 k ? 1 6 k 2 ) x ? 1 6 k 2 ? 1 6 3 k ? 3 6 ? 0 设弦的端点为 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则由
x1 ? x 2 2 ? 2, 知 x1 ? x 2 ? 4,? ? 8 3k ? 16 k 3 ? 4k 3 2 3 2
2 2

? 4, 解 得 k ? ?

3 2

.

∴弦 MN 所在直线方程为 y ? ?

x ? 2 3 , 验证得知,这时 M (0, 2 3 ), N ( 4, 0 ) 适合条件.

故这样的直线存在,其方程为 y ? ?

x ? 2 3.

19.解(1)设点 M 的坐标为(x,y) ,则由
???? ? ? ???? ???? ? 3 ???? y x y 3y P M ? ? M Q .得 P (0, ? ), Q ( , 3),由 H P ? P M ? 0, 得 (3, ? ) ? ( x , ) ? 0, 2 2 3 2 2

所以 y2=4x 由点 Q 在 x 轴的正半轴上,得 x>0,所以,动点 M 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点, 以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点. (2)设直线 l:y=k(x+1),其中 k≠0 代入 y2=4x,得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0 ① 设 A ( x1 , y1 ) B(x2 , y2) , 则 x1 , x2 是 方 程 ① 的 两 个 实 数 根 , 由 韦 达 定 理 得 ,
x1 ? x 2 ? ? 2(k ? 2)
2

k

2

, x1 x 2 ? 1

所以,线段 AB 的中点坐标为 (

2?k k
2

2

,

2 k

) ,线段 AB 的垂直平分线方程为

y?

2 k

? ?

1 k

(x ?
2 k

2?k k
2

2

),
2 k
2

令 y ? 0, x 0 ? E(
3 2
2 k
2

2

? 1 ,所以,点 E 的坐标为 (

? 1, 0 ) 。因为△ABE 为正三角形,所以,点

? 1, 0 ) 到直线 AB 的距离等于

| A B |, 而 | A B | ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
2 2

4 1? k k
2

2

? 1? k .
2

所以,

2 3 1? k k
2

2

?

2 1? k |k |

2

解得k ? ?

3 2

, 所 以 x0 ?

11 3

.

20. (1)易得 M ( c ,

b

2

a

), k O M ?

b

2

ac

, k AB ?

b a

,?

b

2

?

b a

? b ? c? a ?

2 c ,? e ?

c a

?

2 2

.

ac

(2)证:由椭圆定义得: | F1 C | ? | F 2 C |? 2 a , co s ? F1 C F 2 ?
4 a ? 4 c ? 2 | F1 C || F 2 C |
2 2 2

| F1 C | ? | F 2 C | ? | F1 F 2 |
2 2

2

2 | F1 C || F 2 C |

?

?

2b

? 1.

2 | F1 C || F 2 C |

| F1 C || F 2 C |

| F1 C || F 2 C |? (

| F1 C | ? | F 2 C | 2

) ? a ,? co s ? F1 C F 2 ?
2 2

2b a

2

2

?1 ?

2c 2c

2 2

? 1 ? 0,? ? F1 C F 2 ?

?
2

.

(3)解:设直线 PQ 的方程为 y ? ?
1 2 a
2

a b

( x ? c ), 即 y ? ?

2 ( x ? c ) .代入椭圆方程消去 x 得:

(1 ?

y ? c)

2

?

y b

2 2

? 1 ,整理得: 5 y ? 2 2 cy ? 2 c ? 0,? y 1 ? y 2 ?
2 2

2 2c 5

, y1 ? y 2 ? ?

2c 5

2

.

∴ ( y1 ? y 2 ) ? (
2

2 2c 5

) ?
2

8c 5

2

?

48c 25

2

.S ? P F

2Q

?

1 2

? 2 c ? | y1 ? y 2 |?

4 3c 5

2

? 2 0 3 , c ? 2 5,
2

因此 a2=50,b2=25,所以椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

50

25

21.解: (1)∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8 ∴点 M(x,y)到两个定点 F1(0, -2) F2 , (0, 的距离之和为 8 ∴点 M 的轨迹 C 为 F1、 2 为焦点的椭圆, 2) F 其方程为
x
2

?

y

2

?1

12

16

(2)∵l 过 y 轴上的点(0,3) ,若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点,这时
??? ? ??? ??? ? ? OP ? OA ? OB ? 0 。

∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾, ∴直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1) ,B(x2,y2)
? y ? kx ? 3 ? 2 2 2 2 消 y 得 : ( 4 ? 3 k ) x ? 1 8 k x ? 1 2 ? 0 此 时 ? ? (1 8 k ) ? 4 ( 4 ? 3 k )( ? 2 1) ? 0 由? x2 y2 ? ?1 ? ?12 16

恒成立. 且 x1 ? x 2 ? ?
18k
2

4 ? 3k 4 ? 3k ??? ? ??? ??? ? ? ∵ O P ? O A ? O B ,∴四边形 OAPB 是平行四边形
2

, x1 x 2 ? ?

21

若存在直线 l 使得四边形 OAPB 是矩形,则 OA⊥OB,即 O A ? O B ? 0 ∵ O A ? ( x1 , y1 ), O B ? ( x 2 , y 2 ) ? O A ? O B ? x1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ? 0即 (1 ? k 2 )( ?
2 1k 4 ? 3k
2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

) ? 3k (?

18k 4 ? 3k
2

) ? 9 ? 0? k

2

?

5 16

,? k ? ?

5 4

∴存在直线 l : y ? ?

5 4

x ? 3 使得四边形 OAPB 为矩形.

高三数学?单元测试卷参考答案
第九单元 [简单几何体],交角与距离
一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 A 5 A 6 B 7 D 8 A 9 C 10 C

二、填空题 11.3; 12. 3; 13.π; 14.①③④ 15.①③④ 三、解答题 16.证明: (Ⅰ)作 AD 的中点 O,则 VO⊥底面 ABCD.??????????1 分 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为 1,??????????2 分 则 A(
??? ?
1 2

,0,0) ,B(

1 2

,1,0) ,C(-

1 2

,1,0) ,D(-

1 2

,0,0) ,V(0,0,

3 2

) ,

∴ A B ? (0,1, 0 ), A D ? (1, 0, 0 ), A V ? ( ?
??? ???? ? ??? ?

????

????

1 2

, 0,
????

3 2

) ????????????3 分

由 A B ? A D ? (0,1, 0 ) ? (1, 0, 0 ) ? 0 ? A B ? A D ??????????????4 分
??? ???? ? ??? ? ???? 1 3 A B ? A V ? (0,1, 0 ) ? ( ? , 0, ) ? 0 ? A B ? A V ??????????????5 分 2 2

又 AB∩AV=A ∴AB⊥平面 VAD????????????????????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 A B ? (0,1, 0 ) 是面 VAD 的法向量????????????7 分 设 n ? (1, y , z ) 是面 VDB 的法向量,则
? ??? ? x ? ?1 ? 1 3 ? ? n ?V B ? 0 3 )?0 ? ? (1, y , z ) ? ( ? ,1, ? ? ? ? ? ? ) ??9 分 ? ? ???? 2 2 3 ? n ? (1, ? 1, 3 z ? ? n ? BD ? 0 ? ? (1, y , z ) ? ( ? 1, ? 1, 0 ) ? 0 ? ? 3 ? ?
? ??? ?

3 (0,1, 0 ) ? (1, ? 1, ) ??? ? ? 3 ? ? ∴ co s ? A B , n ? ? 21 1? 3

21 7

,??????????????11 分

又由题意知,面 VAD 与面 VDB 所成的二面角,所以其大小为 a rc c o s 17.解法一(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1.

21 7

????12 分

所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角, 即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点,OA、OB、OO1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 如图 3,则相关各点的坐标是 A(3,0,0) , B(0,3,0) ,C(0,1, 3 ) O1(0,0, 3 ). 从而 AC ? ( ? 3 ,1, 3 ), BO 1 ? ( 0 , ? 3 , 3 ), AC ? BO 1 ? ? 3 ? 所以 AC⊥BO1. (II)解:因为 BO 1 ? OC ? ? 3 ?
3? 3 ? 0 , 所以 BO1⊥OC,

图3
3? 3 ? 0.

由(I)AC⊥BO1,所以 BO1⊥平面 OAC, BO 1 是平面 OAC 的一个法向量. 设 n ? ( x , y , z ) 是 0 平面 O1AC 的一个法向量, 由 ? n ? AC ?
? ?? 3x ? y ? ? ? ? n ? O 1C ? 0 ? y ? 0. ? ? 0 3 z ? 0, 取z ?

3,

得 n ? (1, 0 , 3 ) .

设二面角 O—AC—O1 的大小为 ? ,由 n 、 BO 1 的方向可知 ? ?? n , BO 1 >, 所以 cos ? ? cos ? n , BO 1 >=
n ? BO 1 | n | ? | BO 1 | ? 3 4

.

即二面角 O—AC—O1 的大小是 arccos

3 4

.

解法二(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角, O1 C 即 OA⊥OB. 从而 AO⊥平面 OBCO1, F OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影. D E O 1C 3 OB 因为 ,
tan ? OO 1 B ? ? 3

O B 所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而 OC⊥BO1 由三垂线定理得 AC⊥BO1. (II)解 由(I)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知 BO1⊥平面 AOC. A 图4 设 OC∩O1B=E,过点 E 作 EF⊥AC 于 F,连结 O1F(如图 4) ,则 EF 是 O1F 在平面 AOC 内的射影,由三垂线定理得 O1F⊥AC. 所以∠O1FE 是二面角 O—AC—O1 的平面角.
由题设知 OA=3,OO1= 3 ,O1C=1, 所以 O 1 A ? 从而 O 1 F ?
OA
2

OO 1

t a n? O 1 OC ?

?

OO 1

3

? OO 1 ? 2 3 , AC ?
2

O 1 A ? O 1C
2

2

?

13 ,

O 1 A ? O 1C AC

?

2 3 13



又 O1E=OO1?sin30°=

3 2



所以 sin ? O 1 FE ?

O1 E O1 F

?

13 4

.

即二面角 O—AC—O1 的大小是 arcsin

3 4

.

18.解:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐 1 标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(12,0,),D(0,2,0),E(0,1, ),P(0,0,1). 2 ???? ???? ???? ??? ? ??? ? 1 ∴C D =(-1,0,0), A D =(0,2,0), A P =(0,0,1), A E =(0,1, ) , P C =(1,2,-1), 2 (1)
???? ???? ? C D ?A D ? 0 ? C D ? A D ? ???? ??? ? ? CD ? 平 面 PAD ? ? C D ?A P ? 0 ? C D ? A P ? ? ?? CD ? 平 面 PDC ? ? AP ? AD ? A ? ?

平面 PDC⊥平面 PAD.??5 分

??? ???? ? ??? ???? ? A E ?P C (2)∵cos ? A E , P C ? ? ???? ???? = | A E |?| P C |

1 2- 2 30 = , 10 1 1+ ? 6 4

∴所求角的余弦值为

30 .????????????????????????9 分 10 (3)假设 BC 边上存在一点 G 满足题设条件,令 BG=x,则 G(1,x,0),作 DQ⊥AG,则 DQ⊥
| | 平面 PAG,即 DQ=1.∵2S△ADG=S 矩形 ABCD,∴ | AG | ? DQ | ? AB | | ?AD | =2∴ | A G | =2,又 ??? ? ???? ??? ? ??? ?
????

AG= x2+1,∴x= 3<2, 故存在点G,当BG= 3时,使点D 到平面PAG 的距离为1.??????????14 分 19. 解: ⑴CC1∥BB1, BB1⊥A1E, 又 ∴CC1⊥A1E, CC1⊥A1F, 而 ∴CC1⊥平面 A1EF, ∴平面 A1EF ⊥平面 B1BCC1????????????????????????4 分 ⑵作 A1H⊥EF 于 H,则 A1H⊥面 B1BCC1,∴A1H 为 A1 到面 B1BCC1 的距离,在△A1EF 中,A1E 1 =A1F= 2, EF=2, ∴△A1EF 为等腰 Rt△且 EF 为斜边, 1H 为斜边上中线, ∴A 可得 A1H= EF 2 =1????????????????????????????9 分 ⑶作 A1G⊥面 ABC 于 G,连 AG,则 A1G 就是 A1 到面 ABC 的距离,且 AG 是∠BAC 的角平分线, A1G=1????????????????????????????12 分 cos45° 6 3 1 ∵cos∠A1AG= = ,∴sin∠A1AG= ,∴A1A= =1??????14 分 3 cos30° 3 3 3 20.解: (Ⅰ)如图所示: C(2,0,0) ,S(0,0,1) ,O(0,0,0) ,B(1,1,0)
? SC ? ( 2 , 0 , ? 1), OB ? (1,1, 0 ) ? cos ? SC , OB ?? 2 5? 2 ? 10 5 , ? ? arccos 10 5

?????????????????????4 分 (Ⅱ)① SB ? (1,1, ? 1), CB ? ( ? 1,1, 0 ) ? n ? SBC
? ??? ? ??? ? ? ??? ? n ? S B , n ? C B ,? n ? S B ? 1 ? p ? q ? 0 ? ??? ? ? n ? C B ? ? 1 ? p ? 0 , 解 得 : p ? 1, q ? 2 ,? n ? (1,1, 2 )

?????????????????????????????7 分 ② 过 O 作 OE ? BC 于 E , 则 BC ? 面 SOE ,? SOE ? SAB

又 两 面 交 于 S E , 过 O 作 O H ? S E 于 H , 则 O H ? S B C , 延 长 O A与 C B 交 于 F , 则 O F ? 2 连 FH ,则 ?OFH 为 所 求 又 OE ? 2 ,? S E ? 3

6 ? OH ? SO ? O E SE ? ? ? arcsin 6 6 ? 1? 2 3 ? 6 3 ,? sin ? ? 3 2 ? 6 6

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分

③ k的坐标为

? 1, ? 1, 2 ? ; OH

?

6 3

??????????????14 分.

21.以 C 为原点建立空间直角坐标系 (I)B(0,a,0),N(a,0,a), ∴ | BN |?
(a ? 0) ? (0 ? a ) ? (a ? 0)
2 2 2

?

3 a .4 分

(II)A1(a,0,2a),C(0,0,0),B1(0,a,2a), ∴ BA 1 =(a,-a,2a), CB 1 =(0,a,2a),
CB ∴ BA 1 · 1 =a?0+(-a)?a+2a?2a=3a2,5 分

| BA 1 |= a ? ( ? a ) ? ( 2 a )
2 2

2

?

6 a ,| C B 1 |=

0 ?a
2

2

? (2a )

2

?

5 a ,7 分

∴cos〈 BA 1 , CB 1 〉=

BA 1 ? CB 1 | BA 1 | ? | CB 1 |

?

3 6 ? 5

?

30 10

.9 分
a 2

(III)C1(0,0,2a),M(
C ∴ A 1 B · 1 M =(-a)?
a 2

a 2


a 2

a 2

,2a),∴ C 1 M =(

a 2



,0), A 1 B =(-a,a,2a),

+a?

+2a?0=0,∴ A 1 B ⊥ C 1 M ,∴A1B⊥C1M.14 分

高三数学?单元测试卷参考答案
第十单元
一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 D 6 A 7 D 8 B 9 C 5 15. 6 10 D

空间向量及运算

二、填空题 11. 65 12. (-4,2,-4) 13.[1,5] 14.3

三、解答题 16.解:∵b1∥a,∴令 b1=(λ,λ,0),b2=b-b1=(1-λ,1-λ,1), 又∵b2⊥a,∴a?b2=(1,1,0)?(1-λ,1-λ,1)=1-λ+1-λ=2-2λ=0, ∴λ=1,即 b1=(1,1,0),b2=(0,0,1). 17.解:⑴过 D 作 DE⊥BC 于 E,则 DE=CD?sin30°= 3 1 1 ,OE=OB-BDcos60°=1- = , 2 2 2

???? 3 3 1 3 ) ∴D 的坐标为(0,- , ) ,又∵C(0,1,0) ,∴ C D ? (0 , ? , 2 2 2 2 ???? 3 1 3 3 ???? , , 0 ) ,∴ A D ? ( ? , ? 1, ), B C ? (0, 2, 0 ) 2 2 2 2

⑵依题设有 A 点坐标为 A (

???? ???? ???? ???? AD ? BC ???? ? ? 则 co s ? A D , B C ? ? ???? | AD | ? | BC |

10 5

.故异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为

10 . 5

18.解:⑴∵ | u | ? | a ? tb | ? | a | ? 2 ( a ? b ) t ? t | b | ? | b | ( t ?
2 2 2 2 2 2

a ?b |b |

) ?|a| ? 2
2 2

(a ? b ) |b|
2

2



∴当 t= ?

a ?b |b |
2

时,|u|=|a+tb|最小.

⑵∵ b ? ( a ? tb ) ? a ? b ? t | b | ? a ? b ? | b | ( ?
2 2

a ?b |b |
2

) ? 0 ? b ? ( a ? tb ) .

19.解:∵ B F ?

? 2 ??? ???? ? 1 ???? ???? ??? ( B O ? B C ), O E ? B A ? B O , 2 3 ??? ? ???? ???? ???? ???? ???? 1 ???? 2 1 7 2 2 ∴ | B F | ? (| B O | ? | B C | ? 2 B O ? B C ) ? ( 4 ? 1 ? 2 | B O || B C | co s 6 0 ? ) ? , 4 4 4

??? ?

??? ? | B F |?

??? ? ? ???? ? ??? ? 4 ??? 2 4 ??? ???? 2 2 ; | O E | ? | B A | ? | B O | ? B A ? B O ? 4 ? 4 ? 4 ? 4, | O E | ? 2 . 2 9 3 7



??? ??? ? ? 1 2 ??? ???? ? ???? ? 2 ???? ??? ???? ???? 1 3 2 B F ? O E ? ( B A ? B O ? | B O | ? B C ? B A ? B C ? B O ) ? ( 2 ? 4 ? 1) ? ? 2 3 3 2 2



??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 3 7 BF ?OE ?3 3 7 ? ? co s ? B F , O E ? ? ??? ??? ? ? ? ,故异面直线 OE 与 BF 所成的角的余弦值为 . 14 14 | B F || O E | 2 7

20.解:⑴设 BP=t,则 C Q ?

2 ? (2 ? t ) , D Q ? 2 ?
2

2 ? (2 ? t ) ,
2

∴ B1 ( 2 , 0 , 2 ) , D 1 ( 0 , 2 , 2 ) , P ( 2 , t , 0 ) , Q (2 ?
???? ???? ? 2 2 2 ? ( 2 ? t ) , 2, 0 ).Q B1 ? ( 2 ? ( 2 ? t ) , ? 2, 2 ), P D 1 ? ( ? 2, 2 ? t , 2 )

又∵ B1Q ? D 1 P ? Q B1 ? P D 1 ? 0 ,
2 2 ∴ ? 2 2 ? ( 2 ? t ) ? 2 ( 2 ? t ) ? 2 ? 2 ? 0, 即 2 ? ( 2 ? t ) ? t

???? ???? ?

解得 t=1,即 P、Q 分别为中点时,B1Q⊥D1P. ⑵由⑴知 PQ∥BD,且 AC⊥PQ,设 AC∩PQ=E,连 C1E,∵CC1⊥底面 BD,CE⊥PQ, ∴C1E⊥PQ,即∠CEC1 为所求二面角 O—PQ—C1 的平面角,易得 tan ? C E C 1 ? 2 2 . 21.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为 A1(2,0,0) , B1 (1, 3 , 0 ), P (1, 3 , z ) , M ( ,
2 1 3 2 , 2 ), C (0, 0, 2 ), A ( 2, 0, 2 )

由 A1P⊥B1M 知 A1 P ? B1 M ? 0 ∴ ( ? 1, 3 , z ) ? ( ?
1 2 3 2 1 2 3 2 1 2

???? ?????

,?

, 2) ?

?

? 2 z ? 0,? z ?

,

即点 P 的坐标为 P (1, 3 , ) .
2
??? ? ? n ? C A ? 0, ? 的法向量为 n=(x,y,z),由 ? ??? 即 ? ? n ? C P ? 0, ? ? 2 x ? 0, 3 ? ? n ? (0 , z , z ). ? 3 2 ? x ? 3 y ? z ? 0, ? 2

1

⑴设平面 APC

取 z= -1,则有 n= (0, ?
???? ???? P A1 ? n co s ? P A1 , n ? ? ???? ? | P A1 | ? n

???? 1 , ? 1) ,方向指向平面 APC 的左下方,又 P A1 ? (1, ? 3 , ? ) , 2 2
3
8 17 ? 7 ? 8 119 119



设直线 A1P 与平面 APC 所成角为α ,则 sin ? ?

8 119 119



⑵ | A1 P |? 1 ? 3 ?

????

1 4

?

17 2

,设 A1 到平面 PAC 的距离为 d,

则 d ? | A1 P | sin ? ?

????

17 2

?

8 17 ? 7

?

4 7

?

4 7 7



高三数学?单元测试卷参考答案
第十一单元 排列组合、二项式定理
一、选择题(每小题 5 分,共 90 分) : 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 B 9 A 10 B 11 B 12 A 13 D 14 D 15 B 16 C 17 B 18 D

提示 1.D 分五步:5?4?4?4?4=1280.
1 2.B 分三步: C 53 C 43 ? C 54 C 42 ? C 55 C 4 ? 7 4 .

3.C

C 6 ? 3 ? 12.
4

4.B 分 8 类:
C 10 ? C 10 ? C 10 ? ? ? C 10 ? C 10 ? C 10 ? C 10 ? ? ? C 10 ? ( C 10 ? C 10 ? C 10 ) ? 2 ? (1 ? 10 ? 45) ? 968.
3 4 5 10 0 1 2 10 0 1 2 10

5.B

2

n ?1

? 5 1 2,? n ? 1 0, 中间项为 T 6 ? C 1 0 x (
5 5

x ) ? C10 x
5 5

7

x.

6.D 按首位数字的奇偶性分两类: A22 A3 3 ? ( A33 ? A22 ) A22 ? 2 0 7.C 原式=(7+1)n-1=(9-1)2-1=9k-2=9k’+7(k 和 k’均为正整数) .
1 8.B 分三步: C 6 C 52 C 33 ? 6 0

9.A

A9 ? 5 0 4 , 或
3

A9

9 6

? 504.

A6

10.B 原式=

(1 ? x ) [1 ? (1 ? x )
3

2003

]

1 ? (1 ? x )

?

? (1 ? x ) ? (1 ? x )
3

2006

即 求 (1 ? x )

2006

x

中 x 的 系 数 为 C 2006 .

4

4

1 11.B 设有男生 x 人,则 C x2 C 8 ? x A33 ? 9 0, 即 x ( x ? 1)(8 ? x ) ? 3 0 ,检验知 B 正确.

12.A

f ( x ) ? x ( x ? 9 )( x ? 8) ? ( x ? 9 ? 1 9 ? 1) ? x ( x ? 1)( x ? 4 ) ? ( x ? 8 1).
2 2 2 2

13.D 比较等式两边 x3 的系数,得 4=4+b1,则 b1=0,故排除 A,C;再比较等式两边的常数项, 有 1=1+b1+b2+b3+b4,∴b1+b2+b3+b4=0. 14.D
C3 3 ? 27.
2 2
3 2

15.B 先排甲、乙外的 3 人,有 A 3 种排法,再插入甲、乙两人,有 A 4 种方法,又甲排乙的左边 1 和甲排乙的右边各占 2 ,故所求不同和站法有
1 2 A3 A 4 ? 3 6 ( 种 ).
3 2

16.C 共有(1,1,1)(1,2,2)(1,3,3)(1,4,4)(2,2,2)(2,2,3)(2,3,3) , , , , , , , (2,4,4)(3,3,3) , (3,3,4)10 种. 17.B 每人值班 2 天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法,再加上甲值周一且乙值周六的排

1 法,共有 C 62 C 42 ? 2 A5 C 42 ? A 42 ? 4 2 ( 种 ).

18.D 设 f(x)=( 2-x)10,则(a0+a2+?+a10)2-(a1+a3+?+a9)2=(a0+a1+?+a10)(a0-a1+a2 -?-a9+a10)=f(1)f(-1)=( 2+1)10( 2-1)10=1。 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)
1 19.13 按焊点脱落个数为 1,2,3,4 分四类,有 C 2 ( C , F 中 选 一 ) ? C 42 ? C 43 ? C 44 ? 1 3 .

20. 5 x ? 2 ? 1( x ? R ) ? f ( x ) ? ( x ? 1) 5 ? 2,? f 21.240
2 C10 ? 2 4 0
3

?1

( x) ?

5

x ? 2 ? 1.

22.2 比较等式两边 x4 的系数,得 a1=1,令 x=1,得 a5=1,令 x=0,得 a1-a2+a3-a4+a5=0,∴ a2-a3+a4=2. 23.65 分二类:第一类,甲上 7 楼,有 52 种;第二类:甲不上 7 楼,有 4?2?5 种,52+4?2?5 =65. 24 . - 1 或
3

6 ( x ? 1) ( a x ? 1) ? ( x ? C 6 x ? C 6 x ? C 6 x ? C 6 x ? 1)( a x ? 2 a x ? 1). x
6 2 6 1 5 2 4 3 3 5 2 2 4 5 2 2

3

项的系数为 C 6 ? 1 ? C 6 ( ? 2 a ) ? C 5 ? a ? 5 6, 即 a ? 5 a ? 6 ? 0,? a ? ? 1或 a ? 6 . 三、解答题(共 36 分) 25 . 解 法 1 : ∵ 7 = 1 + 1 + 1 + 4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 2 + 2 , ∴ 分 三 类 , 共 有 分 法
C 4 ? A 4 ? C 4 ? 2 0 ( 种 ).
1 2 1

解法 2(隔板法) :将 7 个小球排成一排,插入 3 块隔板,故共有分法 C 63 ? 2 0 ( 种 ). 26.解:⑴由题设知 C nn ? 2 ? 4 5, 即 C n2 ? 4 5,? n ? 1 0 .
Tr ?1 ? C 1 0 ( x
r 4 3 ? 1 4 2 11r ? 30 r r 12 10 ? r

)

? ( x 3 ) ? C10 x

,令

1 1r ? 3 0 12

? 3, 得 r ? 6 , 含 x 的 项 为 T 7 ? C 1 0 x
3 6

3

? C10 x ? 2 1 0 x .
3

55 ? 30

25

⑵系数最大的项为中间项,即 T 6 ? C 1 0 x
5

12

? 2 5 2 x 12 .
n

27.解:设 S ? 1 ? 4 C n ? 7 C n ? 1 0 C n ? ? ? (3 n ? 1) C n ,
1 2 3

则 S ? (3 n ? 1) C n ? (3 n ? 2 ) C n
n

n ?1

? ? ? 4C n ? 1.
1

0 1 2 n n n ?1 两式相加,得 2 S ? (3 n ? 2 )( C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? (3 n ? 2 ) ? 2 ,? S n ? (3 n ? 2 ) ? 2 .

高三数学?单元测试卷参考答案
第十二单元
一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 D 5 A 13.240 6 B 7 C 14. 4 11 8 B 9 D 15.35 10 A

[排组]到[概率],算法找规律

二、填空题 11.7 12.0.9728

三、解答题 16.解:从 1,2,3,?,97,98,99,100 中取出 1, 有 1+100>100, 取法数 1 个; 取出 2, 有 2+100>100,2+99>100, 取法数 2 个; 取出 3, 取法数 3 个; ?, 取出 50, 有 50+51>100, 50+52>100, ?,50+100>100, 取法有 50 个. 所以取出数字 1 至 50, 共得取法数 N1=1+2+3+?+50=1275. ??????6 分 取出 51, 有 51+52>100, 51+53>100, ?,51+100>100, 共 49 个; 取出 52, 则有 48 个; ?, 取出 100, 只有 1 个. 所以取出数字 51 至 100(N1 中取过的不在取), 则 N2=49+48+?+2+1=1225. 故总的取法有 N=N1+N2=2500 个?????????????????12 分 17.解:⑴记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C,??1 分 则 A、B、C 相互独立, 由题意得: P(AB)=P(A)P(B)=0.05 P(AC)=P(A)P(C)=0.1 P(BC)=P(B)P(C)=0.125????????????????????4 分 解得:P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.5?6 分
B C ⑵∵A、B、C 相互独立,∴ A、 、 相互独立,????????????7 分

∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ? 0 .8 ? 0 .7 5 ? 0 .5 ? 0 .3 ?????????10 分

∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 p ? 1 ? P ( A ? B ? C ) ? 1 ? 0 .3 ? 0 .7 ?12 分
3 18.⑴解:因为甲坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为 (1 ? 0 . 5 ) ?

1 8

,所以甲坑不需要补种的概率为

1?

1 8

?

7 8

? 0 . 8 7 5.
7 1 2 ? ( ) ? 0 . 041 . 8 8

1 ⑵解:3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 C 3 ?

⑶解法一:因为 3 个坑都不需要补种的概率为 ( ) 3 ,
8

7

所以有坑需要补种的概率为

7 3 1 ? ( ) ? 0 . 330 . 8
1 7 2 ? ( ) ? 0 . 287 , 8 8

1 解法二:3 个坑中恰有 1 个坑需要补种的概率为 C 3 ?

恰有 2 个坑需要补种的概率为 3 个坑都需要补种的概率为 19.解:⑴ 国徽面朝上次数 m P(m) 国徽面朝上次数 m P(m) 3 C3 1 3 = 23 8 2

1 2 7 2 C3 ? ( ) ? ? 0 . 041 , 8 8 1 3 7 0 3 C 3 ? ( ) ? ( ) ? 0 . 0 0 2. 8 8

2 C2 3 3 = 23 8 1

1 C1 3 3 = 23 8

0 C0 1 3 = 23 8 0

C2 1 2 = 22 4

C1 1 C0 1 2 2 = 2= 2 2 22 4 ????????????6 分

⑵这种规定是合理的。这是因为甲获胜,则 m>n 1 1 1 1 1 当 m=3 时,n=2,1,0,其概率为 ?( + + )= ; 8 4 2 4 8 3 1 1 9 当 m=2 时,n=1,0,其概率为 ?( + )= ; 8 2 4 32 3 1 3 1 9 3 1 当 m=1 时,n=0,其概率为 ? = ;∴甲获胜的概率为 + + = ????10 分 8 4 32 8 32 32 2 乙获胜,则 m≤n 1 3 3 1 7 当 n=2 时,m=2,1,0,其概率为 ?( + + )= ; 4 8 8 8 32 1 3 1 8 当 n=1 时,m=1,0,其概率为 ?( + )= ; 2 8 8 32 1 1 1 7 8 1 1 当 n=0 时,m=0,其概率为 ? = ;∴乙获胜的概率为 + + )= ????14 分 4 8 32 32 32 32 2 1 甲和乙获胜的概率老都是 ,即获胜机会相等,所以这种规定是合理的。 2
3 20.解: (Ⅰ) A ? 1 5 ? ? ? 1 5 ? ? ? 1 6 ? ? ? 1 7 ? ? ? 4 0 8 0 ;

??2 分

(Ⅱ)性质①、②均可推广,推广的形式分别是: ① A x ? xA x ?1 ,
m m ?1

② Ax ? m Ax
m
1

m ?1

? A x ?1 ? x ? R , m ? N ? ?
m
0

??4 分

事实上,在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A x ? x , 当 m ? 2 时,左边 ? x ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? ? ? x ? m ? 1 ?

右边 ? xA x ? 1 ? x ,等式成立;

? x ?? x ? 1? ? x ? 2 ?? ? ? x ? 1? ? ? m ? 1? ? 1? ? ? ?

? x A x ? 1 , 因此,① A x ? xA x ? 1 成立;
m 1 0 1

m ?1

m ?1

??6 分

在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A x ? A x ? x ? 1 ? A x ? 1 ? 右边,等式成立; 当 m ? 2 时, 左边 ? x ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? ? ?x ? m ? 1 ? ? mx ? x ? 1 ? ?x ? 2 ? ? ?x ? m ? 2 ?
? x ? x ? 1? ? x ? 2 ?? ? x ? m ? 2 ? ?? x ? m ? 1? ? m ? ? ? ? ? x ? 1? x ? x ? 1? ? x ? 2 ? ? ? ? x ? 1 ? ? m ? 1? ? ?

? A x ? 1 ? 右边,
m

因此 ② A x ? m A x
m

m ?1

? A x ? 1 ? x ? R , m ? N ? ? 成立。
m

??8 分

(Ⅲ)先求导数,得 ? A x
2

3

?

/

? 3x ? 6x ? 2 .
2

令 3 x ? 6 x ? 2 >0,解得 x<
? ? ? 3?

3? 3

3

或 x>

3? 3

3

.

因此,当 x ? ? ? ? ,
?3? 3 , ?? ? 3 ?

3? ? 时,函数为增函数, ? 3 ?

??11 分

当x ? ?

? ? 时,函数也为增函数。 ? ?

令 3 x ? 6 x ? 2 <0,解得
2

3? 3

3

<x<

3? 3

3

.

因此,当 x ? ?

?3? 3 3? 3? ? 时,函数为减函数. , ? ? 3 3 ? ?
3

??13 分
? ? ? ?

所以,函数 A x 的增区间为 ? ? ? ,
? ? ?3? 3 3? 3 ? , ? ? ? 3 3 ? ?

?

3?

3 ? ?, ? 3 ?

?3? 3 , ?? ? ? 3 ?

函数 A x 的减区间为 ?

3

??14 分

21.解: (1)如图 1,先对 a1 部分种植,有 3 种不同的种法,再对 a2、a3 种植, 因为 a2、a3 与 a1 不同颜色,a2、a3 也不同. 所以 S(3)=3?2=6(种)????4 分 如图 2,S(4)=3?2?2?2-S(3)=18(种)????????8 分 ⑵如图 3,圆环分为 n 等份,对 a1 有 3 种不同的种法,对 a2、a3、?、an 都有两种不 同的种法,但这样的种法只能保证 a1 与 ai(i=2、3、??、n-1)不同颜色,但不能保证 a1 与 an 不同颜色. 于是一类是 an 与 a1 不同色的种法,这是符合要求的种法,记为 S ( n )( n ? 3 ) 种. 另一类是 an 与

a1 同色的种法,这时可以把 an 与 a1 看成一部分,这样的种法相当于对 n-1 部分符合要求的种法, 记为 S ( n ? 1) . 共有 3?2n
-1

种种法.
n ?1

这样就有 S ( n ) ? S ( n ? 1) ? 3 ? 2 即 S ( n ) ? 2 ? ? [ S ( n ? 1) ? 2
n 3 n ?1

.
n

] ,则数列 { S ( n ) ? 2 }( n ? 3 ) 是首项为

S ( 3 ) ? 2 公比为-1 的等比数列.

则 S ( n ) ? 2 ? [ S ( 3 ) ? 2 ]( ? 1)
n 3

n?3

( n ? 3 ).
n

由(1)知: S ( 3 ) ? 6
? S ( n ) ? 2 ? 2 ? ( ? 1)
n n?3

? S (n) ? 2

? ( 6 ? 8 )( ? 1)

n?3

.

.
n?3

答:符合要求的不同种法有 2 ? 2 ? ( ? 1)
n

种 ( n ? 3 ). ??????14 分

高三数学?单元测试卷参考答案
第十三单元
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) : 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 C 5 A 6 B Nm ; n 7 B 8 D 9 B 10 D

[统计]到整体,推断与估计

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.80; 12.丙; 13.12; 14. 15.84

三、解答题(共 80 分) 16.解:乙对.如:从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本,总体中某一个个体 a 在第 1 1 一次抽取时被抽到的概率为 ,在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为 .但在整个抽样过 6 6 1 程中它被抽到的概率为 . 3 k 17.解:每条有记号的鱼被打捞起的概率为 ,现用样本估计总体,设湖中有鱼 x 条,则 m 条有记 n m m k 号的鱼中每条被打捞起的概率为 .又因抽样过程中每个个体被抽取的概率相等.所以 = .则 x x x n = mn mn .估计湖中有鱼 条. k k

2 18.解:-=21.0 ㎏,-=21.0 ㎏,-=20.5 ㎏;s2=0.572,s2=2.576,s3=3.616 x1 x2 x3 1 2 2 ∴-=->-,s1<s2<s2 x1 x2 x3 2 3

∴第一个品种既高产又稳定. 5 5 -= 1 ?xiPi,s2= 1 ?(xi--)2Pi.其中 xi 为组中值,Pi 为相应频数. 19.解: x x 20 20 i=1 i=1 -= 1 (2.5?4+7.5?8+12.5?5+17.5?2+22.5?1)=9.5(min) x 20 1 s2= [(2.5-9.5)2× 4+(7.5-9.5)2× 8+(12.5-9.5)2× 5+(17.5-9.5)2× 2+(22.5-9.5)2× 1]=28.5 20 s= 28.5≈5.34(min) 20.解:⑴0.20;0.60;1.0;0.9;0.50 ⑵第 1 列:正;┯;一 第 2 列;5;2;1;10 第 3 列:0.5;0.2;0.1;1 第 4 列:0.7;0.9;1 ⑶设这五人这天的实际平均通话费为 x1 元,按原收费标准算出的平均通话费为 x 2 元,则
x1 ? 1 5 ( 2 ? 0 .2 0 ? 5 ? 0 .3 0 ? 2 ? 0 .4 0 ? 1 ? 0 .5 0 ) ? 0 .6 4 ( 元 ), x 2 ? 1 5 ( 2 ? 0 .2 ? 8 ? 0 .4 ) ? 0 .7 2 ( 元 )

∴ x1 ? x1 ? 0 .0 8 (元) 即这五人这一天的实际平均通话费比用原标准计算出的平均通话收费减少 0.08 元. 21.⑴最低身高 151 ㎝,最高身高 180 ㎝,确定组距为 3,作频率分布表如下: 身高(㎝) 频数 频率(%) 1 2.5 150.5~153.5 1 2.5 153.5~156.5 4 10.0 156.5~159.5 5 12.5 159.5~162.5 8 20.0 162.5~165.5 11 27.5 165.5~168.5 6 15.0 168.5~171.5 2 5.0 171.5~174.5 1 2.5 174.5~177.5 1 2.5 177.5~180.5 ⑵作频率分布直方图 频率 组距

身高 150.5 153.5 156.5 159.5 162.5 165.5 168.5 171.5 174.5 177.5 180.5 ⑶身高不大于 160 ㎝的概率约为 0.15.

高三数学?单元测试卷参考答案
第十四单元
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) : 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 D 9 B 10 A

导数及应用

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.y=4x-4;12. y ' ? ?
4 3
?5

x

3

;13.

2 3

3

x 2 ? 1 7 ;14. { a | ? 1 ? a ? ?

2 2

} ;15.⑤

三、解答题(共 80 分,按步骤得分) 16.解:依题意 f '(1) ? 2 ? a ? 1, 且 lim f ( x ) ? f (1) ? 1 ? a ,? a ? b ? ? 1,? f ( x ) ? ?
x?1
?

? x 2 ? x ( x ? 1) ? x ? 1( x ? 1)

,

1 1 作图易得函数的最小值是 f( )=- 2 4 17.解:∵y=x2-2x+2,∴y′=2x-2,∴tanα=2?2-2=2, 1 1 1 1 又∵y=x3-3x2+ x+5,∴y′=3x2-6x+ ,∴tanβ=3?22-6?2+ = , 2 2 2 2 π π ∴tanαtanβ=1,即 tanβ=cotα,由 0<α、β< 得 β= -α, 2 2 α+β α+β π π 1 ∴α+β=< ,tan =1 且 sin =sin = . 2 2 3 3 2 18.解:求出 f’(x)=0 在[-1,2]上的解,研究函数 f(x)的增减性: 令 f '( x ) ? 3 a x ? 1 2 a x ? 3 a ( x ? 4 x ) =0,显然 a≠0,否则 f(x)=b 为常数,矛盾,
2 2

∴x=0,若 a>0,列表如下: x f’(x) (-1,0) + 0 0 (0,2) —

f(x) 增函数 最大值 3 减函数 由表可知,当 x=0 时 f(x)取得最大值,∴b=3,又 f’(0)=-29,则 f(2)<f(0),这不可能, ∴f(2)=8a-24a+3=-16a+3= -29,∴a=2;若 a<0,同理可得 a=-2,b=-29. 19.解:设小正方形的边长为 x,则盒底的边长为 a-2x,∴方盒的体积 V ? x ( a ? 2 x ) 2 ( x ? (0, )),
2 a

V ' ? ( a ? 2 x )( a ? 6 x ), 令 V ' ? 0, 则 x1 ? x?(

a 2

, x2 ?

a 6

, 由 x1 ?

a 2

? (0,

a 2

), 且 对 于 x ? (0,

a 6

), V ' ? 0,

a a a , ), V ' ? 0, ∴函数 V 在点 x= 处取得极大值,由于问题的最大值存在, 6 6 2

a 2a3 a ∴V( )= 即为容积的最大值,此时小正方形的边长为 . 6 27 6 20.解:⑴∵f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,

∴f’(1)=0,f’(1)=4x3-12x2+2ax|x=1=2a-8=0,∴a=4; ⑵由⑴知 f(x)=x4-4x3+4x2-1,由 f(x)=g(x)可得 x4-4x3+4x2-1=bx2-1 即 x2(x2-4x+4-b)=0. ∵f(x)的图象与 g(x)的图象只有两个交点, ∴方程 x2-4x+4-b=0 有两个非零等根或有一根为 0,另一个不为 0, ∴Δ =16-4(4-b)=0,或 4 – b = 0,∴b = 0 或 b = 4.
? r ? 0, 21.解:⑴设 g ( x ) ? p x ? q x ? r ( p ? 0 ), 依题意得 ? p m 2 ? q m ? 0 , 解 得 ? ? p ( m ? 1) ? q ? 1; ?
2

? p ? 1, ? ?q ? ?m, ? ? r ? 0;

∴g(x)=x2-mx. ⑵(ⅰ)f(x)=x(x-n)(x-m)=x3-(m+n)x2+mnx,∴f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn, 依题得 a、b 是方程 f’(x)=0 的两个实数根, 又 f’(0)=mn>0,f’(n)=(n-m)n<0,f’(m)=m(m-n)>0, 故两根 a、b 分布在区间(0,n)(n,m)内,又 b<a,∴b<n<a<m 成立; 、 (ⅱ)设两切线的横坐标分别为 x1、x2,且不妨设 x1<x2,则切线方程 l1 为 y-f(x1)=[3x12-2(m+n)x1+mn](x-x1) 由 l1 过原点,∴-x1(x1-m)(x1-n)=[3x12-2(m+n)x1+mn](-x1) m+n m+n m+n 解得 x1=0 或 x1= ,同理 x2=0 或 x2= ,∴x1=0 且 x2= , 2 2 2 两切线的斜率分别为 k 1 ? m n , k 2 ? ?
?m ? n ? 2 2, ? ? m n ? 1; ?

1 4

( m ? n ) ? m n , 若两切线互相垂直,则 k1k2=-1,
2

∴?

此时有 ?

?m ? ? ?n ? ?

2 ? 1, 2 ? 1;

存在过原点且与曲线相切的两条互相垂直的直线.

高三数学?单元测试卷参考答案
第十五单元
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 B

函数与方程思想

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) (11)
5 2

(12). 3; (13). 10 或 10

?

1 3

(14).

? 1? ),? 4 ;(15). ①或② ? ? ? 2(x ? ?1 ? 2?

x

三、解答题(共 80 分) 16.解:由条件即可得 B={2,3},C={-4,2}, 由 A∩B ? ? ,A∩C= ? ,可知 3∈A,2 ? A. 将 x=3 代入集合 A 的条件得:a2-3a-10=0 ∴a=-2 或 a=5 2 当 a=-2 时,A={x|x +2x-15=0}={-5,3},符合已知条件. 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},不符合条件“A∩C”= ? ,故舍去. 综上得:a=-2.
(1 ) ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 10 n ? 17.解: (1) 依条件得: ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 ? 9 ( n ? 1) ( 2 ) ? x ? x ? ? ? x ? 11 ( n ? 1 ) (3) 3 n ? 2

由 (1) ? ( 2 ) 得: x n ? n ? 9 ,

又由 (1) ? ( 3 ) 得: x1 ? 11 ? n (2)由于 x 1 是正整数,故 x1 ? 11 ? n ? 1 , ? 1 ? n ? 10 ,故 x n ? n ? 9 ? 19 当 n =10 时,
x1 ? 1

, x 10 ? 19 , x 2 ? x 3 ? ? ? x 9 ? 80 , 此时, x 2 ? 6 , x 3 ? 7 , x 4 ? 8 , x 5 ? 9 ,

x 6 ? 11 , x 7 ? 12 , x 8 ? 13 , x 9 ? 14 .

18. 解: f ? ( x ) ?
2

1 1? x

?

1 2

x,

1 1? x

?

1 2

x ? 0,

化简为 x ? x ? 2 ? 0 ,

解得 x 1 ? ? 2 ( 舍去 ), x 2 ? 1 .

当 0 ? x ? 1时 , f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调增加;当 1 ? x ? 2时 , f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调减少. 所以 f (1) ? ln 2 ? 又因为 所以
1 4

为函数 f ( x ) 的极大值.

f ( 0 ) ? 0 , f ( 2 ) ? ln 3 ? 1 ? 0 , f (1) ? f ( 2 ), f ( 0 ) ? 0 为函数 f ( x ) 在[0,2]上的最小值, f (1) ? ln 2 ?
1 4

为函数 f ( x )

在[0,2]上的最大值. 19. 解: (1)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p)万件, 年销售收入为
70 1 ? p%

(11.8-p)万元,

则商场该年对该商品征收的总管理费为

70 1 ? p%

(11.8-p)p%(万元) .

故所求函数为:y=

7 100 ? p

(118-10p)p.
59 5

11.8-p>0 及 p>0 得定义域为 0<p<
7 100 ? p



(2)由 y≥14,得

(118-10p)p≥14.

化简得 p2-12p+20≤0,即(p-2) (p-10)≤0,解得 2≤p≤10. 故当比率在[2%,10%]内时,商场收取的管理费将不少于 14 万元. (3)第二年,当商场收取的管理费不少于 14 万元时, 厂家的销售收入为 g(p)=
70 1 ? p%

(11.8-p) (2≤p≤10) .

∵g(p)=

70 1 ? p%

(11.8-p)=700(10+

882 p ? 100

)为减函数,

∴g(p)max=g(2)=700(万元) . 故当比率为 2%时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于 14 万元. 20.解:(1)∵方程 ax2+bx-2x=0 有等根,∴△=(b-2)2=0,得 b=2. 由 f(x-1)=f(3-x)知此函数图像的对称轴方程为 x=- 故 f(x)=-x2+2x. (2)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴4n≤1,即 n≤
1 4 b 2a

=1,得 a=-1,


1 4

而抛物线 y=-x2+2x 的对称轴为 x=1,∴当 n≤
? f (m ) ? 4m ? f (n) ? 4n

时,f(x)在[m,n]上为增函数.

若满足题设条件的 m,n 存在,则 ?

?? m 2 ? 2m ? 4m ? m ? 0或 m ? ? 2 1 ? ? ? 即? 又 m<n≤ . 2 4 ?? n ? 2n ? 4n ? n ? 0或 n ? ? 2 ?

∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0]. 由以上知满足条件的 m,n 存在,m=-2,n=0. 21. 解: (1)当 a 1 ?
3 2 , d ? 1 时, S n ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d ? 3 2 n? n ( n ? 1) 2 ? 1 2 n
2

? n

由 S k ? (S k ) , 得
2
2

1 2

k

4

?k

2

? (

1 2

k

2

? k) ,
2



k (

3

1 4

k ? 1) ? 0

又 k ? 0 , 所以 k ? 4 .
2

(2)设数列{an}的公差为 d,则在 S n ? ( S n ) 中分别取 k=1,2,得
2

2 ? ?S1 ? (S1 ) , ? 2 ?S 4 ? (S 2 ) ?

? a 1 ? a 12 , (1) ? 即? 4?3 2 ?1 2 d ? (2 a1 ? d ) (2) ?4 a1 ? 2 2 ?

由(1)得 a 1 ? 0 或 a 1 ? 1 . 当 a 1 ? 0时 , 代入 ( 2 ) 得
d ? 0或 d ? 6,
2

若 a 1 ? 0 , d ? 0 , 则 a n ? 0 , S n ? 0 , 从而 S k ? ( S k ) 成立 若 a 1 ? 0 , d ? 6 , 则 a n ? 6 ( n ? 1), 由 S 3 ? 18 , ( S 3 ) ? 324 , S n ? 216 知
2

s 9 ? ( S 3 ) , 故所得数列不符合题意.
2

当 a 1 ? 1时 , 代入 ( 2 ) 得

4 ? 6 d ? ( 2 ? d ) , 解得 d ? 0 或 d ? 2
2

若 a 1 ? 1, d ? 0 , 则 a n ? 1, S n ? n , 从而 S k ? ( S k ) 成立 ;
2
2

若 a 1 ? 1, d ? 2 , 则 a n ? 2 n ? 1, S n ? 1 ? 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? n , 从而 S ? ( S n ) 成立 .
2 2

综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: ①{an} : an=0,即 0,0,0,?; ②{an} : an=1,即 1,1,1,?; ③{an} : an=2n-1,即 1,3,5,?,

高三数学?单元测试卷参考答案
十六单元 数形结合思想
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C
15 3

9 B

10 C

二、填空题 11.5 12.(-2,0)∪(2,5] 13.1995,2000_ 14.0<a< 三、解答题 16. 解: (I)
?( 7? 8
? g (x) ? 1 2

15.①③

? x) ? ( x ?

?
8

) ? ? ? f ( x ) ? sin ( x ?

?
8

) co s( x ?

?
8

)?

1 2

sin ( 2 x ?

?
4

)

??3 分

sin [2( x ?

?
8

)?

?
4

]?

1 2

sin 2 x

?6 分
x?( 3? 5 ? , ) 时是增函数 4 4

( II ) 证 明 一 : 依 题 意 , 只 需 证 明 函 数 g(x) 当
2k? ?

? s i nx2



?
2

? 2 x ? 2k? ?

?
2 即 k?
4 4 ?

?
4

? x ? k? ?

?
4

(k ? Z )

的每一个区间上是增函数??9 分
4 4

5 5 当 k ? 1 时,g ( x ) ? sin 2 x 在 ( 3? , ? ) 是增函数??10 分,则当 x ? ( 3? , ? ) 时,经过函数 g(x)图像上任意两

点的直线的斜率恒大于零?12 分 证 明 二 : 设 函 数
x1 ? x 2, K A B ? sin 2 x1 ? sin 2 x 2 x1 ? x 2 ?

g(x) 图 像 上 任 意 两 点

A ( x1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ), x1, x 2 ? (

3? 5 ? , ) 4 4

不 妨 设

2 co s( x1 ? x 2 ) sin ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

x1, x 2 ? (

3? 5 ? 3? 5 ? ? , ), x1 ? x 2 ? ( , ), x1 ? x 2 ? ( ? ,) 0 4 4 2 2 2

?11 分 cos( x

1

? x 2 ) ? 0, x1 ? x 2 ) ? 0, x1 ? x 2 ? 0, K A B ? 0 sin(

5 则当 x ? ( 3? , ? ) 时,经过函数 g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零. 4 4

17. 证明 ∵M 是 BC 的中点, 连结 OM, ∴ O M = 1 ( O B + O C ).同理由 N 是 AC 的中点, O N = 1 得 2 2 ( O A + O C ). ∵ P M = P O + O M = 1 ( A O + O B + O C )= 1 ( O B - O A + O C )= 1 ( A B + O C ) Q N = Q O + O N = 1 , 2 2 2 2 ( B O + OA + O C ) = 1 ( O A - O B + O C )= 1 ( B A + O C )= 1 ( O C - A B ).∴ P M ? Q N = 1 ( O C + A B ) 1 ( O C - A B ) ?2 2 2 2 2 = 1 ( O C - A B ). 2
2

?????

????

????

????

??? ?

????

???? ?

????

?????

????

????

????

????

??? ?

????

????

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????

????

??? ?

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??? ?

????

????

??? ?

????

????

????

???? ?

????

????

????

????

????

????? ?

?????
2

∵| A B |=| O C |,∴ P M ? Q N =0,即 PM

????

????

???? ?

????

? QN

.

18.解: (I)由表中数据知(1)鲸沿海岸线方向运行的速度为 110 (km/分钟) 。

(2) a 、 b 满足的关系式为 b ?

a

.鲸的运动路线图为
? ?
B A y

(II)以点 A 为坐标原点,海岸线 AB 为 x 轴,建立直角坐标 系,如图,设鲸所在的位置为点 P(x,y) ,由(I)知 y ?
x

.

又 B ( 15 , 0 ) 依 题 意 知 , 观 测 站 B 的 观 测 区 域 为 ,
A
( x ? 15) ? y ? 25( y ? 0)
2 2

B

x

,又 y ?

x

,∴ ( x ? 15)

2

? x ? 25

,即 x

2

? 29 x ? 200 ? 0

.
1 10

∴ 11.3 ? x ? 17.7 .故鲸从 A 点进入前方观测站 B 所用的时间为 1 1 .3 ? 1 1 3 分钟. 答:鲸大约经过 113 分钟进入 B 站的观测范围. 19. 解 :( I )
????? ??? ???? ????? ? ? A M ? 2 A P , N P ? A M ? 0.



NP



AM

的垂直平分线,∴|

NA

|=|

NM

|. 又

?| C N | ? | N M |? 2 2 ,?| C N | ? | A N |? 2 2 ? 2.

∴动点
2c ? 2

N

的轨迹是以点

C ( ? 1, 0), A (1, 0)

为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为

2a ? 2 2 ,

焦距

.? a ?

2 , c ? 1, b ? 1.
2

∴曲线 E 的方程为 x

2

? y ? 1.
2

2

( II ) 当 直 线 GH 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 GH 方 程 为
( 1 2 ? k ) x ? 4 kx ? 3 ? 0 .
2 2

y ? kx ? 2, 代 入 椭 圆 方 程

x

2

? y ? 1,
2



2

由 ? ? 0得 k

2

?

3 2

.

设 G ( x , y ), H ( x
1 1

2

, y 2 ), 则 x1 ? x 2 ?

?4k 1 2 ? k
2

, x1 x 2 ?

3 1 2 ? k
2

???? ???? ? 2 又 ? F G ? ? F H ? ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2) ? x1 ? ? x 2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? ? ) x 2 , x1 x 2 ? ? x 2 .

(

?4k 1 ? k
2

)

2

3 1 ? 2 ? k
2

∴(x

1

? x2

1? ?

) ? x2 ?
2 2

x1 x 2

?



2 2 (1 ? ? )

?

,整 理 得 3(

16 1 2k
2

? ? 1)

(1 ? ? )

2

?

∵k

2

?

3 2

∴4?
???? ?

16 3 2k
2

?

16 3

∴ 4 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 6 .解 得 1 ? ? ? 3
?
3 3

?3

又 ? 0 ? ? ? 1,?

1 3

? ? ?1

又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0, F G ? 1 F H , ? ? 1 . ? 1 ? ? ? 1,即 所 求 ?的 取 值 范 围 是 [ 1 ,1)
3 3
3 3

????

20.解:(1)由已知,设 f1(x)=ax ,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x . 设 f2(x)=
k x

2

2

(k>0),它的图象与直线 y=x 的交点分别为

A( k , k )B(- k ,- k ) 由 AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)=
8 x 8 x

.故 f(x)=x2+ =a2+
8 a

8 x

.????????????6 分

(2) 【证法一】f(x)=f(a),得 x2+ 即
8 x

,

=-x2+a2+

8 a

.
8 x

在同一坐标系内作出 f2(x)= f3(x)= -x2+a2+
8 a



的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、 三象限的双曲线, f3(x)与的图象是

以(0, a2+

8 a

)为顶点,开口向下的抛物线.

因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即 f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a2+
8 a 8 a

当 a>3 时,. f3(2)-f2(2)= a2+

-8>0,

∴当 a>3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在 f2(x)图象的上方. ∴f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. ????????????14 分 【证法二】由 f(x)=f(a),得 x2+ 即(x-a)(x+a- 方程 x+a-
8 ax 8 ax 8 x

=a2+

8 a

,

)=0,得方程的一个解 x1=a.

=0 化为 ax2+a2x-8=0,

由 a>3,△ =a4+32a>0,得 x2=
?a
2

?

a 2a

4

? 32 a

, x3=

?a

2

?

a 2a

4

? 32 a

,

∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且 x2≠ x3. 若 x1= x3,即 a=
?a
2

?

a 2a

4

? 32 a

,则 3a2= a ? 32 a , a4=4a,
4

得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾, ∴x1≠ x3. 故原方程 f(x)=f(a)有三个实数解.????????????14 分 21. 解: (1)f(x)的定义域是 { S 0 } ? 数,故 Sn 是单调递增的. ∵ n? ? (Ⅱ)∵
lim S n ? a1 1? q ? a 1? 1 a
kPP ? f ( S i ?1 ) ? f ( S 1 ) S i ?1 ? S i ? a i ?1 ? a i a i ?1 ?1? a

( S 0, S 1 ] ? ( S 1, S 2 ] ? ? ? (S n ? 1, S n ] ? ? ?

,由于所有的 a n 都是正

?

a

2

a ?1

∴ f ( x)

的定义域是 [0,

a

2

a ?1

]
y P1 ? P ?2 P3 ? ? S3 x

1 i ?1

( i ? 1,2,?)与 i 无关.
O
? 1 2 a
2

? ? S1 S2
1

∴ 所有的 P , P , P ?共线,该直线过点 P ( a , a ) ,斜率为 1 ? a ∴ A
1 2 3

1



当 n ≥2 时, A 是一个三角形与一个梯形面积之和(如上图所示) .梯形面积是
n

1 2

[ f ( S 1 ) ? f ( S n )]( S n ? S 1 ) ?

1 2

(a ? a

1
n?2

a ( 1? )[ 1?

1 a 1 a
n

) ? a] ?

a 2a

2n?2

?1

2n?4

( a ? 1)

.于是 A

n

?

a

2

?

a 2a

2n?2

?1

2

2n?4

( a ? 1)

故 lim A
n? ?

n

?

a

2

?

a

2

2

2 ( a ? 1)

?

a

3

2 ( a ? 1)

(Ⅲ)解法一:结合图像,易见 k

P1 P2

? 1 ? a ? ?1

即 a ≥2 时, a ≥ lim A
2

n? ?

n

? An

,而 k

P1 P2

? 1 ? a ? ?1

,即 a <2

时, lim A
n? ?

n

?

1 2

a ?
2

1 2

a ?a
2

2

故当 1< a <2 时,存在正整数 n ,使得 A

n

? a

2

解 法 二 : 假 设 存 在 正 整 数
a
2

n , 使 得
(a ? 2 ? a 1
2n?2

An ? a

2

, 则 应 有

?

a 2a

2n?2

?1

2

2n?4

( a ? 1)

? a ?0
2

a ?

2n?2

(a ? 2 ?

1
2n?2

) ?0 ?

a 2n?4 2a ( a ? 1)
1 a
2n?2

a

2

2 ( a ? 1)

)?0



a ?1



a

2

2 ( a ? 1)

?0 ?

a ? 2?

?0 ? a? a

1
2n?2

?2

∴1< a <2 时,存在正整数 n ,使得 A

n

? a

2

成立.

高三数学?单元测试卷参考答案
十七单元 分类与整合思想
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 A 6 A 7 C 8 C 9 C 10 C

1.分析:研究函数的最值需考察函数的单调性,而题中对数函数的增减性与底数 a 的取值有关, 故应对 a 进行分类讨论。 解:⑴当 a>1 时,f(x)在[2,π]上是增函数,最大值是 f(π),最小值是 f(2),据题意,f(π)-f(2) π =1,即 logaπ-loga2=1,∴a= , 2 ⑵当 0<a<1 时, f(x)在[2, π]上是减函数, 最大值是 f(2), 最小值是 f(π), f(2)-f(π)=1, loga2 故 即 2 -logaπ=1,∴a= 。 π 由⑴⑵知,选 C。 说明:题中字母 a 的取值范围的不同,直接影响了函数的性质,从而导致了两种不同的情形,所以 必须对字母 a 进行分类讨论。 c 2. 分析: 椭圆的离心率 e= , 题中不能确定 5 与 m 中哪个是 a, 哪个是 b, 故应将 5 与 m 比, a 分类讨论。 解:据题意 m>0 且 m≠5 ⑴当 m>5 时,a2=m, b2=5,∴c2=a2-b2=m-5,∴c2/a2=(m-5)/m, 又 e= 25 3
10 5

∴m=

⑵当<m<5 时,a2=5, b2=m, ∴c2=5-m, ∴(5-m)/5=2/5 ∴m=3 由⑴⑵知 m=25/3 或 m=3 故选B 在运用分类讨论思想解决含参数字母的问题时,要克服动辄加以分类讨论的思维定势,应充分 挖掘问题的特征,多角度审视参数,变更或变换命题,简化分类讨论,甚至避免分类讨论。 8.析与解:常规思路是分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论,过程冗长。深挖隐含条件 ① l a ? o ?? ( x o x g x o ? g )l a ( 1 ? ( 1 )l a g ) 1;
2

②由 0<x<1,有 0 ? x ? 1, 0 ? 1 ? x ? 1, 1+x>1,则 lg1x 与 (? 异号。 o (? ) lg1x o ) a a
2 2
2

于是|loga(1-x)|=|loga(1-x2)-loga(1+x)| =|loga(1-x2)|+|loga(1+x)|> |loga(1+x)|。 9.解析:分线段 AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案:1 或 2 10.解析:即 f(x)=(a–1)x2+ax–
1 4

=0 有解.

当 a-1=0 时,满足.当 a-1≠0 时,只需Δ =a2–(a–1)>0. 答案:
?2? 2 5 ? a ? ?2? 2 5

或 a=1

二、填空题 11. 5或

5 2

12.12

13.0

14. [—3,2) 15.300

11.分析:由双曲线的渐近线方程,不能确定其焦点位置,所以应分两种情况求解. 解:(1)当双曲线的焦点在直线 y=3 时,双曲线的方程可改为 渐近线的斜率为
b a ? 2 , ∴ b=2.∴ e ?

( x ? 1) a

2

?

( y ? 3) b
2

2

? 1 ,一条

c a

?

b

2

? a a

2

?

5a 5

2

?

5 .
a b ? 2 ,此时

(2)当双曲线的焦点在直线 x=1 时,仿(1)知双曲线的一条渐近线的斜率为
e ? 5 2


5 2

综上(1) (2)可知,双曲线的离心率等于 5或



12.解:分类讨论: (1)先考虑作物 A 种植在第一垄时,作物 B 有 3 种种植方法; (2)再考虑作物 A 种植在第二垄时,作物 B 有 2 种种植方法; (3)又当作物 A 种植在第三垄时,作物 B 有 1 种种 植方法。而作物 B 种植的情况与作物 A 相同,故满足条件的不同选垄方法共有(3+2+1)?2=12 种. 评注:由以上可以得知:分类讨论的方法步骤:明确讨论对象,确定对象的全体 → 确定分类标准, 正确进行分类 →逐步进行讨论,获取阶段性结果 → 归纳小结,综合得出结论. 13.解:常规思路是对左边化简,去根号,讨论 cos 运算量大。若抓住隐含条件 s i n
1? s i n ? x 1 ? sxn? i

x 2

与 sin

x 2

的大小,从而得到 tanx 的值,势必

x 2

? 0 ,则十分简捷。
? 0 ? xs i n 1 ? ? 1 x s i? n x 。? n si 0

又 0? x ?? 则 snx?0 ,故 , i 14.分析:常规思路是将②变形为
5 2 x?a (x? ) ?0 ( ) 。 2

tanx=0。

对 a 进行分类讨论,过程复杂。若挖掘隐含条件,则可得如下简捷解法。 解:不等式①的解集为(—∞,—1)∪(2,+∞) 。 又原不等式组的解集中的整数只有—2,则原不等式组的解集为(-3,-1)∪(2,3)的子集。
( a( 。 ③ 不等式②变形为 2 x? ) x? ) ?0 2 5

又—2 属于不等式③的解集,知不等式③的解集为 (? 因此—a 的取值范围只能是(—2,3] 。 从而 a 的取值范围为[—3,2) 。 15.300 三、解答题 16.解:f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5 ? ? (sin x ? 令 sinx=t, t∈[-1,1]. 则 f (t ) ? ? (t ?
a 2 ) ?
2

5 2

,? a) ,

a 2

) ?
2

3 4

a

2

? 2a ? 6.

3 4

a

2

? 2 a ? 6 (t∈[-1,1]).

(1)当

a 2

? 1 即 a>2 时,t=1, y max ? ? a ? 3 a ? 5 ? 2
3

解方程得: a ? (2)当 ? 1 ?
a 2

3? 2

21

或a ?

3? 2

21

(舍) .
a 2

? 1 时,即-2≤a≤2 时, t ? 4 3

, y max ? ?

3 4

a

2

? 2a ? 6 ? 2 ,

解方程为: a ? ? (3)当
a 2

或 a=4(舍) .
2

? ? 1 即 a<-2 时, t=-1 时,ymax=-a +a+5=2

即 a2-a-3=0 ∴ a ?
3? 2 21

1? 2

13

,

∵ a<-2, ∴ a ?

?1? 2

13

全都舍去.

综上,当 a ?

或a ? ?

4 3

时,能使函数 f(x)的最大值为 2.

17.分析: 含参的一元不等式的解集问题,先讨论二次项系数,再对开口方向讨论,再对其两根 大小进行分类讨论. 解:原不等式可化为? ax2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0 时,x≤-1,即 x∈(-∞,-1]. (2)a?0 时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0 时, 不等式化为 ( x ?
2 a )( x ? 1) ? 0 ,

?a ? 0 2 ? 当? 2 ,即 a>0 时,不等式解为 ( ?? , ? 1] ? [ , ?? ) . a ? ? ?1 ?a

?a ? 0 ? 当? 2 ,此时 a 不存在. ? ? ?1 ?a

② a<0 时,不等式化为 ( x ?

2 a

)( x ? 1) ? 0 ,

?a ? 0 2 ? 当? 2 ,即-2<a<0 时,不等式解为 [ , ? 1] a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 2 ? 当? 2 ,即 a<-2 时,不等式解为 [ ? 1, ] . a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 ? 当? 2 ,即 a=-2 时,不等式解为 x=-1. ? ?1 ? ?a

综上: a=0 时,x∈(-∞,-1); a>0 时,x∈ ( ?? , ? 1] ? [ -2<a<0 时,x∈ [
2 a , ? 1] ; 2

2 a

, ?? ) ;

a<-2 时,x∈ [ ? 1, ] ; a=-2 时,x∈{x|x=-1}.
a

评述:本题分类讨论后采用分列式归纳结论,即针对变量分类讨论的,且在不同条件下问题有不同的 结论,归纳结论时应采用分列式. 18.解:(1)当 a=0 时,函数 f(–x)=(–x)2+|–x|+1=f(x),此时 f(x)为偶函数. 当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2|a|+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)

此时函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2–x+a+1=(x– 若 a≤
1 2 1 2

)2+a+

3 4

,则函数 f(x)在(–∞,a]上单调递减.

从而函数 f(x)在(–∞,a ] 上的最小值为 f(a)=a2+1 若 a>
1 2

,则函数 f(x)在(–∞,a ] 上的最小值为 f(
1 2

1 2

)=

3 4

+a,且 f(

1 2

)≤f(a).

②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x–a+1=(x+ 若 a≤– 若 a>–
1 2 1 2

)2–a+

3 4 1 2 3 4 1 2

,则函数 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(– ,则函数 f(x)在[a,+∞)单调递增.

)=

–a,且 f(–

)≤f(a);

从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a)=a2+1. 综上,当 a≤– 当–
1 2 1 2

时,函数 f(x)的最小值为

3 4

–a;

<a≤
1 2

1 2

时,函数 f(x)的最小值是 a2+1;
3 4
2 2

当 a>

时,函数 f(x)的最小值是 a+

.

19. 分析: 由圆、 椭圆、 双曲线等方程的具体形式, 结合方程 kx +y =4 的特点,对参数 k 分 k>1、 k=1、0<k<1、k=0、k<0 五种情况进行讨论. 解:由方程 kx +y =4,分 k>1、k=1、0<k<1、k=0、k<0 五种情况讨论如下: ① 当 k>1 时,表示椭圆,其中心在原点,焦点在 y 轴上,a=2,b= ② 当 k=1 时,表示圆,圆心在原点,r=2; ③ 当 0<k<1 时,表示椭圆,其中心在原点,焦点在 x 轴上,a= ④ 当 k=0 时,表示两条平行直线 y=±2; ⑤ 当 k<0 时,表示双曲线,中心在原点,焦点在 y 轴上. 所有五种情况的简图依次如下所示: y x y x y x y x y x
2 k 2 k
2 2



,b=2;

评述:以上都是由图形的不确定性所引起的分类讨论型问题,应把所有情况分类讨论后,找出 满足条件的条件或结论. 20.分析:此题属于“轴定区间动”型,常规思路是根据对称轴与区间的位置关系,分三种情况讨 论。挖掘隐含条件:函数 f(x)在[m, n]上的值域[2m, 2n]是函数 f(x)在 R 上的值域的子集,可以 避免分类讨论,迅速获解。
x ? x 1 略解: (1) f ( )? ( ? ) ? 。
2

1

1

2

2 1 2

(2)由函数 f(x)在 R 上的值域为(—∞,

] ,知

2n ?

1 2

, n?

1 4



可见函数 f(x)在[m, n]上为增函数。
1 2 ? f ( m) ? ? m ? m ? 2m, ? ? 2 由? ? f ( n) ? ? 1 n 2 ? n ? 2n, ? 2 ?

解得 m = —2,n = 0。 故当 m = —2,n = 0 时满足要求. 21. (I)解:因为{an}是等比数列 a1=1,a2=a. - ∴a≠0,an=an 1. 又 bn
? a n ? a n ? 1则 b1 ? a 1 ? a 2 ? a , bn ?1 bn ? a n ?1 ? a n ? 2 a n ? a n ?1 ? an? 2 an ? a a
n ?1 n ?1

? a

2

即 { b n } 是以 a 为首项, a2 为公比的等比数列.
? ?n, ? ? ? S n ? ?? n, ? 2n a (1 ? a ) ? . ? 1 ? a2 ? ( a ? 1) ( a ? ? 1) ( a ? ? 1)

(II)甲、乙两个同学的说法都不正确,理由如下: 解法一:设{bn}的公比为 q,则
b n ?1 bn ? a n ?1 a n ? 2 a n a n?2 ? a n?2 an ? q且 a ? 0

又 a1=1,a2=a, a1, a3, a5,?,a2n-1,?是以 1 为首项,q 为公比的等比数列, a2, a4, a6, ?, a2n , ?是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, 即{an}为:1,a, q, aq , q2, aq2, 当 q=a2 时,{an}是等比数列; 当 q≠a2 时,{an}不是等比数列. 解法二:{an}可能是等比数列,也可能不是等比数列,举例说明如下: 设{bn}的公比为 q (1)取 a=q=1 时,an=1(n∈N),此时 bn=anan+1=1, {an}、{bn}都是等比数列. (2)取 a=2, q=1 时, a
n

?1 ? ? ?2

( n 为奇数 ) ( n 为偶数 )

b n ? 2 .( n ? N ).

所以{bn}是等比数列,而{an}不是等比数列.

高三数学?单元测试卷参考答案
十八单元 化归与转化思想
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 A A C B C A D B C C 答案 1.分析:若利用正四面体外接球的性质,构造直角三角形去求解,过程冗长,容易出错,但把正 四面体补形成正方体,那么正四面体,正方体的中心与其外接球的球心共一点,因为正四面体棱长 3 为 2,所以正方体棱长为 1,从而外接球半径为 R= ,∴S 球=3π,应选 A. 2 2.分析:要根据 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的函数图象准确地画出 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的图象是困难的, 但我们注意到 f ( x ) 与 g ( x ) 一奇一偶,所以 y ? f ( x ) ? g ( x ) 是奇函数排除 B,但在 x ? 0 处 g ( x ) 无 意义,又排除 C、D,应选 A. 5.解析:分析直线 l2 的变化特征,化数为形,已知两直线不重合,因此问题应该有两个范围即得 解。答案:C 6.解析:化和的比为项的比 ∵ S 2 n ? 1 ? ( 2 n ? 1) ∴
an bn ? S 2 n ?1 T 2 n ?1 ?
a 1 ? a 2 n ?1 2 ? ( 2 n ? 1) a n ; T 2 n ? 1 ? ( 2 n ? 1) b n .

4 ( 2 n ? 1) 3 ( 2 n ? 1) ? 5

?

8n ? 4 6n ? 2

,取极限易得.答案:A

7.解析:转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率.答案:D 二、 填空题 11.b1 b 2 ? b n ? b1 b 2 ? b n b n ? 1 ? b17 ? n 12. 3+ 7 13. 14. 10 15. ①②③ ? ④,②③④ ? ① 11.分析:等差数列{an}中,a10=0,必有
a n ? 1 ? a 19 ? n ? a n ? 2 ? a 18 ? n ? ? ? a 9 ? a 11 ? 2 a 10 ? 0 , ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? ? a 10 ? a 11 ? ? ? a 19 ? n ? 0 ,

故有 a 1 ? a 2 ? ? ? ? a n ? a n ? 1 ? ? ? ? a 19 ? n ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? a n 类比等比数列 ?b n ? ,因为
b 9 ? 1,?b n ? 1 ?b17 ? n ? b n ? 2 ? b16 ? n ? ? ? b 8 ? b10 ? b 9 ? 1
2

? b n ? 1 ? b n ? 2 ? b 8 ? b 9 ? b17 ? n ? 1 ,故 b1 b 2 ? b n ? b1 b 2 ? b n b n ? 1 ? b17 ? n 成立.

[分 析 ] : 把 空 间 问 题 化 归 成 平 面 问 题 , 是 立 体 几 何 中 化 归 思 想 最 重 要 的 内 容 , 有 这 种 思 想 作 指 导 , 结 合 图 形 如 图 1, 由 于 A E 是 定 长 : 2 ? 3 2 ? 3,故 只 要 把

12. 侧 面 P A B . P B C 展 平 , 那 么 当 A . D . E 三 点 共 线 时 的 A E 长 , 即 A D ? D E 的 最 小 值 .
在 图 2的 ? A E D 中 , P A ? 2, P E ? 1, ? A P E ? 1 2 0 , 故 依 余 弦 定 理 有 A E ? 2 ? 2 ? 1 ? co s 1 2 0 ? 7 , 所 以 A E ?
? ? 2

? 2 ?1
2

2

7 , 于 是 得 ? A E D的 最 小 周 长 为 3 ?

7.

14.解析:9 个灯中关闭 3 个等价于在 6 个开启的路灯中,选 3 个间隔(不包括两端外边的装置) 插入关闭的过程?故有 C 5 =10 种 答案:10 15.分析:本题要求学生对线线关系,面面关系,以及线面关系的判定及其性质理解透彻,重点考 查学生对信息分析、重组判断能力,正确命题有①②③ ? ④,②③④ ? ① 三、解答题 ? 1 ? tan x 1 ? f (x) 16.分析:由 f ( x ? a ) ? 联想到 tan( x ? ) ? ,找到一个具体函数, f ( x ) =
1 ? f (x)
4 1 ? tan x tan x 及 a ?
3

?
4

, 而函数 y ? tan x 的周期 T ? ? ? 4 a 猜想 f ( x ) 是一个周期为 4 a 的函数. 这样方向

明,思路清.

证明:? f ( x ? a ) ?

1 ? f (x) 1 ? f (x)

,? f [( x ? a ) ? a ] ? 1 f (x ? 2a)

1 ? f (x ? a) 1 ? f (x ? a)

? ?

1 f (x)



? f ( x ? 4 a ) ? f [( x ? 2 a ) ? 2 a ] ? ?
0 1 2

? f ( x ), ? f ( x )的周期 T ? 4 a .
2 2

17.分析:⑴ a1C 2 ? a 2 C 2 ? a 3 C 2 ? a1 ? 2 a1 q ? a1 q ? a1 (1 ? q ) 同理可得: a1C 3 ? a 2 C 3 ? a 2 C 3 ? a 4 C 3 = a 1 (1 ? q )
0 1 2 3 0 1 2 n n 0 1 2 n n 0

(n ? 2 )
( n ? 3)
n

3

猜想: a1C n ? a 2 C n ? a 3 C n ? ? ? ? ( ? 1) a n ? 1C n ? a1 (1 ? q )
1

证明: a1C n ? a 2 C n ? a 3 C n ? ? ? ? ( ? 1) a n ? 1C n = a1C n ? a1 q C n ? ? ( ? 1) a 1 q C n
n n

n

= a1 [ C n ? q C n ? q C n ? ? ? ? ( ? 1) q C n ] ? a 1 (1 ? q )
0 1 2 2 n n n

n

18.分析:显然,题目中的 x 是主元, a 为辅元,但方程中 x 的最高次数为 3,求根比较困难,注 意到 a 的最高次数为 2,故可视 a 为主元,原方程转化为关于 a 的二次方程. 解:原方程可代为 a ? ( x ? 2 x ) a ? x ? 1 ? 0 , 解得 a ? x ? 1或 a ? x ? x ? 1, 即
2 2 3 2

x ? a ? 1或 x ? x ? 1 ? a ? 0 ,∵原方程有唯一实根,? x ? x ? 1 ? a ? 0 无实根,
2 2

3 ∴△<0,即 a< . 4 19.证明:构造对偶式:令 A ?
B ?
2

a1

2

a1 ? a 2 a3
2 2

?

a2

2

a2 ? a3

?? ? an
2 2

a n ?1 a n ?1 ? a n ? a1
2 2

2

?

an

2

a n ? a1

a2
2

2

a1 ? a 2
2

?

a2 ? a3

?? ?
2

a n ?1 ? a n
2

a n ? a1

则A? B ?

a1 ? a 2 a1 ? a 2

?

a2 ? a3

a2 ? a3

?? ?

a n ?1 ? a n

a n ?1 ? a n

?

a n ? a1

a n ? a1

= ( a 1 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a 3 ) ? ? ? ( a n ? 1 ? a n ) ? ( a n ? a 1 ) ? 0 ,? A ? B 又?
a
2 i

?a

2 j j

ai ? a
1 2

?

1 2

(a i ? a j )
2

( i , j ? 1, 2 ? n )
2 2 2 2 2 2 2

? A ?
? 1 4

(A ? B) ?

a2 ? a3 a n ?1 ? a n a n ? a1 1 a1 ? a 2 ( )? ?? ? ? 2 a1 ? a 2 a2 ? a3 a n ?1 ? a n a n ? a1
1 2

?( a 1

? a 2 ) ? ( a 2 ? a 3 ) ? ? ? ( a n ?1 ? a n ) ? ( a n ? a 1 ) ? ?

[分 析 ]

我们不妨将解题目标分解为

(1) 求 出 tan ? ( 用 ? 的 三 角 式 表 示 ); ( 2 ) 求 tan ? 的 值 .(3) 最 后 求 tan (? ? ? ). 解 ? sin ? csc ? ? co s(? ? ? ). ? sin ? sin ? ? co s(? ? ? ), ( 割 化 弦 )
2

即 sin ? ? sin ? co s(? ? ? )( 分 式 化 整 式 ) ? sin ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? .( 用 和 角 公 式 )

20 .

于 是 tan ? ? sin ? co s ? ? sin ? tan ? ( 产 生 tan ? ),
2

解 得 ta n ? ? ? tan ? 2 tan ? ? 1
2 2

sin ? co s ? 1 ? sin ?
2

?

sin ? co s ? 2 sin ? ? co s ?
2 2

("1" 的 代 换 ) 2 4 2 4 ,此时 :

?

tan ? 2 2 tan ? ? 1
2

(用 二 元 均 值 不 等 式 求 最 大 值 ) ?

.

当 2 tan ? ? 1, 即 tan ? ?

2 2

时 , tan ? 取 得 最 大 值

tan (? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?

2 2

?
2 2

2 4

1?

?

2 4

?

2. .

21.分析:设销售价格每件 x 元(50≤x≤80),每天获利润 y 元, 105(x-50) 则 y=(x-50)P= (50≤x≤80) (x-40)2 x-50 问 题 转 化 为 考 虑 u = (50 ≤ x (x-40)2
方法一 : u ? x ? 50 ( x ? 40)
2



80)











?

1 x ? 40 1

?

10 ( x ? 40) 1 2 ? (?10)
2

? ? ? 1

10 ( x ? 40)
2

?

1 x ? 40

这 是 一 个 u关 于

1 x ? 40



二 次 函 数 ,当

x ? 40

? ?

.即 x ? 6 0 ? [5 0 , 8 0 )时 , u 取 得 最 大 值 , 故 每 件

20

定 价 为 60元 时 , 利 润 最 大 为 2500元 . 方法二 : 由u ? x ? 50 ( x ? 40)
2

得 u ( x ? 40) ? x ? 50化 为 u ( x ? 40) ? ( x ? 40) ? 10 ? 0,
2 2

将其转化 1 40

为 关 于 ( x ? 4 0 )的 二 次 方 程 . 因 为 方 程 有 解 , 所 以 ? ? 1 ? 4 0 u ? 0 解 得 u ? 大值为 1 40 方法三 :将u ? x ? 50 ( x ? 40) 1
( x ? 40 ) x ? 50
2

, 故 u最

, 此 时 x ? 6 0 ( 元 ). 进 行 变 形,利 用 平 均 值 不 等 式 1
[( x ? 5 0 ) ? 1 0 ] x ? 50
2

2

可.

u ?

x ? 50 ( x ? 40)
2

?

?

?

1 ( x ? 50) ?
100 x ? 50

? 20

( x ? 50)

当 且 仅 当 x ? 50 ?

100 x ? 50

, 即 x ? 6 0 ? [5 0 , 8 0 )时 , u 有 最 大 值 , 即 y 取 最 大 值 .



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