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高中数学圆锥曲线


圆锥曲线方程
知识点总结精华 考试内容: 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求: (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在 x 轴上:
y2 a
2

x2 a
2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上:

?

x2 b2

? 1(a ? b ? 0) .

②一般方程: Ax 2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .③椭圆的标准参数方程:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的参数方程为

? x ? a c o s? ? (一象限 ? 应是属于 0 ? ? ? ). ? y ? b sin? 2 ? ⑵①顶点: (?a,0)(0,?b) 或 (0,?a)(?b,0) .②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b .③

焦点:(?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④焦距:F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤准线:x ? ? ⑥离心率: e ?
c (0 ? e ? 1) .⑦焦点半径: a
x2 a2 x2 b2 ? y2 b2 y2 a2

a2 a2 或y?? . c c

i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

PF1 ? a ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
?
PF1 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则a ? ey0 , PF 2 ? a ? ey0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知:pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF 2 ? e( a ? x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为 “左
c c
2 2

加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin ? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ?
2b 2 a2 ( ? c, b2 b2 ) 和 ( c, ) a a

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆
x
2

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) ,方程 a

a2

?

y2 b2

? t (t 是大于 0 的参数, ? b ? 0) 的离心率也是 e ? a

c 我们称此方程为共离心率的椭圆 a

系方程. ⑸若 P 是椭圆:
x2
2

?

y2 b
2

a

若 则 ? 1 上的点. F 1,F 2 为焦点, ?F 1PF 2 ? ? , ?PF 1F 2 的面积为 b 2 tan

?
2

(用余弦定理与 PF 1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

?
2

.

▲y

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

N的轨迹是椭圆

⑴ ① 双 曲 线 标 准 方 程 :
Ax 2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) .

一 般 方 程 :

⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶 点 : (a,0), (?a,0)
x2 a2 ? y2 b2 ?0

焦 点 : (c,0), (?c,0)

准线方程 x ? ?

a2 c

渐近线方程:

x y ? ?0或 a b

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,?a), (0, a) .

焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y ? ?

a2 . c

渐近

线方程:

? x ? a sec ? ? x ? b tan? y2 x2 y x 或? . ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 ,参数方程: ? y ? b tan? a b a b ? ? y ? a sec ?

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e ? (两准线的距离) ;通径 方程
x2 a2 ? y2 b2

c . a

④准线距

2a 2 c

2b 2 . a

⑤参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

c . a

⑥焦点半径公式:对于双曲线

? 1 ( F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则:
MF 1 ? ex 0 ? a MF 2 ? ex 0 ?a

构成满足 MF 1 ? MF 2 ? 2a


M ?F 1 ? ?ex 0 ? a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a
y

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径

要带符号计算,而双曲线不带符号)
M'



y F1 M x x

M

F1

F2 M' F2

MF 1 ? ey 0 ?a MF 2 ? ey 0 ? a ? M ?F 1 ? ?ey 0 ? a ? M ?F 2 ? ?ey 0 ?a

⑶等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ? a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭 双曲线.
x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . a2 b a b a b x2 a
2

⑸共渐近线的双曲线系方程:

?

y2 b
2

? ? (? ? 0) 的渐近线方程为

x2 a
2

?

y2 b2

? 0 如果双曲线的渐


x2 y2 x y 近线为 ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b

y

4

3

2 1
x

1 1 例如:若双曲线一条渐近线为 y ? x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2

F1

53
F2

解:令双曲线的方程为:

1 x2 x2 y2 ? ? 1. ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 8 2 4 2

3

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与渐近 线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线 比为 m︰n.
PF 1 d1 简证: ? e d2 PF 2 e
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距离

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.

三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

图形



y



y



y



y

x O

x O

x O
O

x

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

p F ( ,0) 2 x?? p 2 x ? 0, y ? R

F (? x?

p ,0) 2

p F (0, ) 2 p 2 x ? R, y ? 0 y??

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0) e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:① ay 2 ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

) t 为参数). (

四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; 当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ?
c ,当 c ? 0, a ? b 时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关 于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.

注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆 定义 1. 到两定点 F1,F2 的距离 之 和 为 定 值 2a(2a>|F1F2|) 的 点 的 轨 迹 2.与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(0<e<1) 图形 方 标 准 方程

双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 轨迹 2. 与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(e>1)

抛物线

与定点和直线的距离相等 的点的轨迹.

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0 a2 b2
)

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0 2 y =2px a2 b2
)



参 数 方程

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), ( ─ a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0)

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?
x?0 (0,0) x轴

范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线

p F ( ,0 ) 2

2c

(c= a ? b )
2 2

2c

(c= a ? b )
2 2

e?
a2 x= ? c

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线 焦半径 通径

b x a r ? x?
2p

r ? a ? ex
2b 2 a
a2 c

r ? ?(ex ? a)
2b 2 a
a2 c

p 2

焦参数

P

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线

5. 方程 y =ax 与 x =ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程. 试题精粹 江苏省 2011 年高考数学联考试题 5. (江苏省 2010 届苏北四市第一次联考)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为 ▲ .

2

2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25
2 2

9. (江苏省 2010 届苏北四市第一次联考)已知圆 O : x ? y ? 1 与 x 轴交于点 A 和 B ,在 线段 AB 上取一点 D( x, 0) ,作 DC ? AB 与圆 O 的一个交点为 C ,若线段 AD 、 BD 、 CD 可作为一个锐角三角形的三边长,则 x 的取值范围为 ▲ . (? 5 ? 2,
5 ? 2)

12. (姜堰二中学情调查(三) )已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,以其两个焦点 和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 4 的正方形, P 为该椭圆上的动点, 、 设 C

D 的坐标分别是 ? 2, 0 ,

?

? ?

2, 0 ,则 PC ? PD 的最大值为

?

.6

8. (江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试)双曲线 距离是 3,则点 M 的横坐标是 ▲ .
5 2

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到它的右焦点的 4 12

3、 (南通市六所省重点高中联考试卷)方程 则 m 的取值范围是 ▲

x2 y2 + = 1 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线, m 4-m
1 2 7 7 9 2 8 3 1

m?0

3

5 4

9、 (南通市六所省重点高中联考试卷)已知椭圆

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的中心为 O,右焦点为 a2 b

F、右顶点为 A,右准线与 x 轴的交点为 H,

| FA | 的最大值为 | OH |



12、 (宿迁市高三 12 月联考)椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的左焦点为 F,其左准线与 x 轴的 a 2 b2

交点为 A , 若在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围 是 ;[

1 ,1) 2

1. (无锡市 1 月期末调研)设双曲线的渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的离心率为





13 13 或 2 3

10. (徐州市 12 月高三调研)已知 A, B, F 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下顶点和右 a 2 b2 焦点,直线 AF 与椭圆的右准线交于点 M ,若直线 MB ∥ x 轴,则该椭圆的离心率 e =
▲ .

2 2
?

12. (盐城市第一次调研) ?ABC 中, ?ACB ? 60 , sin A : sin B ? 8: 5 ,则以 A, B 为焦点且 在 过点 C 的椭圆的离心率为 ▲ .

7 13

10. (苏北四市 2011 届高三第二次调研)双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线将平面 a 2 b2 划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界) ,若点 (1, 2) 在“上”区域内,则双曲线离
心率 e 的取值范围是 ▲ . 1, 5

?

?

18. (江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试) (本小题满分 16 分)

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,下顶点为 A ,点 P 是椭圆上任一 2 y 点,圆 M 是以 PF2 为直径的圆.
如图,已知椭圆 C :

? ,求 PA 所在的直线方程; 8 ⑵当圆 M 与直线 AF1 相切时,求圆 M 的方程; ⑶求证:圆 M 总与某个定圆相切.
⑴当圆 M 的面积为

P
M


F2

F1

O

x

A
解 ⑴易得 F1 ?? 1,0? , F2 ?1,0? , A2 ?0,?1? ,设 P?x1 , y1 ? , 则 PF2 ? ?x1 ? 1? ? y1 ? ?x1 ? 1? ? 1 ?
2 2 2 2

2 x1 ? 2 ? x1 ? 2 , ????????????????????2 2 ? ? 2? ? ? ? ? 2 ? ?1,? 2 ? , 又圆 M 的面积为 ,∴ ? ?x1 ? 2? ,解得 x1 ? 1 , ∴ P?1, ? 2 ?或? 2 ? 8 8 8 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? x ? 1 或 y ? ?1 ? 2 ? x ? 1 ;??????????4 ∴ PA 所在的直线方程为 y ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? x ?1 y ? ⑵∵直线 AF1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,且 M ? 1 , 1 ? 到直线 AF1 的距离为 ? 2 2?
∴ PF2 ? 2 ?

?

?

x1 1 2 ? ?x1 ? 2? , 2 2

2

x1 ? 1 y1 ? ?1 2 2 2

?

2 2 ? x1 , 2 4

化简得 y1 ? ?2 x1 ? 1 ,??????????6

? y1 ? ?2 x1 ? 1 8 ? 联立方程组 ? x 2 ,解得 x1 ? 0 或 x1 ? ? . 2 1 9 ? y1 ? 1 ? ? 2
?1 1? 当 x1 ? 0 时,可得 M ? ,? ? , ?2 2?

??????????8
2 2

1? 1? 1 ? ? ∴ 圆 M 的方程为 ? x ? ? ? ? y ? ? ? ;???9 2? 2? 2 ? ?
2 2

1? 7? 169 8 ? ? ?1 7? 当 x1 ? ? 时,可得 M ? , ? , ∴ 圆 M 的方程为 ? x ? ? ? ? y ? ? ? ;?10 18 ? 18 ? 162 18 18 ? 9 ? ? ?
⑶圆 M 始终与以原点为圆心,半径 r1 ? 2 (长半轴)的圆(记作圆 O)相切. 证明:∵ OM ?

?x1 ? 1?2
4

?

y1 ? 4

2

?x1 ? 1?2
4

1 x 2 2 ? ? 1 ? ? x1 , 4 8 2 4

2

?????14

2 2 ? x1 ,∴ OM ? r1 ? r2 , 2 4 ∴圆 M 总与圆 O 内切. ????????????????16 24. (江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试) 已知抛物线 L 的方程为
又圆 M 的半径 r2 ? MF2 ?

x 2 ? 2 py? p ? 0? ,直线 y ? x 截抛物线 L 所得弦 AB ? 4 2 .
⑴求 p 的值; ⑵抛物线 L 上是否存在异于点 A、B 的点 C,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处 有相同的切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:

?y ? x 解:⑴由 ? 2 解得 A(0,0), B(2 p,2 p) ? x ? 2 py
∴ 4 2 ? AB ? 4 p 2 ? 4 p 2 ? 2 2 p ,∴ p ? 2 ⑵由⑴得 x 2 ? 4 y, A(0,0), B(4,4) 假设抛物线 L 上存在异于点 A、B 的点 C (t , 物线 L 在点 C 处有相同的切线 ???????????????4

t2 ) (t ? 0, t ? 4) ,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛 4

?a 2 ? b 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? NA ? NB ? 令圆的圆心为 N (a, b) ,则由 ? 得? t2 ? NA ? NC ?a 2 ? b 2 ? (a ? t ) 2 ? (b ? ) 2 4 ?

? t 2 ? 4t ?a ? b ? 4 ?a ? ? ? ? 8 得? 1 2?? 2 ?4a ? tb ? 2t ? 8 t ?b ? t ? 4t ? 32 ? ? 8 ?

????????????????6

∵抛物线 L 在点 C 处的切线斜率 k ? y? | x ? t ?

t (t ? 0) 2

又该切线与 NC 垂直, ∴ 2 ? (?

t2 4 ? t ? ?1 ? 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 ∴ a ?t 2 4 b?

t 2 ? 4t t 2 ? 4t ? 32 1 )?t? ? 2t ? t 3 ? 0 ? t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 ????????8 8 8 4 ∵ t ? 0, t ? 4 ,∴ t ? ?2 故存在点 C 且坐标为(-2,1) ????????????????10
17. (江苏省 2010 届苏北四市第一次联考)(本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右两个顶点分别为 A,B,直线 x ? t (?2 ? t ? 2) 与椭圆相交于 4

M,N 两点,经过三点 A,M,N 的圆与经过三点 B,M,N 的圆分别记为圆 C1 与圆 C2.
(1)求证:无论 t 如何变化,圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值; (2)当 t 变化时,求圆 C1 与圆 C2 的面积的和 S 的最小值. y l:x=t M A O N B x

17、解: (1)易得 A 的坐标 (?2,0) , B 的坐标 (2,0) , M 的坐标 (t ,

4 ?t2 ) , N 的坐标 2

(t ,?

4 ?t2 t ? 2 4 ?t2 ) ,线段 AM 的中点 P ( , ), 2 2 4

直线 AM 的斜率 k1 ?

4 ?t2 1 2?t 2 ? ???????????????3 分 t?2 2 2?t
2?t 2?t

又 PC1 ? AM , ?直线 PC1 的斜率 k 2 ? ?2

?直线 PC1 的方程 y ? ?2
同理 C 2 的坐标为 (

2?t t?2 4 ?t2 3t ? 6 (x ? )? ,? C1 的坐标为 ( ,0) 2?t 2 4 8

3t ? 6 ,0) ???????????????????? 7 分 8

? C1C 2 ?

3 ,即无论 t 如何变化,为圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值.????? 9 分 2

(2)圆 C1 的半径为 AC1 ? 则 S ? ? AC1
2

3t ? 10 10 ? 3t ,圆 C 2 的半径为 BC2 ? , 8 8
2

? ? BC2

显然 t ? 0 时, S 最小, S min

(9t 2 ? 100 ) ( ? 2 < t < 2 ) 32 25? . ????? 14 分 ? 8 ?

?

18. (常州市 2011 届高三数学调研) (15) 已知直线 l 的方程为 x ? ?2 ,且直线 l 与 x 轴交 于点 M,圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A, B 两点(如图) .

1 ,求直线 l1 的方程; 4 (2)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程;
(1)过 M 点的直线 l1 交圆于 P、Q 两点,且圆孤 PQ 恰为圆周的 (3)过 M 点的圆的切线 l2 交(II)中的一个椭圆于 C、D 两点,其中 C、D 两点在 x 轴 上方,求线段 CD 的长. y l 2 Q 1 ? 18、解: (1I)? PQ 为圆周的 ,??POQ ? . ?O 点到直线 l1 的距离为 . 2 4 2 P 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2),?

l1

| 2k | k ?1
2

?

2 1 ,? k 2 ? . 2 7

M A

O

B

x

7 ( x ? 2). 7 x2 y 2 a2 (2)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c,则 ? 2. a b c ?椭圆与圆 O 恰有两个不同的公共点,则 a ? 1 或 b ? 1. 1 3 4 y2 当 a ? 1 时, c ? , b2 ? a 2 ? c 2 ? ,?所求椭圆方程为 x 2 ? ? 1; 3 2 4

? l1 的方程为 y ? ?

当 b ? 1时, b2 ? c2 ? 2c,?c ? 1,? a2 ? b2 ? c2 ? 2. ?所求椭圆方程为 (3)设切点为 N,则由题意得,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

x2 ? y 2 ? 1, 2

在 Rt ?MON 中, MO ? 2, ON ? 1 ,则 ?NMO ? 30? ,

3 x2 ( x ? 2) ,代入椭圆 ? y 2 ? 1 中,整理得 5x2 ? 8x ? 2 ? 0. 3 2 8 2 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 5 5
?l2 的方程为 y ?
1 4 64 8 4 ? CD ? (1 ? )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? ( ? )? 2. 3 3 25 5 5
18. (姜堰二中学情调查(三)(本小题共 16 分) ) 已知椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b2 ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的两 2 a b

条切线,切点分别为 A , B . (1)①若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e ; ②若椭圆上存在点 P ,使得 ?APB ? 90 ,求椭圆离心
?

率 e 的取值范围; (2)设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,求证:

a2 ON
2

?

b2 OM
2

为定值.

18.解: (Ⅰ) (ⅰ)∵ 圆 O 过椭圆的焦点,圆 O : x ? y ? b ,
2 2 2

∴ b ? c ,∴ b ? a ? c ? c ,
2 2 2 2

∴ a ? 2c ,∴ e ?
2 2

2 . 2

??? 5 分

? (ⅱ)由 ?APB ? 90 及圆的性质,可得 OP ?
2 2 ∴ OP ? 2b ? a , ∴ a ? 2c
2 2 2

2b ,

∴e ?
2

2 1 ? e ? 1. , 2 2

??? 10 分

(Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

y0 ? y1 x ? ? 1 整理得 x0 x ? y0 y ? x12 ? y12 x0 ? x1 y1
? x12 ? y12 ? b 2 ∴ PA 方程为: x1 x ? y1 y ? b2 ,

PB 方程为: x2 x ? y2 y ? b 2 .∴ x1 x ? y1 y ? x2 x ? y2 y ,


x y2 ? y1 ?? 0 , x2 ? x1 y0
y ? y1 ? ? x0 ? x ? x1 ? ,即 y0
x0 x ? y0 y ? b 2 .

直线 AB 方程为

令 x ? 0 ,得 ON ? y ?

b2 b2 ,令 y ? 0 ,得 OM ? x ? , y0 x0



a2 ON
2

?

b2 OM
2

2 2 a 2 y0 ? b 2 x0 a 2b 2 a 2 ? ? 4 ? 2, b4 b b



a2 ON
2

?

b2 OM
2

为定值,定值是

a2 ??? 16 分 b2

19. (姜堰二中学情调查(三)(本小题共 16 分) ) 1 已知 M(p, q)为直线 x+y-m=0 与曲线 y=- 的交点, x 2x-m 且 p<q,若 f(x)= 2 ,λ 、μ 为正实数。 x +1 λ p+μ q μ p+λ q 求证:|f( )-f( )|<|p-q| λ +μ λ +μ 证明: 易证 f(x)在(p,q)上单调??? 6 分 又 λ p+μ q λ +μ

? ( p, q ) ,

μ p+λ q ? ( p, q ) ??? 10 λ +μ

?|f( λ +μ

λ p+μ q

μ p+λ q )-f( )| ? f ( p ) ? f ( q ) = p ? q ??? 16 分 λ +μ

18 . (泰州市 2011 届高三第一次模拟考试)(本小题满分 16 分) 如图,在直角坐标系中, A, B, C 三点在 x 轴上,原点 O 和点 B 分别是线段 AB 和 AC 的中点,已知 AO ? m ( m 为常数) ,平面上的点 P 满足 PA ? PB ? 6m 。 (1)试求点 P 的轨迹 C1 的方程; (2)若点 ? x, y ? 在曲线 C1 上,求证:点 ?

?x y ? , ? 一定在某圆 C 2 上; ?3 2 2?

(3)过点 C 作直线 l ,与圆 C 2 相交于 M , N 两点,若点 N 恰好是线段 CM 的中点,试求直 线 l 的方程。

y

P

x
A
O

B

C

18. ⑴由题意可得点 P 的轨迹 C1 是以 A, B 为焦点的椭圆. ????????(2 分) 且半焦距长 c ? m ,长半轴长 a ? 3m ,则 C2 的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 .???(5 分) 9m 2 8m

⑵ 若 点 ( x , y )在 曲 线 C1 上 , 则

y x2 y2 x ? 2 ? 1 . 设 ? x0 , ? y0 , 则 x ? 3x0 , 2 9m 8m 3 2 2

y ? 2 2 y0 . ????????????????????????????(7 分)
代入

x2 y2 x y 2 2 ? 2 ? 1 ,得 x0 ? y0 ? m2 ,所以点 ( , ) 一定在某一圆 C2 上. 2 9m 8m 3 2 2

????????????(10 分) ⑶由题意 C (3m, 0) . ????????????????????????(11 分) 设 M ( x1 , y1 ) ,则 x1 ? y1 ? m .┈┈┈①
2 2 2

因 为 点 N 恰 好 是 线 段 CM 的 中 点 , 所 以 N (

x1 ? 3m 2 y ) ? ( 1 )2 ? m2 .┈┈┈② 2 2 联立①②,解得 x1 ? ? m , y1 ? 0 .???????????????????(15 分) 故直线 l 有且只有一条,方程为 y ? 0 . ?????????????????(16 分) (
(若只写出直线方程,不说明理由,给 1 分) 18 . (泰州市 2011 届高三第一次模拟考试)(本小题满分 16 分) 如图,在直角坐标系中, A, B, C 三点在 x 轴上,原点 O 和点 B 分别是线段 AB 和 AC 的中点,已知 AO ? m ( m 为常数) ,平面上的点 P 满足 PA ? PB ? 6m 。 (1)试求点 P 的轨迹 C1 的方程; (2)若点 ? x, y ? 在曲线 C1 上,求证:点 ?

x1 ? 3m y1 , ) . 代 入 C2 的 方 程 得 2 2

?x y ? , ? 一定在某圆 C 2 上; ?3 2 2?

(3)过点 C 作直线 l ,与圆 C 2 相交于 M , N 两点,若点 N 恰好是线段 CM 的中点,试求直 线 l 的方程。

y
P

x
A
O

B

C

18. ⑴由题意可得点 P 的轨迹 C1 是以 A, B 为焦点的椭圆. ????????(2 分) 且半焦距长 c ? m ,长半轴长 a ? 3m ,则 C2 的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 .???(5 分) 9m 2 8m x2 y2 y x ? 2 ? 1 . 设 ? x0 , ⑵ 若 点 ( x , y )在 曲 线 C1 上 , 则 ? y0 , 则 x ? 3x0 , 2 9m 8m 3 2 2

y ? 2 2 y0 . ????????????????????????????(7 分)

代入

x y x2 y2 2 2 ? 2 ? 1 ,得 x0 ? y0 ? m2 ,所以点 ( , ) 一定在某一圆 C2 上. 2 9m 8m 3 2 2

????????????(10 分) ⑶由题意 C (3m, 0) . ????????????????????????(11 分) 设 M ( x1 , y1 ) ,则 x1 ? y1 ? m .┈┈┈①
2 2 2

因 为 点 N 恰 好 是 线 段 CM 的 中 点 , 所 以 N (

x1 ? 3m 2 y ) ? ( 1 )2 ? m2 .┈┈┈② 2 2 联立①②,解得 x1 ? ? m , y1 ? 0 .???????????????????(15 分) 故直线 l 有且只有一条,方程为 y ? 0 . ?????????????????(16 分) (
(若只写出直线方程,不说明理由,给 1 分) 18. (江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试) (本题满分 15 分) 如图,已知椭圆 C :

x1 ? 3m y1 , ) . 代 入 C2 的 方 程 得 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A、B,右焦点为 F,直线 l 为椭圆的 16 12

右准线,N 为 l 上一动点,且在 x 轴上方,直线 AN 与椭圆交于点 M. (1)若 AM=MN,求∠AMB 的余弦值; (2)设过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,当 线段 PQ 的中点坐标为(0,9)时,求这个圆的方程. 解: (1)由已知, A(?4,0), B(4,0), F (2,0) ,直线 l 的方程为x ? 8 . 设 N(8,t) t>0) ( ,因为 AM=MN,所以 M(4,
t ) . 2

(第 18 题)

由 M 在椭圆上,得 t=6.故所求的点 M 的坐标为 M(4,3) .????????? 4分
???? ???? ???? ???? 所以 MA ? (?6, ?3), MB ? (2, ?3) , MA ? MB ? ?12 ? 9 ? ?3 .

???? ???? MA ? MB ?3 65 .???????????? cos ?AMB ? ???? ???? ? ?? 65 | MA || MB | 36 ? 9 ? 4 ? 9

??7 分 (用余弦定理也可求得) (2)设圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 A,F,N 三点坐标代入,得
? D ? 2, ?16 ? 4 D ? F ? 0, ? 72 ? ? ? ? E ? ?t ? , ?4 ? 2 D ? F ? 0, t ? ? 2 ?64 ? t ? 8D ? Et ? F ? 0, ? F ? ?8. ?

∵ 圆方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? (t ? 11 分

72 72 ) y ? 8 ? 0 ,令 x ? 0 ,得 y 2 ? (t ? ) y ? 8 ? 0 .? t t

t?

设 P(0, y1 ), Q(0, y2 ) ,则 y1、 ? 2

72 72 2 ? (t ? ) ? 32 t t . 2
72 ? 18 . t

由线段 PQ 的中点坐标为(0,9) ,得 y1 ? y2 ? 18 , t ?

此时所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 18 y ? 8 ? 0 .??????????????? 15 分 (本题用韦达定理也可解) (2) (法二)由圆过点 A、F 得圆心横坐标为-1,由圆与 y 轴交点的纵坐标为(0,9) , 得圆心的纵坐标为 9, 故圆心坐标为 (-1, . 9) ?????????????? 11 分 易求得圆的半径为 3 10 ,???????????????????????? 13 分 所以,所求圆的方程为 x ? 1)2 ? ( y ? 9)2 ? 90 .??????????????? ( 15 分 18. (苏北四市 2011 届高三第一次调研考试) (本小题满分 16 分) 2 2 x y 已知椭圆 E: ? ? 1 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰好经 8 4 过坐标原点 O,设 G 是圆 C 上任意一点. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 FG 与直线 l 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在定点 P,使得 理由. 讲评建议:对于第二问题当初是仿照 2004 年江苏高考题命制,用 | DG |? 2 | GT | ,考查两解 情况,后改为 DG ? 2GT ,但综合全题还是有一线教师认为运算量较大,后改为现在情况, 改成中点后,命题思想完全发生了变化,改成中点,学生用中点坐标公式,是代数方法,而 原来思维是方程思想,这一点引起各位注意,对于第三问,也是教材的习题,逆向思维,同 时是对两个参量求最值,学生一般接触较少,当然此题也可转化成一个参数,即对 y 平方法, 两次用圆方程消元,达到目的,建议教师讲解。同时注意到,此圆是以椭圆的左准线的与 x 轴的交点为圆心,两个定点恰是椭圆的左右焦点,三问题之间非常和谐,融为一体。
GF 1 ? ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明 GP 2

18. (1)由椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 ,得 l : x ? ?4 , C (?4, 0) , F (?2, 0) , 8 4
2 2

又圆 C 过原点,所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) ? y ? 16 .????????????4 分 (2)由题意,得 G(?3, yG ) ,代入 ( x ? 4) ? y ? 16 ,得 yG ? ? 15 ,
2 2

所以 FG 的斜率为 k ? ? 15 , FG 的方程为 y ? ? 15( x ? 2) , (注意:若点 G 或 FG 方程只写一种情况扣 1 分) 所以 C (?4, 0) 到 FG 的距离为 d ?

???????8 分

15 ,直线 FG 被圆 C 截得弦长为 2 16 ? ( 15 ) 2 ? 7 . 2 2

故直线 FG 被圆 C 截得弦长为 7.??????????????????????10 分 (3)设 P(s, t ) , G ( x0 , y0 ) ,则由
2 2

2 ( x0 ? 2)2 ? y0 GF 1 1 ? ,得 ? , GP 2 ( x0 ? s)2 ? ( y0 ? t )2 2
2 2

整理得 3( x0 ? y0 ) ? (16 ? 2s) x0 ? 2ty0 ? 16 ? s ? t ? 0 ①,??????????12 分 又 G ( x0 , y0 ) 在圆 C: ( x ? 4) ? y ? 16 上,所以 x0 ? y0 ? 8 x0 ? 0 ②,
2 2
2 2

②代入①得 (2s ? 8) x0 ? 2ty0 ? 16 ? s ? t ? 0 ,
2 2

??????????14 分

? 2 s ? 8 ? 0, ? 2t ? 0, 又由 G ( x0 , y0 ) 为圆 C 上任意一点可知, ? 解得 s ? 4, t ? 0 . ?16 ? s 2 ? t 2 ? 0, ?
所以在平面上存在一点 P,其坐标为 (4, 0) . ??????????16 分

18、 (宿迁市高三 12 月联考) (本题满分 16 分)已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短轴长为 2,动点 M (2, t ) (t ? 0) 在椭圆的准线上。 (1)求椭圆的标准方程; (2)求以 OM 为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定值。 18、解: (1)由 2b ? 2 ,得 b ? 1 又由点 M 在准线上,得 ?????1 分 ?????2 分

a2 ?2 c



1 ? c2 ? 2 ,?c ? 1 c

从而 a ? 2

?????4 分

所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

?????5 分

(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x( x ? 2) ? y( y ? t ) ? 0

t 2 t2 即 ( x ? 1) ? ( y ? ) ? ? 1 2 4
2

其圆心为 (1, ) ,半径 r ?

t 2

t2 ?1 4

?????7 分

因为以 OM 为直径的圆被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

r 2 ?1 ?

t 2

?????9 分

所以

3 ? 2t ? 5 5

?

t ,解得 t ? 4 2
2 2

所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 (3)方法一:由平几知: ON 直线 OM: y ?
2

?????10 分

? OK OM
?????12 分

t 2 x ,直线 FN: y ? ? ( x ? 1) 2 t

t ? y? x ? 4 ? 2 由? 得 xK ? 2 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?
? ON ? 1 ?
2

t2 t2 x K ? 1 ? xM 4 4

t2 4 ? (1 ? ) ? 2 ?2 ? 2 4 t ?4
所以线段 ON 的长为定值 2 。 方法二、设 N ( x0 , y0 ) ,则 ?????16 分

???? ???? ? FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) ???? ? ???? MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 ) ???? ???? ? ? FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0,? 2 x0 ? ty0 ? 2
又? MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x0 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 2
2

???? ?

????

所以, ON ?

????

x02 ? y02 ? 2 为定值。

18. (无锡市 1 月期末调研)(本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A,过 A 作两条互相垂直的弦 AM、AN 交椭圆于 M、N 4

两点. (1) 当直线 AM 的斜率为 1 时,求点 M 的坐标; (2) 当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的一定点,若过定点,请给出证明, 并求出该定点,若不过定点,请说明理由. 18. (1)直线 AM 的斜率为 1 时,直线 AM: y ? x ? 2 , ????????????????? 1分 代





















5x2 ?


, x ?1 ? 6 ?????????????????2 分 1 2 0 之 得

x1 ? ?2, x2 ? ?

6 5





6 4 M (? , ) . ????????????????????4 分 5 5
(2)设直线 AM 的斜率为 k ,则 AM: y ? k ( x ? 2) ,



? y ? k ( x ? 2), ? 2 ? x ? y 2 ? 1, ? 4 ?









(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 .???????????6 分
∵ 此 方 程 有 一 根 为

?2





xM ?

2 ? 8k 2 , ?????????????????????7 分 1 ? 4k 2
理 可 得



2k 2 ? 8 xN ? 2 .?????????????????????????????8 分 k ?4
由 (1) 知若存在定点, 则此点必为 P(? , 0) . ???????????????????

6 5

9分 ∵

kMP


2 ? 8k 2 ? 2) yM 5k 1 ? 4k 2 ,???????????????????11 ? ? ? 2 6 2 ? 8k 6 4 ? 4k 2 xM ? ? 5 1 ? 4k 2 5 k(
同 理 可 计 算 得

k PN ?

5k .??????????????????????????13 分 4 ? 4k 2 ∴ 直 线 MN 过 轴 上 的 一 定 x 6 P(? , 0) . ??????????????????????16 分 5
已知椭圆 C :



19. (徐州市 12 月高三调研)(本小题满分 16 分)

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 下顶点为 A , P 是椭圆上任一点, 点 2
y P · M F1 · O A
第 19 题

⊙ M 是以 PF2 为直径的圆.

? 时,求 PA 所在直线的方程; 8 (Ⅱ)当⊙ M 与直线 AF1 相切时,求⊙ M 的方程; (Ⅲ)求证:⊙ M 总与某个定圆相切.
(Ⅰ)当⊙ M 的面积为

F2

x

19

Ⅰ ) 易 得 F1 ?? 1,0?, F2 (1,0), A(0,?1) ,设点 P ?x1 , y1 ? ,
2





: (

x1 1 2 ? ( x1 ? 2) 2 ,所以 PF2 ? 2 ? x1 ?3 分 2 2 2 2 2 ? ? ? 2 )或(1,? ), 又⊙ M 的面积为 ,∴ ? ( x1 ? 2) ,解得 x1 ? 1 ,∴ P(1, 2 2 8 8 8 2 2 ) x ? 1 或 y ? (1 ? ) x ? 1 ??????5 分 ∴ PA 所在直线方程为 y ? (1 ? 2 2 x ? 1 y1 (Ⅱ)因为直线 AF 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,且 M ( 1 , ) 到直线 AF1 的 1 2 2 x1 ? 1 y1 | ? ?1| 2 2 2 2 距离为 ? ? x1 ????????????7 分 2 4 2 ? y1 ? ?1 ? 2 x1 8 ? 化简,得 y1 ? ?1 ? 2 x1 ,联立方程组 ? x 2 ,解得 x1 ? 0 或 x1 ? ? ?10 分 2 1 9 ? y1 ? 1 ? ? 2 1 1 1 2 1 2 1 ∴当 x1 ? 0 时,可得 M ( ,? ) ,∴⊙ M 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? ; 2 2 2 2 2 1 2 7 2 169 1 7 8 当 x1 ? ? 时,可得 M ( , ) ,∴⊙ M 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? ?12 分 9 18 18 162 18 18
则 PF2 ? ( x1 ? 1) ? y1 ? ( x1 ? 1) ? 1 ?
2 2 2 2

(Ⅲ)⊙ M 始终和以原点为圆心,半径为 r1 ? 分 证明:因为 OM ?

2 (长半轴)的圆(记作⊙ O )相切?13
2

( x1 ? 1) 2 y1 ? ? 4 4
2

( x1 ? 1) 2 1 x1 2 2 ? ? ? ? x1 , 4 4 8 2 4

又⊙ M 的半径 r2 ? MF2 ?

2 2 ? x1 ,∴ OM ? r1 ? r2 ,∴⊙ M 和⊙ O 相内切??16 2 4

分 17. (盐城市第一次调研)(本小题满分 16 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F .⊙M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且
2

与 y 轴相切.

? 的直线 n ,交 l 于点 A , 交⊙M 于另一点 B ,且 AO ? OB ? 2 . 3 (Ⅰ)求⊙M 和抛物线 C 的方程; y ???? ??? ? ? l (Ⅱ)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值;
过原点 O 作倾斜角为 (Ⅲ)过 l 上的动点 Q 向⊙M 作切线,切点为 S , T , 求证:直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标. A O B ? F M

x

第 17 题

17.解: (Ⅰ)因为 2分

p 1 ? OA ? cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ? 2 2 OB 1 ? ? 2 ,所以 ? M 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ??? 5 ? 2 cos 60

设⊙M 的半径为 r ,则 r ? 分

(Ⅱ)设 P( x, y)( x ? 0) , 则 PM ? PF ? (2 ? x, ? y )(1 ? x, ? y ) = x ? 3x ? 2 ? y ? x ? x ? 2 ?8 分
2 2 2

???? ??? ? ?

所以当 x ? 0 时, PM ? PF 有最小值为 2 ???????????????10 分 (Ⅲ)以点 Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段 ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦???? 11 分 设点 Q(?1, t ) ,则 QS ? QM ? 4 ? t ? 5 ,所以⊙Q 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? t ) ? t ? 5
2 2 2 2 2 2

???? ??? ? ?

?????????????13 分 从而直线 QS 的方程为 3x ? ty ? 2 ? 0 (*)????????????????14 分

2 ? 2 ?x ? 因为 ? 3 一定是方程(*)的解,所以直线 QS 恒过一个定点,且该定点坐标为 ( , 0) ?? 3 ?y ?0 ?
16 分 18. (苏北四市 2011 届高三第二次调研) (本小题满分 16 分) 如图, 椭圆

3 1 x2 y 2 其左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 离心率 e ? , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P(1, ) , 2 a b 2 2 ????? ???? ? M , N 是椭圆右准线上的两个动点,且 F1M ? F2 N ? 0 .
M

(1)求椭圆的方程; (2)求 MN 的最小值; (3)以 MN 为直径的圆 C 是否过定点? 请证明你的结论.
F1

y

O

F2

x

N

(第 18 题)

18.(1)? e ?

c 1 3 ? ,且过点 P(1, ) , a 2 2

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? a ? 2, ? ? 解 得 ? ? a ? 2c , ? ?b ? 3, ? ? a 2 ? b2 ? c2 , ? ? 2 x y2 ? ? 1.??????????????4 分 4 3

?











????? ???? ? ????? ???? ? (2) 设点 M (4, y1 ), N (4, y2 ) 则 F1M ? (5, y1 ), F2 N ? (3, y2 ), F1M ? F2 N ? 15 ? y1 y2 ? 0 ,

? y1 y2 ? ?15 ,

15 15 + y1 ≥ 2 15 , 又? MN ? y2 ? y1 ? - ? y1 ? y1 y1

? MN 的最小值为 2 15 .????????????????????????????
10 分

(3) 圆心 C 的坐标为 (4,

y ? y1 y1 ? y2 . ) ,半径 r ? 2 2 2

圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ?

y1 ? y2 2 ( y2 ? y1 )2 , ) ? 2 4

整理得: x 2 ? y 2 ? 8x ? ( y1 ? y2 ) y ? 16 ? y1 y2 ? 0 . 16 分

??????????????

? y1 y2 ? ?15 ,? x 2 ? y 2 ? 8x ? ( y1 ? y2 ) y ? 1 ? 0
令 y ? 0 ,得 x2 ? 8x ? 1 ? 0 ,? x ? 4 ? 15 .

?
( ?



C







.?????????????????????????????16 分 0 4 1 5 ,

)

21. (苏北四市 2011 届高三第二次调研) (本小题满分 10 分) 1 1 已知动圆 P 过点 F (0, ) 且与直线 y ? ? 相切. 4 4 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A, B 两点,轨迹 C 在 A, B 两点处的切线相交于点 N ,

M 为线段 AB 的中点,求证: MN ? x 轴.
y

F? P ?

O

x

第 22 题 21.(1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程为 x ? y ????4 分
2
2 2 (2) 证明:设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) , ∵ y ? x 2 , ∴ y? ? 2 x ,∴ AN , BN 的斜率分

别 为 2 x1 , 2 x2 ,故 AN 的方程为 y ? x1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) , BN 的方程
2

y

为 y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ) ?7 分
2

即?

? y ? 2 x1 x ? x12 x ? x2 x ? x2 ? , 两式相减, xN ? 1 得 , xM ? 1 又 , 2 2 2 ? y ? 2 x2 x ? x 2 ?

F? P ?

O

x

∴ M , N 的横坐标相等,于是 MN ? x ??????10 分 18. (苏州市 2011 届高三调研测试) (本小题满分 16 分) 如图,椭圆 第 22 题

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,上顶点为 A , 4 3

过点 A 作直线 AF 的垂线分别交椭圆、 x 轴于 B, C 两点. ⑴若 AB ? ? BC ,求实数 ? 的值; ⑵设点 P 为 △ ACF 的外接圆上的任意一点, 当 △PAB 的面积最大时,求点 P 的坐标. 18.【解析】 (1)由条件得 F ? ?1, 0 ? , A 0, 3 , k AF ? 3. 因为 AB ? AF , 所以 k AB ? ?

??? ?

??? ?

?

?

3 3 x ? 3. , AB : y ? ? 3 3

令 y ? 0, 得 x ? 3, 所以点 C 的坐标为 ? 3, 0 ? .

? 3 x? 3 ?y ? ? 24 ? 3 2 由? 得 13x ? 24 x ? 0, 解得 x1 ? 0 (舍) x2 ? . 2 2 13 ? x ? y ?1 ? 4 3 ?
所以点 B 的坐标为 ?

? 24 5 3 ? ? 13 , 13 ? . ? ? ?

??? ? 24 AB ??? ? ??? ? 8 因为 AB ? ? BC ,所以 ? ? 0, 且 ? ? ??? ? 13 ? . ? BC 3 ? 24 5 13 (2)因为 △ ACF 是直角三角形,
所以 △ ACF 的外接圆的圆心为 D ?1, 0 ? ,半径为 2.
2 所以圆 D 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 4 . 2

因为 AB 为定值,所以当 △PAB 的面积最大时点 P 到直线 AC 的距离最大. 过 D 作直线 AC 的垂线 m ,则点 P 为直线 m 与圆 D 的交点 . 直线 m : y ?

3 ? x ? 1? 与 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 联立得 x ? 2 (舍)或 x ? 0,
2

所以点 P 的坐标为 0, 3 .

?

?

试题精粹 江苏省 2010 年高考数学联考试题 一、填空题: 12. (江苏省南通市 2010 年高三二模)A、B 是双曲线 C 的两个顶点,直线 l 与实轴垂直,与
uur uuu r 双曲线 C 交于 P、Q 两点,若 PB ? AQ ? 0 ,则双曲线 C 的离心率 e= ▲ .

解析:设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,双曲线上点 P(x,y), a 2 b2

uur uuu r 则 A(?a,0), B(a,0) , Q (x, ? y).由 PB ? AQ ? 0 得

? a ? x, ? y ??? x ? a, ? y ? ? 0 从而 x2 ? y 2 ? a 2 ,又因点 P 在双曲线上,满足
中知点 P 为任意可由两式比较得 a ? b ,则双曲线 C 的离心率 e= 2 .
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,另从题 a 2 b2

法二:由 PB ? AQ, AB ? PQ 知 B 为垂心,即 PQ 运动中始终要 B 点垂心;从而可假设三角形 PAQ 为等边三角形来处理. 7. (江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研)已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标 轴,且经过点(2, 2 )与( 2 ,0) ,则双曲线的焦点坐标为 解析:由题意知设双曲线的方程为
2 2



x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 且 a 2 ? 2 ,又过点(2, 2 ) 2 a b

得 x ? y ? 2 ,则双曲线的焦点坐标为 ? ?2, 0 ? .

13. (江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷)已知 c 是椭圆 半焦距,则
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a2 b2

b?c 的取值范围是 a



b 2 ? c 2 ? 2bc b 2 ? c 2 ? 2bc 2bc ?b?c? ? ? 1? 2 ? 2 ? 1, 2 解: ? ? ? 2 2 2 a b ?c b ? c2 ? a ?

?

?

2.(江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测)如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为

椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点,直线 a 2 b2

A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T, OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 线段

OT 的中点,则该椭圆的离心率为



. e ? 2 7 ?5

5 . 江 苏 省 泰 州 市 2010 届 高 三 联 考 试 题 ) 已 知 双 曲 线 (

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的实轴长为 2,离心率为 2,则双曲 a 2 b2

线 C 的焦点坐标是______▲_______.

解析:由双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的实轴长为 2,离心率为 2, a 2 b2

知 2a ? 2, e ? 2 ,则 c ? 2 ,故双曲线 C 的焦点坐标是 ?? 2,0? 。 4. (2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一)在平面直角坐标系 xOy 中,已 知双曲线 C : ▲ .2
x2 ? y 2 ? 1( a ? 0 )的一条渐近线与直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a ? a2

9. (江苏省盐城市 2010 年高三第二次调研考试)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的 一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ,则该双曲线的离心率为 ▲ .

5 3

x2 y2 8、 (江苏省连云港市 2010 届高三二模试题)已知双曲线 ? ? 1 ( ? 为锐角)的 cos2 ? sin 2 ?
右焦为 F,P 是右支上任意一点,以 P 为圆心,PF 长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等 于|PF|,则 ? 的值为 ▲ . (2,1) 10、 (江苏省连云港市 2010 届高三二模试题)如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2

x2 y 2 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点,F 为其右焦点, 直线 A1 B2 a b
与直线 B1 F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中 点,则该椭圆的离心率为 ▲ . e ? 2 7 ?5

y

O

4

x y

9. (江苏省苏南六校 2010 年高三年级联合调研考试)直线 x ? t 过双

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 曲线 a 的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于 A、 两点, B
若原点在以 AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是_____________. ( 2, ??) 13. (2010 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试)如图,已知椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , B 是它的下顶点, F 是其右焦点, BF 的延长线与椭圆及其右准线 a 2 b2 3 分别交于 P 、 Q 两点,若点 P 恰好是 BQ 的中点,则此椭圆的离心率是 ▲ . 3 y Q

P O B
第 13 题

F

x

11、 (江苏省南京市 2010 年 3 月高三第二次模拟).以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点 a 2 b2

为圆心的圆经过原点 O,且与该椭圆的右准线交与 A,B 两点,已知△OAB 是正三角形,则该 椭圆的离心率是 。

6 3
2

3. (江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷)若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦

点与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 12 4

。8

12. (江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

F1 , F2 是左右焦点, l 是右准线,若椭圆上存在点 P ,使 | PF1 | 是 P 到直线 l 的距离的 2 倍,则
椭圆离心率的取值范围是______________. [

?3 ? 17 ,1) 2

二、解答题 18. (江苏省南通市 2010 年高三二模) (本小题满分 15 分) 平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙M 经过点 F1(0,-c) F2(0,c) A( 3 c,0)三点, , , 其中 c>0. (1)求⊙M 的标准方程(用含 c 的式子表示) ; (2)已知椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) (其中 a2 ? b2 ? c2 )的左、右顶点分别为 D、B, a 2 b2 ⊙M 与 x 轴的两个交点分别为 A、C,且 A 点在 B 点右侧,C 点在 D 点右侧. ①求椭圆离心率的取值范围; ②若 A、B、M、O、C、D(O 为坐标原点)依次均匀分布在 x 轴上,问直线 MF1 与直 线 DF2 的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是, 请说明理由.

17. (2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一) (本小题满分 14 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

的左焦点为 F , 右顶点为 A, 动点 M 为右准线上一点 (异于右准线与 x 轴的交点) ,设线段 FM 交椭圆 C 于点 P,已知椭圆 C 的离心率为 点 M 的横坐标为
9 . 2 2 , 3

y P

M

F

O

A

x

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 PA 的斜率为 k1 ,直线 MA 的斜率为 k 2 ,求 k1 ? k2 的取值 范围. 17.解: (1)由已知,得
?c 2 ?a ? 3 , ? ? 2 ?a ? 9 , ?c 2 ?

(第 17 题图)

??????????????2 分

18. (江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研) (本题满分 16 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右两个焦点分别为 F1 , a 2 b2

F2 ,短轴的上端点为 B,短轴上的两个三等分点为 P,Q,且
F1 PF2 Q 为正方形。
(1)求椭圆的离心率; (2) 若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一个截距为

?

3 2 ,求此椭圆方程。 4

2. (江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研) (本题满分 8 分) 已知动抛物线的准线为 x 轴,且经过点(0,2) ,求抛物线的顶点轨迹方程。 (本题满分 8 分) 设抛物线的顶点坐标为 ( x, y), 则焦点坐标为( x,2 y) , ????????3 分 由题意得 x ? (2 y ? 2) ? 4 ,
2 2

??????6 分

即顶点的轨迹方程为

x2 ? ( y ? 1) 2 ? 1. ??????8 分 4

18. (江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷) (15 分)已知椭圆以坐标原点为中心,坐 标轴为对称轴,且椭圆以抛物线 y ? 16 x 的焦点为其一个焦点,以双曲线
2

x2 y2 ? ?1的 16 9

焦点为顶点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(?1,0), B(1,0) ,且 C, D 分别为椭圆的上顶点和右顶点,点 P 是线段 CD 上的 动点,求 AP ? BP 的取值范围。 (3)试问在圆 x ? y ? a 上,是否存在一点 M ,使 ?F1 MF2 的面积 S ? b (其中 a 为椭
2 2 2

2

圆的半长轴长, b 为椭圆的半短轴长, F1 , F2 为椭圆的两个焦点) ,若存在, 求 tan ?F1 MF2 的值,若不存在,请说明理由。

18 、 江 苏 省 连 云 港 市 2010 届 高 三 二 模 试 题 )( 16 分 ) 如 图 , 已 知 椭 圆 (

C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 顶 点 , 右 焦 点 分 别 为 A, F , 右 准 线 为 m 。 圆 D : a 2 b2
y

x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 。
(1)若圆 D 过 A, F 两点,求椭圆 C 的方程; (2)若直线 m 上不存在点 Q,使 ?AFQ 为等腰三角形,求椭圆 离心率的取值范围。 (3)在(Ⅰ)的条件下,若直线 m 与 x 轴的交点为 K ,将直 线 l 绕 K 顺时针旋转
A

D

F

K

x

? 得直线 l ,动点 P 在直线 l 上,过 P 作圆 4
2

m

D 的两条切线,切点分别为 M、N,求弦长 MN 的最小值。 18、解: (1)圆 x ? y ? x ? 9 y ? 2 ? 0 与 x 轴交点坐标为,
2

A(?2, 0) , F (0,1) ,故 a ? 2, c ? 1 ,
所以 b ? 3 ,椭圆方程是:

????????????????2 分

x2 y2 ? ?1 4 3

??????????5 分

18. (2010 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点, 准线 l 的方程为 x ? ?2 ,点 P 在准线 l 上,纵坐标为 3t ?

1 (t ? R , t ? 0) ,点 Q 在 y 轴上, t

纵坐标为 2t . (1)求抛物线 C 的方程; (2)求证:直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,并求出圆 M 的方程。

? x0 ? r ? 4 ? 0, ? x0 ? 2, ,可解得 ? ? ? r ? 2, ? ? x0 ? r ? 0,
因此直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,圆 M 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . ?????????????????????????????????16 分 18. (江苏省泰州市 2010 届高三联考试题) (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、B 分别为其左、右顶点,点 F1、F2 a 2 b2

分别为其左、 右焦点, 以点 A 为圆心,AF1 为半径作圆 A ; 以点 B 为圆心,OB 为半径作圆 B ; 若直线 l : y ? ?

3 15 x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 ; 3 6

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)己知 a=7,问是否存在点 P ,使得过 P 点有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为

3 ;若存在,请求出所有的 P 点坐标;若不存在,请说明理由. 4 y

A

? F

1

O

? F2

B

x

解: (1)由 kl ? ?

3 ,得直线 l 的倾斜角为 150? , 3

则点 A 到直线 l 的距离 d1 ? a sin(180? ? 150?) ?
2

a , 2
2 2

故直线 l 被圆 A 截得的弦长为 L1 ? 2 (a ? c) ? d1 ? 2 (a ? c) ? ( ) ,
2

a 2

直线 l 被圆 B 截得的弦长为 L2 ? 2a cos(180? ? 150?) ? 3a ,

(3 分)

a 2 (a ? c) 2 ? ( ) 2 L 15 2 ? 15 , 据题意有: 1 ? ,即 L2 6 6 3a
化简得: 16e ? 32e ? 7 ? 0 ,
2

(5 分)

7 1 或 e ? ,又椭圆的离心率 e ? (0, 1) ; 4 4 1 故椭圆 C 的离心率为 e ? . 分) (7 4
解得: e ?

17. (江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷如图, 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1的 9 5

左顶点、右焦点分别为 A 、 F ,右准线为 l , N 为 l 上一点,且在 x 轴上方, AN 与椭圆交于 点M 。 ⑴若 AM ? MN ,求证: AM ? MF ; y ⑵设过 A, F , N 三点的圆与 y 轴交于 P, Q 两点,求 PQ 的最小值。 N
M
A
O

F

x

l

第 14 讲

解析几何问题的题型与方法

一、知识整合 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推导 出直线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方 程形式写出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直线的方程来 研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性 约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决 线性规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线 性规划方法解决一些实际问题. 3. 理解“曲线的方程”“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲 、 线的方程的方法. 4. 掌握圆的标准方程:( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r>0) 明确方程中各字母的几何意义, , 能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标
2 2 2

和半径,掌握圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充要条件并 正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解圆
2 2

的参数方程 ?

? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的判定 ? y ? r sin ?

方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲 线和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根 据条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质: 范围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、 双曲线和抛物线;掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲线和 抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭圆、 双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系 的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析 2004 年高考,各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为 27.1 分,占 18.1%;2001 年以来,解析几何内容在全卷的平均分值为 29.3 分,占 19.5%.因此,占全卷近 1/5 的分值 的解析几何内容,值得我们在二轮复习中引起足够的重视.高考试题中对解析几何内容的考 查几乎囊括了该部分的所有内容,对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都 有涉及. 1.选择、填空题 1.1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主,难度以容易题和中档 题为主 (1)对直线、圆的基本概念及性质的考查 例 1 以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是_________. (2)对圆锥曲线的定义、性质的考查 例 2 已知点 F1 ( ? 纵坐标是

2 ,0) 、 F2 ( 2 ,0) ,动点 P 满足 | PF2 | ? | PF1 |? 2 .

当点 P 的

1 时,点 P 到坐标原点的距离是 2 6 3 (A) (B) 2 2

(C) 3

(D)2

1.2 部分小题体现一定的能力要求能力,注意到对学生解题方法的考查 例 3 若过定点 M (?1,0) 且斜率为 k 的直线与圆 的部分有交点,则 k 的取值范围是 (A) 0

x 2 ? 4 x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内

?k? 5

(B) ?

5?k ?0

(C) 0 ? k ? 13 (D) 0 ? k ? 5 2.解答题 解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质.以中等难度题为主,通常设 置两问,在问题的设置上有一定的梯度,第一问相对比较简单. 1 例 4 已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). 2 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若 MQ ? 2 QF , 求直线 l 的斜率. 本题第一问求椭圆的方程,是比较容易的,对大多数同学而言,是应该得分的;而第二 问,需要进行分类讨论,则有一定的难度,得分率不高.

x2 y2 解: (I)设所求椭圆方程是 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0). a b
由已知,得

c ? m,

c 1 ? , a 2

所以 a ? 2m, b ?

3m .

x2 y2 ? ?1 故所求的椭圆方程是 4m 2 3m 2
当 MQ

(II)设 Q( xQ , y Q ) ,直线 l : y ? k ( x ? m), 则点M (0, km)

? 2QF时,由于F (?m,0), M (0, km), 由定比分点坐标公式,得 0 ? 2m 2m km? 0 1 xQ ? ?? , yQ ? ? k m. 1? 2 3 1? 2 3 4m 2 k 2 m 2 2m k m 又点Q(? , )在椭圆上, 所以 9 2 ? 9 2 ? 1. 3 3 4m 3m

解得k ? ?2 6 , ???? ? ??? ? 0 ? (?2) ? (?m) km 当MQ ? ?2QF时, xQ ? ? ?2m, yQ ? ? ?km . 1? 2 1? 2 4m 2 k 2 m 2 ? ? 1, 解得k ? 0. 故直线 l 的斜率是 0, ? 2 6 . 于是 4m 2 3m 2
例 5 设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B. 2 a

(I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

??? ?

? 5 ??? PB. 求 a 的值. 12

解: (I)由 C 与 t 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? x ? y ? 1. ?
有 两 个 不 同 的 实 数 解 . 消 去 y 并 整 理 得 ( 1 - a ) x +2a x - 2a =0.
2 2 2 2



? ?1 ? a ? 0. 所以? 4 ?4a ? 8a 2 (1 ? a 2 ) ? 0. ?
2

解得0 ? a ? 2且a ? 1.

双曲线的离心率

1 ? a2 e? ? a ?e ?

1 ? 1. a2

? 0 ? a ? 2且a ? 1,

6 且e ? 2 2

6 , 2) ? ( 2, ??). 2 (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), P (0,1) 1 5 5 ? PA ? PB, ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y 2 ? 1). 12 12 即离心率e的取值范围为(
由于 x1,x2 都是方程①的根,且 1-a ≠0,
2

由此得x1 ?

5 x2 . 12

17 2a 2 x2 ? ? , 12 1 ? a2 17 由a ? 0, 所以a ? . 13 所以
例 6 给定抛物线 C:

5 2 2a 2 2a 2 289 x2 ? ? .消去, x2 , 得 ? ? 2 2 12 1? a 1? a 60

y 2 ? 4 x, F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点.

(Ⅰ)设 l 的斜率为 1,求 OA与OB 夹角的大小; (Ⅱ)设 FB

? ? AF , 若? ? [4,9] ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围.

解: (Ⅰ)C 的焦点为 F(1,0) ,直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 将

y ? x ? 1.

y ? x ? 1 代入方程 y ? 4 x ,并整理得
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则有

x ? 6 x ? 1 ? 0. x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 1.
2

OA ? OB ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ?3.
| OA || OB |?
2 2 x12 ? y12 ? x 2 ? y 2 ?

x1 x 2 [ x1 x 2 ? 4( x1 ? x 2 ) ? 16] ? 41.

cos(OA, OB ) ?

OA ? OB 3 14 3 14 ?? . 所以 OA与OB 夹角的大小为 ? ? arccos . | OA || OB | 41 41

(Ⅱ)由题设 FB ? ? AF 得 即?

( x2 ? 1, y 2 ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 ),

② 2 2 2 2 2 由②得 y 2 ? ? y1 , ∵ y1 ? 4 x1 , y 2 ? 4 x2 , 联立①、③解得 x2 ? ? ,依题意有 ? ? 0.

? x 2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ), ? y 2 ? ??y1.

① ∴ x2 ? ? x1 . ③
2

∴ B(? ,2 ? ), 或B(? ,?2 ? ), 又 F(1,0) ,得直线 l 方程为

(? ? 1) y ? 2 ? ( x ? 1)或(? ? 1) y ? ?2 ? ( x ? 1),
当 ? ? [4,9] 时,l 在方程 y 轴上的截距为 由 ∴

2 ? 2 ? 或? , ? ?1 ? ?1

2 ? 2 ? 2 ? ? , ? ?1 ? ?1 ? ?1

可知

2 ? 在[4,9]上是递减的, ? ?1

3 2 ? 4 4 2 ? 3 ? ? ,? ? ? ?? , 4 ? ?1 3 3 ? ?1 4 4 3 3 4 直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为 [? ,? ] ? [ , ]. 3 4 4 3
从以上 3 道题我们不难发现,对解答题而言,椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都 有考查的可能,而且在历年的高考试题中往往是交替出现的,以江苏为例,01 年考的是抛物 线,02 年考的是双曲线,03 年考的是求轨迹方程(椭圆) ,04 年考的是椭圆. 三、热点分析 1.重视与向量的综合 例 7 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) B(-1,3) , ,若点 C 满足

OC ? ? OA ? ? OB ,其中?、?∈R,且?+?=1,则点 C 的轨迹方程为
(A) x-1) +(y-2) =5 ( (C)2x-y=0
2 2

(B)3x+2y-11=0 (D)x+2y-5=0
2

例 8 已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y )满足 PA ? PB ? x ,则点 P 的轨迹是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高 3.与数列相综合 例 9 如图, OBC 的在个顶点坐标分别为 Δ (0,0) 、 (1,0) 、 (0,2) ,设 P 为线段 BC 的中点,P2 为线段 CO 的中点,P3 为线段 OP1 的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点,令 Pn 的坐 标为(xn,yn),

1 y n ? y n ?1 ? y n ? 2 . 2 (Ⅰ)求 a1 , a 2 ,a 3 及 a n ; an ?
(Ⅱ)证明

y n?4 ? 1 ?

yn , n ? N ?; 4
1 3 , y5 ? ,所以 a1 ?a 2 ? a3 ? 2 ,又由题意可知 2 4

(Ⅲ)若记 bn

? y 4 n? 4 ? y 4 n , n ? N ? , 证明 ?bn ? 是等比数列.

解:(Ⅰ)因为 y1 ? y 2 ? y 4 ? 1, y3 ?

y n ?3 ?

y n ? y n?1 , 2 y ?y 1 1 1 ∴ a n ?1 ? y n ?1 ? y n ? 2 ? y n ?3 = y n ?1 ? y n ? 2 ? n n ?1 = y n ? y n ?1 ? y n? 2 ? a n , 2 2 2 2 ? ∴ ?a n ?为常数列.∴ a n ? a1 ? 2, n ? N .

y ? y n?2 1 1 ? 1, y n ? y n?1 ? y n? 2 ? 2 两边除以 2,得 y n ? n?1 4 2 2 y ?y y 又∵ y n ? 4 ? n ?1 n ? 2 ,∴ y n ? 4 ? 1 ? n . 2 4 y 4n?4 y (Ⅲ)∵ bn ?1 ? y 4 n ?8 ? y 4 n ? 4 ? (1 ? ) ? (1 ? 4 n ) 4 4 1 1 ? ? ( y 4 n? 4 ? y 4 n ) ? ? bn , 4 4 1 又∵ b1 ? y 3 ? y 4 ? ? ? 0, 4 1 ∴ ?bn ? 是公比为 ? 的等比数列. 4
(Ⅱ)将等式 4.与导数相综合 近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合,如 03 年的天津文科试题、04 年的湖南文理 科试题,都分别与向量综合. 2 例 10 如图,过抛物线 x =4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A,B 两点, 点 Q 是点 P 关于原点的对称点。 (I)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ? QB) (II)设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0,过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线, 求圆 C 的方程. 解: (Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 代入抛物线方程 x ? 4 y 得
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

x 2 ? 4kx ? 4m ? 0.
所以

① 设 A、B 两点的坐标分别是 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ), 则x1 、x2 是方程①的两根.

x1 x2 ? ?4m.
x1 ? ?x 2 x ? 0,即? ? ? 1 . 1? ? x2

由点 P(0,m)分有向线段 AB 所成的比为 ? ,得

又点 Q 是点 P 关于原点的对称点,故点 Q 的坐标是(0,-m) ,从而 QP ? (0,2m) .

QA ? ? QB ? ( x1 , y1 ? m) ? ? ( x 2 , y 2 ? m) ? ( x1 ? ?x 2 , y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? )m). QP ? (QA ? ? QB ) ? 2m[ y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? )m]
2 x12 x1 x 2 x x x ? 4m ? ? ? (1 ? 1 )m] ? 2m( x1 ? x 2 ) ? 1 2 4 x2 4 x2 4 x2 ? 4m ? 4m ? 2m( x1 ? x 2 ) ? ? 0. 4 x2

? 2m[

QP ? (QA ? ? QB ). ? x ? 2 y ? 12 ? 0, (Ⅱ)由 ? 2 得点 A、B 的坐标分别是(6,9)(-4,4). 、 ? x ? 4 y, 1 2 1 2 2 由 x ? y 得 y ? x , y ? ? x, 所 以 抛物 线 x ? 4 y 在 点 A 处 切 线的 斜率 为 4 2 y ? x ?6 ? 3
所以

1 ?b ? 9 ?? , ? 设圆 C 的方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 则 ? a ? b 3 ?(a ? 6) 2 ? (b ? 9) 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 . ? 3 23 2 125 解之得 a ? ? , b ? , r ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? . 2 2 2 3 23 2 125 所以圆 C 的方程是 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) ? , 即 x 2 ? y 2 ? 3x ? 23 y ? 72 ? 0. 2 2 2
2 2 2

5.重视应用 例 11 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的 距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点 均在同一平面上) 解:如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340?4=1360 2 2

x

由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680, c=1020,

a

2

?

y

b

2

? 1 上,

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 1020 2 ? 680 2 ? 5 ? 340 2 ?1 680 2 5 ? 340 2 用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, 故双曲线方程为
? x ? ?680 5 , y ? 680 5 ,即P(?680 5 ,680 5 ), 故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 45 距中心 680 10 m 处. (二)高考预测 1.难度:解析几何内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一,该部分 试题往往有一定的难度和区分度。 2.命题内容:从今年各地的试题以及前几年的试题来看,解答题所考查的内容基本上是 椭圆、双曲线、抛物线交替出现的,所以,今年极有可能考双曲线的解答题.此外,从命题 所追求的目标来看,小题所涉及的内容一定会注意到知识的覆盖,兼顾到对能力的要求. 3.命题的热点: (1)与其他知识进行综合,在知识网络的交汇处设计试题(如与向量综合,与数列综合、 与函数、导数及不等式综合等) ; (2)直线与圆锥曲线的位置关系,由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法——用 代数的手段研究几何问题,因此该部分内容一直是考试的热点。 (3)求轨迹方程. (4)应用题. 四、复习建议 1.根据学生的实际,有针对性地进行复习,提高复习的有效性 2.重视通性通法,加强解题指导,提高解题能力 在复习中,不能仅仅复习概念和性质,还应该以典型的例题和习题为载体,在二轮复习 中强化各类问题的常规解法,使学生形成解决各种类型问题的操作范式.数学学习是学生自
0

x2

?

y2

主学习的过程,解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握.所以,在二轮复习中,教师的 作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评,只有这样,才能够实施有效复习. 3.注意强化思维的严谨性,力求规范解题,尽可能少丢分 在解解析几何的大题时,有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象,因此,要通 过平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调,减少或避免无畏的丢分. 例 14 设双曲线 C: 2

x2 - y2 = 1(a> 0)与直线l:x + y = 1 相交于两个不同的点 A、 a
5 PB. 求 a 的值. 12

B.
(I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

解: (I)由 C 与 t 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? x ? y ? 1. ?
2 2 2

有两个不同的实数解.消去 y 并整理得
2

(1-a )x +2a x-2a =0.



?1 ? a ? 0. ? 所以? 4 ?4a ? 8a 2 (1 ? a 2 ) ? 0. ?
2

解得0 ? a ? 2且a ? 1.

双曲线的离心率

e? ?e ?

1 ? a2 ? a

1 ? 1. a2

? 0 ? a ? 2且a ? 1,

6 且e ? 2 2 6 , 2) ? ( 2, ??). 2

即离心率e的取值范围为(

还有,在设直线方程为点斜式时,就应该注意到直线斜率不存在的情形;又如,在求轨 迹方程时,还要注意到纯粹性和完备性等.

五、参考例题 例 1、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),求实数 m 的取值范 围。 解:直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0, -2),直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2) 的直线系,因为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、CA 这两条直线 的斜率分别为 k1、 2, k 则由斜率的定义可知, 直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k≥k1 或 k≤k2, ∵ A(-2, 3) B(3, 2)

4 k ? ?5 ∴ k1 ? 2 3 2 4 或-m≤ ? 5 即 m≤ ? 4 或 m≥ 5 ∴-m≥ 3 2 3 2

y

A o
C(0,-2)

B

x

说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜 率-m 应为倾角的正切,而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内,角的正切函数都是单调递 增的,因此当直线在∠ACB 内部变化时,k 应大于或等于 kBC,或者 k 小于或等于 kAC,当 A、B 两点的坐标变化时,也要能求出 m 的范围。 例 2、已知 x、y 满足约束条件 x≥1, x-3y≤-4, 3x+5y≤30, 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. 解:根据 x、y 满足的约束条件作出可行域,即 如图所示的阴影部分(包括边界). 作直线 l 0 :2x-y=0,再作一组平行于 l 0 的直线 l : 2x-y=t,t∈R. 可知,当 l 在 l 0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y) 满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平移时,t 随之增大.当直线 l 平移至 l1 的位置时,直线经过可 行域上的点 B,此时所对应的 t 最大;当 l 在 l 0 的左

y
6 5 4 3 2 1

l2 C l0: 2x-y=0 l1
x-3y+4=0

B A
1 x=1 2 3 4 5 6 3x+5y-30=0

O

x

上方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y<0,即 t <0,而且直线 l 往左平移时,t 随之减小.当直线 l 平移至 l 2 的位置时,直线经过可行域上的 点 C,此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0, 由 解得点 B 的坐标为(5,3) ; 3x+5y-30=0, x=1, 由 3x+5y-30=0, 所以, z 最大值 =2?5-3=7; z 最小值 =2?12 2

解得点 C 的坐标为(1,

27 ). 5

27 17 =? . 5 5

例 3、 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点, (1)如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

| AB | 2 2 2 2 1 4 2 2 ) ? 12 ? ( ) ? , 由射 ,可得 | MP |? | MA | ?( 2 3 3 3 2 影定理,得 | MB | ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,
解:(1)由 | AB |?

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0; (2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由
点 M,P,Q 在一直线上,得

2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB | 2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x
2 2 2 即 x ? ( y ? 2) ? a ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,

并注意到 y ? 2 ,可得 x 2 ? ( y ? ) 2 ?

7 4

1 ( y ? 2). 16

说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。 例 4、已知双曲线 离是

x2 y2 2 3 ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距 ? 2 ? 1 的离心率 e ? 2 3 a b

3 . (1)求双曲线的方程; 2

(2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上, 求 k 的值. 解 : ∵ ( 1 ) c ? 2 3 , 原 点 到 直 线 AB : x ? y ? 1 的 距 离 a 3 a b ab ab 3 d ? ? ? . 2 2 c 2 . a ?b
? b ? 1, a ? 3.
3
2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

(2)把 y ? k x ? 5代入x ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30 kx ? 78 ? 0 . 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), CD 的中点是 E ( x0 , y0 ) ,则 x ? x2 15 k 5 x0 ? 1 ? ? y 0 ? k x0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 k BE ? 0 ?? . x0 k
2

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 . 说明:为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程. 例 5、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M a2 b2 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。

(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

(2)设

b2 b2 ,∴ k OM ? ? 。 a ac b b2 b 2 , OM 与 AB 是共线向量,∴ ? ? ? ,∴b=c,故 e ? ∵ k AB ? ? 。 2 a ac a F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,
解: (1)∵ F1 (?c,0), 则x M ? ?c, y M ?

? r1 ? r2 ? 2a , F1F2 ? 2c ,

cos ? ?

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 )2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( ) 2

当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0,

?

2

]。

说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几 何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题 的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转 化为解析几何问题。

圆锥曲线过关测试 1、 过点 P(2,1)且被圆 x +y -2x+4y=0,截得的弦长最大的直线的方程是 2、 直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0, 当 k 变动时,所有直线都过定点 3、直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 和直线 (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行的充要条件是 4、方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程,则 t 的取值范围是
2 2

5、过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点为 A、B,则△ABP 的外接圆方程是 6、已知圆 C 过点 A(4,-1),且与圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于点 B(1,2),则圆 C
2 2

的方程为 7、过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直
2 2

线 l 的斜率 k = 8、若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 那么实数 k 的取值范围是 9、抛物线 y=ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为
2 2 2

x2 y2 2 10、 已知双曲线 - =1 的一条准线与抛物线 y =4x 的准线重合,则双曲线的离心率为 2 m
11、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 a 2 25

F2 ,且 | F1 F2 |? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则

△ ABF2 的周长为 12、已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)上一点,若 PF1 ? PF2 =0, a2 b2

tan∠PF1F2=

1 ,则此椭圆的离心率为 2
2 2

13、已知圆 C1 : x ? y ? 2 和圆 C2 ,直线 l 与圆 C1 相切于点 (1,1) ;圆 C2 的圆心在射线

2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 .
(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求圆 C2 的方程.

14、已知圆 O: x ? y ? 2 交 x 轴于 A,B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为
2 2

2 的椭圆, 2

其左焦点为 F.若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线 于点 Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位 置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由. y Q P

A

F

O

B

x

第 14 题

参考答案 1、3x-y-5=0 2、 (3,1) 6、 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

3、 a ?

1 或0 6

4、 -

1 ? t ?1 7
9、 ?

5、(x-2)2+(y-1)2=5

7、

2 2

8、(0, 1)

1 8

10、 2

11、 4 41

12、

5 3

13、解:(Ⅰ)(法一)∵点 (1,1) 在圆 C1 : x ? y ? 2 上,
2 2

∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (法二)当直线 l 垂直 x 轴时,不符合题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 . 则圆心 C1 (0, 0) 到直线 l 的距离 d ? r ? ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)设圆 C2 : ( x ? a) ? ( y ? 2a) ? r (a ? 0) ,∵圆 C2 过原点,∴ 5a ? r .
2 2 2

2 ,即:

| ? k ? 1| k 2 ?1

? 2 ,解得 k ? ?1 ,

2

2

∴圆 C2 的方程为 ( x ? a) ? ( y ? 2a) ? 5a (a ? 0) .
2 2 2

∵圆 C2 被直线 l 截得的弦长为 4 3 ,∴圆心 C2 (a , 2a) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离:

d ? 5a 2 ? 12 ?
2

| a ? 2a ? 2 | . 2

整理得: a ? 12a ? 28 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? ?14 . ∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 . ∴圆 C2 : ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 20 .
2 2

14、解:(Ⅰ)因为 a ?

2, e ?

2 ,所以 c=1 2

x2 ? y2 ? 1 则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为 2
(Ⅱ)因为 P (1,1),所以 k PF ?

1 ,所以 kOQ ? ?2 ,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x(7 分) 2

又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4) 所以 k PQ ? ?1 ,又 kOP ? 1 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1 ,即 OP ? PQ , 故直线 PQ 与圆 O 相切 (Ⅲ)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切
2 2 证明:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? ? 2 ),则 y0 ? 2 ? x0 ,所以 k PF ?

y0 x ?1 , kOQ ? ? 0 , x0 ? 1 y0

所以直线 OQ 的方程为 y ? ?

x0 ? 1 x y0

所以点 Q(-2,

所以 k PQ

2 x0 ? 2 ) y0 2x ? 2 y0 ? 0 y0 y 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x y ? ? 0 ? ? ? 0 ,又 kOP ? 0 , x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0 x0

所以 k OP ? k PQ ? ?1 ,即 OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切



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