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2011年上海杨浦区中考数学二模试卷


杨浦区初三数学基础测试卷
(完卷时间 100 分钟 满分 150 分) 选择题( 一、 选择题(本大题每小题 4 分,满分 24 分) 1.两个连续的正整数的积一定是 . (A)素数; (B)合数; (C)偶数; (D)奇数. 2.已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则下列等式成立的是 . (A) a + b = a + b ; (C) b + 1 = b + 1 ; (B) a + b = a ? b ; (D) a + 1 = a + 1 .

2011.4





) )

( ▲

b

O

a 1
( ▲ )

3.下列关于 x 的方程一定有实数解的是 . (A) x + ax + 1 = 0 ;
2

(B) 1 +
2

x 1 = ; x ?1 x ?1

(C) x ? 3 + 2 ? x = m ; 4.下列图形中,是中心对称图形的是 .

(D) x + ax ? 1 = 0 . ( ▲ )

可判断二次函数 5. .根据下表中关于二次函数 y = ax 2 + bx + c 的自变量 x 与函数 y 的对应值, 的图像与 x 轴 x y … … -1 -1 0
? 7 4

( 1 -2 2
? 7 4

▲ )

… …

(A)只有一个交点; (B)有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧; (C)有两个交点,且它们均在 y 轴同侧; (D)无交点. 6.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,DE∥BC,且 AD=2CD,则以 D 为圆心 DC . 为半径的⊙D 和以 E 为圆心 EB 为半径的⊙E 的位置关系是 ( ▲ ) B (A)外离; (B)外切; E (C)相交; (D)不能确定.

C 填空题( 二、 填空题(本大题每小题 4 分,满分 48 分) 7.用代数式表示“a 的相反数与 b 的倒数的和的平方” : .
?1 1 3 0

(第 6 题图)

D

A



. ▲ . .

8.将 a = ?2 , b = 8 , c = ( ?2π ) 从小到大排列,并用不等号连接: . 9.若最简二次根式 ?2 2x 与 x + 1 是同类二次根式,则 x= .
2



10. .如果一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示, 那么该不等式组

° -2

0

° 1

的解集是 ▲ . 11.如果点 P(m,1-2m)在第四象限,那么 m 的取值 . . 范围是 ▲ 12.若反比例函数 y = . 过 ▲ 象限.

k (k ≠ 0) 的图像在第二、四象限,则一次函数 y = kx + k 的图像经 x

13 . A( x1,y1 ) 、 B ( x2,y2 ) 是 一 次 函 数 y = kx + 2( k > 0) 图 象 上 不 同 的 两 点 , 若

t = ( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) ,则 t



0(填“<”或“>”或“≤”或“≥” ).

14.正十二边形的中心角等于 . ▲ 度. 15.如图,在 ABCD 中,已知 AB=9 ㎝,AD=6 ㎝,BE 平分∠ABC 交 DC 边于点 E,则 DE 等 . 于 ▲ ㎝. 16. .如图,在 ?ABC 中,记 AB = a, AC = b ,则 BC = ▲ (用向量 a 、b 来表示).

17.如图,在矩形 ABCD 中,AD =4,DC =3,将△ADC 绕点 A 按逆时针方向旋转到△AEF(点 . ,则 C 点运动的路线的长度为 ▲ . A、B、E 在同一直线上) 18.如图,EF 是△ABC 的中位线,将△AEF 沿中线 AD 的方向平移到△A1E1F1,使线段 E1F1 . 落在 BC 边上,若△AEF 的面积为 7cm2,则图中阴影部分的面积是 ▲ cm2. A A B F E B A C E A
(第 17 题图)

a
B C

b
D B

A1

F

D

E
(第 15 题图)

C

(第 16 题图)

E1

D

F1

C

(第 18 题图)

解答题( 三、 解答题(第 19~22 题每题 10 分,第 23~24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分)

x2 ? x x2 ? x ? 2 19.先化简,再求值: 3 ? 2 ,其中 x = 3 . x ? x2 x +x

20.解方程组: ? .

?x + y = 6
2 2 ? x ? 3xy + 2 y = 0

21.在一次课外实践活动中,同学们要知道校园内 A,B 两处的距离,但无法直接测得。已 .

C

B

知 校 园 内 A 、 B 、 C 三 点 形 成 的 三 角 形 如 图 所 示 , 现 测 得 AC = 6 m , BC = 14 m , ∠CAB = 120° ,请计算 A,B 两处之间的距离.

22.已知△ABC 中,点 D、E、F 分别是线段 AC、BC、AD 的中点,连 FE、ED,BF 的延 . G 长线交 ED 的延长线于点 G,联结 GC。 求证:四边形 CEFG 为梯形。 A F D

B

E

C

23.某校九年级学生共 300 人,为了解这个年级学生的体能,从中随机抽取部分学生进行 1 . 分钟的跳绳测试,并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理,下面是 这四名同学提供的部分信息: 人数 甲:将全体测试数据分成 6 组绘成直方图(如图) ; 乙:跳绳次数不少于 105 次的同学占 96%; 丙:第①、②两组频率之和为 0.12,且第②组与第⑥组 频数都是 4; 丁:第③组的频数比第④组的频数多 2,且第③、④组的 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 频数之和是第⑤组频数的 4 倍. O 95 105 115 125 135 145 155 跳绳次数 根据这四名同学提供的材料,请解答如下问题: (每组数据含左端点值不含右端点值) (1)这次跳绳测试共抽取多少名学生?各组有多少人? (2)如果跳绳次数不少于 135 次为优秀,根据这次抽查的结果,估计全年级达到跳绳优 秀的人数为多少? (3)若分别以 100、110、120、130、140、150 作为第①、②、③、④、⑤、⑥组跳绳 次数的代表,估计这批学生 1 分钟跳绳次数的平均值是多少?

24.已知抛物线①经过点 A(-1,0) . 、B(4,5) 、C(0,-3) ,其对称轴与直线 BC 交于点 P。 (1)求抛物线①的表达式及点 P 的坐标; (2)将抛物线①向右平移 1 个单位后再作上下平移,得到的抛物线②恰好过点 P,求上下 平移的方向和距离; (3)设抛物线②的顶点为 D,与 y 轴的交点为 E,试求∠EDP 的正弦值。
y

1 O 1 x

25. 本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) . (本题满分 ( ) ) ) 已知半径为 6 的⊙O1 与半径为 4 的⊙O2 相交于点 P、Q,且∠O1P O2= 120°,点 A 为⊙O1 上异于点 P、Q 的动点,直线 AP 与⊙O2 交于点 B,直线 O1A 与直线 O2B 交于点 M。 (1) 如图 1,求∠AM B 的度数; (2) 当点 A 在⊙O1 上运动时,是否存在∠AM B 的度数不同于(1)中结论的情况?若存 在,请在图 2 中画出一种该情况的示意图,并求出∠AM B 的度数;若不存在,请在 图 2 中再画出一个符合题意的图形,并证明∠AM B 的度数同于(1)中结论; (3) 当点 A 在⊙O1 上运动时,若△APO1 与△BPO2 相似,求线段 AB 的长。 A P O1 M Q 图1 B O2 O1 Q 图2 P O2

P O1 Q 备用图 O2

杨浦区初三数学基础测试卷答案 杨浦区初三数学基础测试卷答案
一、选择题(本大题每小题 4 分,满分 24 分) 选择题( 1.C;2.D; 3.D;4.B;5.B;6.C 二、填空题(本大题每小题 4 分,满分 48 分) 填空题( 7. ( ?a + ) ;8.a<c<b;9.1;10.x>1;11. m ?
2

2011.4

1 b

1 ;12.二、三、四; 2

13.>;14.30;15.3;16. b ? a ;17. π ;18.14 三、解答题(第 19~22 题每题 10 分,第 23~24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分) 解答题( 19.解: .

5 2

x 2 ? x x 2 ? x ? 2 x( x ? 1) ( x ? 2)( x + 1) ? 2 = 2 ? -----------------------4 分 x3 ? x 2 x +x x ( x ? 1) x( x + 1) 1 ( x ? 2) = ? -----------------------------------------------2 分 x x 3? x = ------------------------------------------------------2 分 x 3? 3 = 3 ? 1 ------------------------------------------2 分 当 x = 3 时,原式= 3 2 20.解:方法一:将 y = 6 ? x 代入 x 2 ? 3 xy + 2 y 2 = 0 得 x ? 7 x + 12 = 0 -----4 分 . 解得 x1 = 4, x2 = 3 -----------------------------------------------------------------2 分
∴ y1 = 2, y2 = 3 ----------------------------------------------------------------------2 分

? x1 = 4 ? x2 = 3 ,? --------------------------------------------------2 分 y1 = 2 ? y2 = 3 ? 方法二:∵可将 x 2 ? 3 xy + 2 y 2 = 0 分解为 x ? 2 y = 0 和 x ? y = 0 ----------------2 分 ?x + y = 6 ?x + y = 6 ∴原方程组转化为: ? ,? -----------------------------------------4 分 ?x ? 2 y = 0 ?x ? y = 0 ? x1 = 4 ? x2 = 3 ,? -----------------------------------------------------4 分 ∴原方程组的解为 ? ? y1 = 2 ? y2 = 3
∴原方程组的解为 ? 21.解:过 C 作 CH⊥AB 于 H,∵ ∠CAB = 120° . ,∴∠CAH=60°,----------2 分 ∵ AC = 6 ,∴AH=3,HC= 3 3 ,-------------------------------------------------2 分,2 分 在 Rt△BCH 中,∵ BC = 14 ,HC= 3 3 , ∴BH= BC ? HC = 14 ? (3 3) = 169 = 13 ---------------------------------2 分
2 2 2 2

∴AB=BH-AH=13-3=10-----------------------------------------------------------------------2 分 即 A,B 两处之间的距离为 10 米。 22. . 证明:(1)∵点 D、E 分别是线段 AC、BC 的中点,∴DE//AB,-------------1 分 ∴∠A=∠FDG,∠ABF=∠FGD------------------------------------------------------2 分 ∵F 是线段 AD 的中点,∴AF=FD ∴△ABF≌△DGF,---------------------------------------------------------------------1 分 ∴BF=FG------------------------------------------------------------------------------------1 分

BF = 1 -----------------------------------------------------------------------------------1 分 FG BE = 1 ,-----------------------------------------1 分 ∵E 为 BC 中点,∴BC=EC,∴ EC BE BF ∴ = ------------------------------------------------------------------------------1 分 EC FG
∴ ∴EF//CG------------------------------------------------------------------------------------1 分 而 GF 与 CE 交于点 A,∴四边形 CEFG 为梯形------------------------------------1 分 23.解: (1)据题意,第①的频率为 4% 则,第②组的频率为 8%, 则抽取人数为

4 = 50 ------------------------------------------------------------- -----1 分 8%

则第①组人数为 2,第②组和第⑥人数都为 4---------------------------------------2 分 设第④组的频数为 x,则第③组的频数为 x+2,第⑤组频数为 38-2x, 根据题意得:2x+2=4(38-2x)---------------------------------------------------------2 分 所以 x=15 即第④组的频数为 15,则第③组的频数为 17,第⑤组频数为 8----------------3 分 所以,这次跳绳测试共抽取 50 名学生,各组的人数分别为 2、4、17、15、8、4. (2)因为⑤、⑥两组的频数和为 12,

12 × 300 = 72 。------------------------------2 分 50 100 × 2 + 110 × 4 + 120 × 17 + 130 × 15 + 140 × 8 + 150 × 4 (3)平均值≈ =127 次-------2 分 50
所以估计全年级达到跳绳优秀的人数为 24.解: . (1)据题意设抛物线的表达式为 y = ax 2 + bx ? 3 ,-----------------------------1 分 则?

?0 = a ? b ? 3 ?a = 1 ,解得 ? ,∴抛物线的表达式为 y = x 2 ? 2 x ? 3 ----------2 分 ?5 = 16a + 4b ? 3 ?b = ?2

∴对称轴为直线 x = 1 --------------------------------------------------------------------------------1 分 据题意设直线 BC 的解析式为 y = kx ? 3 ,则 5 = 4k ? 3, k = 2 , ∴直线 BC 的解析式为 y = 2 x ? 3 ,∴P(1,-1)--------------------------------------------1 分 (2)设抛物线①向右平移 1 个单位后再向上平移 m 个单位得抛物线②, 则抛物线②的表达式为 y = ( x ? 1 ? 1) 2 ? 4 + m ------------------------------------------------1 分 ∵抛物线②过点 P,∴ ?1 = (1 ? 1 ? 1) 2 ? 4 + m ,∴ m = 2 ----------------------------------1 分 ∴再将它向上移动 2 个单位可得到抛物线② ----------------------------------------------------1 分 (3)∵抛物线①向右移动 1 个单位,再向上平移 2 个单位得 到抛物线②, ∴ 抛 物 线 ② 的 表 达 式 是 y = ( x ? 1 ? 1) 2 ? 4 + 2 即 H E 1 O P D 1 x y

y = ( x ? 2) ? 2 ,∴D(2,-2) ,E(0,2)---------------2 分
2

∵P(1,-1),∴直线 DP 过点 O,且与 x 轴夹角为 45°, 过点 E 作 EH⊥DP 于点 H,∴∠EOH= 45° ∵E(0,2),∴EH= 2 ,而 ED= 2 + (2 + 2) = 2 5
2 2

∴sin∠EDP=

2 10 EH = = --------------------------2 分 DE 2 5 10

25. 本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) . (本题满分 ( ) ) ) 解: (1)∵A、P 都在⊙O1 上,∴∠A=∠APO1,------------------------------------1 分 同理,∠B=∠BPO2,-----------------------------------------------------------------1 分 ∵AB 是直线,∠O1P O2= 120°,∴∠APO1+∠O1PO2+∠BPO2=180° ∴∠APO1 +∠BPO2=60°,即∠A+∠B=60°,---------------------------------1 分 ∴∠O1M O2=180°-60°=120°---------------------------------------------------1 分 (2)存在, --------------------------------------------------------------------------------1 分 如图所示,------------------------------------2 分 ∵A、P 都在⊙O1 上,∴∠A=∠APO1, P 同理,∠PBO2=∠BPO2, M ∴∠APO1+∠BPO2=120° ∵∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO2 ∴∠M=180°-∠BPO2-∠A A B O1 O2

=180°-∠BPO2-∠APO1=180°-120°=60°------------------2 分 (3) ∵△APO1 与△BPO2 相似,且△APO1 与△BPO2 都是等腰三角形, ∴底角∠APO1=∠BPO2,---------1 分 情况一:当 P 在 A、B 之间时,∠APO1=∠BPO2=30°, 作 O1H⊥AB,O2D⊥AB,∴AP=2HP,BP=2PD ∵O1P=6,O,2P=4,∴HP= 3 3 ,DP= 2 3 ∴AB= 10 3 ----------------------------------------------2 分 情况一:当 P 不在 A、B 之间时,∠APO1=∠BPO2=60°, ∴PA=O1A=6,PB= O2B= 4,∴AB=2 ----------2 分 O1 B Q A

P O2


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