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2.2.3实数与向量积及几何意义


2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几何意义

温故知新

1、向量加法的三角形法则
A

B
b b

a a a a a a a a a a

注意:

b

b

b

b O

b b

b

a+b

各向量“首尾相连”,和向量由第一 个向量的起点指向最后一个向量的终点.

温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
D
b

C

a a a a a a a a a a

a+b

a

b

b

b

b

A

B
b

作法:(1)在平面内任取一点A; (2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行 四边形ABCD.即AD=BC=a,AB=DC=b ; (3)则以点A为起点的对角线AC=a+b.

注意共起点.共线向量不适用

温故知新
? a

二、向量减法法则:
作法:?1?在平面内任取一点 O
A

b
O

?2?作OA ? a, OB ? b

?3?则向量BA ? a ? b
B

两向量起点相同,则差向量就是连结两向量终点, 方向指向被减向量终点的向量.

BA ? OA ? OB

共起点,连终点, 方向指向被减向量.

问题思考
? a

? ? ? ? ? ? ? 思考题1:已知向量 a,如何作出 a ? a ? a和 (?a) ? (?a) ? (?a)?
? a
O A

? a
B

? a
C N

? ?a
M

? ?a
Q

? ?a
P

? ? ? 思考题2: 向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 ?3a ? 与向量 有什么关系? a

? ? ? ? 记: a ? a ? a ? 3a ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? 即: OC ? 3a. 同理可得: PN ? (?a) ? (?a) ? (?a) ? ?3a

??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ? a

? ? ? ? (1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a 的长度是 a ? ? 的3倍,即 3a ? 3 a .

归纳总结

? ?a,它的长度和方向规定 如下:

一、实数与向量的积的定义: ? 实数?与向量a的积是一个向量,记作

? ? ?1? ?a ? ? a
? ? ?2?当? ? 0时,a的方向与a的方向相同; ? ? ? 当? ? 0时,a的方向与a的方向相反; ? ? ? ? ? 特别地, ? ? 0或a ? 0时,a ? 0 . 当 ?

归纳总结

二、实数与向量的积的运算律:

? ? 设a , b 为任意向量,?、?为

任意实数,则有:

? ? (1) ? ( ?a ) ? (?? )a ? ? ? (2) (? ? ? )a ? ?a ? ?a ? ? ? ? (3) ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

例题解析 例1:计算题

? ? (1) (?3) ? 4a ?12a ? ? ? ? ? ? (2) 3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a 5b ? ? ? ? ? ? (3) (2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c? ) ? ? ?a ? 5b ? 2c
注:向量与实数之间可以像多项式
一样进行运算.

问题思考

想一想: ? ? ? ? 1.?a与a有何关系?(a ? 0)
? ? ? ? 2.如果b ? ?a , 那么a,b 是共线向量吗?

? ? ? ? 3.如果 a 与 b 是共线向量, 那么b ? ?a?

归纳总结

三、共线向量基本定理:
向量

b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数 ? ,使得 b ? ? a
思考:1) 2)

a 为什么要是非零向量? b 可以是零向量吗?

试试身手 判断下列各小题中的向量a与b是否共线

?1? a ? ?2e, b ? 2e;
a=-b a,b共线

? 2? a ? e1 ? e2 , b ? ?2e1 ? 2e2.
a=-2b a,b共线

例题解析
例2. 如图,已知任意两个非零向量 a, b, 试作 ??? ? ??? ? ??? ? OA ? a + b,OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b 你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?

解:

??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? a ? 2b ? ? a ? b ? ? b ???? ???? ??? ? AC ? OC ? OA ? a ? 3b ? ? a ? b ? ? 2b ??? ? ??? ? AC ? 2 AB

C 3b 2b b b B A a

所以,A、B、C三点共线

a

O

例题解析 例 ??? ???? 如图, ? ABCD 的两条对角线相交于点M, ? ???? ???? ???? ???? ? ? 且 AB=a, AD ? b, 你能用a,b表示MA、 、 和MD MB MC D C ? ABCD中 解:在??? ???? ???? ?
b M a B

AC ? AB ? AD ? a ? b ??? ??? ???? ? ? DB ? AB ? AD ? a - b A 平行四边形的两条对角线互相平分

???? 1 ???? 1 1 1 MA ? ? AC ? ? ? a + b ? ? ? a ? b 2 2 2 2 ???? 1 ??? 1 ? 1 1 MB ? DB ? ? a - b ? ? a ? b 2 2 2 2 ???? 1 ???? 1 ? ???? ? ???? ? 1 1 ??? 1 1 MC ? AC ? a ? b MD ? ? MB ? ? BD ? ? a ? b 2 2 2 2 2 2

课堂小结

1.向量数乘的定义

2.向量数乘的运算律
3.向量共线基本定理

4.定理的应用

课本 P91---92 9, 10, 11

再见!


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