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导与练普通班2019届高三数学一轮复习第十四篇不等式选讲第1节绝对值不等式基丛点练理

导与练普通班 2019 届高三数学一轮复习第十四篇不等式选讲第 1 节

【选题明细表】

绝对值不等式基丛点练理
知识点、方法 解绝对值不等式 与绝对值不等式有关的证明 与绝对值不等式有关的恒成立问题

题号 1,3,4
2,3 2,4

1.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1 时,且当 x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=-2 时, 不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

则 y=

其图象如图所示.

从图象可知, 当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当 x∈[-,)时, f(x)=1+a. 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. 所以 x≥a-2 对 x∈[-,)都成立. 故-≥a-2, 即 a≤. 从而 a 的取值范围是(-1,]. 2.(2016 贵阳一测)(1)已知 a 和 b 是任意非零实数.证明:
≥4;

(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,求实数 k 的取值范围. (1)证明:|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,

所以

≥4.

(2)解:记 h (x)=|2x+1|-|x+1|

=

若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立, 则函数 h(x)的图象在直线 y=k(x-1)-的上方,

因为 y=k(x-1)-经过定点(1,- ), 当 x=-时, y=h(x)取得最小值-, 显然,当 y=k(x-1)-经过定点 P(1,- )与 M(-,-)时,

kPM=

=,

即 k>; 当 y=k(x-1)-经过定点 P(1,- )与直线 y=x 平行时,k 得到最大值 1, 所以 k∈(,1] . 3.(2016 保定一模)设函数 f(x)=|x-a|+1,a∈R. (1)当 a=4 时,解不等式 f(x)<1+|2x+1|;
(2)若 f(x)≤2 的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2 .
(1)解:当 a=4 时, 不等式 f(x)<1+|2x+1|即为|x-4|<|2x+1|. ①当 x≥4 时,原不等式化为 x-4<2x+1, 得 x>-5,故 x≥4; ②当-≤x<4 时,原不等式化为 4-x<2x+1, 得 x>1,故 1<x<4; ③当 x<-时,原不等式化为 4-x<-2x-1, 得 x<-5,故 x<-5. 综合①、②、③知,原不等式的解集为 (-∞,-5)∪(1,+∞). (2)证明:由 f(x)≤2 得|x-a|≤1,

从而-1+a≤x≤1+a, 因为 f(x)≤2 的解集为{x|0≤x≤2},

所以

得 a=1,

所以+=a=1. 又 m>0,n>0, 所以 m+2n=(m+2n)·(+)

=3+( +)≥3+2 ,

当且仅当 m=1+ ,n=1+ 时,取等号,
故 m+2n≥3+2 ,得证. 4.(2016 大同调研)已知函数 f(x)=|2x-1|+|x-2a|. (1)当 a=1 时,求 f(x)≤3 的解集; (2)当 x∈[,2]时,f(x)≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,由 f(x)≤3, 可得|2x-1|+|x-2|≤3,
所以①
或②

或③
解①得 0≤x<; 解②得≤x<2; 解③得 x=2. 综上可得,0≤x≤2, 即不等式 f(x)≤3 的解集为[0,2]. (2)因为当 x∈[,2]时,f(x)≤3 恒成立, 即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x, 故 2x-4≤2a-x≤4-2x, 即 3x-4≤2a≤4-x. 再根据 3x-4 的最大值为 6-4=2, 4-x 的最小值为 4-2=2, 所以 2a=2,所以 a=1, 即 a 的取值范围为{1}.



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