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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)


3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
整体设计 一、教学分析
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步 研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对 照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比 较 cos(α-β)与 cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同, 但不同 角的形式从运算或换元的 角度看都有内在联系,即 α+β=α-(-β)的关系,从而由公式 C(α-β)推得公式 C(α+β),又如比较 sin(α-β)与 cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用 诱导公式(5) (6)即可推得公式 S(α-β)、S(α+β)等. 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函数 与这两角的三角 函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此 本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能 力的重要内容,对培养学生的探索精神和创 新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学 生深刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了 训练学生思维的有序性, 逐步培养他们良好的思维习惯, 教学中应当有意识地对学生的思维 习惯进行引导,例如在面对问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什 么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结 果而不顾过程表述的正确性、 简捷性等, 这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.
[来源:学科网 ZXXK] [来 源:学.科.网 Z.X.X.K]

二、三维目标
1.知识与技能: 在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、 余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解, 培养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法: 通过两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明, 使学生深刻体会联系变化的观点, 自觉地利用联系变化的观点来分析问题, 提高学生分析问 题解决问题的能力. 3.情感态度与价值观: 通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生 的应用意识,提高学生的数学素质.

三、重点难点
教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.

四、课时安排
2 课时

五、教学设想 第 1 课时
(一)导入新课 思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并把公式默写 在黑板上或打出幻灯片 , 注意有意识地让学生写整齐 . 然后教师引导学生观察 cos(α-β) 与

cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系,进行由旧知推出新知的转化过程,从而推导出 C(α+β)、S(α-β)、 S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用. 思路 2.(问题导入)教师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回顾上节所 学 公 式 , 又 为 本 节 新 课 作 准 备 . 若 sinα=

? ? 5 10 , α∈(0, ) , cosβ= ,β∈(0, ), 求 2 2 5 10

cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式 C(α-β)很容易求得 cos(α-β) ,但是如果求 cos(α+β)的 值就得想法转化为公式 C(α-β)的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课题,并由 此展开联 想探究其他公式. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①还记得两角差的余弦公式吗?请一位同学到黑板上默写出来. ②在公式 C(α-β)中,角 β 是任意角,请学生思考角 α-β 中 β 换成角-β 是否可以?此时观 察角 α+β 与 α-(-β)之间的联系,如何利用公式 C(α-β)来推导 cos(α+β)=? ③分析观察 C(α+β)的结构有何特征? ④在公式 C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导 sin(α+β)=?sin(α-β)=? ⑤公式 S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何? ⑥对比分析公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β),能否推导出 tan(α-β)=? tan(α+β)=? ⑦分析观察公式 T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何? ⑧思考如何灵活运用公式解题? 活动: 对问题①, 学生默写完后, 教师打出课件, 然后引导学生观察两角差的余弦公式, 点拨学生思考公式中的 α,β 既然可以是任意角, 是怎样任意的?你会有些什么样的奇妙想法 呢?鼓励学生大胆猜想,引导学生比较 cos(α-β)与 cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发 现 α-β 中的角 β 可以变为角-β, 所以 α-(-β)=α+β 〔也有的会根据加减运算关系直接把和角 α+β 化成差角 α-(-β)的形式〕 . 这时教师适时引导学生转移到公式 C(α-β)上来,这样就很自然地得到
[来源:Zxxk.Com] [来 源:学+科+网]

cos(α+β)=cos[α-(-β)] =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
[来源:学,科,网]

我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作 C(α+β). 对问题②,教师引导学生细心观察公式 C(α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦,等于这 两角的余弦积减去这两角的正弦积 ” ,同时让学生对比公式 C(α-β) 进行记忆,并填空: cos75° =cos(_________)==__________=___________. 对问题③,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能 得到两角和与差的正弦公式呢?我 们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢?学生可能有 的 想 到 利 用 诱 导 公 式 ⑸⑹ 来 化 余 弦 为 正 弦 ( 也 有 的 想 到 利 用 同 角 的 平 方 和 关 系 式 sin2α+cos2α=1 来互化,此法让学生课下进行),因此有 sin(α+β)=cos[

? ? -(α+β)]=cos[( -α)-β] 2 2

=cos(

? ? -α)cosβ+sin( -α)sinβ 2 2

=sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β 用-β 代之,则 sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) =sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为 S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 对问题④⑤,教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆, 同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特 点,体验三角公式的这种简洁美、对称 美 . 为 强 化 记 忆 , 教 师 可 让 学 生 填 空 , 如 sin(θ+φ)=___________ , sin

2? 5? 2? 5? cos ? cos sin =__________. 7 7 7 7

对问题⑥,教师引导学生思考,在我们推出了公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想 到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出 tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢?学生很容易想到利用 同角三角函数关系式,化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论,这时教师不要 直接提醒,让学生自己悟出来. 当 cos(α+β)≠0 时,tan(α+β)=

sin(a ? ? ) sin cos ? ? cos? sin ? ? . cos(a ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ?

如果 cosαcosβ≠0,即 cosα≠0 且 cosβ≠0 时,分子、分母同除以 cosαcosβ 得 tan(α+β)= 有 tan(α-β)=

tan? ? tan ? ,据角 α、β 的任意性,在上面的式子中,β 用-β 代之,则 1 ? tan? tan(? ? )

tan? ? tan(? ? ) tan? ? tan ? ? . 1 ? tan? tan(? ? ) 1 ? tan? tan ?

由此推得两角和、差的正切公式,简记为 T(α-β)、T(α+β). tan(α+β)=

tan? ? tan ? , 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

tan(α-β)=

对问题⑥,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中 α、β、α±β 的取值是任意的 吗?学生回顾自己的公式探究过程可知,α、β、α±β 都不能等于

? +kπ(k∈Z),并引导学生 2

分析公式结构特征,加深公式记忆. 对问题⑦⑧, 教师与学生一起归类总结, 我们把前面六个公式分类比较可得 C(α+β)、 S(α+β)、 T(α+β)叫和角公式;S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过 程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑 联系图,深刻理解它 们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握

这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),在化简求值中就经常应 用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式,当 tanα, tanβ 或 tan(α±β)的值不存在时,不能使用 T(α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或 其 他 方 法 , 例 如 : 化 简 tan(

? ? -β) , 因 为 tan 的值不存在,所以改用诱导公式 2 2

sin( ? ? ) ? cos ? 2 tan( -β)= 来处理等. ? ? 2 sin ? cos( ? ? ) 2

?

(三)应用示例 思路 1 例 1 已知 sinα= ?

3 ? ? ? ,α 是第四象限角,求 sin( -α),cos( +α),tan( -α)的值. 5 4 4 4

活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要 求.再思考应该联系什么公式, 使用公式时要有什么准备, 准备工作怎么进 行等.例如本题中, 要先求出 cosα,tanα 的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是为了让学 生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成. 解:由 sinα= ? ∴tanα=

3 3 2 4 2 ,α 是第四象限角,得 cosα= 1 ? sin a ? 1 ? (? ) ? . 5 5 5

sin a 3 =? . cos a 4

于是有 sin(

? ? ? 2 4 2 3 7 2 ? ? ? (? ) ? , -α)=sin cosα-cos sinα= 4 4 4 2 5 2 5 10

cos(

? ? ? 2 4 2 3 7 2 ? ? ? (? ) ? , +α)=cos cosα-sin sinα= 4 4 4 2 5 2 5 10
tan a ? tan

3 ?1 tan a ? 1 ? 4 4 tan(α- )= = = ? ?7 . ? 1 ? tan a 3 4 1 ? tan a tan 1 ? (? ) 4 4 ?
点评: 本例是运用和差角公式的基础题, 安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有 序性,逐步培养他们良好的思维习惯. 变式训练 1.不查表求 cos75° ,tan105° 的值.? 解:cos75° =cos(45° +30° )=cos45° cos30° -sin45° sin30°

?

=

2 3 2 1 6? 2 , ? ? ? ? 2 2 2 2 4

tan105° =tan(60° +45° )=

tan60? ? tan45? 3 ?1 =-(2+ 3 ). ? ? ? 1 ? tan60 tan45 1 ? 3
)? C.

2.设 α∈(0, A.

3 ? ? ),若 sinα= ,则 2sin(α+ )等于( 5 2 4
B.

7 5

1 5

7 2

D.4

答案:A

例 2 已知 sinα=

2 3? ? 3 ,α∈( ,π),cosβ= ? ,β∈(π, ).求 sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β). 3 2 2 4

活动:教师可先让学生自己探究解决,对探究困难的学生教师给以适当的点拨,指导学 生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式 S(α-β)、 C(α+β)、 T(α+β)应先求出 cosα、 sinβ、tanα、tanβ 的值,然后利用公式求值,但要注意解题中三角函数值的符号. 解:由 sinα=

2 ? ,α∈( ,π),得 3 2

cosα= ? 1 ? sin 2 a =- ? 1 ? ( ) = ?
2

2 3

5 2 5 ,∴tanα= ? . 3 5

又由 cosβ= ?

3? 1 ,β∈(π, ). 2 3

2 2 sinβ= ? 1 ? cos ? = ? 1 ? (? ) ? ?

3 4

7 , 4

∴tanβ=

7 .∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 3

=

2 3 5 7 ? 6 ? 35 ) ? (? )? × ( ? )-( (? . 3 4 3 4 12

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=( ?

3 2 5 7 )× ( ? )- × (? ) 4 3 3 4

=

3 5?2 7 . 12
2 5 7 ? ? 6 5 ? 5 7 ? 32 5 ? 27 7 5 3 ? = . 17 2 5 7 15 ? 2 35 1 ? (? )? 5 3 ?

tan? ? tan ? ? ∴tan(α+β)= 1 ? tan? tan ?

点评: 本题仍是直接利用公式计算求值的基础题, 其目的还是让学生熟练掌握公式的应 用,训练学生的运算能力. 变式训练 引导学生看章头图,利用本节所学公式解答课本章头题,加强学生的应用意识. 解:设电视发射塔高 CD=x 米,∠CAB=α,则 sinα= 在 Rt△ ABD 中,tan(45°+α)=

30 , 67

x ? 30 tanα. 30

30 tan(45? ? ? ) ? 30 , 于是 x= tan?
30 60 1 ? ,α∈(0, ),∴cosα≈ ,tanα≈ . 67 67 2 2 1 1? 1 ? tan? 2 =3, tan(45°+α)= ? 1 1 ? tan? 1? 2 30 ? 3 ∴x= -30=150(米). 1 2
又∵sinα= 答:这座电视发射塔的高度约为 150 米. 例 3 在△ ABC 中,sinA=

3 5 (0° <A<45° ),cosB= (45° <B<90° ),求 sinC 与 cosC 的值. 5 13

活动:本题是解三角形问题,在必修 5 中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数 诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学 生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论 解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联 系,从而找 出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件. 解:∵在△ ABC 中,A+B+C=180° ,∴C=180° -(A+B).

3 4 且 0° <A<45° ,∴cosA= . 5 5 5 12 又∵cosB= 且 45° <B<90° ,∴sinB= . 13 13
又∵sinA= ∴sinC=sin[180° -(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =

3 5 4 12 63 × + × = , 5 13 5 13 65 3 12 4 5 16 × - × = . 5 13 5 13 65

cosC=cos[180° -(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =

点评:本题是利用两角和差公式,来解决三角形问题的典型例子,培养了学生的应用意 识,也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于 180° 这一 暗含条件. 变式训练

在△ ABC 中,已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ ABC 是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 答案:C 思路 2 例 1 若 sin(

) D.等腰非直角三角形

3? 3 3? 5 ? ? +α)= ,cos( -β)= ,且 0<α< <β< ,求 cos(α+β)的值. 4 5 4 13 4 4

活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻 辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,教师不 可直接 给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当点拨引导,指导学生解决问题的关键是 寻找所求角与已知角的内在联系, 引导学生理清所求的角与已知角的关系, 观察选择应该选 用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注 意确定准角的范围,准确判断好三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思 路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展 本题, 或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换 α,β 角的范围,进行一题多变训练,提高学 生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.

3? 3? 3? ? ? ? <β< ,∴ < +α<π,- < -β<0, 4 4 4 4 2 4 3? 3 5 ? 又已知 sin( +α)= ,cos( -β)= , 4 5 13 4 3? 12 ? 4 ∴cos( +α)= ? ,sin( -β)= ? . 4 13 4 5 3? ? ? ∴cos(α+β)=sin[ +(α+β)]=sin[( +α)-( -β)] 4 2 4 3? 3? ? ? =sin( +α)cos( -β)-cos( +α)sin( -β) 4 4 4 4 33 5 3 12 4 = × -( ? )× ( ? )= ? . 65 13 5 13 5
解:∵0<α< 本题是典型的变角问题,即把所求 角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧 妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力. 变式训练 已知 α,β∈(

3? ? 12 ? 3 ,π),sin(α+β)= ? ,sin(β- )= ,求 cos(α+ )的值. 4 5 4 13 4 3? 3 ? 12 解:∵α,β∈( ,π),sin(α+β)= ? ,sin(β- )= , 4 5 4 13 3? ? ? 3? ∴ <α+β<2π, <β- < . 2 2 4 4 4 ? 5 ∴cos(α+β)= ,cos(β- )= ? . 5 4 13

? ? )=cos[(α+β)-(β- )] 4 4 ? ? =cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ) 4 4
∴cos(α+

=

4 56 5 3 12 × (? )+( ? )× = ? . 5 65 13 5 13

例 2 化简

sin(a ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? a) ? ? . sin a sin ? sin ? sin ? sin ? sin a

活动:本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先 让学生自己独立地探究,然后进行讲评. 解 : 原 式 = =

sin a cos ? ? cosa sin ? sin ? cos? ? cos ? sin ? sin ? cosa ? cos? sin a ? ? sin a sin ? sin ? sin ? sin ? sin a

sin a cos ? sin ? ? cos? sin ? sin ? sin a sin ? cos? ? sin a cos ? sin ? sin ? sin ? cos a ? cos? sin ? sin a ? ? sin a sin ? sin ? sin a sin ? sin ? sin ? sin ? sin a
=

0 sin ? sin ? sin a

=0. 点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练 运用公式的运算能力. 变式训练 化简

sin(? ? ? ) ? 2 sin ? cos ? 2 sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) sin ? cos ? cos? sin ? ? 2 sin ? cos ? 2 sin ? sin ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

解:原式=

=

cos? sin ? ? sin ? cos ? sin(? ? ? ) ? ? tan(? ? ? ). sin ? sin ? ? cos? cos ? cos(? ? ? )

(四)作业 已知 0<β<

3? 3 3? ? ? ? 5 , <α< ,cos( -α)= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 5 4 4 4 4 13
3? ? ? ? ? 4 3 2 <α< ,∴ ? < -α<0.∴sin( -α)= ? 1 ? ( ) = ? . 4 2 4 4 4 5 5 3? 3? 3? ? 12 5 2 ,∴ < +β<π,cos( +β)= ? 1 ? ( ) = ? . 4 4 4 4 13 13

解:∵

又∵0<β<

∴sin(α+β)=-cos(

3? ? ? +α+β)=-cos[( +β)-( -α)] 4 2 4

3? 3? ? ? +β)cos( -α)-sin( +β)sin( -α) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 =-( ? )× ? × ( ? )= . 13 5 13 5 65
=-cos( (五)课堂小结 1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式 推导中你悟出了什么样的数学思想?对于这六个公式应如何对比记忆?其中正切公式的应 用有什么条件限制?怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明. 2.教师画龙点睛:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推 导,明白从已知推得未知,理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用 公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中 比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学 思想方法之目的.



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