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第二章 函数 §3 函数的单调性(一) 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间,判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数 f(x) = x 、 f(x) = x2 的图像,并指出 f(x) = x 、 f(x) =x2的图像的升降情况如何? 答案 两函数的图像如右: 函数 f(x) = x 的图像由左到 右是上升的;函数f(x)=x2 的图像在 y 轴左侧是下降 的,在y轴右侧是上升的. 答案 梳理 单调性是相对于区间来说的,函数图像在某区间上上升,则函 数在该区间上为增函数.反之则为减函数. 很多时候我们不知道函数图像是什么样的,而且用上升下降来 刻画单调性很粗糙.所以有以下定义: 一般地,在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于 任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么,就称 函数y=f(x)在区间A上是 是 增加的 . ,有时也称函数y=f(x)在区间A上 递增的 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1, x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么,就称函数y=f (x)在区 减少的 间A上是 ,有时也称函数 y=f(x)在区间A上是 . 递减的 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的, 就称函数y=f(x)在该子集上具有单调性;如果函数y=f(x)在整 个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数是增函 数或减函数,统称为单调函数. 知识点二 函数的单调区间 思考 1 f(x) = 我们已经知道 f(x) = x2 在 ( - ∞ , 0] 上是减少的, 在区间 ( - ∞ , 0) 上是减少的,这两个区间能不能交换? 答案 x 1 f(x) = f(x) = x2 的减区间可以写成 ( - ∞ , 0) ,而 x x 的减区间(-∞,0)不能写成(-∞,0],因为 1 0不属于f(x) = 的定义域. 答案 梳理 一般地,有下列常识: (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单 调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间 可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D?定义域I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大. 题型探究 类型一 例1 求单调区间并判断单调性 如图是定义在区间 [ - 5,5] 上的函数 y = f(x) ,根据图像说 出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增加的还是 减少的? 解 y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其 中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减少的,在区间[-2,1], [3,5]上是增加的. 解答 反思与感 悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是 定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之 间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在 单调区间D上函数要么是增加的,要么是减少的,不能二者兼 有. 跟踪训练 1 性. 写出函数y =|x2 -2x -3| 的单调区间,并指出单调 2 ? x ? -2x-3,x<-1或x>3, 解 先画出 f(x)=? 2 的图像,如图. ? ?-?x -2x-3?,-1≤x≤3 所以y=|


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