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第六讲 向量法求解二面角


100 年只做一件事----------育人

第六讲 向量法求解二面角
向量在数学和物理学中的应用很广泛, 在解析几何与立体几何里的应用更为直 接,用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。 随着新教材中向量工具的引入,立体几何的解题更加灵活多样,这为那些空间 想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计 算和一些证明的问题,尤其在求点面距离、空间的角(斜线与平面所成的角和二 面角)时,法向量有着它独有的优势,以下举例全面剖析在立几中如何用法向量 求二面角。 引入:给定空间一点 M,类比平面直角坐标系中点的坐标的确定方法,如何确 定点 M 的坐标?

y

.M

z

.M

o

x

o

y

x 平面直角坐标系 空间直角坐标系

例(1)在平面直角坐标系中描出点 P(1,2) (2)在空间直角坐标系中描出点 M(1,2,3) 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设 n1 , n2 分别为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,向量

n1 , n2 的夹角为 ? ,则有 ? ? ? ? ? (图 1)或 ? ? ? (图 2)
?ω n1

n2

?

n1

α θ l β
图1

α θ l β
n2
1

图2

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基本结论 面角的平面角.

构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二
z

二. 如何求平面的一个法向量: 例题 1: 如图 3,在正方体 ABCD-A1B!C1D1 中 G、E、F 分别 为 AA1、AB、BC 的中点,求平面 GEF 的法向量。
A
1

D
1

C
1

B
1

G D E F B A C

y

略解:以 D 为原点建立右手空间直角坐标系,则 E(1, G(1,0,

图3 1 1 ,0) 、F( ,1,0) 、 2 2 x

1 1 1 1 1 )由此得: GE ? (0, ,? ) FE ? ( ,? 0) 2 2 2 2 2

设平面的法向量为 n ? ( x, y, z) 由 n ? GE 及 n ? FE 可得

1 1 ? ?n ? GE ? 2 y ? 2 z ? 0 ? x ? y ? ? ?? ?n ? FE ? 1 x ? 1 y ? 0 ? z ? y ? 2 2 ?
令 y=1 取平面的一个法向量为 n ? (1,1,1) 评析 因为平面的法向量有无数个,方向可上可下,模可大可小,我们只要

求出平面的某一个法向量(教简单的)即可。

三. 法向量的应用举例: 例题 4. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BC=4,AA1=2,点 Q 是 BC 的 中点,求此时二面角 A—A1D—Q 的大小. 解 如图 2,建立空间直角坐标系.
z D1 C1 A1 B1 y D 2 O(A) B Q C x

依题意:A1(0,0,2) ,D(0,a,0) . ∴Q(2,2,0) ,D(0,4,0) , ∴ A1Q ? (2,2,?2), QD ? (?2,20) . 面 AA1D 的法向量 n1 ? (1,0,0) .

图4

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设面 A1DQ 的法向量 n2 ? (a1 , a2 , a3 ) , 则?
?n ? A Q ? 2a ? 2a ? 2a ? 0, ? 2 1 1 2 3 ?n2 ? QD ? ?2a1 ? 2a 2 ? 0, ?

?a 2 ? a1 , ?? ?a 3 ? 2a1 ,

∴ n2 ? (a1 , a1 ,2a1 ) . 令 a1=1,则 n2 ? (1,1,2) , ∴ cos ? n1 , n2 ??
n1 ? n2 n1 n2 ? 1 1? 6 ? 6 . 6

? 二面角的平面角为锐角
∴二面角 A—A1D—Q 的大小为 arccos
6 . 6

评析(1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三 步曲: “找——证——求”直接简化成了一步曲: “计算” ,这在一定程度上降低了 学生的空间想象能力,达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新 能力的培养,体现了教育改革的精神。 (2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题 中若令 a 1 ? ?1 ,则 n2 ? (?1,?1,?2) ,∴ cos ? n1 , n2 ?? ? 的大小 是 ? n1 , n2 ? ? ? ? arccos
6 ,∴二面角 A—A1D—Q 6

6 6 的补角 arccos 。所以在计算之前不妨先依题 6 6

意直观判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角” 。

例5

如图 5, 在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中, AD//BC, ∠ABC=900,
1 1 ,AB=BC=1,AD= 。 求侧面 SCD 与面 SBA 所成的二面 2 2

SA⊥面 ABCD,SA= 角的大小。

解: 以 A 为原点如图建立空间直角坐标系,
1 ) A(0,0,0) , , 2 1 B(0,1,0) ,C(1,1,0) ,D( ,0,0) , 2 x 1 1 ∴ SA ? (0, 0, ? ), SB ? (0, 1, ? ) 2 2
S

z

则 S(0,0,

A D C 图5

B

y

3

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1 1 SD ? ( , 0, ? ), 2 2

1 SC ? (1, 1, ? ) , 2

显然平面 SBA 的一个法向量为 n1 =(1,0,0), 设平面 SCD 的一个法向量为 n 2 =(x,y,z),则 n 2 ⊥平面 SCD ∴

? ? x?z ?0 ?n 2 ? SD ? 0 ?? 取z ? 2, 则n2 ? (2, ? 1,2) ? ? n2 ? SC ? 0 ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?

则 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | | n2 |

?

1? 2 2 ? 1? 3 3

评析: (1)因为所求的二面角的交线在图中较难作出,所以用传统的方法求 二面角比较困难,向量法在这里就体现出它特有的优势; (2)但判断侧面 SCD 与 面 SBA 所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时,图形的直观性就不明显了,当 不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案。

四. 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求 解二面角. 原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系:

如上图 6 所示,当我们把法向量控制成“一进一出” , 此时两法向量在三个坐标平面 xoy , yoz , xoz 的投影也

?? ?? ? 可以看成是“一进一出” ,这时不难得出 n1 , n2 的夹角
就是二面角的大小,反之就不是。 其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想 要的“向上或向下”“向后或向前”“向左或向右”呢? , ,

?? n1 ?? ? n2

? 如图 7 所示:平面 ABC 的法向量 n ? ? 若要法向量 n 的方向“向上”,可设 n = ( x, y,1) 或 ? ? n = ( x, y, z 0 ) ,其中 z0 >0;若要法向量 n 的方向 ? ? “向前”,可设 n = (1, y, z ) 或 n = ( x0 , y, z ) ,其中 ? ? ,可设 n = x0 ? 0 ;若要法向量 n 的方向“向右”
o

图6

z
A

? n

C
4

y

x

B

图7

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? ( x,1, y ) 或 n = ( x, y0 , z ) ,其中 y0 ? 0
所以,只要我们判断两个法向量的方向是 “一进一出” ,那么所求的二面角的平面角就等 于两法向量的夹角,如果是“同进同出” 那么 , 所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角,掌握了这点,那么用法向 量求二面角就可以做到随心所欲。 例题 6 改编自 2007 年福建高考题 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为
2 , D 为 CC1 中点.
C A

A1

(Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1 B ? C1 的大小; 解: (Ⅰ) .
B

D

C1

B1

??? ???? ??? ? ? ? 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点,OB ,OO1 ,OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空
间直角坐标系. 解略 (Ⅱ)设平面 AA1 B 的法向量为 n ? ( x,y,z ) .
A z

A1

???? 2, AB ? (1,0,? 3) , AA1 ? (0,0) . ? n ? AB, n ? AA1
?n ? AA1 ? 2 y ? 0 ? ?? ?n ? AB ? x ? 3z1 ? 0 ?
令 z ? 1 ,得平面 A1 AD 的一个法向量 n ? ( 3,0,1) 设平面 A1 BC1 的法向量为 v ? (a, b, c) .
x O B C D

F

C1
y

B1

BA ? (?1,2, 3) , BC1 ? (?2,2,0) . 1 ? v ? BA1 , v ? BC1

5

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?n ? BA1 ? ?a ? 2b ? 3c ? 0 ? ?? ?n ? BC1 ? ?2a ? 2b ? 0 ?
令 a ? ?1 ,得平面 A1 BC1 的一个法向量 v ? (?1,1,? 3)

cos ? n, v ??

n?v nv

?

?2 3 2? 5

??

15 5
15 5

所求的二面角的平面角是 ? ? arccos

评析 上题中的两个平面的法向量是符合“一进一出”的,所以它们的夹角就 等于所求的二面角的大小。可见通过判断法向量的方向,就可以解决直观不能判 断二面角的锐或钝的情况。 将向量引入中学数学后,既丰富了中学数学内容,拓宽了中学生的视野;也 为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法,而在利用法向量求二面角的过 程中,若能巧设法向量,则能使解题过程更加简洁明快,进一步优化。

6



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