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高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数:第3节 对数及运算


第 3 节 对数及运算 【基础知识】 1.对数的概念 一般地, 对于指数式 ab=N, 我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN, 即 b=logaN(a>0, 且 a≠1). 其中, 数 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, 读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga =logaM-logaN; N n ③logaMn=nlogaM (n∈R);④logamMn= logaM. m (2)对数的性质 ①alogaN=__N__;②logaaN=__N__(a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab 1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba 【规律技巧】 1. a b=N ? logaN=b. 2.在运用性质 log a M n=nlog a M 时,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 log a M n=nlog a M (n ? N+ 且 n 为偶数). 3.注意对数恒等式 a log a N =N 、对数换底公式 log a N ? log b N 及等式 log b a log a m b n ? n 1 在解题中的灵活应用. ? log a b,log a b ? m logb a 4.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此,经常会用到换底公式及其推论;在对 含有字母的对数式化简时,必须保证恒等变形. 5. a b=N ? b=log a N (a>0 且 a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要 注意灵活运用. 6.利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化. 7.有限制条件的对数化简、求值问题,往往要化简已知和所求,利用“代入法”. 【典例讲解】 例 1、计算下列各式: (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2)2; (2) 2 ? lg 3? -lg 9+1· ? lg 27+lg 8-lg 1 000? ; lg 0.3· lg 1.2 (3)(log32+log92)· (log43+log83). 【探究提高】 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简, 然后再运用对数运算法则化简合并, 在运算中要注意化同底或指数与对数 互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明 常用的技巧. log89 【变式探究】 求值:(1) ;(2)(lg 5)2+lg 50· lg 2; log23 1 32 4 (3) lg - lg 8+lg 245. 2 49 3 log2332 2 【解析】(1)原式= = . log23 3 (2)原式=(lg 5)2+lg(10× 5)lg =(lg 5)2+(1+lg 5)(1-lg 5) =(lg 5)2+1-(lg 5)2=1. (3)原式=lg =lg 4 2 -lg 4+lg(7 5) 7 10 5 4 2× 7 5 1 =lg 10= . 7× 4 2 【针对训练】 1、若 100 ? 5, 10 ? 2 ,则 2a ? b =( a b ) C.2 D.3 A.0 【答案】B B.1 2、已知


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